Во многих случаях, обсуждавшихся выше, исследовались такие системы со многими степенями свободы, поведение которых было обусловлено не действием возмущающих сил, а движением onop. Например, если перемещения (см. рис. 4.1,a) основания в направлении оси $x$ можно описать функцией
\[
x_{\mathrm{oCH}}=F_{\mathrm{oCH}}(t) \text {, }
\]

то уравнение движения в усилиях примет вид
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}^{*}=\mathbf{0},
\]

где вектор-столбец $\mathbf{X}$ * характеризует перемещения сосредоточенных масс относительно основания
\[
\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}-1 x_{\mathrm{ocн}} .
\]

В выражении (в) обозначение 1 используется для представления вектора с равными единице компонентами, который указывает на то, что перемещение $x_{\text {осй }}$ берется $n$ раз. Подобный прием использования перемещений основания аналогичен подходу, который применялся выше для систем с одной или двумя степенями свободы [см., например, уравнение (к) в п. 1.6]. Однако более общий подход состоит в том, чтобы записать уравнения движения в эквивалентной форме
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}+\mathbf{S}_{\mathrm{OCH}} x_{\mathrm{oC}}=\mathbf{0},
\]

где
\[
S_{\text {осн }}=-\mathbf{S 1} .
\]

Через $S_{\text {осп }}$ обозначен вектор-столбец коэффициентов влияния жесткости, которые представляют собой соответствующие свободным координатам перемещения * дополнительные усилия, возникающие при задании единичного перемещения $x_{0 \text { он }}$. Подобные дополнительные усилия можно определить непосредственно из рассмотрения статического состояния системы при заданном перемещении основания $x_{\text {осн }}=1$, но в данном случае их можно вычислить с помощью выражения (д), из которого видно, что дополнительные усилия равны суммам элементов строк матрицы $\mathbf{S}$, взятым со знаком минус.

Представим уравнение (г) в форме (4.61), перенеся произведение $S_{\text {осн }} x_{\text {осн }}$ в правую часть уравнения и оставив без изменения знак. Тогда получим

где
\[
M \ddot{\mathbf{X}}+S \mathbf{X}=\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH}},
\]
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH}}=-\mathrm{S}_{\mathrm{OCH}} x_{\mathrm{oCH}}=\mathrm{S} 1 x_{\mathrm{ocH}} .
\]

Компонентами вектора $\mathbf{Q}_{\text {оси }}$ являются эквивалентные нагрузки, соответствующие свободным координатам перемещений, возникающих при движениях основания. Подобные эквивалентные нагрузки можно преобразовать к нормальным координатам, применив ту же процедуру, что и в случае действительных нагрузок. Тогда с учетом выражения (4.64) можно записать
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma \text { осн }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}_{\mathrm{oCH}} .
\]

Записанное в нормальных координатах $i$-е уравнение движения примет вид
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma \text { осн } i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $q_{\text {госн }} i$ – эквивалентное усилие в $i$-й нормальной координате, обусловленное движениями основания.

Для того чтобы определить перемещения, соответствующие $i$-й форме колебаний, воспользуемся интегралом
\[
x_{\Gamma i}=\left(1 / p_{i}\right) \int_{0}^{t} q_{\Gamma \text { ос } i} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Это выражение будет иметь ту же форму, что и (4.67), если в последнем выражении заменить $q_{\Gamma i}$ на $q_{\Gamma \text { осн } i}$. Значения перемещений, определяемые с помощью выражения (4.84), можно, как это делалось выше, преобразовать к исходным координатам, используя соотношение $\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}$.

Если вместо перемещения основания $x_{\text {осн }}$ задается ускорение $\ddot{x}_{\text {осн }}$ основания системы, показанной на рис. $4.1, a$, следует перейти к новым координатам, описывающим относительное движение согласно выражению (в). Ускорения, соответствующие перемещениям $\mathbf{X}^{*}$ :
\[
\ddot{\mathbf{X}}^{*}=\ddot{\mathbf{X}}-1 \ddot{x}_{\mathrm{ocH}} \text {. }
\]

Подставляя выражение (е) для $\ddot{\mathbf{X}}$ в уравнение (б), получим уравнение движения в относительных координатах
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}^{*}+\mathbf{S} \mathbf{X}^{*}=\mathbf{Q}_{\mathrm{oH}}^{*},
\]

где
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH}}^{*}=-\mathbf{M} 1 \ddot{x}_{\mathrm{ocH}} .
\]

