Рассмотрим теперь возмущающую силу $P=F(t)$, приложенную к правому концу призматического стержня, показанного на рис. 5.2, a. Свободные колебания этого стержня рассматривались в предыдущем параграфе, поэтому нормальные функции для данного случая можем записать в виде
$$X_i=D_i\sin (i\pi x/2l),i=1,3,5,\dots ,\mathrm{\infty }.$$

Произвольного вида перемещение $u=f(x)$ можно получить, пров суммировав перемещения, соответствующие нормальным формам колебаний (а). Следовательно, перемещения при колебаниях, обусловленных действием возмущающей силы $P_1$, можно представить в виде следующего ряда:
$$u={\phi }_1\sin \frac{\pi x}{2l}+{\phi }_3\sin \frac{3\pi x}{2l}+\cdots =\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}{\phi }_i\sin \frac{i\pi x}{2l},$$

где ${\phi }_1,{\phi }_3,{\phi }_5,\dots$ — некоторые неизвестные функции времени. В случае свободных колебаний эти функции равны выражениям, стоящим в скобках в представлении (5.7). Для того чтобы определить эти функции применительно к случаю вынужденных колебаний, воспользуемся принципом возможной работы. Здесь необходимо рассмотреть три вида сил: силу инерции, действующую на каждый малый элемент колеблющегося стержня; силу упругости, действующую на каждый элемент и обусловленную деформацией стержня, и, наконец, возмущающую силу, приложенную к концу стержня. В качестве возможного перемещения можно взять произвольное продольное перемещение $\delta u$, удовлетворяющее условию непрерывности деформаций и заданному условию на жестко закрепленном конце $(\delta u_{x=0}=0)$. Удобнее взять возможные перемещения в виде нормальных функций, описываемых выражением (a):
$$\delta u_i=X_i=D_i\sin (i\pi x/2l).$$

Учитывая, что масса малого элемента стержня, заключенного между двумя смежными поперечными сечениями, равна $\rho Fdx$, найдем работу, совершаемую силами инерции на заданном возможном перемещении:
$$\delta W_{\mathrm{U}}={\int }_0^l(-\rho Fdx)\ddot{u}\delta u_i=-\rho F{\int }_0^l\ddot{u}{D}_i\sin \frac{i\pi x}{2l}dx.$$

Подставляя в это выражение представление (и) в виде ряда (5.8) и учитывая, что
$${\int }_0^l\sin \frac{i\pi x}{2l}\sin \frac{j\pi x}{2l}dx=0;{\int }_0^l{\sin }^2\frac{i\pi x}{2l}dx=l/2,$$

получим
$$\delta W_{\mathrm{U}}=-\frac{\rho Fl}{2}{D}_i{\ddot{\phi }}_i.$$

Для того чтобы подсчитать работу $\delta W_{\mathrm{y}}$, совершаемую упругими силами, заметим, что на каждый элемент действует сила $EF{u}^{\prime \prime }dx$, и тогда получим
$$\delta W\mathrm{y}={\int }_0^l\left(EF{u}^{\prime \prime }dx\right)\delta u_i$$

Подставляя в это выражение вторую производную представления (5.8) по $x$ и используя выражение (б) для $\delta u_i$, найдем
$$\delta W_{\mathrm{y}}=-\frac{i^2{\pi }^{2}EF}{8l}{D}_i{\phi }_i.$$

В последующих параграфах при подсчете возможной работы, совершаемой упругими силами, будет удобно сначала определить энергию деформации тела. В рассматриваемом случае с упругим стержнем энергия деформации
$$u=\frac{1}{2}{\int }_0^{l}EF(\partial u/\partial x{)}^{2}dx.$$

Подставляя сюда представление в форме тригонометрического ряда (5.8) для функции и и учитывая равенства
$$\begin{array}{c}{\int }_0^l\cos \frac{i\pi x}{2l}\cos \frac{j\pi x}{2l}dx=0;\\ {\int }_0^l{\cos }^2\frac{i\pi x}{2l}dx=\frac{l}{2},\end{array}$$

найдем окончательное выражение для энергии деформации
$$U=\frac{i^2{\pi }^{2}EF}{16l}\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}{\phi }_i^2.$$

