При обсуждении в гл. 1 колебательных свойств систем с одной степенью свободы предполагалось, что сила, возникающая в пружине, всегда пропорциональна ее перемещениям. При этом было обнаружено, что случай вязкого демпфирования, когда демпфирующая сила пропорциональна скорости, гораздо легче поддается рассмотрению, чем другие способы рассеивания энергии. Для того чтобы избежать математических трудностей, в п. 1.10 было введено представление об эквивалентном вязком демпфировании. Кроме того, масса всегда считалась неизменной во времени. В результате сказанного уравнение движения такой системы является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами вида
\[
m \ddot{x}+c \dot{x}=k x=F(t) .
\]

Это уравнение очень хорошо описывает многие практические задачи и играет центральную роль в линейной теории колебаний. Однако имеется также множество физических систем, для которых линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами являются недостаточными для описания движения, поэтому для исследования подобных систем необходимо рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения.

Если не учитывать возможности изменения массы, общий вид уравнения движения системы с одной степенью свободы можно представить в следующем виде:
\[
m \ddot{x}+F(x, \dot{x}, t)=0 .
\]

В дальнейшем системы с нелинейными характеристиками будем рассматривать как нелинейные системы, их движение как нелинейные колебания, или нелинейное динамическое поведение. С самого начала следует отметить, что принцип наложения, неоднократно использовавшийся в гл. 1, неприменим для нелинейных систем. Например, если увеличить в 2 раза величину функции возмущающей силы, то соответствующие перемещения нелинейной системы не обязательно будут удваиваться. В общем случае нелинейные колебания не являются гармоническими и их частоты изменяются в зависимости от амплитуды.
Рис. 2.1

Один из важных типов нелинейности возникает в том случае, когда сила отпора пружины не пропорциональна ее деформациям. На рис. 2.1, а показана кривая зависимости нагрузки от перемещения для нелинейно-упругой «пружины с возрастающей жесткостью», где угол наклона кривой увеличивается с ростом нагрузки. Штриховая линия на рисунке является касательной к кривой в начале координат, ее угол наклона $k$ характеризует начальную жесткость. Аналогично на рис. 2.1, б представлена кривая зависимости нагрузки от перемещения для нелинейно-упругой «пружины с уменьшающейся жесткостью», где угол наклона касательной уменьшается с увеличением нагрузки. На обоих рисунках кривые симметричны относительно точки начала координат, и в этом случае говорят, что пружина обладает симметричной характеристикой восстанавливающей силы. Если кривая зависимости нагрузки от перемещения несимметрична относительно точки начала координат, то говорят, что имеет место восстанавливающал сила с несимметричной характеристикой.

Пример системы, имеющей характеристику типа пружины с. возрастающей жесткостью и несимметричной характеристикой восстанавливающей силы, представлен на рис. $2.2, a$. Heбольшая масса $m$ укреплена в середине растянутого троса $A B$ длиной $2 l$, который
Рис. 2.2

предварительно напряжен растягивающей силой, обозначенной буквой $S$. Когда масса перемещается в боковом направлении на расстояние $x$ от положения равновесия, в тросе, как показано на рис. $2.2,6$, возникает восстанавливающая сила. Таким образом, система может совершать свободные колебания, для которых уравнєние движения имеет вид
\[
m \ddot{x}+2\left(S+\frac{F E \Delta}{l}\right) \sin \theta=0 .
\]

В уравнении (а) через $F, E$ и $\Delta$ обозначены соответственно площадь поперечного сечения троса, модуль упругости его материала и изменение длины $l$, обусловленное перемещением $x$; угол $\theta$ характе: ризует отклонение троса от вертикали. Из представленной на рис. 2.2 , схемы имеем следующие геометрические соотношения:
\[
\Delta=\sqrt{l^{2}+x^{2}}-l ; \quad \sin \theta=\frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}} .
\]

После подстановки этих соотношений в уравнение (а) получим
\[
m \ddot{x}+2\left[S+\frac{F E\left(\sqrt{l^{2}+x^{2}}-l\right)}{l}\right] \frac{x}{\sqrt{l^{2}+x^{2}}}=0 .
\]

Это точное нелинейное уравнение движения можно заменить более простым (но менее точным), воспользовавшись приблнженными соотношениями
\[
\Delta \approx \frac{x^{2}}{2 l} ; \quad \sin \theta \approx \frac{x}{l} .
\]

Подставив эти соотношения в уравнение (a), получим
\[
m \ddot{x}+\frac{2 S}{l} x+\frac{F E}{l^{3}} x^{3}=0 .
\]

Это дифференциальное уравнение, приближенно описывающее движение, содержит член с $x$ в третьей степени и, следовательно, является еще и нелинейным. Если сила $S$ предварительного напряжения велика, а перемещение мало, то кубическим членом в уравнении (2.36) можно пренебречь. При этом движение массы является почти гармоническим, что определяется остающимися членами. В других случаях необходимо учитывать кубический член; при этом восстанавливающая сила имеет вид, представленный на рис. 2.1, a. Поскольку угол наклона касательной к кривой, описывающей зависимость нагрузки от перемещения, увеличивается с увеличением перемещения, частота колебаний будет увеличиваться с ростом амплитуды.

