В п. 1.1 были рассмотрены свободные колебания системы, состоящей из пружины и сосредоточенной массы, и показано, что движение этой системы зависит только от начальных условий ее физических характеристик $k$ и $W / g$, которые и определяют ее частоту соб-

ственных колебаний. Если система подвергается некоторым внешним воздействиям, подобным зависящим от времени силам или специального вида движениям опор, то динамическое поведение ее становится более сложным. Во многих практических ситуациях приходится сталкиваться с периодически изменяющимися силами, которые прикладываются к массе. Тогда реакцию системы при указанных условиях показывают вынужденными колебаниями.

В качестве примера вынужденных колебаний рассмотрим электродвигатель весом $W$ (рис. 1.21), закрепленный на пружине, которая препятствует перемещениям только в вертикальном направлении. Эта ситуация имеет, как уже говорилось в п. 1.1, круговую частоту собственных колебаний $p=\sqrt{\mathrm{kg} / \mathrm{W}}$. Предпо-

Рис. 1.21 ложим, что вал электродвигателя вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ и что он недостаточно хорошо отбалансирован (на рис. 1.21 это показано в виде эксцентрической массы, сосредоточенной в точке $A$ ). Этот дисбаланс будет порождать вращающуюся центробежную силу $P$, которая, в свою очередь, вызовет вынужденные колебания системы.

В дополнение к силе тяжести и силе реакции пружины теперь необходимо рассмотреть вертикальную компоненту $P \sin \omega t$ вектора вращающейся силы. В результате получим следующее уравне ние движения:
\[
\frac{W}{g} \ddot{x}=W-(W+k x)+P \sin \omega t,
\]

где слагаемое $P \sin \omega t$ называется гармонической силовой функцией. Вводя в уравнение (a) обозначения
\[
p^{2}=\frac{k g}{W} ; \quad q=\frac{P g}{W},
\]

получим
\[
\ddot{x}+p^{2} x=q \sin \omega t .
\]

Частное решение этого уравнения получим, предполагая, что решение $x$ пропорционально функции $\sin \omega t$, т. е. положив
\[
x=C_{3} \sin \omega t,
\]

где $C_{3}$ – постоянная, которая выбирается таким образом, чтобы решение удовлетворяло уравнению (1.22). Подставляя (в) в это уравнение, найдем $C_{3}=q /\left(p^{2}-\omega^{2}\right)$. Таким образом, искомое частное решение имеет вид
\[
x=q \sin \omega t /\left(p^{2}-\omega^{2}\right) .
\]

Рис. 1.22
Прибавляя это частное решение к общему решению (1.2) однородного уравнения (1.1), получим
\[
x=C_{1} \cos p t+C_{2} \sin p t+\frac{q \sin \omega t}{p^{2}-\omega^{2}} .
\]

Это выражение содержит две постоянные интегрирования и является общим решением неоднородного уравнения (1.22).

Два первых слагаемых в выражении (1.23) описывают свободные
колебания, которые обсуждались выше, а третье слагаемое, зависящее от возмущающей силы, характеризует вынужденные колебания системы. Можно видеть, что эти последние колебания имеют тот же период $T=2 \pi / \omega$, что и период возмущающей силы. Подставляя обозначения (б) в выражение (г) и считая свободные колебания несущественными *, получим так называемые установившиесл вынужденные колебания, описываемые выражением
\[
x=\left(\frac{P}{k} \sin \omega t\right)\left(\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}\right) .
\]

Множитель $(P / k) \sin \omega t$ представляет собой перемещение, обусловленное действием возмущающей силы $P \sin \omega t$, если она приложена статически; множитель $1 /\left(1-\omega^{2 / p^{2}}\right.$ ) учитывает динамический характер этой силы. Абсолютная величина этого множителя обычно называется коэффициентом усиления ${ }^{1}$
\[
\beta=\left|\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}\right| .
\]

Видно, что коэффициент $\beta$ зависит от отношения частот $\omega / p$, которое получают делением навлзываемой системе частоты возмущающей силы на собственную частоту свободных колебаний системы. На рис. 1.22 представлена зависимость коэффициента $\beta$ от частотного отношения $\omega / p$, т. е. в случае, когда частота возмущающей силы мала по сравнению с частотой свободных колебаний, коэффициент усиления примерно равен единице, а перемещения являются почти такими же, как в случае статического действия силы $P \sin \omega t$.

