Хорошо известно, что нагрузка, движущаяся по мосту или балке, вызывает в последних бо́льшие прогибы и напряжения, нежели при статическом приложении той же самой нагрузки. Учет влияния движущихся нагрузок на конструкции мостов имеет очень важное практическое значение, поэтому многие инженеры трудились над решением данной задачи.* В этом параграфе будет обсуждаться случай движущейся нагрузки, которая воздействует на балку либо как постоянная, либо как изменяющаяся во времени сила. Будет учтена распределенная масса стержня, но масса самой нагрузки рассматриваться не будет. Системы, в которых учитывается влияние массы нагрузки (как подпружиненной, так и неподпружиненной), описываются дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, поскольку положение нагрузки меняется непрерывным образом. Исследование такой системы становится довольно сложным делом и выходит за рамки этой книги.

Рассмотрим ** сначала движущуюся нагрузку $P$, направленную вниз и перемещающуюся по свободно опертому стержню слева направо с постоянной скоростью $v$, как показано на рис. 5.25, $a$. Предположив, что в момент времени $t=0$ нагрузка находилась над левой опорой, видим, что в произвольный момент времени $t$ расстояние между левой опорой и нагрузкой будет равно vt. Возмож-

Рис. 5.25

ная работа, совершаемая вертикальной силой на возможном перемещении $\delta y_{i}=\delta \varphi_{i} X_{i}$ при $i$-й собственной”форме колебаний стержня,
\[
\delta W_{p i}=-P \delta \varphi_{i} X_{i 1}=-P \delta \varphi_{i} \sin \frac{i \pi v t}{l} .
\]

Используя это выражение для возможной работы движущейся нагрузки, а также выражение, полученное в п. 5.13, найдем искомое выражение для динамических прогибов
\[
\begin{array}{l}
y=-\frac{2 P l^{3}}{m \pi^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sin (i \pi x / l)}{i^{2}\left(i^{2} \pi^{2} a^{2}-v^{2} l^{2}\right)} \sin \frac{i \pi v t}{l}+ \\
+\frac{2 P l 4 v}{m \pi^{3} a} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sin (i \pi x / l)}{i^{3}\left(i^{2} \pi^{2} a^{2}-v^{2} l^{2}\right)} \sin \frac{i^{2} \pi^{2} a t}{l^{2}} .
\end{array}
\]

Первый ряд, входящий в это решение, описывает вынужденные колебания, второй ряд относится к свободным колебаниям стержня.

Если скорость $v$ движения силы очень мала и в приведенном выше решении можно положить $v=0$ и $v t=x_{1}$, тогда получим
\[
y=-\frac{2 P l^{3}}{m \pi^{4} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} .
\]

Это выражение представляет статический прогиб стержня при действии силы $P$, приложенной на расстоянии $x_{1}$ от лево\” опоры. Используя обозначение
\[
\alpha^{2}=\frac{v^{2}}{a p_{1}}=\frac{v^{2} l^{2}}{a^{2} \pi^{2}} .
\]

и равенство $m a^{2}=E I$, можно часть решения (5.138), относящуюся к вынужденным колебаниям, представить в следующей форме:
\[
y=-\frac{2 P l^{3}}{E I \pi^{4}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sin (i \pi x / l) \sin (i \pi v t / l)}{i^{2}\left(i^{2}-\alpha^{2}\right)} .
\]

Интересно отметить, что это выражение для прогиба совпадает с выражением для прогиба стержня при статическом приложении поперечной нагрузки $P_{3}$ на расстоянии $x_{1}=v t$ от левой опоры и продольной сжимающей силы $S$ вида
\[
\frac{S}{S_{\mathrm{Hp}}}=\frac{S l^{2}}{E I \pi^{2}}=\alpha^{2},
\]

где $S_{\text {кр }}$ – эйлерова критическая нагрузка для продольно сжатого стержня. Из соотношений (в) и (д) имеем
\[
\frac{S l^{2}}{E l \pi^{2}}=\frac{v^{2} l^{2}}{a^{2} \pi^{2}}
\]

или
\[
S=m v^{2} .
\]

С другой стороны, влияние этой силы на статические прогибы стержня, на который действует нагрузка $P$, эквивалентно влиянию скорости движущейся силы $P$ на динамические прогибы (г) при вынужденных колебаниях стержня.

