Как уже говорилось в предыдущем параграфе, демпфирование становится исключительно важным в том случае, когда периодические возмущения имеют частоту, близкую к одной из частот собственных колебаний системы со многими степенями свободы. Вопрос об установившихся вынужденных колебаниях систем с двумя степенями свободы исследовался в п. 3.8 с помощью метода передаточных функций. Этот подход может быть легко распространен на системы с $n$ степенями свободы, при этом основные соотношения [см. выражения (3.51) и (3.52)] сохраняют свою форму неизменной. Однако решение в рамках указанного подхода требует обращения матрицы порядка $n \times n$, содержащей комплексные числа. Если собственные значения и собственные векторы системы предварительно были определены тем или иным способом, подходу с использованием передаточных функций лучше предпочесть метод нормальных форм колебаний. Зная частоту изменения возмущений и собственную частоту колебаний системы, можно непосредственным путем определить динамические перемещения по формам колебаний, чьи частоты близки к частоте возмущения. Ниже-будут рассмотрены возмущения, имеющие вид либо одной гармонической функции, либо произвольного вида периодических функций, при этом будет предполагаться, что система имеет либо пропорциональное демпфирование, либо демпфирование по формам колебаний, аналогичное тому, о котором говорилось в предыдущем параграфе.

Если на систему со слабым демпфированием действуют силы, каждая из которых пропорциональна одной гармонической функции $\cos \omega t$, вектор усилий $\mathbf{Q}$ можно представить в виде
\[
\mathbf{Q}=\mathbf{P} \cos \omega t,
\]
где
\[
\mathbf{P}=\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, \ldots, P_{n}\right\} .
\]

В выражении (а) величины $P$ представляют собой скалярные множители перед функциями $\cos \omega t$. Преобразование уравнения движения в условиях к нормальным координатам позволяет записать типичное уравнение движения для соответствующей формы колебаний
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 n_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i} \cos \omega t, \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $q_{\Gamma i}$ – постоянная величина. Это уравнение совпадает по виду с уравнением (1.42). Поэтому представление для $i$-й формы колебаний системы ‘с демпфированием при установившемся поведении можно взять в следующем виде:
\[
x_{\Gamma i}=\left(q_{\Gamma i} / p_{i}^{2}\right) \beta_{i} \cos \left(\omega t-\theta_{i}\right),
\]

где коэффициент усиления
\[
\beta_{i}=1 / \sqrt{\left(1-\omega^{2} / p_{i}^{2}\right)^{2}+\left(2 \gamma_{i} \omega / p_{i}\right)^{2}},
\]

а фазовый угол
\[
\theta_{i}=\operatorname{arctg} \frac{2 \gamma_{i} \omega / p_{i}}{1-\omega^{2} / p_{i}^{2}} .
\]

Выражения (4.130)-(4.132) получены, соответственно, из выражений (1.46)-(1.48). Выражение (4.130) для динамических перемещений можно затем преобразовать с помощью известной процедуры вновь к исходным координатам.

Для того чтобы определить перемещения по форме, имеющей круговую частоту $p_{i}$, наиболее близкую к круговой частоте изменения возмущений, следует использовать только столбец $\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}$ в матрице форм при преобразованиях к нормальным координатам и наоборот. Вследствие сказанного выражение (4.64) принимает вид
\[
q_{\Gamma i}=\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}^{\mathrm{T}} \mathbf{P},
\]

а выражение (4.58) в п. 4.4 запишем в форме
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H} i} x_{\Gamma i} .
\]

При необходимости этот процесс можно повторить и для других форм колебаний, чьи частоты близки к частоте $\omega$.
1 Когда вместо уравнений движения в усилиях используются уравнения в перемещениях, вектор гармонических перемещений принимает вид
\[
\boldsymbol{\Delta}=\mathbf{F Q}=\mathbf{F P} \cos \omega t=\boldsymbol{\Delta}_{\mathrm{cr}} \cos \omega t,
\]

где $\Delta_{\text {ст }}$ – вектор перемещений, возникающих при статическом приложении сил Р. Поскольку к нормальным координатам перемещения преобразуются с помощью обратной матрицы $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{M}$, выражение (4.133) в данном случае примет вид
\[
\delta_{\Gamma i}=\mathbf{X}_{\mathrm{H} i}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \boldsymbol{\Delta}_{\mathrm{cr}},
\]

где $\delta_{\Gamma i}$ – постоянная величина. Эквивалентную нагрузку, соответствующую $i$-й нормальной форме, находим из выражения (4.77):
\[
q_{\Gamma \delta i}=p_{i}^{2} \delta_{\Gamma i} .
\]

Поэтому динамическое перемещение системы с демпфированием по $i$-й нормальной форме установившихся колебаний [см. выражение (4.130)]
\[
x_{\Gamma i}=\delta_{\Gamma i} \beta_{i} \cos \left(\omega t-\theta_{i}\right) .
\]

Преобразование этого перемещения вновь к исходной системе координат проводится в соответствии с выражением (4.134).