Отсюда видно, что величина энергии деформации стержня в любой момент времени зависит от величин ${\phi }_i$, определяющих перемещение стержня. Если одной из этих величин задать приращение $\delta {\phi }_i$, то соответствующее перемещение
$$\delta u_i=\delta {\phi }_i\sin (i\pi x/2l),$$

а соответствующее приращение энергии деформации
$$\delta U=\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i}\delta {\phi }_i=\frac{i^2{\pi }^{2}EF}{8l}{\phi }_i\delta {\phi }_i.$$

Той же самой величине, взятой с отрицательным знаком, будет равна работа упругих сил на перемещении (ж). Для того чтобы получить работу упругих сил на возможном перемещении (б), необходимо заменить $\delta {\phi }_i$ на $D_i$, что следует из сравнения выражений (б) и (ж). Таким образом, видим, что работа, определяемая выражением
$$\delta W_{\mathrm{y}}=-\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i}=-\frac{i^2{\pi }^{2}EF}{8l}{\phi }_i{D}_i,$$

равна работе, определяемой выражением (г).
Для того чтобы определить возможную работу $\delta W_P$ возмущающей силы $P$, приложенной на конце стержня, заметим, что возмож-

ное перемещение этого конца получается подстановкой $x=l$ в выражение (б), и тогда указанная возможная работа
$$\delta W_p=P{D}_i\sin \frac{i\pi }{2}=P{D}_i(-1{)}^{(i-1)/2}.$$

Суммируя выражения (в), (и) и (к), найдем выражение для полной возможной работы. Приравнивая это выражение нулю, получим
$$\frac{\rho Fl}{2}{\ddot{\phi }}_i+\frac{i^2{\pi }^{2}EF}{8l}{\phi }_i=P(-1{)}^{(i-1)/2}$$

или
$${\ddot{\phi }}_i+p_i^2{\phi }_i=\frac{2}{\rho Fl}P(-1{)}^{(i-1)/2},$$

где $p_i=i\pi a/2l;i=1,3,5,\dots$ Отметим, что, как и следовало ожидать, постоянная $D_i$, определяющая мгновенное значение возможного перемещения (б), в уравнении (л) сократилась.

Каждую из величин ${\phi }_i$, входящую в ряд (5.8), можно легко найти, решив уравнение (л), если известно выражение для $P$ как функции от времени. Если начальные перемещения и скорости равны нулю, необходимо рассмотреть только колебания, обусловленные возмущающей силой $P$. Представив решение уравнения (л) в форме интеграла Дюамеля, найдем
$${\phi }_i=\frac{4(-1{)}^{(i-1)/2}}{i\pi a\rho F}{\int }_0^{t}P\sin \left[\frac{i\pi a}{2l}(t-t^{\prime })\right]d{t}^{\prime }.$$

Подставляя представление (м) в выражение (5.8), получим выражение для динамических перемещений стержня, обусловленных действием возмущающей силы $P$ :
$$u=\frac{4}{\pi a\rho E}\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(i-1)/2}}{i}\sin \frac{i\pi x}{2l}{\int }_0^{t}P\sin \left[\frac{i\pi a}{2l}(t-t^{\prime })\right]d{t}^{\prime }.$$

В качестве частного примера рассмотрим случай колебаний, возникающих в стержне, когда в момент времени $t=0$ внезапно при) кладывается постоянная сила $P$. Тогда стоящий в выражении (5.9 интеграл легко вычисляется и в результате находим
$$u=\frac{8lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(i-1)/2}}{i^2}\sin \frac{i\pi x}{2l}(1-\cos \frac{i\pi at}{2l}).$$

Подставляя сюда $x=l$, получаем перемещение на конце стержня
$$u_{x=l}=\frac{8lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}(1-\cos \frac{i\pi at}{2l}).$$

Видно, что при внезапном приложении силы $P$ в стержне возбуждаются все формы колебаний. Максимальное перемещение возникает

при $t=2l/a$, поскольку в этот момент времени имеем $1-\cos x$ $\times (i\pi at/2l)=2$, что дает следующее значение перемещения:
$$(u{)}_{x=l}=\frac{16lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}.$$

Учитывая равенства
$$\sum _{i=1,3,5,\dots }^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{8};a^2=\frac{E}{\rho },$$

находим $(u{)}_{x=l}=2lP/(EF)$. Таким образом приходим к выводу, что внезапно приложенная нагрузка $P$ вызывает в 2 раза большее перемещение, чем эта же нагрузка при статическом приложении.

