Главная > Колебания в инженерном деле" (С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Хорошо известно, что нагрузка, движущаяся по мосту или балке, вызывает в последних бо́льшие прогибы и напряжения, нежели при статическом приложении той же самой нагрузки. Учет влияния движущихся нагрузок на конструкции мостов имеет очень важное практическое значение, поэтому многие инженеры трудились над решением данной задачи.* В этом параграфе будет обсуждаться случай движущейся нагрузки, которая воздействует на балку либо как постоянная, либо как изменяющаяся во времени сила. Будет учтена распределенная масса стержня, но масса самой нагрузки рассматриваться не будет. Системы, в которых учитывается влияние массы нагрузки (как подпружиненной, так и неподпружиненной), описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, поскольку положение нагрузки меняется непрерывным образом. Исследование такой системы становится довольно сложным делом и выходит за рамки этой книги.

Рассмотрим ** сначала движущуюся нагрузку P, направленную вниз и перемещающуюся по свободно опертому стержню слева направо с постоянной скоростью v, как показано на рис. 5.25, a. Предположив, что в момент времени t=0 нагрузка находилась над левой опорой, видим, что в произвольный момент времени t расстояние между левой опорой и нагрузкой будет равно vt. Возмож-

Рис. 5.25

ная работа, совершаемая вертикальной силой на возможном перемещении δyi=δφiXi при i-й собственной”форме колебаний стержня,
δWpi=PδφiXi1=Pδφisiniπvtl.

Используя это выражение для возможной работы движущейся нагрузки, а также выражение, полученное в п. 5.13, найдем искомое выражение для динамических прогибов
y=2Pl3mπ2i=1sin(iπx/l)i2(i2π2a2v2l2)siniπvtl++2Pl4vmπ3ai=1sin(iπx/l)i3(i2π2a2v2l2)sini2π2atl2.

Первый ряд, входящий в это решение, описывает вынужденные колебания, второй ряд относится к свободным колебаниям стержня.

Если скорость v движения силы очень мала и в приведенном выше решении можно положить v=0 и vt=x1, тогда получим
y=2Pl3mπ4a2i=11i4siniπxlsiniπx1l.

Это выражение представляет статический прогиб стержня при действии силы P, приложенной на расстоянии x1 от лево\» опоры. Используя обозначение
α2=v2ap1=v2l2a2π2.

и равенство ma2=EI, можно часть решения (5.138), относящуюся к вынужденным колебаниям, представить в следующей форме:
y=2Pl3EIπ4i=1sin(iπx/l)sin(iπvt/l)i2(i2α2).

Интересно отметить, что это выражение для прогиба совпадает с выражением для прогиба стержня при статическом приложении поперечной нагрузки P3 на расстоянии x1=vt от левой опоры и продольной сжимающей силы S вида
SSHp=Sl2EIπ2=α2,

где Sкр  — эйлерова критическая нагрузка для продольно сжатого стержня. Из соотношений (в) и (д) имеем
Sl2Elπ2=v2l2a2π2

или
S=mv2.

С другой стороны, влияние этой силы на статические прогибы стержня, на который действует нагрузка P, эквивалентно влиянию скорости движущейся силы P на динамические прогибы (г) при вынужденных колебаниях стержня.

Если увеличивать скорость v, возникает ситуация, при которой один из знаменателей в выражении (5.138) станет равным нулю. Пусть, например, имеем
v2l2=a2π2.

В этом случае период основной формы колебаний стержня τ1= =2π/p1=2l2/(aπ) становится равным 2l/ и в 2 раза превышает время, которое требуется силе P для прохождения длины стержня. При выполнении условия (ж) знаменатели первых членов обоих рядов, составляющих выражение (5.138), становятся равными нулю, при этом сумма этих двух членов ряда
y=2Pl3mπ2(sinπxl)sin(πvt/l)(lv/πa)sin(π2at/l2)π2a2v2l2.

Это выражение представляет неопределенность вида 0/0, для которой имеем
limvaπ/ly=PtmπvcosπvtlsinπxlPlmπ2v2sinπvtlcosπxl.

Выражение (и) имеет максимальное значение при t=l/v, что дает
ymax=Plmπ2v2(sinπvtlπvtlcosπvtl)t=l/vsinπxl==Pl3Elπ3sinπxl.

Поскольку выражение (и) дает достаточно хорошее приближение для динамических прогибов, точное выражение для которых (5.138) получено выше, видим, что максимальное значение динамических прогибов при выполнении условия (ж) резонанса примерно на 50% больше, чем максимальный статический прогиб:
yct=Pl348EI.