Поскольку для системы, показанной на рис. 4.1, $a$, матрица масс является диагональной, в этом частном случае матрица-столбец
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH}}^{*}=\left[\begin{array}{l}
-m_{1} \ddot{x}_{\mathrm{oCH}} \\
-m_{2} \ddot{x}_{\mathrm{OCH}} \\
-m_{3} \ddot{x}_{\mathrm{OCH}}
\end{array}\right] .
\]

Таким образом, эквивалентные нагрузки, соответствующие относительным свободным координатам перемещения, равны взятым со знаком минус произведениям масс на ускорение $\ddot{x}_{\text {осн }}$ основания. Определив эти эквивалентные усилия, можно найти перемещение системы относительно основания, если взять вместо вектора $\mathbf{Q}_{\text {осн }}$ вектор Q*. Поскольку матрицы коэффициентов в уравнениях (4.85) и (4.80) одинаковые, ту же матрицу преобразования $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}$ можно использовать для перехода от относительных координат к нормальным.

Если вместо уравнений движения в усилиях взять уравнения движения в перемещениях, влияние перемещения основания (см. рис. $4.1, a$ ) в уравнении движения можно учесть следующим образом:
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}-\mathbf{1} x_{\text {осн }}=\mathbf{0},
\]

причем то же самое уравнение можно получить из уравнения (б), умножив его слева на матрицу-столбец $\mathbf{F}=\mathbf{S}^{-1}$. Представляя это уравнение в той же форме, что и уравнение (4.71) предыдущего параграфа, получим

где
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}=\Delta_{\mathrm{oCH}},
\]
\[
\Delta_{\mathrm{oCH}}=1 x_{\mathrm{ocH}} .
\]

Компонентами вектора-столбца $\Delta_{\text {осн }}$ являются зависящие от времени и обусловленные движениями основания свободные координаты перемещения, которые можно определить из статического рассмотрения. Разумеется, в данном случае каждая компонента этого вектора попросту равна перемещению $x_{\text {осн }}$. Преобразуя свободные координаты перемещений к нормальным координатам с помощью приведенной выше процедуры (4.73), получаем
\[
\Delta_{\text {г } \text { он }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \Delta_{\text {осн }} \text {. }
\]

В этом случае $i$-е уравнение движения в нормальных координатах [см. уравнение (4.74)] принимает вид
\[
\lambda_{i} \ddot{x}_{\Gamma_{i}}+x_{\Gamma_{i}}=\delta_{\Gamma \text { осн } i}, \quad i=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $\delta_{\text {ген } i}$ – зависящее от времени перемещение $i$-й нормальной координаты, обусловленное движениями основания.

Для того чтобы определить перемещения, соответствующее $i$-й форме колебаний, воспользуемся второй формой представления интеграла Дюамеля
\[
x_{\Gamma_{i}}=p_{i} \int_{0}^{t} \delta_{\text {Г осн } i} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

где $\delta_{\text {госн } і}$ заменяется на $\delta_{\Gamma_{i}}$. Последовательно используя выражение (4.91), преобразуем полученные результаты к исходным координатам обычным способом.

Если вместо перемещения $x_{\text {осн }}$ известно ускорение $\ddot{\mathbf{x}}_{\text {осн }}$ основания, уравнение движения в перемещениях, записанное через относительные координаты перемещений, принимает вид
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}{ }^{*}+\mathbf{X}^{*}=\mathbf{F} \mathbf{Q}_{\mathrm{och}}^{*},
\]

который получается при умножении слева уравнения (4.85) на матрицу $\mathbf{F}=\mathbf{S}^{-1}$. В этом случае из выражения (4.86) следует
\[
\Delta_{\text {С }}^{*}=\mathbf{F Q}_{\text {OCH }}^{*}=-\mathbf{F M 1} \ddot{x}_{\text {осн }} .
\]

Тогда перемещение системы относительно основания можно определить, взяв $\Delta^{*}$ вместо $\Delta_{\text {осн }}$.

