Еще одна из систем, для которых уравнение движения имеет форму одномерного волнового уравнения, показана на рис. 5.10, a. Система представляет собой предварительно растянутую, не обладающую жесткостью при изгибе нить, которая может свободно колебаться в поперечном направлении. Предполагается, что растягивающая сила $S$ в нити остается постоянной при малых колебаниях в плоскости $x y$. Обозначим через $y$ поперечное перемещение произвольной точки нити, отстоящей на расстоянии $x$ от левого конца. На рис. 5.10, б показаны силы, действующие на малый элемент нити длиной $d x$, при этом основной интерес представляют проекции этих сил на ось $y$. При колебаниях сила инерции уравновешивается растягивающими силами, приложенными к концам малого элемента нити. При малых углах наклона из условий динамического равновесия следует
\[
S\left(\frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} d x\right)-S \frac{\partial y}{\partial x}-m d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0,
\]

где $m$ – масса единицы длины нити. Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения этой системы
\[
\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}
\]

где
\[
c=V \overline{S / m}
\]

есть скорость распространения поперечных волн в продольном направлении.

Қак можно видеть, уравнение (5.56) и выражение (5.67) будут совпадать соответственно с уравнением (5.1) и выражением (5.2),
Рис. 5.10

если в последних вместо $u, a, E$ и $\rho$ взять соответственно $y, c, S$ и $m$. Поэтому многие из ранее полученных выражений, описывающих продольные и крутильные колебания стержней и валов, могут быть применены к случаю поперечных колебаний растянутых нитей путем простой замены соответствующих обозначений. Однако в данном случае несколько усложняются концевые условия, что связано с необходимостью учитывать силы $S$ предварительного растяжения нити. Простейший вид концевых условий показан на рис. $5.10, a$ для нити с обоими закрепленными концами. В этом случае концевые условия имеют вид
\[
(y)_{x=0}=0 ; \quad(y)_{x=l}=0 .
\]

Тогда частоты и нормальные функции
\[
p_{i}=i \pi x / l ; \quad X_{i}=p_{i} \sin \left(p_{i} x / l\right), \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

На рис. 5.10, в-д показаны нормальные функции соответственно для первой, второй и третьей форм колебаний. Если эти функции нормируются в соответствии с выражением (5.22), имеем
\[
D_{i}=\sqrt{2 / l} .
\]

Представим начальное поперечное перемещение произвольной точки нити в момент времени $t=0$ в виде функции $y_{0}=f_{1}(x)$, а начальную скорость в виде функции $\dot{y}_{0}=f_{2}(x)$. В соответствии с выражениями (5.23) и (5.24) имеем следующие представления для начальных условий в нормальных координатах:
\[
\varphi_{0 i}=\sqrt{\frac{\overline{2}}{l}} \int_{0}^{l} f_{1}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x ; \quad \dot{\varphi}_{0 i}=\sqrt{\frac{2}{l}} \int_{0}^{l} f_{2}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x .
\]

Тогда из выражения (5.25) получаем соответствующие этим условиям динамические перемещения нити
\[
y=\sqrt{\frac{2}{l}} \sum_{i=1}^{\infty} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(\varphi_{0 i} \cos \frac{i \pi c t}{l}+\frac{\dot{\varphi}_{0 i}}{p_{i}} \sin \frac{i \pi c t}{l}\right) .
\]

Далее, из выражения (5.28) находим динамические перемещения, обусловленные действием распределенной поперечной силы $Q(x, t)$ :
\[
y=\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{l} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{t} q\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x,
\]

где $q(x, t)=Q(x, t) / m$. Если в точке $x_{1}$ прикладывается сосредоточенная сила $P_{1}(t)$, динамические перемещения при этом определяются выражением (5.29):
\[
y=\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \int_{0}^{t} q_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t \cdots t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

где $q_{1}(t)=P_{1}(t) / m$.

Рис. 5.11

В п. 5.6 рассматривался случай призматического стержня, для каждого конца которого задаются независимые продольные перемещения. Полученные там выражения очень просто распространить на случай, когда концы растянутой нити перемещаются в поперечном (параллельно оси $y$ ) направлении. На рис. 5.11, $a$ и б показаны независимые перемещения опор, задаваемые в виде функций времени:
\[
y_{\text {оп } 1}=g_{1}(t) ; \quad y_{\text {оп } 2}=g_{2}(t)
\]

соответственно для левого и правого концов. При таким образом заданных перемещениях концов закон движения произвольной точки невесомой нити имеет вид
\[
y_{\mathrm{cr}}=\left(y_{\mathrm{cr}}\right)_{1}+\left(y_{\mathrm{cr}}\right)_{2}=\frac{l-x}{l} g_{1}(t)+\frac{x}{l} g_{2}(t) .
\]

