В предыдущих обсуждениях свободных и вынужденных колебаний не рассматривалось влияние диссипативных сил, таких, как силы трения или сопротивления воздуха. В результате было получено, что амплитуда свободных колебаний остается неизменной с течением времени, но, как показывают эксперименты, амплитуда с течением времени уменьшается, и колебания постепенно затухают. В случае вынужденных колебаний из теории следует, что при резонансе амплитуда может возрастать беспредельно. Однако, как известно, вследствие демпфирования амплитуда при установившемся поведении системы всегда имеет некоторую конечную величину даже при резонансе.

Для того чтобы провести аналитическое обсуждение колебаний при лучшем соответствии действительным условиям, необходимо учесть влияние демпфирующих сил. Эти силы могут иметь различное происхождение: трение между сухими поверхностями скольжения, трение между смазанными поверхностями, сопротивление воздуха или жидкости, электрическое демпфирование, внутреннее трение, обусловленное несовершенной упругостью материалов, и т. д. Среди всех упомянутых причин рассеивания энергии случай, в котором демпфирующая сила пропорциональна скорости (так называемое влзкое демпфирование), является простейшим с точки зрения математического исследования. Поэтому силы сопротивления, имеющие более сложную природу, обычно заменяют при исследованиях эквива-
лентным влзким демпфированием. Эквивалентное демпфирование определяют из условия, чтобы за один цикл при нем рассеивалось столько же энергии, сколько и при действии реальных сил сопротивления. Например, с помощью такого подхода можно рассматривать демпфирование, обусловленное внутренним трением.
Рассмотрим теперь случай, состоящий из пружины и сосредоточенной массы системы, в которой имеется вязкое демпфирование благодаря наличию демпфера (рис. 1.28). Предполагается, что вязкая жидкость в демпфере оказывает пропорциональное скорости сопротивление движению. В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид
\[
\frac{W}{g} \ddot{x}=W-(W+k x)-c \dot{x} .
\]

Коэффициент с представляет собой коэффициент влзкого демпфирования или постолнную демпфирования и имеет размерность силы, отнесенной к единице скорости. Знак минус перед демпфирующей силой означает, что эта сила всегда имеет направление, противоположное направлению скорости. Разделив левую и правую части уравнения (a) на $W / g$ и введя обозначения
\[
p^{2}=\frac{k g}{W} ; \quad 2 n=\frac{c g}{W},
\]

получим уравнение свободных колебаний с влзким демпфированием
\[
\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2} x=0 .
\]

При исследовании этого уравнения воспользуемся обычным методом решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и выберем следующее представление для искомого решения:
\[
x=C e^{r t},
\]

где $e$ – основание натурального логарифма; $t$ – время; $r$ – постоянная, определяемая из условия того, что представление (в) должно удовлетворять уравнению (1.33). Подставляя представление (в) в уравнение (1.33), получим $r^{2}+2 n r+p^{2}=0$, откуда находим
\[
r=-n \pm \sqrt{n^{2}-p^{2}} .
\]

Рассмотрим сначала случай, когда величина $n^{2}$, зависящая от демпфирования, меньше $p^{2}$. Тогда величина $p_{\text {д }}^{2}=p^{2}-n^{2}$ положительна и решениями квадратного уравнения являются два комплексных корня:
\[
r_{1}=-n+i p_{\text {д }} ; \quad r_{2}=-n-i p_{\text {д }} .
\]

Подставляя эти значения постоянных в выражение (в), получим два решения уравнения (1.33). Сумма или разность этих двух реше-

ний, умноженных на произвольную постоянную, также будет решением. В таком случае имеем
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\frac{C_{1}}{2}\left(e^{r_{1} t}+e^{r_{2} t}\right)=C_{1} e^{-n t} \cos p_{\text {Д }} t \\
x_{2}=\frac{C_{2}}{2 i}\left(e^{r_{1} t}-e^{r_{2} t}\right)=C_{2} e^{-n t} \sin p_{\text {I }} t .
\end{array}
\]

Суммируя эти решения, получим общее решение уравнения (1.33):
\[
x=e^{-n t}\left(C_{1} \cos p_{\text {д }} t+C_{2} \sin p_{\text {д }} t\right),
\]

где $C_{1}$ и $C_{2}$ – постоянные, которые должны определяться из начальных условий. Множитель $e^{-n t}$ в решении (1.34) уменьшается с течением времени, поэтому возникшие вначале колебания будут постепенно затухать.