Выше были обсуждены четыре способа исследования движений частного вида системы со многими степенями свободы (см. рис. 4.1,a) при наличии движения основания. Если использовать уравнения движения в усилиях, с помощью выражения (4.81) можно определить эквивалентные нагрузки для заданных перемещений, а с помощью выражения (4.86) те же нагрузки для заданных ускорений. Последняя процедура легче первой, однако при этом вычисляются динамические перемещения относительно движущегося основания. С другой стороны, когда записываются уравнения двџжения в перемєщениях, зависящие от времени, свободные кооршинаты перемещений, обусловленных перемещениями основания, определяются из выражения (4.88), а когда задаются ускорения геремещений, эти координаты определяются из выражения (4.93). Сғавнивая оба выражения, видим, что первое удобнее второго. Более того, выражение (4.88) также проще, чем выражения (4.81) или (4.86), используемые в подходах с применением уравнений движения в усилиях. Следовательно, в том случае, когда заданы перемещения основания и не трудно определить податливости системы, предпочтительнее подход, основанный на использовании уравнений движения в перемещениях. Это, безусловно, справедливо и для показанной на рис. 4.1, а статически определимой системы, в которой возникают перемещения как абсолютно жесткого тела при движениях основания. Однако для статически неопределимых систем, как правило, удобнее методы, в которых используются уравнения движения в усилиях.

Пример 1. Предположим, что основание, на котором установлена двухмассовая система (см. рис. 3.1, a), внезапно переместилась вправо как абсолютно жесткое тело, при этом перемещение представляется в виде ступенчатой функции $x_{0 \text { он }}=d$. Определить динамические перемещения системы, обусловленные указанным внезапным перемещением основания, если дано: $m_{1}=m_{2}=m, k_{1}=k_{2}=k$.

Решение. Согласно подходу, основанному на использовании уравнений движения в усилиях, определим с помощью выражения (4.81) эквивалентные нагрузки, соответствующие свободным координатам перемещений:
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{OCH}}=-\mathbf{S}_{\mathrm{OCH}} x_{\mathrm{OCH}}=\mathbf{S 1} \boldsymbol{x}_{\mathrm{OCH}}=\left[\begin{array}{cc}
2 k & -k \\
-k & k
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right] \quad d=\left[\begin{array}{c}
k d \\
0
\end{array}\right] .
\]
Преобразование этого вектора-столбца к нормальным координатам согласно выражению (4.82) дает
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma \text { ocH }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}_{\text {OCH }}=\frac{1}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{rr}
0,526 & 0,851 \\
-0,851 & 0,526
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
k d \\
0
\end{array}\right]=\frac{k d}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{r}
0,526 \\
-0,851
\end{array}\right] .
\]

Применяя выражение (4.84) дважды, определим перемещения в нормальных координатах, обусловленные влиянием заданного перемещения в виде ступенчатой функции:
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{k d}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{r}
0,526\left(1-\cos p_{1} t\right) / p_{1}^{2} \\
-0,851\left(1-\cos p_{2} t\right) / p_{2}^{2}
\end{array}\right]=d \sqrt{m}\left[\begin{array}{r}
1,377\left(1-\cos p_{1} t\right) \\
-0,325\left(1-\cos p_{2} t\right)
\end{array}\right] .
\]

В исходных координатах искомое решение принимает вид
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=d\left[\begin{array}{l}
1-0,724 \cos p_{1} t-0,276 \cos p_{2} t \\
1-1,171 \cos p_{1} t+0,171 \cos p_{2} t
\end{array}\right],
\]

аналогичный тому, что имел место в случае приложения к первой массе силы в виде ступенчатой функции (см. пример 1 в предыдущем параграфе), если там множитель $P / k$ заменить на $d$.

Для того чтобы решить эту задачу с использованием уравнений движения в перемещениях, найдем из выражения (4.88) переносы свободных координат перемещения, обусловленные заданием основанию перемещения в виде ступенчатой функции:
\[
\Delta_{\mathrm{OCH}}=1 x_{\mathrm{OCH}}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right] d=\left[\begin{array}{l}
d \\
d
\end{array}\right] .
\]

В нормальных координатах этот вектор-столбец преобразуется к виду
\[
\boldsymbol{\Delta}_{\Gamma \text { осн }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \boldsymbol{\Delta}_{\text {ОС }}=\sqrt{m}\left[\begin{array}{rr}
0,526 & 0,851 \\
-0,851 & 0,526
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
d \\
d
\end{array}\right]=d \sqrt{m}\left[\begin{array}{r}
1,377 \\
-0,325
\end{array}\right] .
\]

Дважды применяя выражение (4.91), получим те же значения для перемещений в нормальных координатах, что и в выражении (л). Последующим преобразованием координат вновь получаем окончательные результаты в виде (м).

