Рассмотрим теперь возмущающую силу $P=F(t)$, приложенную к правому концу призматического стержня, показанного на рис. 5.2, a. Свободные колебания этого стержня рассматривались в предыдущем параграфе, поэтому нормальные функции для данного случая можем записать в виде
\[
X_{i}=D_{i} \sin (i \pi x / 2 l), i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]

Произвольного вида перемещение $u=f(x)$ можно получить, пров суммировав перемещения, соответствующие нормальным формам колебаний (а). Следовательно, перемещения при колебаниях, обусловленных действием возмущающей силы $P_{1}$, можно представить в виде следующего ряда:
\[
u=\varphi_{1} \sin \frac{\pi x}{2 l}+\varphi_{3} \sin \frac{3 \pi x}{2 l}+\cdots=\sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \varphi_{i} \sin \frac{i \pi x}{2 l},
\]

где $\varphi_{1}, \varphi_{3}, \varphi_{5}, \ldots$ — некоторые неизвестные функции времени. В случае свободных колебаний эти функции равны выражениям, стоящим в скобках в представлении (5.7). Для того чтобы определить эти функции применительно к случаю вынужденных колебаний, воспользуемся принципом возможной работы. Здесь необходимо рассмотреть три вида сил: силу инерции, действующую на каждый малый элемент колеблющегося стержня; силу упругости, действующую на каждый элемент и обусловленную деформацией стержня, и, наконец, возмущающую силу, приложенную к концу стержня. В качестве возможного перемещения можно взять произвольное продольное перемещение $\delta u$, удовлетворяющее условию непрерывности деформаций и заданному условию на жестко закрепленном конце $\left(\delta u_{x=0}=0\right)$. Удобнее взять возможные перемещения в виде нормальных функций, описываемых выражением (a):
\[
\delta u_{i}=X_{i}=D_{i} \sin (i \pi x / 2 l) .
\]

Учитывая, что масса малого элемента стержня, заключенного между двумя смежными поперечными сечениями, равна $\rho F d x$, найдем работу, совершаемую силами инерции на заданном возможном перемещении:
\[
\delta W_{\mathrm{U}}=\int_{0}^{l}(-\rho F d x) \ddot{u} \delta u_{i}=-\rho F \int_{0}^{l} \ddot{u} D_{i} \sin \frac{i \pi x}{2 l} d x .
\]

Подставляя в это выражение представление (и) в виде ряда (5.8) и учитывая, что
\[
\int_{0}^{l} \sin \frac{i \pi x}{2 l} \sin \frac{j \pi x}{2 l} d x=0 ; \quad \int_{0}^{l} \sin ^{2} \frac{i \pi x}{2 l} d x=l / 2,
\]

получим
\[
\delta W_{\mathrm{U}}=-\frac{\rho F l}{2} D_{i} \ddot{\varphi}_{i} .
\]

Для того чтобы подсчитать работу $\delta W_{\mathrm{y}}$, совершаемую упругими силами, заметим, что на каждый элемент действует сила $E F u^{\prime \prime} d x$, и тогда получим
\[
\delta W \mathrm{y}=\int_{0}^{l}\left(E F u^{\prime \prime} d x\right) \delta u_{i}
\]

Подставляя в это выражение вторую производную представления (5.8) по $x$ и используя выражение (б) для $\delta u_{i}$, найдем
\[
\delta W_{\mathrm{y}}=-\frac{i^{2} \pi^{2} E F}{8 l} D_{i} \varphi_{i} .
\]

В последующих параграфах при подсчете возможной работы, совершаемой упругими силами, будет удобно сначала определить энергию деформации тела. В рассматриваемом случае с упругим стержнем энергия деформации
\[
u=\frac{1}{2} \int_{0}^{l} E F(\partial u / \partial x)^{2} d x .
\]

Подставляя сюда представление в форме тригонометрического ряда (5.8) для функции и и учитывая равенства
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{l} \cos \frac{i \pi x}{2 l} \cos \frac{j \pi x}{2 l} d x=0 ; \\
\int_{0}^{l} \cos ^{2} \frac{i \pi x}{2 l} d x=\frac{l}{2},
\end{array}
\]