В качестве второго примера рассмотрим продольные динамические перемещения стержня с обоими незакрепленными концами * (см. рис. 5.1, a), к концу $x=l$ которого внезапно прикладывается сила $P$. Поступая, как и в предыдущем параграфе, и используя нормальные функции для стержня с обоими незакрепленными концами [см. выражение (5.6) ], продольные перемещения колеблющегося стержня представим в виде следующего ряда:
$$\begin{array}{c}u={\phi }_0+{\phi }_1\cos \frac{\pi x}{l}+{\phi }_2\cos \frac{2\pi x}{l}+{\phi }_3\cos \frac{3\pi x}{l}+\cdots \\ \cdots ={\phi }_0+\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_i\cos \frac{i\pi x}{l}.\end{array}$$

Первое слагаемое ${\phi }_0$ описывает движение стержня как абсолютно жесткого тела. На это движение накладываются движения по остальным формам продольных колебаний стержня. Для определения функции ${\phi }_0$ имеем уравнение
$$\rho Fl{\ddot{\phi }}_0=P.$$

Функции ${\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3,\dots$, как и выше, будем определять с помощью принципа возможных перемещений. Взяв для возможного перемещения следующее представление:
$$\delta u_i=C_i\cos (i\pi x/l),$$

найдем работу сил инерции на этом перемещении:
$$\delta W_{\mathbf{U}}=-{\int }_0^l\rho F\ddot{u}{C}_i\cos \frac{i\pi x}{l}dx=\frac{1}{2}\rho Fl{C}_i{\ddot{\phi }}_i.$$

Энергия деформации колеблющегося стержня в произвольный момент времени
$$U=\frac{1}{2}{\int }_0^{l}EF{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)}^{2}dx=\frac{{\pi }^{2}EF}{4l}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^2{\phi }_i^2,$$
a работа сил упругости на перемещении (p)
$$\delta W_{\mathrm{y}}=-\frac{\partial U}{\partial {\phi }_i}\delta {\phi }_i=-\frac{i^2{\pi }^{2}EF}{2l}{C}_i{\phi }_i.$$

И, наконец, работа силы $P$ на перемещении (р)
$$\delta W_P=P{C}_i\cos i\pi =C_{i}P(-1{)}^i.$$

Приравняв нулю сумму выражений (с), (у) и (ф), получим уравнение
$${\ddot{\phi }}_i+p_i^2{\phi }_i=\frac{2}{\rho Fl}P(-1{)}^i,$$

где $p_i=iлa/l$. Из этого уравнения и уравнения (и), полагая, что в начальный момент времени стержень находился в покое, получаем
$$\begin{array}{c}{\phi }_0=\frac{P{t}^2}{2\rho Fl};\\ {\phi }_i=(-1{)}^i\frac{2}{i\pi a\rho F}{\int }_0^{t}P\sin \left[\frac{i\pi a}{l}(t-t^{\prime })\right]d{t}^{\prime }=\\ =\frac{(-1{)}^{i}2lP}{i^2{\pi }^2{a}^2\rho F}(1-\cos \frac{i\pi at}{l}).\end{array}$$

Подставляя эти выражения в представление (5.10), найдем
$$u=\frac{P{t}^2}{2\rho Fl}+\frac{2lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{i^2}\cos \frac{i\pi x}{l}(1-\cos \frac{i\pi at}{l}).$$

Для того чтобы найти перемещение того конца стержня, к которому приложена сила $P$, в решение (ш) подставим $x=l$, что дает
$$(u{)}_{x=l}=\frac{P{t}^2}{2\rho Fl}+\frac{2lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}(1-\cos \frac{i\pi at}{l}).$$

Для момента времени $t=l/a$ имеем
$$(u{)}_{x=l}=\frac{Pl}{2EF}+\frac{4Pl}{{\pi }^{2}EF}(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots )=\frac{Pl}{EF}.$$

В этот момент времени перемещение равно удлинению стержня при действии постоянной растягивающей силы $P$.