Пример 2. Для трехмассовой системы (см. рис. 4.1,a) дано: $m_{1}=m_{2}=m_{3}=$ $=m, k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$. Определить динамические перемещения этой системы, обусловленные заданным в виде параболической функции ускорением основания $\overline{\boldsymbol{x}}_{\text {осн }}=a_{1} t^{2} / t_{1}^{2}$, где $a_{1}$ – ускорение основания в момент времени $t_{1}$ при перемещении его как абсолютно жесткого тела.

Решение. Рассматривая задачу сначала в соответствии с методом, в котором используются уравнения движения в усилиях, получим с помощью выражения (ж) эквивалентные нагрузки $\mathbf{Q}^{*}$ для данной системы
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{oCH}}^{*}=\frac{-a_{1} t^{2} m}{t_{1}^{2}}\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] .
\]

В нормальных координатах этот вектор-столбец имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{Q}_{\Gamma \text { OCH }}^{*}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathbf{T}} \mathbf{Q}_{\mathrm{oCH}}^{*}= \frac{-a_{1} t^{2} \sqrt{m}}{t_{1}^{2}}\left[\begin{array}{rrr}
0,328 & 0,591 & 0,737 \\
0,737 & 0,328 & -0,591 \\
0,591 & -0,737 & 0,328
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right]= \\
=\frac{-a_{1} t^{2} \sqrt{m}}{t_{1}^{2}}\left[\begin{array}{l}
1,656 \\
0,474 \\
0,182
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Трижды применяя интеграл Дюамеля, найдем
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}^{*}=\frac{-a_{1} \sqrt{m}}{t_{1}^{2}}\left[\begin{array}{l}
1,656\left[t^{2}-2\left(1-\cos p_{1} t\right) / p_{1}^{2}\right] / p_{1}^{2} \\
0,474\left[t^{2}-2\left(1-\cos p_{2} t\right) / p_{2}^{2}\right] / p_{2}^{2} \\
0,182\left[t^{2}-2\left(1-\cos p_{3} t\right) / p_{3}^{2}\right] / p_{3}^{2}
\end{array}\right],
\]

где каждое решение, представляющее элемент матрицы столбца, соответствует форме колебаний, приведенной в ответе задачи 1.13.6 (см. п. 1.13). Подставляя значения $1 / p_{1}^{\prime}=5,05 \mathrm{~m} / \mathrm{k}, 1 / p_{2}^{2}=0,643 \mathrm{~m} / \mathrm{k}, 1 / \mathrm{p}_{3}^{2}=0,308 \mathrm{~m} / \mathrm{k}$ в выражение (с), получим
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}^{*}=\frac{-a_{1} \sqrt{m^{3}}}{t_{1}^{2} k}\left[\begin{array}{l}
8,363\left[t^{2}-10,10 m\left(1-\cos p_{1} t\right) / k\right] \\
0,305\left[t^{2}-1,286 m\left(1-\cos p_{2} t\right) / k\right] \\
0,056\left[t^{2}-0,616 m\left(1-\cos p_{3} t\right) / k\right]
\end{array}\right] .
\]

После чего приходим к следующим выражениям для перемещений системы в исходных относительных координатах:
\[
\mathbf{X} \doteq \mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}^{*}=\frac{-a_{1} m}{t_{1}^{2} k}\left[\begin{array}{l}
3 t^{2}-27,70 f_{1}(t)-0,289 f_{2}(t)-0,020 f_{3}(t) \\
5 t^{2}-49,92 f_{1}(t)-0,129 f_{2}(t)+0,025 f_{3}(t) \\
6 t^{2}-62,26 f_{1}(t)+0,232 f_{2}(t)+0,011 f_{3}(t)
\end{array}\right]
\]

где $f_{1}(t)=m\left(1-\cos p_{1} t\right) / k ; f_{2}(t)=m\left(1-\cos p_{2} t\right) / k ; f_{3}(t)=m\left(1-\cos p_{3} t\right) / k$. Возвращаясь к подходу, использующему уравнения движения в перемещениях, определим из выражения (4.93) вектор-столбец $\Delta_{\text {осн }}^{*}$ :
\[
\Delta_{\mathrm{OCH}}^{*}=-\mathbf{F M 1} \ddot{x}_{\mathrm{OCH}}=\frac{-a_{1} t^{2} m}{t_{1}^{2} k}\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]=\frac{-a_{1} t^{2} m}{t_{1}^{\prime} k}\left[\begin{array}{l}
3 \\
5 \\
6
\end{array}\right] .
\]