найдем окончательное выражение для энергии деформации
\[
U=\frac{i^{2} \pi^{2} E F}{16 l} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \varphi_{i}^{2} .
\]

Отсюда видно, что величина энергии деформации стержня в любой момент времени зависит от величин $\varphi_{i}$, определяющих перемещение стержня. Если одной из этих величин задать приращение $\delta \varphi_{i}$, то соответствующее перемещение
\[
\delta u_{i}=\delta \varphi_{i} \sin (i \pi x / 2 l),
\]

а соответствующее приращение энергии деформации
\[
\delta U=\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}} \delta \varphi_{i}=\frac{i^{2} \pi^{2} E F}{8 l} \varphi_{i} \delta \varphi_{i} .
\]

Той же самой величине, взятой с отрицательным знаком, будет равна работа упругих сил на перемещении (ж). Для того чтобы получить работу упругих сил на возможном перемещении (б), необходимо заменить $\delta \varphi_{i}$ на $D_{i}$, что следует из сравнения выражений (б) и (ж). Таким образом, видим, что работа, определяемая выражением
\[
\delta W_{\mathrm{y}}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}}=-\frac{i^{2} \pi^{2} E F}{8 l} \varphi_{i} D_{i},
\]

равна работе, определяемой выражением (г).
Для того чтобы определить возможную работу $\delta W_{P}$ возмущающей силы $P$, приложенной на конце стержня, заметим, что возмож-

ное перемещение этого конца получается подстановкой $x=l$ в выражение (б), и тогда указанная возможная работа
\[
\delta W_{p}=P D_{i} \sin \frac{i \pi}{2}=P D_{i}(-1)^{(i-1) / 2} .
\]

Суммируя выражения (в), (и) и (к), найдем выражение для полной возможной работы. Приравнивая это выражение нулю, получим
\[
\frac{\rho F l}{2} \ddot{\varphi}_{i}+\frac{i^{2} \pi^{2} E F}{8 l} \varphi_{i}=P(-1)^{(i-1) / 2}
\]

или
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=\frac{2}{\rho F l} P(-1)^{(i-1) / 2},
\]

где $p_{i}=i \pi a / 2 l ; i=1,3,5, \ldots$ Отметим, что, как и следовало ожидать, постоянная $D_{i}$, определяющая мгновенное значение возможного перемещения (б), в уравнении (л) сократилась.

Каждую из величин $\varphi_{i}$, входящую в ряд (5.8), можно легко найти, решив уравнение (л), если известно выражение для $P$ как функции от времени. Если начальные перемещения и скорости равны нулю, необходимо рассмотреть только колебания, обусловленные возмущающей силой $P$. Представив решение уравнения (л) в форме интеграла Дюамеля, найдем
\[
\varphi_{i}=\frac{4(-1)^{(i-1) / 2}}{i \pi a \rho F} \int_{0}^{t} P \sin \left[\frac{i \pi a}{2 l}\left(t-t^{\prime}\right)\right] d t^{\prime} .
\]

Подставляя представление (м) в выражение (5.8), получим выражение для динамических перемещений стержня, обусловленных действием возмущающей силы $P$ :
\[
u=\frac{4}{\pi a \rho E} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i} \sin \frac{i \pi x}{2 l} \int_{0}^{t} P \sin \left[\frac{i \pi a}{2 l}\left(t-t^{\prime}\right)\right] d t^{\prime} .
\]

В качестве частного примера рассмотрим случай колебаний, возникающих в стержне, когда в момент времени $t=0$ внезапно при) кладывается постоянная сила $P$. Тогда стоящий в выражении (5.9 интеграл легко вычисляется и в результате находим
\[
u=\frac{8 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{2 l}\right) .
\]

Подставляя сюда $x=l$, получаем перемещение на конце стержня
\[
u_{x=l}=\frac{8 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{2 l}\right) .
\]

Видно, что при внезапном приложении силы $P$ в стержне возбуждаются все формы колебаний. Максимальное перемещение возникает

при $t=2 l / a$, поскольку в этот момент времени имеем $1-\cos x$ $\times(i \pi a t / 2 l)=2$, что дает следующее значение перемещения:
\[
(u)_{x=l}=\frac{16 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} .
\]

Учитывая равенства
\[
\sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}}=\frac{\pi^{2}}{8} ; \quad a^{2}=\frac{E}{\rho},
\]

находим $(u)_{x=l}=2 l P /(E F)$. Таким образом приходим к выводу, что внезапно приложенная нагрузка $P$ вызывает в 2 раза большее перемещение, чем эта же нагрузка при статическом приложении.