В данном случае перемещение $y_{\text {ст }}$ (рис. 5.11, в) описывает движение как абсолютно жесткого тела, состоящее из перемещения в направлении оси $y$ и малого поворота относительно оси, перпендикулярной плоскости $x y$. Более того, подобный характер движения свойственен и каждой компоненте $\left(y_{\text {ст }}\right)_{1}$ и $\left(y_{\text {ст }}\right)_{2}$ (см. рис. 5.11, $a$ и б). Результирующее движение представляет собой чистый перенос, когда $g_{1}(t)=g_{2}(t)=g(t)$, и чистый поворот относительно точки, расположенной в середине пролета, когда $g_{1}(t)=-g_{2}(t)$. Таким образом, видим, что введенное в п. 5.6 представление о движении как податливого тела для невесомых систем совпадает с представлением движений как абсолютно жесткого тела в случае предварительно растянутой нити при заданных поперечных перемещениях ее концов.

Подставляя в выражение (5.52) вторую производную по времени функции (5.71) и нормированные функции из выражения (в), получим решение для задачи о неустановившемся поведении нити при колебаниях
\[
\begin{array}{c}
y^{*}=-\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{l} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{t}\left[\frac{l-x}{l} \ddot{g}_{1}\left(t^{\prime}\right)+\frac{x}{l} \ddot{g}_{2}\left(t^{\prime}\right)\right] \times \\
\times \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x .
\end{array}
\]

Для того чтобы получить полное перемещение, сложим перемещения, обусловленные колебательным движением и движением как абсолютно жесткого тела, и в результате получим
\[
y=y_{\mathrm{c} s}+y^{*}=\frac{l-x}{l} g_{1}(t)+\frac{x}{l} g_{2}(t)+y^{*} .
\]

Приведенное выше обсуждение относилось к предварительно растянутой нити, концы которой были жестко закреплены. Рассмотрим теперь случай нити с упругим в поперечном направлении закреплением на концах (рис. 5.12). Предполагается, что жесткости $k_{1}$ и $k_{2}$ пружин, установленных в точках $x=0$ и $x=l$, известны и что концы нити могут перемещаться только в направлении оси $y$. Подход, применявшийся выше (см. п. 5.5) для исследования призматического стержня с установленными на одном из его концов массой или пружиной, теперь используем в задаче о нити, опирающейся по концам на пружины.

Уравнение движения, получаемое из рассмотрения [см. уравнение (a)] условия динамического равновесия малого элемента нити, показанного на рис. 5.12 , можно записать в виде
\[
m \ddot{y} d x-S y^{\prime \prime} d x=0 .
\]

На каждом конце нити должно выполняться условие равенства силы, возникающей в пружине при ее перемещении на величину $y$, и проекции на ось $y$ растягивающей силы $S$ нити. Поэтому концевые условия принимают форму
\[
S\left(y^{\prime}\right)_{x=0}=k_{1}(y)_{x=0} ; \quad S\left(y^{\prime}\right)_{x=l}=-k_{2}(y)_{x=l} .
\]

Қак обычно, для $i$-й формы собственных гармонических колебаний принимаем
Рис. 5.12

Подставляя это выражение в условия (ж), получаем
\[
S X_{i 0}^{\prime}=k_{1} X_{i 0} ; \quad S X_{i l}^{\prime}=-k_{2} X_{i l} .
\]

Нормальные функции возьмем в том же виде, что и выше:
\[
X_{i}=C_{i} \cos \left(p_{i} x / c\right)+D_{i} \sin \left(p_{i} x / c\right) .
\]

Подставляя выражение (к) в соотношения (и), найдем
\[
\begin{array}{c}
S p_{i} D_{i} / c=k_{1} C_{i} ; \\
\frac{S p_{i}}{c}\left(-C_{i} \sin \frac{p_{i} l}{c}+D_{i} \cos \frac{p_{i} l}{c}\right)=-k_{2}\left(C_{i} \cos \frac{p_{i} l}{c}+D_{i} \sin \frac{p_{i} l}{c}\right) .
\end{array}
\]

Исключая из выражений (л) и (м) постоянные $C_{i}$ и $D_{i}$, получим частотное уравнение
\[
\frac{S p_{i}}{c}\left(\sin \frac{p_{i} l}{c}-\frac{k_{1} c}{S p_{i}} \cos \frac{p_{i} l}{c}\right)=k_{2}\left(\cos \frac{p_{i} l}{c}+\frac{k_{1} c}{S p_{i}} \sin \frac{p_{i} l}{c}\right) .
\]