Когда отношение $\omega / p$ достигает значения, равного единице, коэффициент усиления и амплитуды вынужденных колебаний быстро возрастают и обращаются в бесконечность при $\omega=p$, т. е. в том случае, когда частота возмущающей силы совпадает с частотой свободных колебаний системы. Этот случай является условием резонанса. Бесконечное значение амплитуды вынужденных колебаний означает, что если периодическая сила действует на колеблющуюся систему

всегда в соответствующее время и в соответствующем направлении, то амплитуда колебаний увеличивается, стремясь к бесконечности, при условии, что отсутствует рассеивание энергин. В практических задачах всегда имеет место рассеивание энергии, обусловленное демпфированием. Влияние последнего на амплитуду вынужденных колебаний будет обсуждено ниже в п. 1.9.

Когда частота возмущающей силы становится больше частоты свободных колебаний, коэффициент усиления вновь принимает конечное значение. Его абсолютная величина уменьшается с ростом отношения $\omega / p$ и стремится к нулю, когда это отношение становится очень большим. Таким образом, когда на тело действует с высокой частотой периодическая сила, она вызывает колебания с очень малой амплитудой, и во многих случаях можно считать, что при этом тело сохраняет стационарное положение.

Рассматривая знак выражения $1 /\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right)$, видим, что во всех случаях, когда выполняется условие $\omega<p$, это выражение является положительным и перемещения массы при колебаниях имеют то же направление, что и направление возмущающей силы. С другой стороны, во всех тех случаях, когда $\omega>p$, это выражение является отрицательным и перемещение массы имеет направление, противоположное направлению действия силы. В первом случае говорят, что колебания совпадают по фазе с возмущением, а во втором, что динамические перемещения происходят в противофазе.

В приведенном выше обсуждении величина возмущающей силы была пропорциональна $\sin \omega t$, но те же результаты были бы получены и в том случае, если указанную силу считать пропорциональной $\cos \omega t$. Кроме того, вынужденные колебания могут возникать и при периодических движениях опор (или движениях основания). Рассмотрим, например, подвешенный на пружине груз (рис. 1.23) и предположим, что верхнему концу пружины задано перемещение в вертикальном направлении по гармоническому закону
\[
x_{\text {i:n }}=d \sin (1) t \text {. }
\]

Если перемещение $x$ подвешенного груза $W$ измерять от положения равновесия при $x_{0 \text { оп }}=0$, то удлинение пружины в произвольный момент времени $t$ будет составлять $x-x_{\text {өп }}+\delta_{\text {ст }}$; возникающая в пружине сила, соответствующая этому перемещению, равна $k\left(x-x_{\mathrm{cn}}\right)+W$. Таким образом, уравнение движения подвешенного груза принимает вид
\[
\frac{W}{. g} \ddot{x}=W-\left[W+k\left(x-x_{01}\right)\right] .
\]

Подставляя сюда выражение (е) для $x_{\text {оп }}$ и используя обозначения
\[
p^{2}=k g / W ; \quad q_{\text {оп }}=k g d / W,
\]

получим уравнение
\[
\ddot{x}+p^{2} x=q_{\text {oп }} \sin \omega t,
\]