В качестве второго примера рассмотрим продольные динамические перемещения стержня с обоими незакрепленными концами * (см. рис. 5.1, a), к концу $x=l$ которого внезапно прикладывается сила $P$. Поступая, как и в предыдущем параграфе, и используя нормальные функции для стержня с обоими незакрепленными концами [см. выражение (5.6) ], продольные перемещения колеблющегося стержня представим в виде следующего ряда:
\[
\begin{array}{c}
u=\varphi_{0}+\varphi_{1} \cos \frac{\pi x}{l}+\varphi_{2} \cos \frac{2 \pi x}{l}+\varphi_{3} \cos \frac{3 \pi x}{l}+\cdots \\
\cdots=\varphi_{0}+\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{i} \cos \frac{i \pi x}{l} .
\end{array}
\]

Первое слагаемое $\varphi_{0}$ описывает движение стержня как абсолютно жесткого тела. На это движение накладываются движения по остальным формам продольных колебаний стержня. Для определения функции $\varphi_{0}$ имеем уравнение
\[
\rho F l \ddot{\varphi}_{0}=P .
\]

Функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}, \ldots$, как и выше, будем определять с помощью принципа возможных перемещений. Взяв для возможного перемещения следующее представление:
\[
\delta u_{i}=C_{i} \cos (i \pi x / l),
\]

найдем работу сил инерции на этом перемещении:
\[
\delta W_{\mathbf{U}}=-\int_{0}^{l} \rho F \ddot{u} C_{i} \cos \frac{i \pi x}{l} d x=\frac{1}{2} \rho F l C_{i} \ddot{\varphi}_{i} .
\]

Энергия деформации колеблющегося стержня в произвольный момент времени
\[
U=\frac{1}{2} \int_{0}^{l} E F\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2} d x=\frac{\pi^{2} E F}{4 l} \sum_{i=1}^{\infty} i^{2} \varphi_{i}^{2},
\]
a работа сил упругости на перемещении (p)
\[
\delta W_{\mathrm{y}}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}} \delta \varphi_{i}=-\frac{i^{2} \pi^{2} E F}{2 l} C_{i} \varphi_{i} .
\]

И, наконец, работа силы $P$ на перемещении (р)
\[
\delta W_{P}=P C_{i} \cos i \pi=C_{i} P(-1)^{i} .
\]

Приравняв нулю сумму выражений (с), (у) и (ф), получим уравнение
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=\frac{2}{\rho F l} P(-1)^{i},
\]

где $p_{i}=i л a / l$. Из этого уравнения и уравнения (и), полагая, что в начальный момент времени стержень находился в покое, получаем
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{0}=\frac{P t^{2}}{2 \rho F l} ; \\
\varphi_{i}=(-1)^{i} \frac{2}{i \pi a \rho F} \int_{0}^{t} P \sin \left[\frac{i \pi a}{l}\left(t-t^{\prime}\right)\right] d t^{\prime}= \\
=\frac{(-1)^{i} 2 l P}{i^{2} \pi^{2} a^{2} \rho F}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в представление (5.10), найдем
\[
u=\frac{P t^{2}}{2 \rho F l}+\frac{2 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i}}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right) .
\]

Для того чтобы найти перемещение того конца стержня, к которому приложена сила $P$, в решение (ш) подставим $x=l$, что дает
\[
(u)_{x=l}=\frac{P t^{2}}{2 \rho F l}+\frac{2 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{2}}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right) .
\]

Для момента времени $t=l / a$ имеем
\[
(u)_{x=l}=\frac{P l}{2 E F}+\frac{4 P l}{\pi^{2} E F}\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots\right)=\frac{P l}{E F} .
\]

В этот момент времени перемещение равно удлинению стержня при действии постоянной растягивающей силы $P$.

