Метод нормальных форм колебаний, рассмотренный в пп. 4.34.6 , применялся там только при исследованиях систем со многими степенями свободы без демпфирования. Часто влияние демпфирования на динамическое поведение колеблющихся систем незначительно и им можно пренебречь. Например, влияние небольшого демпфирования на динамическое поведение системы при действии возмущающей силы на небольшом промежутке времени, очевидно, не будет значительным. Кроме того, демпфирование играет незначительную роль при установившемся динамическом поведении системы и при действии на нее возмущающей силы в виде периодической функции, когда частота возмущающей функции не близка к частоте резонанса. Однако при периодическом возмущении с частотой собственных колебаний или близкой к ней демпфирование приобретает первостепенное значение и должно учитываться. Поскольку характер его влияния обычно заранее неизвестен, демпфирование обычно включается в рассмотрение при динамических исследованиях до тех пор, пока не будет выявлено его истинное значение.

В гл. 3 рассматривались свободные и вынужденные колебания систем с двумя степенями свободы при вязком демпфировании, теперь займемся исследованием поведения систем с демпфироваћием, имеющих $n$ степеней свободы. Когда в состоящей из трех масс системе силы сопротивления создаются гидравлическими амортизаторами (рис. 4.3), уравнения движения в усилиях можно записать в следующем виде:
Рис. 4.3

где матрица демпфирования имеет обобщенную форму
\[
\mathbf{C}=\left|\begin{array}{ccccc}
C_{11} & C_{12} & C_{13} & \ldots & C_{1 n} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} & \ldots & C_{2 n} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33} & \ldots & C_{3 n} \\
\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\
C_{n 1} C_{n 2} C_{n 3} & \ldots & C_{n n}
\end{array}\right| .
\]

Коэффициенты влияния этой симметричной матрицы были определены выше, в пг 3.7.

Сначала рассмотрим специальные системы, в которых матрицы демпфирования являются линейными комбинациями матриц масс и жесткостей
\[
\mathbf{C}=a \mathbf{M}+b \mathbf{S},
\]

где $a$ и $b$ – постоянные. Подобного типа демпфирование называется пропорциональным в силу линейности зависимости между маттрицами C, М и S. В этом случае уравнения движения (4.120) могут быть приведены к несвязанной форме с помощью преобразования, аналогичного применявшемуся для систем без демпфирования *. Тогда эти уравнения, переписанные в главных координатах, примут вид
\[
\mathbf{M}_{\Gamma} \ddot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{C}_{\Gamma} \dot{\mathbf{X}}_{\Gamma}+\mathbf{S}_{\Gamma} \mathbf{X}_{\Gamma}=\mathbf{Q}_{\Gamma},
\]

где
\[
\mathbf{C}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{C} \mathbf{X}_{\mathrm{M}}=a \mathbf{M}_{\Gamma}+b \mathbf{S}_{\Gamma} .
\]

Здесь диагональная матрица $\mathbf{C}_{\Gamma}$, которую будем называть главной матрицей демпфирования, представляет собой линейную комбинацию матриц $\boldsymbol{M}_{\mathrm{r}}$ и $\boldsymbol{S}_{\mathrm{r}}$. Когда матрица форм колебаний нормируется по отношению к матрице $\boldsymbol{M}$, матрицу демпфирования в нормальных координатах запишем как
\[
\mathbf{C}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{C} \mathbf{X}_{\mathrm{H}}=a \mathbf{I}+b \mathbf{p}^{2} .
\]

Диагональная матрица $\mathbf{p}^{2}$ в этом выражении имеет в качестве элементов характеристические значения $p_{i}^{2}$ для той же системы без демпфирования [см. выражение (4.36)]. Поэтому $i$-е уравнение движения в нормальных координатах будет иметь вид
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+\left(a+b p_{i}^{2}\right) \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n .
\]

Чтобы сделать это уравнение аналогичным уравнению для системы с одной степенью свободы [см. уравнение (1.61) ], введем обозначение
\[
C_{\Gamma i}=2 n_{i}=a+b p_{i}^{2}, \quad \gamma_{i}=n_{i} / p_{i},
\]

где $C_{\Gamma i}=2 \dot{n}_{i}$ – постолнная демпфирования по $i$-й форме, $\gamma_{i}$ соответствующее значение коэффициента демпфирования. Подставляя первое из этих обозначений в уравнение (в), получим
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 n_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n .
\]

Каждое из этих $n$ уравнений является несвязанным со всеми остальными. Поэтому динамическое перемещение, соответствующее $i$-й форме колебаний, можно найти точно так же, как это делалось для системы с одной степенью свободы с вязким демпфированием.
– Используя обозначения (г), можно выразить коэффициент демпфирования $\gamma_{i}$ через постоянные $a$ и $b$ :
\[
\gamma_{i}=\frac{a+b p_{i}^{2}}{2 p_{i}} .
\]

Это выражение полезно при изучении влияния на демпфирование по соответствующим формам изменения постоянных $a$ и $b$ из выражения (4.121). Полагая, например, постоянную $a$ равной нулю\”при $b
eq 0$, получаем, что матрица демпфирования пропорциональна матрице жесткости. Подобный тип демпфирования иногда называют относительным, поскольку\” последнее связывают с относительными координатами скоростей перемещений. Таким образом, при условии $a=0$ выражение (4.125) имеет вид
\[
\gamma_{i}=\frac{b}{2} p_{i}
\]

и означает, что коэффициент демпфирования по каждой главной форме пропорционален круговой частоте этой формы колебаний без демпфирования. Следовательно, динамические перемещения, соответствующие высшим формам колебаний системы, будут демпфироваться сильнее и поэтому быстрее затухать, чем перемещения, соответствующие низшим формам колебаний.