Пример 1. Определить динамические перемещения при установившихся вынужденных колебаниях стержня, один конец которого жестко закреплен, а второй свободен (см. рис. 5.2,a), если к незакрепленному концу стержня прикладывается изменяющаяся во времени сила $P=P_1\sin \omega t$.

Решение. Уравнение (л) в данном случае принимает вид
$${\ddot{\phi }}_i+p_{\overline{i}}^{\ddot{y}}{\phi }_i=\frac{2(-1{)}^{(i-1)/2}}{\rho Fl}{P}_1\sin \omega t.$$

Решая его применительно к случаю установившихся вынужденных колебаний, получим
$${\phi }_i=\frac{2P_1(-1{)}^{(i-1)/2}}{\rho Fl(p_i^2-{\omega }^2)}\sin \omega t.$$

Подставляя эти функции в представление (5.8), можем найти искомые динамические перемещения при вынужденных колебаниях стержня. Амплитуда колебаний соответствующего типа становится большой, когда частота $\omega$ достигает значения, равного одной трети собственной частоты колебаний стержня.

Пример 2. Буровая штанга представляет стальную трубу длиной 101,6 м. Рассматривая штангу как стержень с незакрепленными концами, определить период колебаний $\tau$ основной формы. Найти, кроме того, перемещение $\delta$ конца $x=l$ в момент времени $t={\tau }_1/2$, обусловленное внезапным приложением к этому концу растягивающего напряжения $\sigma =P/F=2,11\cdot {10}^7$ Па. Принять, что $E=2,11\cdot {10}^{11}$ Па, $\rho =7,85\cdot {10}^3\mathrm{H}\cdot {\mathrm{c}}^2/{\mathrm{m}}^4$.
Pешение. Скорость распространения звука в стержне
$$a=\sqrt{E/\rho }=5184\mathrm{m}/\mathrm{c},$$

а период основной формы колебаний $\tau =2l/a=0,47$ с. Из выражения (э) находим искомое перемещение
$$\delta =2,11\cdot {10}^{\mathbf{2}}\cdot 101,6/(2,11\cdot {10}^{11})=1,02\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}.$$

ЗАДАЧИ

5.3.1. Предположим, что в середине пролета стержня с жестко закрепленными концами внезапно прикладывается постоянная продольная сила $P$ (см. рис. 5.3, a). Определить продольные динамические перемещения стержня, который в начальный момент времени находился в покое.
$$\text{ Omвem: }u=\frac{2lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1,3,5}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{(i-1)/2}}{i^2}\sin \frac{i\pi x}{l}(1-\cos \frac{i\pi at}{l})\text{. }$$
5.3.2. К концу $x=0$ стержня, оба конца которого не закреплены, прикладывается продольная сила $P=P_{1}t/t_1$, изменяющаяся по линейному закону во времени. Определить динамические продольные перемещения стержня, если в начальный момент времени стержень находился в покое.
Omвет: $u=\frac{P_1{t}^3}{6\rho Fl{t}_1}+\frac{2l{P}_1}{{\pi }^2{a}^2\rho F{t}_1}\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}\cos \frac{i\pi x}{l}(t-\frac{l}{i\pi a}\sin \frac{i\pi at}{l})$.
5.3.3. Определить динамические перемещения при вынужденных установившихся колебаниях жестко закрепленного на конце $x=0$ стержня и не закрепленного на конце $\dot{x}=l$ (см. рис. $52,a$ ), если на него действует равномерно распределенная по его длине сила $\left(P_1/l\right)\sin \omega t$.
Omsem: $u=\frac{4P_1\sin \omega t}{\pi \rho Fl}\sum _{i=1,3,5}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin \left(p_{ı}x/a\right)}{i(p_i^2-{\omega }^2)};p_i=\frac{i\pi a}{2l}$.
5.3.4. Рассмотреть стержень, не закрепленный на конце $x=0$ и жестко закрепленный на конце $x=l$. Определить динамические перемещения стержня,
возникающие при внезапном приложении постоянной продольной силы $P$ в среднем сечении стержня $x=l/2$.
Omвem: $u=\frac{8lP}{{\pi }^2{a}^2\rho F}\sum _{i=1,3,5}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (i\pi /4)}{i^2}\cos \frac{i\pi x}{2l}(1-\cos \frac{i\pi at}{2l})$.