Пример 1. Определить динамические перемещения при установившихся вынужденных колебаниях стержня, один конец которого жестко закреплен, а второй свободен (см. рис. 5.2,a), если к незакрепленному концу стержня прикладывается изменяющаяся во времени сила $P=P_{1} \sin \omega t$.

Решение. Уравнение (л) в данном случае принимает вид
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{\bar{i}}^{\ddot{y}} \varphi_{i}=\frac{2(-1)^{(i-1) / 2}}{\rho F l} P_{1} \sin \omega t .
\]

Решая его применительно к случаю установившихся вынужденных колебаний, получим
\[
\varphi_{i}=\frac{2 P_{1}(-1)^{(i-1) / 2}}{\rho F l\left(p_{i}^{2}-\omega^{2}\right)} \sin \omega t .
\]

Подставляя эти функции в представление (5.8), можем найти искомые динамические перемещения при вынужденных колебаниях стержня. Амплитуда колебаний соответствующего типа становится большой, когда частота $\omega$ достигает значения, равного одной трети собственной частоты колебаний стержня.

Пример 2. Буровая штанга представляет стальную трубу длиной 101,6 м. Рассматривая штангу как стержень с незакрепленными концами, определить период колебаний $\tau$ основной формы. Найти, кроме того, перемещение $\delta$ конца $x=l$ в момент времени $t=\tau_{1} / 2$, обусловленное внезапным приложением к этому концу растягивающего напряжения $\sigma=P / F=2,11 \cdot 10^{7}$ Па. Принять, что $E=2,11 \cdot 10^{11}$ Па, $\rho=7,85 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{c}^{2} / \mathrm{m}^{4}$.
Pешение. Скорость распространения звука в стержне
\[
a=\sqrt{E / \rho}=5184 \mathrm{~m} / \mathrm{c},
\]

а период основной формы колебаний $\tau=2 l / a=0,47$ с. Из выражения (э) находим искомое перемещение
\[
\delta=2,11 \cdot 10^{\mathbf{2}} \cdot 101,6 /\left(2,11 \cdot 10^{11}\right)=1,02 \cdot 10^{-2} \mathrm{~m} .
\]

ЗАДАЧИ

5.3.1. Предположим, что в середине пролета стержня с жестко закрепленными концами внезапно прикладывается постоянная продольная сила $P$ (см. рис. 5.3, a). Определить продольные динамические перемещения стержня, который в начальный момент времени находился в покое.
\[
\text { Omвem: } u=\frac{2 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1,3,5}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right) \text {. }
\]
5.3.2. К концу $x=0$ стержня, оба конца которого не закреплены, прикладывается продольная сила $P=P_{1} t / t_{1}$, изменяющаяся по линейному закону во времени. Определить динамические продольные перемещения стержня, если в начальный момент времени стержень находился в покое.
Omвет: $\quad u=\frac{P_{1} t^{3}}{6 \rho F l t_{1}}+\frac{2 l P_{1}}{\pi^{2} a^{2} \rho F t_{1}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{l}\left(t-\frac{l}{i \pi a} \sin \frac{i \pi a t}{l}\right)$.
5.3.3. Определить динамические перемещения при вынужденных установившихся колебаниях жестко закрепленного на конце $x=0$ стержня и не закрепленного на конце $\dot{x}=l$ (см. рис. $52, a$ ), если на него действует равномерно распределенная по его длине сила $\left(P_{1} / l\right) \sin \omega t$.
Omsem: $\quad u=\frac{4 P_{1} \sin \omega t}{\pi \rho F l} \sum_{i=1,3,5}^{\infty} \frac{\sin \left(p_{\imath} x / a\right)}{i\left(p_{i}^{2}-\omega^{2}\right)} ; \quad p_{i}=\frac{i \pi a}{2 l}$.
5.3.4. Рассмотреть стержень, не закрепленный на конце $x=0$ и жестко закрепленный на конце $x=l$. Определить динамические перемещения стержня,
возникающие при внезапном приложении постоянной продольной силы $P$ в среднем сечении стержня $x=l / 2$.
Omвem: $u=\frac{8 l P}{\pi^{2} a^{2} \rho F} \sum_{i=1,3,5}^{\infty} \frac{\cos (i \pi / 4)}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{2 l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{2 l}\right)$.