При исследованиях неустановившегося поведения системы влияние демпфирования следует учитывать в тех случаях, когда длительность промежутка времени, представляющая интерес для исследователя, достаточно велика по сравнению с периодом собственных колебаний системы. Если этот промежуток мал, но коэффициенты

демпфирования по соответствующим формам колебаний сравнительно велики ( $\gamma_{i}>0,05$ ), наличие демпфирования может еще оказывать заметное влияние. Поэтому в данном параграфе для того чтобы учесть влияние демпфирования при неустановившихся колебаниях системы, соотношения, полученные в п. $4.4-4.6$, будут преобразованы применительно к нормальным координатам Так же, как и в предыдущем параграфе, здесь будет предполагаться, что имеет место либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по соответствующим формам колебаний.

В п. 4.4 была сформулирована задача о динамических перемещениях, выраженных через нормальные формы колебаний системы со многими степенями свободы, когда начальные условия задаются в виде перемещения и скорости. При наличии демпфирования динамические перемещения, соответствующие $i$-й форме свободных колебаний системы, в соответствии с выражением (4.55) должны описываться следующим выражением:
\[
x_{\Gamma i}=e^{-n_{i} t}\left(x_{0 \Gamma i} \cos p_{\text {д } i} t+\frac{\dot{x}_{0 \Gamma i}+n_{i} x_{0 \Gamma i}}{p_{\text {д } i}} \sin p_{\text {д } i} t\right),
\]

полученным из выражения (1.35). Круговая частота при демпфированных колебаниях определяется выражением (4.142):
\[
p_{\text {д } i}=\sqrt{p_{i}^{2}-n_{i}^{2}}=p_{i} \sqrt{1-\gamma_{i}^{2}},
\]

где $p_{i}$ – круговая частота недемпфированных колебаний. Преобразование векторов начальных условий $\mathbf{X}_{0}$ и $\dot{\mathbf{X}}_{0}$ к нормальным координатам проводим в соответствии с выражениями (4.56) и (4.57), а для преобразования перемещений к исходным координатам используем выражение (4.58).

Ни демпфирование по формам колебаний, ни относительное демпфирование, пропорциональное матрице жесткости, не будет оказывать влияния на движения системы как абсолютно жесткого тела. Влияние на подобные движения системы будет оказывать абсолютное демпфирование, пропорциональное матрице масс, поэтому для такого типа демпфирования уравнение (4.59) берем в виде
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+a \dot{x}_{\Gamma i}=0 .
\]

Решением уравнения (4.143) будет
\[
x_{\Gamma i}=x_{0 \Gamma i}+\dot{x}_{0 \Gamma i}\left(\frac{1-e^{-a t}}{a}\right) .
\]

Это решение можно использовать вместо выражения (4.60) при исследованиях движений системы как абсолютно жесткого тела при абсолютном демпфировании. Заметим, что если величина $a=0$ (т. е. демпфирование отсутствует), выражение в скобках принимает вид
\[
\lim _{a \rightarrow 0}\left(\frac{1-e^{-a t}}{a}\right)=t
\]

и тогда решение приобретает форму (4.60).

Точно такого же неболышого изменения процедуры, изложенной в п. 4.5, требуется и при определении динамических перемещений по нормальным формам при действии приложенных нагрузок, когда в системе имеется пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам колебаний. Преобразование приложенных нагрузок к нормальным координатам проводится в соответствии с выражением (4.64), но интеграл Дюамеля в выражении (4.67) следует взять в виде
\[
x_{\Gamma i}=\frac{e^{-n_{i} t}}{p_{\text {Д } l}} \int_{0}^{t} e^{n_{i} t^{\prime}} q_{\text {д, } i} \sin p_{\text {д } i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

соответствующем выражению (1.62). Если предполагается, что имеет место абсолютное демпфирование, уравнение движения (4.68) как абсолютно жесткого тела следует взять в форме
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+a \dot{x}_{\Gamma i}=q_{\Gamma i} .
\]

Для системы, находящейся в покое в начальный момент времени, в\” качестве\” решения уравнения (4.146) вместо выражения (4.69) следует взять
\[
x_{\Gamma i}=\int_{r}^{t} q_{\Gamma i}\left[\frac{1-e^{-a\left(t-t^{\prime}\right)}}{a}\right] d t^{\prime} .
\]

Если используются уравнения движения в перемещениях вместо уравнений в усилиях, то для преобразования вектора перемещений $\boldsymbol{\Delta}$ к нормальным координатам следует использовать выражение (4.73). Кроме того, соответствующая $i$-й нормальной форме колебаний эквивалентная нагрузка [см. выражение (4.77)]
\[
q_{\Gamma \delta i}=p_{i}^{2} \delta_{\Gamma i} .
\]

Интеграл Дюамеля [выражение (4.145)] принимает вид
\[
x_{\Gamma i}=\frac{p_{i}^{2}}{p_{\text {Д } i}} e^{-n_{i} t} \int_{0}^{t} e^{n_{i} t^{\prime}} \delta_{\Gamma i}{ }^{\prime} \sin p_{\text {д } i}{ }^{\prime}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Подобная форма интеграла особенно удобна при исследованиях поведения демпфированных систем, у которых изменяющиеся во времени перемещения $\Delta$ можно легко найти из статического анализа, подобного тому, который был описан в п. 4.5.