Преобразуя этот вектор-столбец к нормальным координатам, найдем
\[
\begin{aligned}
\Delta_{\Gamma \text { oCH }}^{*}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \Delta_{\mathrm{OCH}}^{*}= & \frac{-a_{1} t^{2} \sqrt{m^{3}}}{t_{1}^{2} k}\left[\begin{array}{rrr}
0,328 & 0,591 & 0,737 \\
0,737 & 0,328 & -0,591 \\
0,591 & -0,737 & 0,328
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
3 \\
5 \\
6
\end{array}\right]= \\
& =\frac{-a_{1} t^{2} \sqrt{m^{3}}}{t_{1}^{9} k}\left[\begin{array}{l}
8,363 \\
0,305 \\
0,056
\end{array}\right] .
\end{aligned}
\]

Трижды применяя интеграл Дюамеля, получим выражение (т) для перемещений в нормальных координатах, а окончательные результаты совпадают с решениями (у). Из приведенных результатов с очевидностью следует, что наибольший вклад в динамическое поведение системы дает основная форма колебаний, вторая форма колебаний дает вклад намного меньший, чем первая, а третья форма колебаний – намного меньший, чем вторая.

Приведенные выше примеры иллюстрируют способы исследования систем, для которых задается только один вид перемещения основания как абсолютно жесткого тела. В более сложных задачах могут иметь место три составляющие перемещения основания как абсолютно жесткого тела, а также три поворота как абсолютно жесткого тела. В подобных случаях перемещение $x_{\text {осн }}$ должно представлять собой вектор с компонентами в виде шести типов перемещений, тогда вектор $S_{\text {осн }}$ превратится в матрицу $n \times 6$. Кроме того, повороты основания должны быть малыми, с тем чтобы оставалось справедливым допущение о линейности характеристик системы, на котором основывается метод нормальных форм колебаний. Единственными большими перемещениями, допустимыми при линейных исследованиях, являются перемещения как абсолютно жесткого тела. Задачи, которые включают рассмотрение подобных больших динамических перемещений, необходимо исследовать с использованием относительных координат с тем, чтобы избежать потери точности при определении динамических перемещений системы.

Тогда абсолютное динамическое перемещение системы можно найти, сложив относительное перемещение системы и перемещения основания.

Для системы, которая соединяется с основанием во многих точках, также можно определить динамическое перемещение, рассматривая независимые движения каждой точки соединения системы с опорами, для чего вычисляются соответствующие коэффициенты жесткости или податливости *. В подобном случае относительные перемещения точек соединения системы с опорой должны быть малы по сравнению с общими линейными перемещениями. Если система с $n$ степенями свободы имеет $r$ точек соединения с опорами, которые могут двигаться независимо друг от друга, уравнение движения в усилиях (б) можно обобщить следующим образом:
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S X}+\mathbf{S}_{\text {оп }} \mathbf{X}_{\text {оп }}=\mathbf{0} \text { или } \boldsymbol{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S X}=\mathbf{Q}_{\text {оII }} .
\]

где
\[
\mathbf{Q}_{\text {оп }}=-\mathbf{S}_{\text {оп }} \mathbf{X}_{\text {опн }} .
\]

Здесь $\mathbf{X}_{\text {оп }}$ – вектор-столбец перемещений системы в точках опор; $S_{\text {оп }}$ – матрица $n \times r$ жесткостей, связывающая свободные координаты перемещений с перемещениями опор; $\mathbf{Q}_{\text {оп }}$ – вектор-столбец эквивалентных нагрузок, обусловленных перемещениями опор.

С другой стороны, умножив уравнение (4.94) слева на матрицу $\mathbf{F}=\mathcal{S}^{-1}$, получим уравнение движения в перемещениях
\[
\mathbf{F M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}=\Delta_{\text {on }},
\]

где
\[
\Delta_{\text {оп }}=-\mathbf{F S}_{\text {оп }} \mathbf{X}_{\text {оп }}=\mathbf{D}_{\text {оп }} \mathbf{X}_{\text {оп }} .
\]