Следует отмєтить, что нелинейность системы на рис. 2.2 , связана с рассмотрением геометрии системы при больших перемещениях, а не с нелинейными свойствами материала троса. Другой пример геометрической нелинейности представляется простым малтником весом $W$ и длиной $L$ (рис. 2.3). В отклоненном на угол $\varphi$ от вертикали положении на маятник действует равный $W L \sin \varphi$ вос-

станавливающий момент относительно точки подвеса $C$. Таким образом, уравнение вращательного движения относительно точки подвеса принимает вид
\[
\ddot{\varphi}+W L \sin \varphi=0 .
\]

Подставляя в это уравнение выражение $I=W L^{2} / g$ для момента инерции массы, получим
\[
\ddot{\varphi}=\frac{g}{L} \sin \varphi=0 .
\]

Для малых амплитудфункции $\sin \varphi$ примерно равна углу $\varphi$, и тогда движение может рассматриваться

Рис. 2.3 как простое гармоническое. Если же амплитуда не мала, восстанавливающий момент пропорционален функции $\sin \varphi$, которую можно разложить в степенной ряд. Подставляя два первых члена ряда в уравнение (2.4а), найдем
\[
\ddot{\psi}+\frac{g}{L}\left(\varphi-\frac{\varphi^{3}}{6}\right)=0 .
\]

В этом случае видно, что угол наклона кривой, описывающей зависимость восстанавливающего момента от угла $\varphi$, уменьшается с увеличением угла $\varphi$, следовательно, частота колебаний уменьшается с увеличением амплитуды.

При сравнении уравнений (2.3б) и (2.4б) обнаруживается, что нелинейные члены в них должны стремиться компенсировать друг друга в комбинированной системе типа, показанной на рис. 2.4.
Рис. 2.4

Следовательно, с помощью горизонтального предварительно напряженного троса $A B$, соединенного с маятником в точке $D$ перпендикулярно плоскости колебания, можно получить более точное приближение к изохронным колебаниям.
На рис. 2.5, б и 2.6, б показаны графики кусочно-линейных восстанавливающих сил, которые можно рассматривать как приближенные представления непрерывных кривых, изображенных на рис. 2.1, a и б. В действительности эти графики соответствуют линейно упругим разрывным системам (см. рис. 2.5, a и 2.6,a). Хотя пружины на этих рисунках являются линейно упругими, движение масс описывается не непрерывными функциями. Подобные системы будут подробно рассмотрены ниже в п. 2.5. Однако здесь полезно указать на возможность приближенного представления нелинейной восстанавливающей силы кусочно-линейной функции в виде последовательности прямолинейных отрезков ${ }^{2}$.

Если динамические нагрузки, действующие на строительное сооружение или часть какой-либо машины, вызывают появление деформаций, превышающих предел упругости материала, результирующее движение называется неупругим. Хотя при нормальных условиях работ обычно не допускается выход из упругой области, для инженеров-конструкторов часто представляется интересным увеличить долговечность конструкции или установки, работающих в экстремальных условиях. Например, здание при интенсивном нагружении от взрыва или землетрясения будет деформироваться неупруго.

На рис. 2.7, а представлена схема идеализированной прямоугольной стальной рамы здания, на которую действует боковая нагрузка $P$, приложенная на уровне перекрытия. Если жесткость стоек при изгибе меньше жесткости балок при изгибе и нагрузка увеличивается до бесконечности, то на концах стоек образуются так называемые пластические шарниры (ПШ). Зависимость нагрузки $P$ от перемещения $x$ является линейной до значения нагрузки, равного $P_{y 1}$ (см. линию 1 на рис. 2.7, б) и соответствующего моменту возникновения пластических деформаций в материале. Далее эта зависимость (линия 2) переходит в кривую, аналогичную показанной на рис. 2.1 , б для случая пружины с уменьшающейся жесткостью. При снятии

нагрузки материал ведет себя как упругий (участок кривой 3 на рис. 2.7, б). Эта часть диаграммы представляет собой прямую линию, параллельную линии 1 участка упругого нагружения. Если затем прикладывается нагрузка в противоположном направлении, появляются участки кривых 4 и 5 на рис. 2.7, б; следующая затем разгрузка описывается линией 6 . Эксперименты показывают, что если максимальные положительная $P_{\text {м1 }}$ и отрицательная $P_{\text {м2 }}$ силы (т. е. ординаты точек $B$ и $E$ на диаграмме) равны по величине, образуемая при циклическом нагружении петля гисперезиса симметрична относительно начала координат *.