Рис. 1.23

которое совпадает с уравнением (1.22 Јледовательно, можно сделать вывод, что задание верхнему концу пружины простого гармонического перемещения $d \sin \omega t$ эквивалентно непосредственному приложению возмущающей силы ( $k d) \sin \omega t$. Все приведенные выше рассуждения относительно решения уравнения (1.22) применимы также и в этом случае, и поэтому в итоге можно сделать вывод, что здесь также имеют место установившиеся вынужденные колебания, определяемые выражением
\[
x=\frac{d \sin \omega t}{!-\omega^{2} p^{2}} .
\]

Можно принять, что числитель $d \sin \omega t$ описывает движение сосредоточенной массы, когда перемещение опоры происходит очень медленно (или «статически»); наличие множителя $1 /\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right.$ ) указывает на то обстоятельство, что частота перемещения опоры не равна нулю. Таким образом, для того чтобы вычислить установившуюся реакцию системы, необходимо только рассмотреть перемещение массы, обусловленное перемещением опоры.

В некоторых случаях удобнее иметь дело с ускорениями опоры, чем с ее перемещениями, так как для получения информации о движении опоры используется измерительный прибор под названием акселерометр. Например, перемещения грунта при землетрясении, как правило, измеряются и записываются в виде трех взаимно-ортогональных составляющих по осям север-юг, восток – запад и вертикальной составляющей ускорений грунта. Поэтому вновь вернемся к задаче о движении основания, формулируя ее как задачу о периодических ускорениях, а не периодических перемещениях.

Предположим теперь, что на верхнем конце пружины (см. рис. 1.23) задано следующее условие относительно гармонического ускорения:
\[
\ddot{x}_{\text {on }}=a \sin \omega t .
\]

Применительно к рассматриваемой задаче уравнение (ж) принимает вид
\[
\frac{W}{g} \ddot{x}+k\left(x-x_{\text {on }}\right)=0 .
\]

Для того чтобы уравнение (к) имело тот же вид, что и уравнение (и), сделаем следующее преобразование координат:
\[
x^{*}=x-x_{\text {оп }} ; \quad \ddot{x}^{*}=\ddot{x}-\ddot{x}_{\text {оп }},
\]

где $x^{*}$ – относительное перемещение массы от основания. Подставляя выражения (л) для $x-x_{\text {оп }}$ и $\ddot{x}$ в уравнение (к) и выполняя соответствующие преобразования, найдем
\[
\frac{W}{g} \ddot{x}^{*}+k x^{*}=-\frac{W}{g} \ddot{x}_{\text {OII }} .
\]

Используя обозначения
\[
p^{2}=\frac{k g}{W} ; \quad q_{\mathrm{On}}^{*}=-a
\]

и подставляя выражение (и) в уравнение (м), получим уравнение
\[
\ddot{x}^{*}+p^{2} x^{*}=q_{\text {о }}^{*} \sin \omega t,
\]

идентичное уравнениям (1.22) и (1.25).
Решение уравнения (1.27) находим точно так же, как было сделано для аналитических уравнений в предыдущих случаях, поэтому можно сделать вывод, что реакция системы, выраженная через относительные координаты [определяемые соотношениями (л)], совпадает с реакцией системы, к которой приложена распределенная сила, равная ( $W / g$ ) $a \sin \omega t$. Тогда установившиеся вынужденные колебания системы относительно смещающегося основания описываются выражением
\[
x^{*}=\left(-\frac{W a}{k g} \sin \omega t\right)\left(\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}\right) .
\]

Несмотря на то, что начальное смещение основания и его скорость известны, абсолютное движение сосредоточенной массы не может быть рассчитано. Однако это обстоятельство обычно не является существенным, поскольку именно относительное движение определяет силу, действующую в конструкции (в данном случае в пружине).