Рассмотрим теперь систему со слабым демпфированием, на которую действуют нагрузки, каждая из которых пропорциональна произвольного вида периодической функции $f(t)$. Тогда для вектора усилий $\mathbf{Q}$ можно записать следующее выражение:
\[
\mathbf{Q}=\mathbf{F}(t)=\mathbf{P} f(t),
\]

где вектор $\mathbf{P}$ имеет вид (б). Как и в п. 1.1, представим функцию $f(t)$ в виде ряда Фурье [см. выражение (1.58) ]:
\[
f(t)=a_{0}+\sum_{j=1}^{m}\left(a_{j} \cos j \omega t+b_{j} \sin j \omega t\right) .
\]

Коэффициенты $a_{j}, b_{j}$ и $a_{0}$ находим из выражений, аналогичных $(1.59 \mathrm{a})-(1.59 \mathrm{~B})$.

Преобразуя уравнения движения в условиях к нормальным координатам, получаем уравнение для произвольной формы колебаний
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 n_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i} f(t), \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $q_{\Gamma i}$ – постоянные величины. Из решения задачи 1.11 .6 следует, что динамическое перемещение по $i$-й форме колебаний системы с демпфированием при установившемся состоянии можно представить в форме
\[
x_{\Gamma i}=\frac{q_{\Gamma i}}{p_{i}^{2}}\left\{a_{0}+\sum_{j=1}^{m} \beta_{i j}\left[a_{j} \cos \left(j \omega t-\theta_{i j}\right)+b_{j} \sin \left(j \omega t-\theta_{i j}\right)\right]\right\},
\]

где коэффициент усиления
\[
\beta_{i j}=1 / \sqrt{\left(1-j^{2} \omega^{2} / p_{i}^{2}\right)^{2}+\left(2 \gamma_{i} j \omega / p_{i}\right)^{2}},
\]

а фазовый угол
\[
\theta_{i j}=\operatorname{arctg} \frac{2 \gamma_{i} j \omega / p_{i}}{1-j^{2} \omega^{2} / p_{i}^{2}} .
\]

Поскольку слагаемые, входящие в выражение (4.139) для динамических перемещений по $i$-й форме, дают вклады, кратные друг другу, то в этом случае возникновение резонанса (при ја $\approx p_{i}$ ) имеет гораздо большую вероятность в случае общего вида периодической функции и менее вероятно в случае, когда возмущения представляются одной гармонической функцией. Поэтому заранее трудно предсказать, какая из собственных форм колебаний окажет наиболь-

шее влияние на поведение системы. Однако после того, как функция возмущающей силы представлена в виде ряда Фурье, можно сравнить каждую частоту $j \omega$ с частотой $p_{i}$ и отсюда сделать вывод о возможности возникновения больших вынужденных колебаний.

Если используются уравнения движения в перемещениях, вектор периодических перемещений $\boldsymbol{\Delta}$ можно представить в виде
\[
\Delta=\Delta_{\text {ст }} f(t),
\]

где $\Delta_{\text {ст }}$ имеет указанный ранее смысл. Рассуждая, как и выше, видим, что в выражении (4.139) величину $q_{\Gamma i} / p_{i}^{2}$ следует заменить на $\delta_{\Gamma i}$. Во всех случаях полученные результаты преобразуются к исходным координатам с помощью уравнения (4.134).

Пример 1. Предположим, что на показанную на рис. 4.3 систему дейсткуют возмущающие силы, описываемые периодическими функциями $Q_{1}=Q_{2}=Q_{3}=$ $=P \cos \omega t$, где $\omega=1,25 \sqrt{k / m}$. Исследовать установившееся движение масс, предполагая, что $m_{1}=m_{2}=m_{3} \equiv m, k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$ и коэффициент демпфирования по каждой главной форме $\gamma_{i}=0,001(i=1,2,3)$.