Криволинейные участки диаграммы на рис. 2.7, б зачастую заменяют прямыми линиями, приближенно описывающими действительное поведение системы. Подобная упрощенная диаграмма зависимости нагрузки от перемещения, называемая билинейной неупругой восстанавливающей силой, показана на рис. 2.7 , в. Она представляет две параллельные линии 2 и 4 , характеризующие неупругое поведение системы, и семейство параллельных линий (линии 1 и 3 — типичные представители этого семейства), характеризующих упругое поведение. Если углы наклона линий 2 и 4 равны нулю, как показано на рис. 2.7, , диаграмма описывает упругопластическую востанавливающую силу. Таким образом, когда поведение системы предполагается либо идеально упругим, либо идеально пластическим, график зависимости силы $P$ от $x$ состоит из прямолинейных отрезков. Например, рассмотрим раму, показанную на рис. $2.7, a$, и предположим, что нагрузка $P$ увеличивается до значения $P_{\mathrm{M}}$ (см. точку $A$ на рис. 2.7, г). Если предположить, что пластические шарниры (см. рис. 2.7, a) образуются внезапно, перемещение будет увеличиваться, не сопровождаясь соответствующим ростом нагрузки, как показано участком горизонтальной линии от $A$ до $B$ на рис. 2.7 , г. Уменьшение нагрузки вызывает уменьшение смещения в соответствии с кривой 3 (см. рис. 2.7 , г) и т. д.

Рассматриваемая при исследовании упругопластического поведения балок и рам петля гистерезиса представляет собой дискретную макроскопическую форму конструкционного демпфирования, которое обсуждалось выше в п. 1.10. В данном случае предполагается, что все рассеивание энергии происходит в пластических шарнирах, а в самой конструкции энергия сохраняется неизменной. Назовем описанный механизм рассеивания упругопластическим демпфированием, которое представляет собой частный случай гистерезисного демпфированил. При этом усилия представляются кусочно-линейными функциями перемещения и имеют некоторое сходство с кулоновским трением, которое также относится к типу гистерезисного демпфирования, рассмотренного в п. 1.10. На рис. 2.8 , $a$ изобра-

Рис. 2.8

жена система с одной степенью свободы с сопротивлением в виде силы трения $F$, а на рис. 2.8 , 6 представлена фэрма петли гистерезиса для этого случая. Если после первого приложения силы $P$ не возникает остаточной силы трения, график зависимости силы $P$ от перемещения $x$ представляется линиями 1 и 2 на рис. 2.8, б. Последующее уменьшение, а затем и изменение знака нагружения представляются линиями 3 и 4 ; при этом изменении знака нагрузки приводит к повторному нагружению в соответствии с линиями 5 и 6. В этом случае билинейная диаграмма состоит из двух наклонных линий 2 и 4 (обе линии имеют тангенс наклона, равный жесткости $k$ пружины) и множества вертикальных линий, две из которых представлены в виде линий 3 и 5 .

Интересно отметить, что если тангенсы углов наклона линий типа 1 и 3 (см. рис. 2.7, г) взять равными бесконечности, а тангенсы углов наклона линий типа 2 и 4 (рис. 2.8, б) положить равными нулю, обе задачи, представленные на этих рисунках, станут идентичными с математической точки зрения. Предыдущая задача относилась к случаю жесткопластической восстанавливающей силы, когда деформация элемента в упругой области предполагается малой по сравнению с деформациями материала в пластической области. С другой стороны, эта задача описывает повышение груза без пружины, когда его движению препятствует только трение.

Как уже упоминалось в п. 1.10, все известные механизмы рассеивания, за исключением вязкого демпфирования, приводят к нелинейным колебаниям. Например, жидкостное (или осуществляемое по закону «скорость в квадрате») демпфирование обусловлено пропорциональным $\dot{x}|\dot{x}|$ членом, появляющимся вз्зуравнении движения тела, перемещающегося с высокой скоростью в жидкости. Однако в дальнейшем всегда будем предпола гать, что масса и характери-

стики демпфирования и жесткости колебательной системы не изменяются во времени и что функция возмущающей силы не зависит от перемещения, скорости и ускорения. Упомянутые предположения позволяют рассматривать задачи устойчивости колебаний, вязкоупругости и автоколебаний *, что выходит за рамки данной книги.