Для упрощения введем обозначения
\[
\xi_{i}=p_{i} l / c ; \quad \zeta_{i 1}=m l p_{i}^{2} / k_{1} ; \quad \zeta_{i 2}=m l p_{i}^{2} / k_{2}
\]

и перепишем уравнение (н) в виде

или
\[
\operatorname{tg} \xi_{i}-\frac{\xi_{i}}{\zeta_{i 1}}=\frac{\xi_{i}}{\zeta_{i 2}}\left(1+\frac{\xi_{i}}{\zeta_{i 1}} \operatorname{tg} \xi_{i}\right)
\]
\[
\left(1-\frac{\xi_{i}^{2}}{\zeta_{i 1} \zeta_{i 2}}\right) \operatorname{tg} \xi_{i}=\left(\frac{1}{\zeta_{i 1}}+\frac{1}{\zeta_{i 2}}\right) \xi_{i} .
\]

Полученное соотношение представляет собой трансцендентное частотное уравнение для нити, оба конца которой установлены на поперечные пружины. В этом случае нормальные функции (к) с учетом соотношения (л) можно представить в следующей форме:
\[
X_{i}=C_{i}\left[\cos \left(\xi_{i} x / l\right)+\left(\xi_{i} / \zeta_{i 1}\right) \sin \left(\xi_{i} x / l\right)\right] .
\]

При больших значениях величин $k_{1}$ и $k_{2}$ уравнение (н) сводится к виду
\[
\sin \left(p_{i} l / c\right)=0,
\]

что представляет собой частотное уравнение для нити, неподвижно закрепленной по обоим концам. В этом случае выражение (5.75) принимает форму (в). С другой стороны, если $k_{1}$ и $k_{2}$ малы, из уравнения (5.74) и выражения (5.75) следует
\[
p_{i}=i \pi c / l ; \quad X_{i}=C_{i} \cos \left(p_{i} x / c\right), \quad i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

что соответствует случаю, когда оба конца не закреплены. И, наконец, если величина $k_{1}$ большая, а $k_{2}$ малая, уравнение (н) сводится к виду
\[
\cos \left(p_{l} l / c\right)=0,
\]

откуда получаем выражения для частот и нормальных функций [см. выражение (5.75)]
\[
p_{i}=i \pi c / 2 l ; \quad X_{i}=D_{i} \sin \left(p_{i} x / c\right), \quad i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]

Эти выражения показывают, что левый конец нити неподвижно закреплен, а правый может свободно перемещаться.

С помощью изложенного в п. 5.5 метода можно получить следующие соотношения ортогональности для случая колебаний предварительно растянутой нити, оба конца которой установлены на поперечные пружины, при $i
eq j$ :
\[
\begin{array}{c}
m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=0 \\
S \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x+k_{1} X_{i 0} X_{j 0}+k_{2} X_{i l} X_{j l}=0 \\
S \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x+S X_{i 0}^{\prime} X_{j 0}-k_{1} X_{i 0} X_{j 0}-S X_{i l}^{\prime} X_{j l}-k_{2} X_{i l} X_{j l}=0 .
\end{array}
\]

Условие нормированности выбираем в виде
\[
m \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=m \quad \text { при } \quad i=j,
\]

откуда следует
\[
\begin{array}{c}
S \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x+S X_{i 0}^{\prime} X_{i 0}-k_{1} X_{i 0}^{2}-S X_{i l}^{\prime} X_{i l}-k_{2} X_{i l}^{2}= \\
=-S \int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x-k_{1} X_{i 0}^{2}-k_{2} X_{i l}^{2}=-m p_{i}^{2} .
\end{array}
\]

Соотношения (5.76)–(5.80) совпадают с соотношениями (5.39)(5.43), если в последующих жесткость\” $r=E F$ заменить на растягивающую силу $S$. Кроме того, первые соотношения содержат слагаемые, учитывающие влияние жесткости пружин, установленных как на правом, так и на левом концах стержня.

Поскольку условие (5.79) совпадает с условием нормированности, использовавшимся в п. 5.4, полученные там выражения (5.23)(5.25), описывающие неустановившееся поведение системы при заданных начальных условиях, можно применять и в случае нити, опирающейся на упругие опоры. Используя выражения (5.28) и (5.29), можно также исследовать динамическое поведение системы при действии изменяющихся во времени поперечных сил. Более того, из выражений (5.52) и (5.53) можно определить динамические перемещения при колебаниях нити, обусловленных изменяющимися во времени независимым образом перемещениями $y_{\text {оп } 1}$ и $y_{\text {оп } 2}$ опор (см. рис. 5.12). Таким образом, видно, что введение упругих опор, оказывает влияние на частоты и формы колебаний, но не на последовательность шагов при решении задачи о динамическом поведении.