Обусловленные движениями опор динамические перемещения по нормальным формам колебаний, рассмотренные в\”п. 4.6, \”также можно представить в преобразованном виде, позволяющем учесть как пропорциональное демпфирование, так и демпфирование по формам колебаний. Во многих случаях для этого необходимо только в выражениях (4.145) и (4.148) величины $q_{\Gamma i}$ и $\delta_{\Gamma i}$ заменить на соответствующие им пары $q_{\text {Госн } i}$ и $\delta_{\Gamma \text { осн } i}, q_{\Gamma \text { оп } i \text { и }} \delta_{\Gamma \text { оп } i \text { или }} q_{\Gamma \text { осн } i}^{*}$ и $\delta_{\Gamma \text { осн } i}^{*}$, выражения для которых приводились в п. 4.6. Однако в тех случаях, когда задаются перемещения опор, записанные в исходных координатах, векторы $\mathbf{Q}_{\text {осн }}, \boldsymbol{\Delta}_{\text {осн }}, \mathbf{Q}_{\text {оп }}$ \”и $\boldsymbol{\Delta}_{\text {оп }}$ должны быть

преобразованы таким образом, чтобы их выражения учитывали связь между скоростями свободных координат перемещений и ограничениями по скоростям в опорах. Если основание перемещается в направлении оси $x$ в соответствии с законом $x_{\text {осн }}=F_{\text {осн }}(t)$, уравнения движения в усилиях примут вид
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C} \dot{\mathbf{X}}+\mathbf{C}_{\text {осн }} \dot{x}_{\text {oсн }}+\mathbf{S X}+\mathbf{S}_{\text {осн }} x_{\text {осн }}=\mathbf{0},
\]

где $\mathrm{C}_{\text {осн }}$ – матрица коэффициентов влияния демпфирования на движение масс, обусловленного движением основания. Представляя уравнение (г) в форме уравнения (4.120), получим

где
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C} \dot{\mathbf{X}}+\mathbf{S X}=\mathbf{Q}_{\mathrm{CH}}=\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH} 1}+\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH} 2},
\]
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH} 1}=-\mathbf{S}_{\mathrm{OCH}} x_{\mathrm{OCH}}, \quad \mathbf{Q}_{\mathrm{OCH} 2}=-\mathbf{C}_{\mathrm{ocH}} \dot{\boldsymbol{x}}_{\mathrm{ocH}} .
\]

Векторы-столбцы $\mathbf{Q}_{\text {осн }}$ и $\mathbf{Q}_{\text {осн }}$ имеют в качестве компонент эквивалентные нагрузки, соответствующие координатам перемещений и обусловленные перемещением основания и его скоростью. Эти слагаемые можно сохранять раздельными в течение всего исследования, при этом преобразование к нормальным коэффициентам проводится по следующим выражениям:
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma \text { осн }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}_{\text {осн }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}_{\text {осн } 1}+\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}_{\text {осн } 2}=\mathbf{Q}_{\text {Г осн } 1}+\mathbf{Q}_{\Gamma_{\text {осн } 2} .}
\]

Тогда $i$-е уравнение движения в нормальных координатах принимает вид, аналогичный (1.68):
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 n_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma \text { осн } i}=q_{\Gamma \text { осн } i 1}+q_{\Gamma \text { осн } i 2}, \quad i=1,2,3, \ldots, n .
\]

И, наконец, переходя к интегралу Дюамеля [см. выражение (4.145) ], получим
\[
x_{\Gamma i}=x_{\Gamma i 1}+x_{\Gamma i 2}=\frac{e^{-n_{i} t}}{p_{\text {дi }}} \int_{0}^{t} e^{n_{i} t^{\prime}}\left(q_{\Gamma \text { осн } i 1}+q_{\Gamma \text { осн } i 2}\right) \sin p_{\text {дi }}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Это выражение соответствует (1.69).
Некоторое усложнение решения приведенного выше примера, в котором задавались перемещения основания и его скорости, можно избежать, если рассматривать ускорения основания и взять в качестве координат относительные перемещения $\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}-1 x_{\text {існ }}$. Қак было показано в п. 1.13 [см. выражения (1.71) и (1.72) ], для системы с одной степенью свободы отсутствует связь между перемещениями и скоростями масс и основания, если записать их в относительных координатах. В этом случае имеется только связь с перемещениями основания через инерционные силы, но она аналогична тому, что имеет место в системе без демпфирования. С другой стороны, если при анализе принимать во внимание $r$ независимых движений в местах закрепления, то следует отказаться от концепции движения

основания как абсолютно жесткого тела. В этом случае необходимо непосредственным образом учитывать все связи между свободными координатами перемещений и характером связей, налагаемых в опоpax.