Выражение в круглых скобках из решения (1.34) совпадает по форме с полученным ранее решением для задачи о колебаниях без демпфирования [см. решение (1.2) ]. Оно представляет собой периодическую функцию с круговой частотой
\[
p_{\text {扛 }}=\sqrt{p^{2}-n^{2}},
\]

называемую круговой частотой затухающих колебаний при демпфировании. Соответствующий ей период
\[
\tau_{\text {д }}=\frac{2 \pi}{p_{\text {ㅍ }}}=\frac{2 \pi}{p} \frac{1}{\sqrt{1-\left(n^{2} / p^{2}\right)}} .
\]

Сравнивая эту величину с величиной $\tau=2 \pi / p$ периода, полученной ранее для колебаний без демпфирования, видим, что период колебаний с демпфированием $\tau_{\text {д }}$ является бо́льшей величиной. Однако, если $n$ меньше $p$, то это увеличение является настолько незначительным, что им можно пренебречь. Даже если коэффициент демпфирования n/p достигает такой большой величины, как 0,2 , отношение частот $p_{\text {д }} / p$ близко к единице, что видно из рис. 1.29, где показан график функции $\frac{p_{\text {Д }}}{p}=\sqrt[v]{1-\frac{n^{2}}{p^{2}}}$, представляющий собой уравнение окружности в первом квадранте.

Для определения постоянных $C_{1}$ и $C_{2}$, входящих в решение (1.34), предположим, что в начальный момент при $t=0$ в процессе колебания тело смещается от положения равновесия на величину $x_{0}$ и имеет начальную скорость $\dot{x}_{0}$. Подставляя эти данные в решение (1.34) и в его производную по времени, найдем
\[
C_{1}=x_{0} ; \quad C_{2}=\frac{\dot{x}_{0}+n x_{0}}{p_{\text {д }}} .
\]

Рис. 1.29

Рис. 1.30
Подставляя найденные значения (ж) постоянных в решение (1.34), получим
\[
x=e^{-n t}\left(x_{0} \cos p_{\text {д }} t+\frac{\dot{x}_{0}+n x_{0}}{p_{\text {д }}} \sin _{-}^{-} p_{\text {д }} t\right) .
\]

В этом выражении первое слагаемое, пропорциональное $\cos p_{\mathrm{\mu}} t$, зависит от начального перемещения $x_{0}$, тогда как второе слагаемое, пропорциональное $\sin p_{\text {д }} t$, зависит как от начального перемещения $x_{0}$, так и от начальной скорости $\dot{x}_{0}$.
Выражение (1.35) может быть записано в эквивалентной форме
\[
x=A e^{-n t} \cos \left(p_{\text {Д }} t-\alpha_{\text {Д }}\right),
\]

где
\[
A=\sqrt{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}}=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\dot{x}_{0}+n x_{0}\right)^{2} / p_{\text {д }}^{2}}
\]

есть максимальное значение амплитуды;
\[
\alpha_{\mathrm{Д}}=\operatorname{arctg} \frac{C_{2}}{C_{1}}=\operatorname{arctg}\left(\frac{\dot{x}_{0}+n x_{0}}{p_{\text {д }} x_{0}}\right) .
\]

Можно считать, что выражение (1.36) описывает псевдогармоническое движение с уменьшающейся по экспотенциальному закону амплитудой $A e^{-n t}$, с фазовым углом $\alpha_{\text {д }}$ и периодом $\tau_{\text {ды }}=2 n / p_{\text {ды }}$. На рис. 1.30 показан график этого движения. Огибающая, уравнение которой имеет вид $\pm A e^{-n t}$, касается этого графика в точках $m_{1}$, $m_{1}^{\prime}, m_{2}, m_{2}^{\prime}, \ldots$, ординаты которых отстоят друг от друга на одинаковом временном интервале $\tau_{\text {д }} / 2$. Поскольку касательные, проходящие в этих точках, не являются горизонтальными, точки касания не совпадают с точками максимума смещения от положения равновесия. Если коэффициент демпфирования мал, различием в положении этих точек можно пренебречь. Однако во всех случаях временной интер-