Пример 1. Определить амплитуду вынужденных крутильных колебаний вала (см. рис. 1.8) при действии периодического крутящего момента $M \sin \omega t$, если частота свободных крутильных колебаний этого вала $f=10 \mathrm{c}^{-1}$, частота крутящего момента, определяющего вынужденные колебания, $\omega=10 \pi$ рад/с, угол закручивания при действии крутящего момента $M$ (если его приложить статически) равен 0,01 рад.
Решение. Уравнение движения в этом случае имеет (см. п. 1.2) вид
\[
\ddot{\varphi}+p^{2} \varphi=\frac{M}{l} \sin \omega t,
\]

где $\varphi-$ угол закручивания, $p^{2}=k_{\mathrm{K}} / I$. Вынужденные колебания описываются выражением
\[
\varphi=\frac{M}{I\left(p^{2}-\omega^{2}\right)} \sin \omega t=\frac{M}{k_{\mathrm{K}}\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right)} \sin \omega t .
\]

Учитывая, что по условию имеем $M / k_{\mathrm{K}}=0,01$ и $p=2 \pi f=20 \pi$, найдем максимальное значение амплитуды колебаний
\[
\varphi_{\max }=0,01 /(1-1 / 4)=0,0133 \text { рад. }
\]

Пример 2. Колесо катится по волнистой поверхности с постоянной горизонтальной скоростью $v$ (рис. 1.24). Определить амплитуду вынужденных колебаний в вертикальном направлении груза $W$, прикрепленного к оси колеса с помощью пружины. При статическом приложении груза $W$ смещение конца пружины $\delta_{\text {ст }}=0,098 \mathrm{~m}$, скорость $v=18,3 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и волнистая поверхность описывается функцией $y=d \sin \pi x / l$, где $d=0,025 \mathrm{~m}, l=0,91 \mathrm{~m}$.

Решение. Рассматривая вертикальные колебания груза $W$ на пружине, находим, что квадрат круговой частоты этих колебаний $p^{2}=g / \delta_{\text {ст }}=100 \mathrm{c}^{-2}$. Из-за волнистости поверхности, по которой катится колесо, центр $O$ колеса колеблется
Рис. 1.24

в вертикальном направлении. Считая, что в начальный момент ( $t=0$ ) точка контакта колеса имеет координату $x=0$, и полагая $x=v t$, можно описать эти колебания в вертикальном направлении функцией $y=d \sin (\pi v t / l)$. Тогда вынужденные колебания груза определяются выражением (1.26), в которое следует подставить исходные данные: $d=0,025 \mathrm{~m}, \omega=\pi v / l=20 \pi \mathrm{c}^{-1}, p^{2}=100 \mathrm{c}^{-2}$. Амплитуда этих вынужденных колебаний $1 /\left(4 \pi^{2}-1\right)=6,6 \cdot 10^{-4}$ м. При заданной скорости $v=18,3 \mathrm{~m} /$ с колебания колеса в вертикальном направлении передаются грузу $W$ очень незначительно. Если же увеличить скорость $v$ колеса на четверть ее величины, получим $\omega=5 \pi$, а амплитуда вынужденных колебаний станет $1 /\left(\pi^{2} / 4-1\right)=$ $=1,73 \cdot 10^{-2} \mathrm{~m}$. Увеличивая скорость $v$ дальше, придем к условию резонанса (когда $\tau v / l=p$ ), при котором возникают условия самых интенсивных колебаний для груза $W$ (здесь влияние массы колеса не учитывается).

Пример 3. Для случая ферменной платформы, рассмотренной в примере 3 (см. п. 1.1), изменяющееся по гармоническому закону [см. выражение (и)] ускорение основания направлено по оси $x$. Определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний платформы, если $a=5,08 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}, \omega=40 \mathrm{paд} / \mathrm{c}$.