Пример 1. Предположим, что на третью массу системы, показанной на рис. 4.3, действует нагрузка в виде ступенчатой функции $Q_{3}=P$, при этом $Q_{1}=Q_{2}=0$. Считая, что в начальный момент времени система находится в покое, определить обусловленные этой нагрузкой динамические перемещения по нормальным формам системы с демпфированием.
Peшение. Преобразуя вектор нагрузки к нормальным координатам, получим
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
P
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
X_{\mathrm{H} 31} \\
X_{\mathrm{H} 32} \\
X_{\mathrm{H} 33}
\end{array}\right] P .
\]

Обусловленные действием ступенчатой нагрузки динамические перемещения по нормальным формам (см. пример 3 в п. 1.12) имеют вид
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=P\left[\begin{array}{l}
X_{\mathrm{H} 31}\left[1-e^{-n_{1} t}\left(\cos p_{\text {д1 }} t+\frac{n_{1}}{p_{\text {д1 }}} \sin p_{\text {д1 }} t\right)\right] / p_{1}^{2} \\
X_{\mathrm{H} 32}\left[1-e^{-n_{2} t}\left(\cos p_{\text {д2 }} t+\frac{n_{2}}{p_{\text {Д2 }}} \sin p_{\text {д2 }} t\right)\right] / p_{2}^{2} \\
X_{\mathrm{H} 33}\left[1-e^{-n_{3} t}\left(\cos p_{\text {д } 3} t+\frac{n_{3}}{p_{\text {д } 3}} \sin p_{\text {д }} t\right)\right] / p_{3}^{2}
\end{array}\right] .
\]

Пример 2. Предположим, что основание системы (см. рис. 4.3) перемещается по закону линейной функции $x_{0 \text { сн }}=d_{1} t / t_{1}$, где $d_{1}$ – перемещение как абсолютно жесткого тела в момент времени $t_{1}$. Определить динамические перемещения по нормальным формам, считая, что в начальный момент времени система с демпфированием находится в покое.

Решение. Векторы эквивалентных нагрузок в соответствии с выражением (4.150)
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCHI}}=-\mathbf{S}_{\mathrm{OCH}} x_{\mathrm{OCH}}=\left[\begin{array}{c}
k_{1} \\
0 \\
0
\end{array}\right] \frac{d_{1} t}{t_{1}} ; \\
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH} 2}=-\mathbf{C}_{\mathrm{OCH}} \dot{x}_{\mathrm{OCH}}=\left[\begin{array}{c}
c_{1} \\
0 \\
0
\end{array}\right] \frac{d_{1} t}{t_{1}} .
\end{array}
\]

Преобразуя эти векторы к нормальным координатам [см. выражение (4.151)], получим
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma \text { OCH }}=\mathbf{Q}_{\Gamma \text { OCH 1 }}+\mathbf{Q}_{\Gamma_{\text {OCH } 2}}=\frac{k_{1} d_{1} t}{t_{1}}\left[\begin{array}{l}
X_{\mathrm{H} 11} \\
X_{\mathrm{H} 12} \\
X_{\mathrm{H} 13}
\end{array}\right]+\frac{c_{1} d_{1}}{t_{1}}\left[\begin{array}{l}
X_{\mathrm{H} 11} \\
X_{\mathrm{H} 12} \\
X_{\mathrm{H} 13}
\end{array}\right] .
\]

Динамические перемещения, обусловленные действием нагрузки, изменяющейся по линейному закону:
\[
x_{\Gamma i 1}=\frac{k_{1} d_{1} X_{\mathrm{H} 1 i}}{t_{1} p_{i}^{2}}\left[t-\frac{2 n_{i}}{p_{i}^{2}}+e^{-n_{i} t}\left(\frac{2 n_{i}}{p^{2}} \cos p_{\text {Д } i} t-\frac{p_{\text {д } i}^{2}-n_{i}^{2}}{p_{i}^{2} p_{\text {д } i}} \sin p_{\text {дi }} t\right)\right] \text {, }
\]

где $i=1,2,3$ (см. задачу 1.12.9). Кроме того, нагрузка $Q_{\Gamma \text { осн } 2}$, имеющая вид ступенчатой функции, вызывает следующие динамические перемещения по нормальным формам (см. пример 1):
\[
x_{\Gamma i 2}=\frac{c_{1} d_{1} X_{\mathrm{H} 1 i}}{t_{1} p_{i}^{2}}\left[1-e^{-n_{i} t}\left(\cos p_{\text {Д } i} t+\frac{n_{i}}{p_{\text {Д } i}} \sin p_{\text {Д } i} t\right)\right],
\]

где $i=1,2,3$.