вал между двумя соседними крайними смещениями равен половине периода $\tau_{\text {д }} / 2$. Для проверки этого утверждения продифференцируем выражение (1.36) один раз по времени, в результате получим скорость тела при колебаниях
\[
\dot{x}=-A e^{-n t} p_{\text {д }} \sin \left(p_{\text {д }} t-\alpha_{\text {д }}\right)-A n e^{-n t} \cos \left(p_{\text {д }} t-\alpha_{\text {дд }}\right) .
\]

Приравнивая это выражение к нулю, найдем
\[
\operatorname{tg}\left(p_{\text {д }} t-\alpha_{\text {д }}\right)=-\frac{n}{p_{\text {д }}} .
\]

Таким образом, точки максимумов смещения, где скорости равны нулю, располагаются на одинаковом временном интервале $t=$ $=\pi / p_{\text {д }}=\tau_{\text {म }} / 2$.

Скорость демпфирования колебаний зависит от коэффициента демпфирования $n / p$, при этом, как видно из рис. 1.30 , отношение двух соседних амплитуд
\[
\frac{x_{\mathrm{M} i}}{x_{\mathrm{M}(i+1)}}=\frac{A e^{-n t_{i}}}{A e^{-n\left(t_{i}+\tau_{\mathrm{H}}\right)}}=e^{n \tau_{\boldsymbol{\mu}}}=e^{\delta} .
\]

Величина $\delta=n \tau_{\text {д }}$ называется логарифмическим декрементом затухания и определяется по следующей формуле:
\[
\delta=\ln \frac{x_{\mathrm{M} i}}{x_{\mathrm{M}}(i+1)}=n \tau_{\text {д }}=\frac{2 \pi n}{p_{\text {д }}} \approx \frac{2 \pi n}{p} .
\]

Формулу (1.37) можно использовать для экспериментального определения параметра демпфирования $n$. Для этого необходимо только определить из эксперимента отношение двух соседних амплитуд колебаний. Однако большая точность будет достигнута в том случае, если использовать отношение двух амплитуд, отделенных $j$ циклами. В этом случае формула (к) принимает вид
\[
\frac{x_{\mathrm{M} i}}{x_{\mathrm{M}(i+j)}}=e^{j n \tau_{\text {д }}},
\]

а логарифмический декремент определяется выражением
\[
\delta=\frac{1}{j} \ln \frac{x_{\mathrm{M} i}}{x_{\mathrm{M}(i+j)}} .
\]

В приведенном выше обсуждении уравнения (1.30) предполагалось, что $n<p$. Если же $n>p$, корни (г) будут действительными и отрицательными. Подставляя их значения в выражение (в), получим два решения уравнения (1.33), тогда общее решение примет вид
\[
x=C_{1} e^{r_{1} t}+C_{2} e^{r_{2} t} .
\]

В этом случае решение не является периодическим и не описывает колебательного движения. Вязкое сопротивление так велико, что когда тело смещается от положения равновесия, оно не совершает колебательных движений, а постепенно движется обратно в положение равновесия. В подобном случае система называется передемпфированной, а ее движение апериодическим.

Постоянные, входящие в решение (1.38), можно определить, подставив значения $x=x_{0}$ и $\dot{x}=\dot{x}_{0}$ при $t=0$ в само решение и в его первую производную: $C_{1}+C_{2}=x_{0} ; r_{1} C_{1}+r_{2} C_{2}=\dot{x}_{0}$, откуда находим
\[
C_{1}=\frac{\dot{x}_{0}-r_{2} x_{0}}{r_{1}-r_{2}} ; \quad C_{2}=\frac{r_{1} x_{0}-\dot{x}_{0}}{r_{1}-r_{2}} .
\]

В результате решение (1.38) принимает вид
\[
x=\frac{\dot{x}_{0}-r_{0} x_{0}}{r_{1}-r_{2}} e^{r_{1} t}+\frac{r_{1} x_{0}-\dot{x}_{0}}{r_{1}-r_{2}} e^{r_{2} t} .
\]

Общий вид кривой, описывающей решение (1.39), зависит от величин $n, x_{0}$ и $\dot{x}_{0}$.