В данном подходе вектор-столбец $\Delta_{\text {оп }}$ имеет компоненты в виде зависящих от времени координат свободных перемещений, обусловленных независимыми перемещениями опор. Так же, как и в других векторах подобного вида, его компоненты определяются из статического рассмотрения. Из выражения (4.97) видно, что эти компоненты можно найти, умножив слева вектор $\mathbf{X}_{\text {оп }}$ на матрицу
\[
\mathbf{D}_{\text {оп }}=-\mathbf{F S}_{\text {оII }}=-\mathbf{S}^{-1} \mathbf{S}_{\text {оп }} .
\]

Здесь $\mathbf{D}_{\text {оп }}$ – матрица $n \times r$ коэффициентов влияния перемещений, представляющих собой перемещения, выраженные в свободных координатах перемещений и обусловленные влиянием единичных перемещений в опорах. Поскольку выражение (4.98) представляет удобную формулу для вычисления элементов таких матриц для сложных систем, то иногда можно вывести их непосредственно. Приведенный ниже пример демонстрирует применение подобного подхода к системе, в которой опоры имеют возможность совершать независимые движения.

Пример 3. Вновь возвращаясь к системе, показанной на рис. 4.2, $a$, предположим, что опоры $A$ и $B$ могут перемещаться независимо друг от друга в напра-

влении, параллельном оси $x$. Пусть через $x_{0 п 1}$ и $x_{0 п 2}$ обозначены малые перемещения точек соответственно $A$ и $B$. Определить установившееся поведение системы, когда одна из опор движется по закону $x_{012}=d \sin \omega t$, а другая неподвижна, т. е. $x_{\text {оп }}=0$. Как и ранее, принимаем, что $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ и $l_{1}=l_{2}=l_{3}=l_{4}=l$, поэтому можно использовать найденные выше характеристики системы.

Решение. Вектор-столбец перемещений опор в данной системе можно представить в следующей форме:
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{on}}=\left[\begin{array}{l}
x_{\mathrm{O \Pi 1} 1} \\
x_{\mathrm{O \Pi 2} 2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
d \sin \omega t
\end{array}\right] .
\]

Для того чтобы воспользоваться подходом, в котором используются уравнения движения в усилиях вида (4.94), построим матрицу

Первый столбец данной матрицы представляет усилия в точках закрепления масс (см. рис. 4.2, д), возникающие при задании $x_{0 п 1}=1$. Аналогично, второй столбец в матрице $\mathbf{S}_{0}$ представляет усилия, возникающие при перемещении второй опоры $x_{\text {оп2 }}=1$ (см. рис. 4.2,e). С помощью выражения (4.95) получим эквивалентные нагрузки, соответствующие свободным координатам перемещения:
\[
\mathbf{Q}_{0 \Pi}=-\mathbf{S}_{0 \Pi} \mathbf{X}_{011}=\frac{T d \sin \omega t}{l}\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right] .
\]

Преобразование этого вектора к нормальным координатам дает
\[
\mathbf{Q}_{\Gamma \text { on }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{Q}_{\text {оп }}=\frac{T d \sin \omega t}{2 l \sqrt{m}}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right]=\frac{T d \sin \omega t}{2 l \sqrt{m}}\left[\begin{array}{c}
1 \\
-\sqrt{2} \\
1
\end{array}\right] \text {. }
\]

Установившееся динамическое перемещение системы по главным формам колебаний имеет вид
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{T d \sin \omega t}{2 l \sqrt{m}}\left[\begin{array}{c}
\beta_{1} / p_{1}^{2} \\
-\sqrt{2} \beta_{2} / p_{2}^{2} \\
\beta_{3} / p_{3}^{2}
\end{array}\right]=\frac{d \sqrt{m} \sin \omega t}{4}\left[\begin{array}{c}
(2+\sqrt{2}) \beta_{1} \\
-\sqrt{2} \beta_{2} \\
(2-\sqrt{2}) \beta_{3}
\end{array}\right] .
\]

Таким образом, в исходных координатах решение следует записать в форме
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{d \sin \omega t}{2}\left[\begin{array}{c}
(2+\sqrt{2}) \beta_{1}-2 \beta_{2}+(2-\sqrt{2}) \beta_{3} \\
2(1+\sqrt{2}) \beta_{1}+2(1-\sqrt{2}) \beta_{3} \\
(2+\sqrt{2}) \beta_{1}+2 \beta_{2}+(2-\sqrt{2}) \beta_{3}
\end{array}\right]
\]