Решение. Қвадрат круговой частоты возмущающей нагрузки ( $\omega^{2}=1,5625 \mathrm{k} / \mathrm{m}$ ) очень близок ко второму собственному значению системы ( $p_{2}^{2}=1,555 k / m$ ), найденному в примере 1 (см. п. 4.2). Следовательно, можно ожидать, что основной вклад в результирующие динамические перемещения будет давать вторая форма колебаний, несмотря на то, что характер изменения во времени возмущающих сил аналогичен первой форме колебаний системы. С помощью выражения (4.133) определяем нагрузки, соответствующие второй нормальной форме колебаний системы:
\[
q_{\Gamma 2}=\mathbf{X}_{\mathrm{H} 2}^{\mathrm{T}} \mathbf{P}=\frac{1}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{lll}
0,737 & 0,328 & -0,591
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] P=0,474 \frac{P}{\sqrt{m}} .
\]

Согласно выражению (4.131) коэффициент усиления для второй формы колебаний
\[
\begin{array}{c}
\beta_{2}=1 / \sqrt{(1-1,5625 / 1,555)^{2}+0,02^{2} \cdot 1,5625 / 1,555}= \\
=1 / \sqrt{0,004823^{2}+0,02006^{2}}=48,50 .
\end{array}
\]

Из выражения (4.130) определяем динамические перемещения, соответствующие второй форме колебаний, при установившемся движении демпфированной системы
\[
x_{\Gamma 2}=\frac{0,474 \cdot 48,50}{1,555} \frac{P}{k} \sqrt{m} \cos \left(\omega t-\theta_{2}\right)=14,77(P / k) \sqrt{m} \cos \left(\omega t-\theta_{2}\right),
\]

где [см. выражение (4.132)] имеем
\[
\theta_{2}=\operatorname{arctg} \frac{0,02006}{0,004823}=\operatorname{arctg} 4,159=76^{\circ} 29^{\prime} .
\]

Преобразуя в соответствии с выражением (4.134) перемещения по второй форме колебаний к исходным координатам, найдем
\[
\left.\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H} 2} x_{\Gamma 2}=\left[\begin{array}{r}
10,89 \\
4,84 \\
-8,73
\end{array}\right] \frac{P}{k} \cos \left(\omega t-\theta_{2}\right) \cdot\right]
\]

Можно видеть, что наличие малого по величине демпфирования в данной системе оказывает большое влияние на динамические перемещения, соответствующие второй форме колебаний. Если бы в этой системе демпфирование отсутствовало, коэффициент усиления был бы равен $\beta_{2}=1 / 0,004823=207,3$, а фазовый угол $\theta_{2}=0$.

Поступая аналогичным образом, можем определить динамические перемещения, соответствующие первой форме колебаний:
\[
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{l}
0,398 \\
0,717 \\
0,895
\end{array}\right] \frac{P}{k} \cos \left(\omega t-\theta_{\mathbf{1}}\right)
\]

и третьей форме колебаний
\[
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{r}
0,0637 \\
-0,0794 \\
0,0353
\end{array}\right] \frac{P}{k} \cos \left(\omega t-\theta_{3}\right) .
\]

Амплитуды компонент обоих этих векторов малы по сравнению с амплитудами из выражения (ж). Отсюда следует, что демпфирование оказывает незначительное влияние на формы колебаний (з) и (и).

Пример 2. На рис. 4.4 представлен график изменения во времени возмущающей силы в виде периодической функции с прямоугольной формой волны. Исследовать установившееся движение системы с демпфированием (см. рис. 4.3) по каждой из нормальных форм колебаний, если возмущающая сила указанного вида приложена к первой массе.
Peшение. Раскладывая функцию в ряд Фурье (см. задачу 1.11.2), получим
\[
F(t)=P f(t)=\frac{4 P}{\pi}\left(\sin \omega t+\frac{1}{3} \sin 3 \omega t+\cdots\right) .
\]

Раскладывая вектор нагрузки по нормальным координатам, найдем
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{c}
F(t) \\
0 \\
0
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
X_{\mathrm{H} 11} \\
X_{\mathrm{H} 12} \\
X_{\mathrm{H} 13}
\end{array}\right] F(t) .
\]

Из выражения (4.139) определяем динамические перемещения системы по нормальным формам колебаний
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{x}_{\Gamma}=\frac{4 P}{\pi} \times \\
\times\left[\begin{array}{c}
X_{\mathrm{H} 11}\left[\beta_{11} \sin \left(\omega t-\theta_{11}\right)+1 / 3 \beta_{13} \sin \left(3 \omega t-\theta_{13}\right)+\cdots\right] / p_{1}^{2} \\
X_{\mathrm{H} 12}\left[\beta_{21} \sin \left(\omega t-\theta_{21}\right)+1 / 3 \beta_{23} \sin \left(3 \omega t-\theta_{23}\right)+\cdots\right] / p_{2}^{2} \\
X_{\mathrm{H} 13}\left[\beta_{31} \sin \left(\omega t-\theta_{31}\right)+1 / 3 \beta_{33} \sin \left(3 \omega t-\theta_{33}\right)+\cdots\right] / p_{3}^{2}
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Относящиеся к данному случаю коэффициенты усиления и фазовые углы можно найти из выражений (4.140) и (4.141).