Между случаями недостаточного демпфирования и передемпфирования находится специальный случай $n=p$, когда степень де́мпфирования такова, что движение системы впервые начинает терять свой колебательный характер. Используя обозначения (б), для этого случая находим
\[
c_{\text {Iрp }}=2 n \frac{W}{g}=2 p \frac{W}{g}=2 \sqrt{\frac{k W}{g}},
\]

где через $c_{\text {кр }}$ обозначен критический коэффициент влзкого демпфированил. Для случая критического демпфирования, когда $n=p$, из выражения (г) следует, что $r_{1}=r_{2}=-p$ и $p_{\text {д }}=0$. Тогда как решения (1.35) и (1.36) будут относиться к частному случаю кратных корней характеристического уравнения и примут вид
\[
x=C_{1} e^{-p t}+C_{2} t e^{-p t} .
\]

Подставляя в решение (1.40) и его первую производную заданные начальные условия, найдем
\[
C_{1}=x_{0} ; \quad C_{2}=\dot{x}_{0}+n x_{0} .
\]

Тогда общее решение примет вид
\[
x=e^{-p t}\left[x_{0}+\left(\dot{x}_{0}+n x_{0}\right) t\right] .
\]

На рис. 1.31 представлены кривые, описывающие зависимость перемещения от времени в соответствии с выражением (1.41) при фиксированном значении $x_{0}$ и нескольких значениях $\dot{x}_{0}$. Для двух верхних кривых 1 и 2 начальная скорость была положительной; для кривой 3 – равной нулю, а для кривых 4 и 5 – отрицательной.

В дальнейших обсуждениях будем всегда считать величину $n$ положительной, т. е. будем предполагать, что демпфирование представляет собой силу сопротивления. Тогда при ее действии будет происходить рассеивание энергии, амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, а движение – затухать. Однако имеются случаи, когда при движении в систему привносится энергия, в результате чего с течением времени происходит увеличение амплитуды колебаний. В подобных случаях иногда используют термин отрицательное демпфирование. Из выражения (1.34) видно, что если $n$ отрицательная величина, то множитель $e^{-n t}$ увеличивается с тече-

Рис. 1.31
нием времени, вследствие чего постепенно увеличиваются и амплитуды колебаний. Случай положительной величины $n$ (когда колебания затухают) относится к устойчивому движению, тогда как случай отрицательной величины $n$ – кеустойчивому движению.

Пример 1. Тело, совершающее колебания при наличии вязкого демпфирования, делает 10 полных колебаний в секунду и через 100 циклов амплитуда его колебаний уменьшается на $10 \%$. Определить логарифмический декремент, параметр демпфирования и коэффициент демпфирования n/p. Қак уменьшился бы период колебания, если бы не было демпфирования?
Решение. По формуле (м) определяем логарифмический декремент
\[
\delta=n \tau_{\mathbb{\pi}}=\frac{1}{100} \ln \left(\frac{1,0}{0,9}\right)=0,001054 .
\]

Период $\tau_{\text {д }}=0,1 \mathrm{c}$, частота $-p_{\text {д }}=2 \pi / \tau_{\text {д }}=62,83 \mathrm{c}^{-1}$. Таким образом получаем, что параметр демпфирования $n=0,01054 \mathrm{c}^{-1}$, а коэффициент демпфирования
\[
\frac{n}{p} \approx \frac{n}{p_{\text {д }}}=\frac{0,01054}{62,83}=0,000168 .
\]

Из выражения (е) следует, что отношение периодов при недемпфированных колебаниях к периоду при колебаниях с демпфированием
\[
\tau / \tau_{д}=\sqrt{1-\frac{n^{2}}{p^{2}}} \approx \sqrt{1-\frac{n^{2}}{p_{\text {д }}^{2}}}=\sqrt{1-2,82 \cdot 10^{-8}} .
\]

Пример 2. Определить общий вид зависимости перемещения от времени при движении подвешенной на пружине сосредоточенной массы, когда начальное перемещение равно $x_{0}$, а начальная скорость равна нулю, если демпфирование больше критического, т. е. при $n>p$.