Если увеличивать скорость $v$, возникает ситуация, при которой один из знаменателей в выражении (5.138) станет равным нулю. Пусть, например, имеем
\[
v^{2} l^{2}=a^{2} \pi^{2} .
\]

В этом случае период основной формы колебаний стержня $\tau_{1}=$ $=2 \pi / p_{1}=2 l^{2} /(a \pi)$ становится равным $2 l /$ и в 2 раза превышает время, которое требуется силе $P$ для прохождения длины стержня. При выполнении условия (ж) знаменатели первых членов обоих рядов, составляющих выражение (5.138), становятся равными нулю, при этом сумма этих двух членов ряда
\[
y=-\frac{2 P l^{3}}{m \pi^{2}}\left(\sin \frac{\pi x}{l}\right) \frac{\sin (\pi v t / l)-(l v / \pi a) \sin \left(\pi^{2} a t / l^{2}\right)}{\pi^{2} a^{2}-v^{2} l^{2}} .
\]

Это выражение представляет неопределенность вида $0 / 0$, для которой имеем
\[
\lim _{v \rightarrow a \pi / l} y=\frac{P t}{m \pi v} \cos \frac{\pi v t}{l} \sin \frac{\pi x}{l}-\frac{P l}{m \pi^{2} v^{2}} \sin \frac{\pi v_{t}}{l} \cos \frac{\pi x}{l} .
\]

Выражение (и) имеет максимальное значение при $t=l / v$, что дает
\[
\begin{array}{c}
y_{\max }=-\frac{P l}{m \pi^{2} v^{2}}\left(\sin \frac{\pi v t}{l}-\frac{\pi v t}{l} \cos \frac{\pi v t}{l}\right)_{t=l / v} \sin \frac{\pi x}{l}= \\
=-\frac{P l^{3}}{E l \pi^{3}} \sin \frac{\pi x}{l} .
\end{array}
\]

Поскольку выражение (и) дает достаточно хорошее приближение для динамических прогибов, точное выражение для которых (5.138) получено выше, видим, что максимальное значение динамических прогибов при выполнении условия (ж) резонанса примерно на $50 \%$ больше, чем максимальный статический прогиб:
\[
y_{\mathrm{ct}}=-\frac{P l^{3}}{48 E I} .
\]

Интересно отметить, что свое максимальное значение динамический прогиб приобретает в момент, когда сила $P$ достигает противоположного конца балки. В этот момент прогиб в точке приложения силы $P$ равен нулю, поэтому работа, совершаемая этой силой при движении по стержню, очевидно, также равна нулю. Для того чтобы выяснить источник энергии, накопленной в колеблющемся стержне при движении по ней силы $P$, предположим, что трение скольжения отсутствует и что стержень при изгибе статической силой $P$ дает составляющую $R$, направленную по нормали к упругой кривой (рис. 5.25, б). Из условия равновесия следует, что при этом должна возникать горизонтальная сила $P(\partial y / \partial x)$. Работа, совершаемая этой силой при ее передвижении по стержню,
\[
W=\int_{0}^{t / 8} P\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_{x=v t} v d t .
\]

Подставляя выражение (и) для прогиба $y$ в равенство (м), получим
\[
W=-\frac{p^{2}}{m \pi v^{2}} \int_{0}^{l / v}\left(\sin \frac{\pi v t}{l}-\frac{\pi v t}{l} \cos \frac{\pi v t}{l}\right) \cos \frac{\pi v t}{l} v d t=\frac{p^{2} l}{m \pi^{2} v^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{4}\right) .
\]

Используя соотношение (ж) и равенство $m a^{2}=E I$, найдем
\[
W=\frac{P^{2} l^{3}}{4 E I \pi^{2}} .
\]

Это значение работы внешней силы очень близко по величине потенциальной энергии изгиба стержня в момент времени $t=l / v$. Потенциальная энергия изогнутого стержня при действии силы $P$, приложенной в середине пролета, $U=P^{2} l^{2} /(96 E I)$, тогда $W / U=$ $=2,43$. Полученное отношение очень близко по значению к квадрату отношения максимальных динамических и статических прогибов, т. е. $\left(48 / \pi^{3}\right)^{2}=2,38$. Имеющееся расхождение следует отнести за счет высших форм колебаний.*