Решение. Выражение (1.28) описывает установившуюся реакцию системы относительно основания, а максимальное значение амплитуды при этом движении
\[
x_{\max }^{*}=\frac{W a}{k g}\left(\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}\right) .
\]

В рассматриваемом примере имеем $W=1,5 \cdot 10^{5} \mathrm{H}, k=3,5 \cdot 10^{7} \mathrm{H} / \mathrm{M}$; следовательно, квадрат частоты колебаний
\[
p^{2}=\frac{k g}{W}=\frac{3,5 \cdot 10^{7} \cdot 9,81}{1,5 \cdot 10^{5}}=2290 \mathrm{c}^{-2} .
\]

Амплитуда эквивалентной, статически приложенной силы в относительных координатах
\[
\frac{W a}{g}=\frac{2 \cdot 10^{5} \cdot 5,08}{9,81}=1,03 \cdot 10^{5} \mathrm{H},
\]

а коэффициент усиления в этом случае
\[
\beta=\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}=\frac{1}{1-(1600 / 2290)}=3,32 .
\]

В итоге, амплитуду вынужденных колебаний в относительных координатах получаем из выражения (р), что дает
\[
x_{\text {max }}^{*}=\frac{1,03 \cdot 10^{5} \cdot 3,32}{3,5 \cdot 10^{7}}:=0,0098 \mathrm{M} .
\]

Изменение напряжения в раскосных тросах, обусловленное найденной величиной перемещения:
\[
\frac{\sqrt{2} k x_{\text {max }}^{*}}{4 A}=\frac{\sqrt{2} \cdot 3,5 \cdot 10^{2} \cdot 0,0098 \sqrt{2}}{4 \cdot 5 \cdot 10^{-5}}=3,43 \cdot 10^{9} \text { Па. }
\]

Пример 4. Вертикальная периодическая сила $P \sin \omega t$ приложена непосредственно к пружине (см. рис. 1.1,a) в точке, отстоящей на расстоянии $c$ от опоры. Какой будет установившаяся реакция груза W?

Решение. Предположим, что пружина состоит из двух частей, как показано на рис. 1.5, a. Участок длиной $c$ имеет жесткость пружины, равную $k_{1}$, жесткость пружины другого участка составляет $k_{2}$. Из примера 2 (см. п. 1.1) имеем соотношение
\[
k=\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1}+k_{2}} .
\]

В произвольный момент времени величина силы, передаваемой массе со стороны невесомой пружины:
\[
F(t)=\frac{k_{2}}{k_{1}+k_{2}} P \sin \omega t=\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1}+k_{2}} \frac{P \sin \omega t}{k_{1}} .
\]

Второй сомножитель в выражении (т) прелставляет собой перємєщение массы при статическом приложении силы, обусловливающей вынужденные колебания.
Вводя обозначение
\[
\Delta_{\mathrm{ct}}=P / k_{1},
\]

выражение (т) можно представить в виде
\[
F(t)=k \Delta_{\mathrm{cT}} \sin \omega t .
\]

Эту функцию эквивалентной вынуждающей силы можно использовать вместо $P \sin \omega t$ в выражении (1.24); тогда перемещение при установившейся реакции будет иметь вид
\[
x=\Delta_{\mathrm{cT}} \sin \omega t \frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}} .
\]