Используя уравнения движения в перемещениях (4.96), можно построить матрицу коэффициентов влияния перемещений
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{D}_{\text {Oп }}=-\mathbf{F S}_{\text {OII }}=\frac{-l}{4 T} {\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right] \frac{T}{l}=1\left[\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
2 & 2 \\
1 & 3
\end{array}\right]=} \\
=\left[\begin{array}{ll}
D_{\text {оп 11 }} & D_{\text {оп 12 }} \\
D_{\text {оп 21 }} & D_{\text {оп 22 }} \\
D_{\text {оп 31 }} & D_{\text {оп 32 }}
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

C другой стороны, элементы первого и второго столбцов матрицы $\mathbf{D}_{\text {оп }}$ представляют перемещения в точках крепления масс (см. рис. 4.2 , ж и з), обусловленные перемещениями опор соответственно $x_{0 п 1}=1$ и $x_{0 \text { п2 }}=1$. Когда вектор-столбец $\mathbf{X}_{0 \text { п }}$

[см. выражение (ц)] умножаем слега на эту матрицу, получаем зависящие от времени перемещения, выраженные через свободные координаты перемещений:
\[
\Delta_{\text {O }}=\mathbf{D}_{\text {OП }} \mathbf{X}_{\text {O }}=\frac{d \sin \omega t}{4}\left[\begin{array}{ll}
3 & 1 \\
2 & 2 \\
1 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]=\frac{d \sin \omega t}{4}\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right] .
\]

Преобразуя этот вектор-столбец к нормальным координатам, найдем
\[
\begin{aligned}
\Delta_{\Gamma \text { on }}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \Delta_{\mathrm{on}} & =\frac{d \sqrt{m} \sin \omega t}{8}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right]= \\
& =\frac{d \sqrt{m} \sin \omega t}{4}\left[\begin{array}{c}
2+\sqrt{2} \\
-\sqrt{2} \\
2-\sqrt{2}
\end{array}\right] .
\end{aligned}
\]

Это решение, выраженное через нормальные координаты, совпадает с решением (э), следовательно, решение в исходных кооринатах будет определяться выражением (a).

ЗАДАЧИ

4.6.1. Предположим, что основание системы (см. рис. 4.1,a) перемещается по закону в виде линейной функции $x_{\text {осн }}=d_{1} t / t_{1}$, где $d_{1}$ – перемещение основания как абсолютно жесткого тела в момент времени $t$. Используя уравнения движения в усилиях, определить динамическое перемещение этой системы, если дано $m_{1}=$ $=m_{2}=m_{3}=m$ и $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$.

Omвem: $x_{1}=k d_{1}\left[0,108 f_{1}(t)+0,543 f_{2}(t)+0,349 f_{3}(t)\right] /\left(t_{1} m\right)$, где $f_{1}(t)=\left[t-\left(1 / p_{1}\right) \sin p_{1} t\right] / p_{1}^{2}$ и т. д.
4.6.2. Определить динамические перемещения в трехмассовой системе, рассмотренной в задаче 4.2.2, если задано, что основание системы внезапно смецается на величину $x_{\text {осн }}=d$. При решении воспользоваться уравнением движения в перемещениях.
Oтвет: $x_{1}=d\left[4-(2+\sqrt{2}) \cos p_{1} t-(2-\sqrt{2}) \cos p_{3} t\right] / 4$.
4.6.3. Используя уравнения движения в усилиях, определить установившееся состояние при движениях, соединенных пружиной маятников (см. задачу 4.2.5), обусловленных ускорениями основания системы, заданными в виде гармоничссисй функции $\ddot{x}_{\text {осн }}=a \sin \omega t$. В этом случае угловые перемещения маятников являюгся абсолютными, а не относительными.
Ответ: $\theta_{1}=-(a / g) \beta_{1} \sin \omega t$.
4.6.4. Рассмотреть обсужденную в задаче 4.2.4 систему, предположив, что в точке $A$ вала задано угловое ускорение, равное $\ddot{\varphi}_{A}=\alpha_{1} t^{2} / t_{1}^{2}$, где $\alpha_{1}-$ величина углового ускорения в момент времени $t_{1}$. Найти угловые перемещения дисков относительно поворота вала в точке $A$, воспользовавшись уравнениями движения в перемещениях.