Время, необходимое для прохождения длины моста, обычно велико по сравнению с периодом основной формы колебаний, поэтому величина в выражении (в) мала. Тогда, удержав только по одному первому члену в каждом ряду, входящем в выражение (5.138), и приняв за наиболее неблагоприятный случай тот, при котором амплитуды вынужденных и свободных колебаний суммируются, получим следующее выражение для максимального динамического прогиба:
\[
\begin{array}{l}
y_{\text {max }}=-\frac{2 P l^{3}}{m \pi^{2}}\left(\frac{1}{\pi^{2} a^{2}-v^{2} l^{2}}+\frac{v l}{a \pi} \frac{1}{\pi^{2} a^{2}-v^{2} l^{2}}\right)= \\
=-\frac{2 P l^{3}}{E l \pi^{4}} \frac{1+\alpha}{1-\alpha^{2}}=-\frac{2 P l^{3}}{E I \pi^{4}} \frac{1}{1-\alpha} .
\end{array}
\]

Полученное значение является несколько завышенным, так как при его вычислении полностью исключалось из рассмотрения влияние демпфирования. Используя принцип наложения, можно без труда получить решение для систем с несколькими движущимися сосредоточенными силами и для случая движущихся распределенных сил.

Рассмотрим случай, когда по стержню с постоянной скоростью $v$ движется изменяющаяся во времени сила * $P_{1}(t)=-P \cos \omega t$. Подобное условие может возникнуть, например, тогда, когда по мосту перемещается неуравновешенное колесо локомотива. Предположим, что в начальный момент времени $t=0$ сила имеет максимальное значение и направлена вниз. Рассуждая так же, как и выше, найдем, что возможная работа, совершаемая подвижной изменяющейся во времени движущейся силой на перемещении $\delta y_{i}=\delta \varphi_{i} X_{i}:$
\[
\delta W_{P i}=-P \cos \omega t\left(\delta \varphi_{i} \sin \frac{i \pi v t}{l}\right) .
\]

Используя это выражение для возможной работы, совершаемой движущейся нагрузкой, и рассуждая, как и выше, получим выражение для прогиба
\[
\begin{aligned}
y=- & \frac{P l^{3}}{E l \pi^{4}} \sum_{i=1}^{\infty} \sin \frac{i \pi x}{l}\left[\frac{\sin ((i \pi v / l)+\omega) t}{i^{4}-(\psi+i \alpha)^{2}}+\frac{\sin (i \pi v / l-\omega) t}{i^{4}-(\psi-i \alpha)^{2}}-\right. \\
& \left.-\frac{\alpha}{i}\left(\frac{\sin \left(i^{2} \pi^{2} a t / l^{2}\right)}{-i^{2} \alpha^{2}+\left(i^{2}-\psi\right)^{2}}+\frac{\sin \left(i^{2} \pi^{2} a t / l^{2}\right)}{-i^{2} \alpha^{2}+\left(i^{2}+\psi\right)^{2}}\right)\right]
\end{aligned}
\]

где $\alpha=v l /(\pi a)$ – отношение периода $\tau_{1}=2 l^{2} /(\pi a)$ основной формы колебаний стержня к удвоенному времени $t=l / v$, за которое сила пробегает расстояние, равное длине стержня; $\psi=\tau_{1} / T$ – отношение периода основной формы колебаний стержня к периоду $T=$ $=2 \pi / \omega$ изменения силы.

Когда период $T$ изменения силы равен периоду $\tau_{1}$ основной формы колебаний стержня, имеем $\psi=1$ и, следовательно, воз. никает условие резонанса. Амплитуда колебаний при движении периодически изменяющейся во времени силы будет постоянно возрастать и достигнет своего максимального значения в момент времени $t=l / v$. Для этого момента времени, удерживая только первые члены (при $l=1$ ) в рядах, стоящих в правой части выражения (5.140) и дающих наиболее существенный вклад в прогиб $y$, можно получить
\[
y=\frac{-2 P l^{3}}{\alpha E I \pi^{4}} \sin \frac{\pi x}{l} \sin \omega t .
\]

Тогда максимальный динамический прогиб можно найти по формуле
\[
y_{\max }=-\frac{2 P l^{3}}{\alpha E I \pi^{4}}=-\frac{2 l}{v \tau_{1}}\left(\frac{2 P l^{3}}{E I \pi^{4}}\right) .
\]

Благодаря тому, что в действительности интервал времени $t=l / v$ велик по сравнению с периодом $\tau_{1}$ собственных колебаний, максимальный динамический прогиб, обусловленный периодически изменяющейся силой, будет во много раз большим, чем прогиб $2 \mathrm{Pl}^{3} /\left(E I \pi^{4}\right)$, создаваемый той же силой, приложенной статически в середине пролета стержня.