Из полученного выражения следует, что необходимо рассматривать только статическое перемещение массы при действии эквивалентной возмущающей силы, независимо от того, в каком месте прикладывается возмущающая сила.
ЗАдАЧи
1.6.1. Найти амплитуду вынужденных колебаний подвешенного к пружине груза весом $W$ (см. рис. 1.23), если верхний конец пружины перемещается по гармоническому закону с амплитудой $\alpha=0,0254$ м и круговой частотой $\omega=180 \mathrm{c}^{-1}$. Предполагается, что при статическом приложении указанный груз вызывает смещение $\delta_{\text {ст }}=0,0762 \mathrm{~m}$.
Oтвет : $1,016 \cdot 10^{-4} \mathrm{M}$.
1.6.2. Показанный на рис. 1.21 и подвешенный на пружине груз вызывает статическое перемещение $\delta_{\text {cт }}=0,0254 \mathrm{~m}$. Чему равна амплитуда вынужденных колебаний, обусловленных действием силы $P \cos \omega t$, если дано: $P=9,08 \mathrm{H} ; \omega=$ $=10 \pi \mathrm{c}^{-1} ; W=45,4 \mathrm{H}$ ?
Omвem: $3,25 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}$.
1.6.3. Балка, изготовленная из стандартного двутавра, длиной $l=3,66$ м и с моментом инерции $I=2,4 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{4}$ свободно оперта по концам (рис. А.1.6.3). В середине пролета балки установлен электродвигатель весом $W=4,54 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$, ротор которого вращается с частотой $1800 \mathrm{mин}^{-1}$. Из-за неуравновешенности ротора возникает центробежная сила $P=2,27 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$. Чему равна амплитуда установившихся вынужденных колебаний, если не учитывать массу балки?
Oтвет: $2,032 \cdot 10^{-4} \mathrm{M}$
Рис. А.1.6.3
1.6.4. Стальная балка, имеющая момент инерции поперечного сечения $I=$ $=1,66 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{4}$, оперта, как показано на рис. A.1.6.4, и несет на незакрепленном конце груз весом $W=2,7 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$. Подсчитать амплитуду установившихся выну-

жденных колебаний груза $W$, если опора $A$ совершает малые вертикальные колебания вида $y_{A}=d \sin \omega t$, где $d=3,05 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}, \omega=30 \mathrm{c}^{-1}$. Опора $B$ неподвижна, а влиянием массы балки можно пренебречь.
Oтвет: $3,33 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}$.
Рис. А.1.6.4
1.6.5. Груз весом $W=5,45 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$ установлен в середине пролета свободно опертой балки (рис. А.1.6.5), изготовленной из двух стальных швеллеров ( $I=$ $\left.=2 \cdot 7,24 \cdot 10^{-6}=1,45 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{4}\right)$. Пренебрегая весом балки, определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний груза $W$, если к концу балки приложен, как показано на рисунке, периодически изменяющийся изгибающий, момент $M=$ $=M_{1} \cos \omega t$ и дано, что $\omega=0,90 p, M_{1}=1,16 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot$ м.
Omвem: $1,153 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}$.
Рис. А.1.6.5
1.6.6. Электродвигатель весом $W=7,26 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$ установлен в середине пролета балки (см. рис. 1.6.3), изготовленной из двух двутавров, с моментом инерции $I=2,7 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{4}$ и длиной $3,66 \mathrm{~m}$. Если частота вращения ротора электродвигателя равна 600 мин $^{-1}, E=2,1 \cdot 10^{11} \mathrm{H} / \mathrm{m}^{2}$ и ротор имеет неуравновешенный вес величиной $18,2 \mathrm{H}$ на радиусе 0,254 м, то чему будет равна амплитуда установившихся вынужденных колебаний? Массой обеих балок можно пренебречь.
Omвет: $1,03 \cdot 10^{-4} \mathrm{M}$.
1.6.7. Для случая, представленного в задаче 1.6.6, предположить, что ось ротора располагается на расстоянии 0,51 м от поверхности крепления электродвигателя, который установлен на верхней полке балки. Қакова будет амплитуда установившихся вынужденных угловых колебаний, обусловленных действнем горизонтальной составляющей силы $P \cos \omega t$, если момент инерции электродвигателя относительно оси его ротора равен $1,16 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{c}^{-2}$ ?
Ответ: $5.14 \cdot 10^{-5}$ рад.
1.6.8. Предположить, что электродвигатель в задаче 1.6 .6 остановлен, но опоры $A$ и $B$ балки перемещаются вертикально с ускорением, изменяющимся по закону, задаваемому выражением (и). Определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний электродвигателя относительно основания, если дано: $a=1,02 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2} ; \omega=60 \mathrm{paz} / \mathrm{c}$.
Omвem : $4,88 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}$.