Решение. Подставляя заданные начальные условия $x=x_{0}$ и $\dot{x}_{0}=0$ в выражение (1.39), получим
\[
x=\frac{x_{0}}{r_{1}-r_{2}}\left(r_{1} e^{r_{2} t}-r_{2} e^{r_{1} t}\right) .
\]

Дважды дифференцируя это выражение по времени, найдем скорость и ускорение
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\frac{r_{1} r_{2} x_{0}}{r_{1}-r_{2}}\left(e^{r_{2} t}-e^{r_{1} t}\right) ; \\
\ddot{x}=\frac{r_{1} r_{2} x_{0}}{r_{1}-r_{2}}\left(r_{2} e^{r_{2} t}-r_{1} e^{r_{1} t}\right) .
\end{array}
\]

Из выражения (с) видно, что скорость равна нулю при $t=0$ и $t=\infty$ и отрицательна для всех промежуточных моментов времени $t$, поскольку оба корня $r_{1}$ и $r_{2}$ отрицательны. Для того чтобы найти время $t_{1}$, при котором эта отрицательная величина скорости имеет наибольшее значение, приравняем нулю выражение (т), откуда найдем
\[
t_{1}=\frac{\ln \left(r_{2} / r_{1}\right)}{r_{1}-r_{2}} .
\]

Из выражений (с), (т) и (у) следует, что кривая, описывающая зависимость перемещения от времени, имеет общий вид, аналогичный кривой 3 (см. рис. 1.31). Для любой конкретной системы с заданным коэффициентом вязкого демпфирования $c$ точные параметры кривой можно установить, учитывая, что
\[
r_{1}=-n+\sqrt{n^{2}-p^{2}} ; \quad r_{2}=-n-\sqrt{n^{2}-p^{2}},
\]

где $n$ и $p$ определяются из выражений (б).

ЗАДАЧИ

1.8.1. Тело весом $W=45,4 \mathrm{H}$ опирается на пружину с жесткостью $k=$ $=1,79 \cdot 10^{3} \mathrm{H} /$ м и соединяется с гидравлическим демпфером (см. рис. 1.28), отрегулированным таким образом, что он создает силу сопротивления, равную $4,54 \times$ $\times 10^{-2} \mathrm{H}$ при скорости $2,54 \cdot 10^{-2} \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.В каком отношении уменьшится амплитуда колебаний после 10 циклов колебаний?
Omвem: $0,539 / 1$.
1.8.2. Груз весом $W=9,1 \mathrm{H}$ подвешен на пружине с жесткостью $k=1,79 \times$ $\times 10^{2} \mathrm{H} / \mathrm{M}$ и подвержен демпфированию так, что $n=\sqrt{5} p / 2$. В первоначальном положении грузу задается перемещение $x_{0}=5,1 \cdot 10^{-2}$ м. Қакова будет максимальная отрицательная скорость, когда тело вернется в положение равновесия?
Oтвет: $-0,24 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
1.8.3. Подвешенный на пружине с жесткостью $k=1,79 \cdot 10^{2} \mathrm{H} / \mathrm{M}$ в условиях критического демпфирования груз имеет вес $W=17,5 \mathrm{H}$. Если грузу заданы начальные смещение $x_{0}=2,54 \cdot 10^{-2}$ м и скорость $\dot{x}_{0}=0,31 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, то за какое время $t$ после начала движения тело достигнет положєния равновесия $x=0$ ? Насколько при этом груз сместится от положения равновесия, т. е. чєму численно равно достигаемое им наибольшее отрицательное смещение?
Omвem: $t=0,5 \mathrm{c} ;(-x)_{\max }=1,26 \cdot 10^{-5} \mathrm{M}$.
1.8.4. Подвешенный на пружине груз весом $W=9,1$ Н колеблется с периодом $\tau_{\text {д }}=1 / 2 \mathrm{c}$, имеющееся в этой системе демпфирование таково, что после десяти полных циклов колебаний амплитуда уменьшается от $x_{1}=5,1 \cdot 10^{-2}$ м до $x_{11}=$ $=2,55 \cdot 10^{-2}$ м. Определить коэффициент вязкого демпфирования $c$.
Oтвет: $c=2,55 \cdot 10^{-1} \mathrm{H} \cdot \mathrm{c} / \mathrm{M}$.
1.8.5. Система пружин с сосредоточенной массой имеет собственную частоту колебания $f$ в случае, когда отсутствует демпфирование. Вычислить частоту колебания $f$, когда коэффициент вязкого демпфирования $c=c_{\text {кр }} / 2$.
Oтвет: $f_{\text {д }}=\sqrt{3} \mathrm{f} / 2$.