Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
При обсуждении в гл. 1 колебательных свойств систем с одной степенью свободы предполагалось, что сила, возникающая в пружине, всегда пропорциональна ее перемещениям. При этом было обнаружено, что случай вязкого демпфирования, когда демпфирующая сила пропорциональна скорости, гораздо легче поддается рассмотрению, чем другие способы рассеивания энергии. Для того чтобы избежать математических трудностей, в п. 1.10 было введено представление об эквивалентном вязком демпфировании. Кроме того, масса всегда считалась неизменной во времени. В результате сказанного уравнение движения такой системы является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами вида Это уравнение очень хорошо описывает многие практические задачи и играет центральную роль в линейной теории колебаний. Однако имеется также множество физических систем, для которых линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами являются недостаточными для описания движения, поэтому для исследования подобных систем необходимо рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения. Если не учитывать возможности изменения массы, общий вид уравнения движения системы с одной степенью свободы можно представить в следующем виде: В дальнейшем системы с нелинейными характеристиками будем рассматривать как нелинейные системы, их движение как нелинейные колебания, или нелинейное динамическое поведение. С самого начала следует отметить, что принцип наложения, неоднократно использовавшийся в гл. 1, неприменим для нелинейных систем. Например, если увеличить в 2 раза величину функции возмущающей силы, то соответствующие перемещения нелинейной системы не обязательно будут удваиваться. В общем случае нелинейные колебания не являются гармоническими и их частоты изменяются в зависимости от амплитуды. Один из важных типов нелинейности возникает в том случае, когда сила отпора пружины не пропорциональна ее деформациям. На рис. 2.1, а показана кривая зависимости нагрузки от перемещения для нелинейно-упругой «пружины с возрастающей жесткостью», где угол наклона кривой увеличивается с ростом нагрузки. Штриховая линия на рисунке является касательной к кривой в начале координат, ее угол наклона Пример системы, имеющей характеристику типа пружины с. возрастающей жесткостью и несимметричной характеристикой восстанавливающей силы, представлен на рис. предварительно напряжен растягивающей силой, обозначенной буквой В уравнении (а) через После подстановки этих соотношений в уравнение (а) получим Это точное нелинейное уравнение движения можно заменить более простым (но менее точным), воспользовавшись приблнженными соотношениями Подставив эти соотношения в уравнение (a), получим Это дифференциальное уравнение, приближенно описывающее движение, содержит член с Следует отмєтить, что нелинейность системы на рис. 2.2 , связана с рассмотрением геометрии системы при больших перемещениях, а не с нелинейными свойствами материала троса. Другой пример геометрической нелинейности представляется простым малтником весом станавливающий момент относительно точки подвеса Подставляя в это уравнение выражение Для малых амплитудфункции Рис. 2.3 как простое гармоническое. Если же амплитуда не мала, восстанавливающий момент пропорционален функции В этом случае видно, что угол наклона кривой, описывающей зависимость восстанавливающего момента от угла При сравнении уравнений (2.3б) и (2.4б) обнаруживается, что нелинейные члены в них должны стремиться компенсировать друг друга в комбинированной системе типа, показанной на рис. 2.4. Следовательно, с помощью горизонтального предварительно напряженного троса Если динамические нагрузки, действующие на строительное сооружение или часть какой-либо машины, вызывают появление деформаций, превышающих предел упругости материала, результирующее движение называется неупругим. Хотя при нормальных условиях работ обычно не допускается выход из упругой области, для инженеров-конструкторов часто представляется интересным увеличить долговечность конструкции или установки, работающих в экстремальных условиях. Например, здание при интенсивном нагружении от взрыва или землетрясения будет деформироваться неупруго. На рис. 2.7, а представлена схема идеализированной прямоугольной стальной рамы здания, на которую действует боковая нагрузка нагрузки материал ведет себя как упругий (участок кривой 3 на рис. 2.7, б). Эта часть диаграммы представляет собой прямую линию, параллельную линии 1 участка упругого нагружения. Если затем прикладывается нагрузка в противоположном направлении, появляются участки кривых 4 и 5 на рис. 2.7, б; следующая затем разгрузка описывается линией 6 . Эксперименты показывают, что если максимальные положительная Криволинейные участки диаграммы на рис. 2.7, б зачастую заменяют прямыми линиями, приближенно описывающими действительное поведение системы. Подобная упрощенная диаграмма зависимости нагрузки от перемещения, называемая билинейной неупругой восстанавливающей силой, показана на рис. 2.7 , в. Она представляет две параллельные линии 2 и 4 , характеризующие неупругое поведение системы, и семейство параллельных линий (линии 1 и 3 — типичные представители этого семейства), характеризующих упругое поведение. Если углы наклона линий 2 и 4 равны нулю, как показано на рис. 2.7, , диаграмма описывает упругопластическую востанавливающую силу. Таким образом, когда поведение системы предполагается либо идеально упругим, либо идеально пластическим, график зависимости силы Рассматриваемая при исследовании упругопластического поведения балок и рам петля гистерезиса представляет собой дискретную макроскопическую форму конструкционного демпфирования, которое обсуждалось выше в п. 1.10. В данном случае предполагается, что все рассеивание энергии происходит в пластических шарнирах, а в самой конструкции энергия сохраняется неизменной. Назовем описанный механизм рассеивания упругопластическим демпфированием, которое представляет собой частный случай гистерезисного демпфированил. При этом усилия представляются кусочно-линейными функциями перемещения и имеют некоторое сходство с кулоновским трением, которое также относится к типу гистерезисного демпфирования, рассмотренного в п. 1.10. На рис. 2.8 , Рис. 2.8 жена система с одной степенью свободы с сопротивлением в виде силы трения Интересно отметить, что если тангенсы углов наклона линий типа 1 и 3 (см. рис. 2.7, г) взять равными бесконечности, а тангенсы углов наклона линий типа 2 и 4 (рис. 2.8, б) положить равными нулю, обе задачи, представленные на этих рисунках, станут идентичными с математической точки зрения. Предыдущая задача относилась к случаю жесткопластической восстанавливающей силы, когда деформация элемента в упругой области предполагается малой по сравнению с деформациями материала в пластической области. С другой стороны, эта задача описывает повышение груза без пружины, когда его движению препятствует только трение. Как уже упоминалось в п. 1.10, все известные механизмы рассеивания, за исключением вязкого демпфирования, приводят к нелинейным колебаниям. Например, жидкостное (или осуществляемое по закону «скорость в квадрате») демпфирование обусловлено пропорциональным стики демпфирования и жесткости колебательной системы не изменяются во времени и что функция возмущающей силы не зависит от перемещения, скорости и ускорения. Упомянутые предположения позволяют рассматривать задачи устойчивости колебаний, вязкоупругости и автоколебаний *, что выходит за рамки данной книги. ЗАДАЧИ 2.1.1. На рис. А.2.1.1 показана сосредоточенная масса Omвem: где Omвem: Рис. А.2.1.5
|
1 |
Оглавление
|