Интересно отметить, что свое максимальное значение динамический прогиб приобретает в момент, когда сила P достигает противоположного конца балки. В этот момент прогиб в точке приложения силы P равен нулю, поэтому работа, совершаемая этой силой при движении по стержню, очевидно, также равна нулю. Для того чтобы выяснить источник энергии, накопленной в колеблющемся стержне при движении по ней силы P, предположим, что трение скольжения отсутствует и что стержень при изгибе статической силой P дает составляющую R, направленную по нормали к упругой кривой (рис. 5.25, б). Из условия равновесия следует, что при этом должна возникать горизонтальная сила P(y/x). Работа, совершаемая этой силой при ее передвижении по стержню,
W=0t/8P(yx)x=vtvdt.

Подставляя выражение (и) для прогиба y в равенство (м), получим
W=p2mπv20l/v(sinπvtlπvtlcosπvtl)cosπvtlvdt=p2lmπ2v2(π24).

Используя соотношение (ж) и равенство ma2=EI, найдем
W=P2l34EIπ2.

Это значение работы внешней силы очень близко по величине потенциальной энергии изгиба стержня в момент времени t=l/v. Потенциальная энергия изогнутого стержня при действии силы P, приложенной в середине пролета, U=P2l2/(96EI), тогда W/U= =2,43. Полученное отношение очень близко по значению к квадрату отношения максимальных динамических и статических прогибов, т. е. (48/π3)2=2,38. Имеющееся расхождение следует отнести за счет высших форм колебаний.*

Время, необходимое для прохождения длины моста, обычно велико по сравнению с периодом основной формы колебаний, поэтому величина в выражении (в) мала. Тогда, удержав только по одному первому члену в каждом ряду, входящем в выражение (5.138), и приняв за наиболее неблагоприятный случай тот, при котором амплитуды вынужденных и свободных колебаний суммируются, получим следующее выражение для максимального динамического прогиба:
ymax =2Pl3mπ2(1π2a2v2l2+vlaπ1π2a2v2l2)==2Pl3Elπ41+α1α2=2Pl3EIπ411α.

Полученное значение является несколько завышенным, так как при его вычислении полностью исключалось из рассмотрения влияние демпфирования. Используя принцип наложения, можно без труда получить решение для систем с несколькими движущимися сосредоточенными силами и для случая движущихся распределенных сил.

Рассмотрим случай, когда по стержню с постоянной скоростью v движется изменяющаяся во времени сила * P1(t)=Pcosωt. Подобное условие может возникнуть, например, тогда, когда по мосту перемещается неуравновешенное колесо локомотива. Предположим, что в начальный момент времени t=0 сила имеет максимальное значение и направлена вниз. Рассуждая так же, как и выше, найдем, что возможная работа, совершаемая подвижной изменяющейся во времени движущейся силой на перемещении δyi=δφiXi:
δWPi=Pcosωt(δφisiniπvtl).

Используя это выражение для возможной работы, совершаемой движущейся нагрузкой, и рассуждая, как и выше, получим выражение для прогиба
y=Pl3Elπ4i=1siniπxl[sin((iπv/l)+ω)ti4(ψ+iα)2+sin(iπv/lω)ti4(ψiα)2αi(sin(i2π2at/l2)i2α2+(i2ψ)2+sin(i2π2at/l2)i2α2+(i2+ψ)2)]

где α=vl/(πa) — отношение периода τ1=2l2/(πa) основной формы колебаний стержня к удвоенному времени t=l/v, за которое сила пробегает расстояние, равное длине стержня; ψ=τ1/T — отношение периода основной формы колебаний стержня к периоду T= =2π/ω изменения силы.

Когда период T изменения силы равен периоду τ1 основной формы колебаний стержня, имеем ψ=1 и, следовательно, воз. никает условие резонанса. Амплитуда колебаний при движении периодически изменяющейся во времени силы будет постоянно возрастать и достигнет своего максимального значения в момент времени t=l/v. Для этого момента времени, удерживая только первые члены (при l=1 ) в рядах, стоящих в правой части выражения (5.140) и дающих наиболее существенный вклад в прогиб y, можно получить
y=2Pl3αEIπ4sinπxlsinωt.

Тогда максимальный динамический прогиб можно найти по формуле
ymax=2Pl3αEIπ4=2lvτ1(2Pl3EIπ4).

Благодаря тому, что в действительности интервал времени t=l/v велик по сравнению с периодом τ1 собственных колебаний, максимальный динамический прогиб, обусловленный периодически изменяющейся силой, будет во много раз большим, чем прогиб 2Pl3/(EIπ4), создаваемый той же силой, приложенной статически в середине пролета стержня.

1
Оглавление
email@scask.ru