Oтвет: $\varphi_{1}^{*}=-\alpha_{1} I\left[3 t^{2}-I\left(28,01-27,70 \cos p_{1} t-0,289 \cos p_{2} t-0,020 \cos \times\right.\right.$ $\left.\left.\times p_{3} t\right) / k_{\mathrm{K}}\right] /\left(t_{1}^{2} k_{\mathrm{K}}\right)$.
4.6.5. Пусть дано, что четвертая масса системы из задачи 4.2 .5 перемещается по закону в виде линейной функции $x=d_{1} t / t_{1}$, где $d_{1}$-перемещение в момент времени $t_{1}$. Определить динамические перемещения остальных трех масс, используя уравнения движения в усилиях.

Omвem: $x_{1}=k d_{1}\left[0,242 f_{1}(t)-0,435 f_{2}(t)+0,194 f_{3}(t)\right] /\left(t_{1} m\right)$, где $f_{1}(t)=\left[t-\left(1 / p_{1}\right) \sin p_{1} t\right] / p_{1}^{2}$ и т. д.
4.6.6. Предположим, что левая опора стержня в задаче 4.2 .6 внезапно перемещается на расстояние $d$ в направлении оси $y$. Определить ззкон движения прикрепленных к стержню масс, используя уравнения движения в перемещениях.
Omeem: $y_{1}=d\left(3-1,707 \cos p_{1} t-\cos p_{2} t-0,293 \cos p_{3} t\right) / 4$.
4.6.7. Используя уравнения движения в перемещениях, найти закон движения тройного маятника, обсужденного в задаче 4.2.7, если задано, что точка закрепления маятника перемещается по закону ступенчатой функции $x_{\text {осн }}=d$.
Oтвет: $x_{1}=d\left(1-0,334 \cos p_{1} t-0,314 \cos p_{2} t-0,352 \cos p_{3} t\right)$.
4.6.8. Предположим, что для каркаса здания, рассмотренного в задаче 4.2.8, задано ускорение основания в виде функции $\ddot{x}_{\text {осн }}=a \sin \omega t$. Определить закон установившихся движений перекрытия третьего этажа относительно основания, используя уравнения движения в усилиях.
Oтвет: $x_{1}^{*}=-a \sin \omega t\left(0,334 \beta_{2} / p_{1}^{2}+0,314 \beta_{2} / p_{2}^{2}+0,352 \beta_{3} / p_{3}^{2}\right)$.
4.6.9. Рассмотреть подвешенную на пружинах массу из задачи 4.2.9, предположив, что точка присоединения первой (нижней) пружины к основанию внезапно перемещается на расстояние $d$ в направлении оси $x$. Определить закон движения массы, используя уравнение движения в усилиях.
Oтвет: $x_{1}=d\left(1-0,708 \cos p_{1} t-0,292 \cos p_{3} t\right)$.
4.6.10. Пусть точка $A$ рамы из задачи 4.2.10 совершает малые гармонические угловые перемещения, описываемые функцией $\theta_{A}=\varphi \cos \omega t$ относительно оси, перпендикулярной плоскости $x y$. Найти закон установившегося движения прикрепленных к раме масс, используя уравнения движения в перемещениях.
Omвem: $x_{1}=\varphi l \cos \omega t\left(1,242 \beta_{1} / p_{1}^{2}-0,248 \beta_{2} / p_{2}^{2}+0,007 \beta_{3} / p_{3}^{2}\right)$.
4.6.11. Предположим, что для центральной массы системы, рассмотренной в задаче 4.2.11, задано ускорение в виде параболической функции $\ddot{y}_{2}=a_{1} t^{2} / t_{1}^{2}$, где $a_{1}$ – значение ускорения в момент времени $t_{1}$. Определить закон движения масс $m_{1}$ и $m_{3}$ относительно массы $m_{2}$, используя уравнения движения в усилиях.

Omвem: $y_{1}^{*}=y_{3}^{*}=-a_{1}\left[t^{2}-2(1-\cos p t) p^{2}\right] /\left(p^{2} t_{1}^{2}\right)$, где $p^{2}=3 E I l^{3} m$.
4.6.12. Предположим, что точка крепления нижнего конца расположенной под точкой $C$ пружины в системе из задачи 4.2 .12 совершает гармонические перемещения в направлении оси $y$ по закону $y_{\mathrm{on}}=d \sin \omega t$. Используя уравнения движения в перемещениях, найти закон установившегося движения при таком виде возмущения, если $f=0,91$ м.
Omвem: $y_{1}^{7}=d \sin \omega t\left(0,096 \beta_{1} / p_{1}^{2}-0,096 \beta_{3} / p_{3}^{2}\right)$.