С другой стороны, полагая постоянную $b$ равной нулю при $a
eq 0$, получаем, что матрица демпфирования пропорциональна матрице масс. Такой тип демпфирования иногда называют абсолютным, поскольку оно связано с абсолютными координатами скоростей перемещений. В этом случае выражение (4.125) упрощается и принимает вид
\[
\gamma_{i}=\frac{a}{2} p_{i} .
\]

Оно означает, что коэффициент демпфирования по каждой форме колебаний обратно пропорционален частоте колебаний без демпфирования. При таком условии низшие формы колебаний системы будут подавляться сильнее, чем высшие формы.

Как было обнаружено *, условие, представляемое выражением (4.121), является достаточным, но не будет необходимым условием существования главных форм колебаний в демпфированных системах. Существенным условием, вытекающим из наличия главных форм колебаний, является то, что преобразование матрицы демпфирования к диагональному виду также приводит к несвязанной системе уравнений движения. Это условие является менее ограничи-

тельным, чем описываемое выражением (4.121), и представляет больше возможностей.

Однако в самом общем случае коэффициенты влияния демпфирования таковы, что матрица демпфирования не может быть приведена к диагональному виду одновременно с матрицами масс и жесткостей. Қак было показано в п. 3.7, собственные формы колебаний системы имеют такие соотношения между собой, которые трудно поддаются анализу. Собственные значения для подобного рода систем являются либо действительными и отрицательными, либо комплексными с отрицательными действительными частями чисел. Қомплексные собственные значения являются комплексно сопряженными числами [см. выражения (3.42a) и (3.42в) ], а соответствующие им собственные векторы также являются комплексно сопряженными. Для исследования систем со значительным демпфированием, где обусловленные влиянием сил сопротивления мнимые части имеют большую величину, можно воспользоваться подходом, описанным в статье К. Фосса *. Этот подход состоит в преобразовании системы $n$ уравнений движения второго порядка в систему $2 n$ несвязанных уравнений? первого порядка.

Нет необходимости исследовать слабо демпфированные системы таким сложным способом, особенно с учетом того обстоятельства, что еще недостаточно известна сама природа явления демпфирования в физических системах. Простейшим является подход, основанный на предположении, что уравнения движения приводятся к несвязанному виду с помощью матрицы форм колебаний, полученной для системы без демпфирования. Другими словами, матрица $\mathbf{X}_{M}$ считается ортогональной не только матрицам $M$ и $S$ [см. выражения (4.23) и (4.24) I, но также и матрице C:
\[
\mathbf{X}_{M j}^{\mathrm{T}} \mathbf{C} \mathbf{X}_{M i}=\mathbf{X}_{M i}^{\mathrm{T}} \mathbf{C} \mathbf{X}_{M j}=\mathbf{0}, \quad i
eq j .
\]

Это допущение означает, что все внедиагональные элементы матрицы, получающейся при преобразовании вида $\mathbf{C}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{M}^{\mathrm{T}} \mathbf{C} \mathbf{X}_{M}$, малы и ими можно пренебречь. Кроме того, удобнее получать значения коэффициентов демпфирования $\gamma_{i}$ для собственных форм колебаний из экспериментов, чем вычислять коэффициенты влияния демпфирования для получения матрицы С. Поэтому? перепишем уравнение (4.124) в форме, в которой используется коэффициент $\gamma_{i}$ :
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 \gamma_{i} p_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n .
\]

Для того чтобы это уравнение можно было применять к системе со слабым демпфированием, будем считать, что для всех форм колебаний коэффициенты. демпфирования принимают значения $0 \leqslant \gamma_{i} \leqslant 0,20$. Характер демпфирования, которому соответствуют принятые значения коэффициента демпфирования, имеет большое практическое значение и называется демпфированием по формам колебаний.

Следует напомнить, что этот подход основан на применении нормальных координат для системы без демпфирования и что значения коэффициентов демпфирования задаются применительно к этим координатам.

Когда исследования проводят, рассматривая демпфирование по соответствующим формам колебаний, иногда требуется найти матрицу демпфирования в исходных координатах. Ее можно получить с помощью обратного преобразования вида
\[
\mathbf{C}=\left(\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{C}_{\Gamma} \mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} .
\]

Однако вместо того, чтобы пытаться обращать матрицу $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}$, воспользуемся соотношением $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{M}$ [см. выражение (4.44б)], и тогда выражение (ж) можно представить в следующей форме:
\[
\mathbf{C}=\mathbf{M} \mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{C}_{\Gamma} \mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} .
\]

Преобразование такого вида особенно удобно тогда, когда во внимание принимаются не все собственные формы колебаний, например при уменьшении форм колебаний.