ЗАДАЧИ

2.1.1. На рис. А.2.1.1 показана сосредоточенная масса $m$, закрепленная на четырех линейно упругих пружинах, каждая из которых имеет жесткость $k$ и длину $l$ в ненапряженном состоянии. Записать: а) нелинейное уравнение движения с учетом больших перемещений массы в направлении оси $x$; б) приближенное нелинейное уравнение движения с учетом больших перемещений; в) приближенное линейное уравнение при малых перемещениях.
Ответ:
а) $m \ddot{x}+2 k x\left(2-l / \sqrt{l^{2}+x^{2}}\right)=0$;
б) $m \ddot{x}+2 k x\left[1+x^{2} /\left(2 l^{2}\right)\right]=0$;
в) $m \ddot{x}+2 k x=0$.
2.1.2. Показанная на рис. А.2.1.2 система аналогична рассмотренной в задаче 2.1.1, за исключением того, что угол, составляемый:каждой:пружиной ос осью $x$, равен $45^{\circ}$. Записать: а) нелинейное уравнение движения с учетом больших перемещений массы в направлении оси $x$; б) приближенное линейное уравнение движения при малых перемещениях.
Ответ:
a) $m \ddot{x}+2 k\left\{2 x-l\left[\frac{1}{\sqrt{1+1(1+\sqrt{2} x / l)}}-\frac{1}{\sqrt{1+1 /(1-\sqrt{2} x / l)^{2}}}\right]\right\}=0$;
б) $m \ddot{x}+2 k x=0$.
Рис. А.2.1.1
Рис. А.2.1.2
2.1.3. Для прикрепленного к пружине маятника, показанного на рис. А.2.1.3, записать: а) нелинейное уравнение движения с учетом больших углов наклонов; б) приближенное линейное уравнение движения при малых углах наклонов.

Omвem:
a) $\ddot{\varphi}+\frac{g}{l_{1}}\left[\sin \varphi+\frac{F}{W} \cos (\varphi-\theta)\right]=0$,

где
\[
F=k\left(\frac{l_{3}+l_{1} \sin \varphi}{\cos \theta}-l_{2}\right), \quad \theta=\operatorname{arctg}\left[\frac{l_{1}(1-\cos \varphi)}{l_{2}+l_{1} \sin \varphi}\right] ;
\]
б) $\ddot{\varphi}+\left(\frac{g}{l_{1}}+\frac{k g}{W}\right) \varphi=0$.
2.1.4. Для связанного с пружиной маятника, показанного на рис. А.2.1.4, записать: а) нелинейное уравнение движения с учетом больших поворотов; б) приближенное нелинейное уравнение движения с учетом больших поворотов; в) приближенное линейное уравнение движения при малых углах наклонов.
Oтвет:
a) $\ddot{\varphi}+\frac{g}{l_{1}} \sin \varphi+\frac{k g}{W l_{1}}\left(l_{1}+l_{2}\right)\left[1-\frac{l_{2}}{\sqrt{l_{2}^{2}+2 l_{1}\left(l_{1}+l_{2}\right)(1-\cos \varphi)}}\right] \times$
\[
\times \sin \varphi=0 \text {; }
\]
б) $\ddot{\varphi}+\frac{g}{l_{1}} \varphi+\frac{g}{2}\left[\frac{k}{W}\left(\frac{l_{1}}{l_{2}}+1\right)^{2}-\frac{1}{3 l_{1}}\right] \varphi^{3}=0$;
в) $\ddot{\varphi}+\frac{g}{l_{1}} \varphi=0$.
Рис. А.2.1.3
Рис. А.2.1.4
2.1.5. На рисунке показана масса, связанная с установленной наклонно пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна $l$. . В одном из устойчивых равновесных положениях пружина наклонена к горизонту, как показано на рис. А.2.1.5, под углом $\theta$. Записать нелинейное уравнение движения этой системы с учетом больших перемещений в направлении оси $x$.

Omвem:
\[
m \ddot{x}+k\left[x-l \cos \theta+\frac{l(l \cos \theta-x)}{\sqrt{l^{2}+x^{2}-2 l x \cos \theta}}\right]=0 .
\]
2.1.6. В перевернутом маятнике имеется линейно упругая спиральная пружина, установленная на опоре (рис. А.2.1.6). Записать нелинейное уравнение движения с учетом больших углов наклона этой системы.
Omвem:
\[
\ddot{\varphi}+\frac{k_{\mathrm{K}} g}{W l^{2}} \varphi-\frac{g}{l} \sin \varphi=0 .
\]

Рис. А.2.1.5
Рис. А.2.1.6