Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В п. 1.4 с помощью метода Релея мы приближенно определили низшую частоту колебаний стержня или вала. При использовании этого метода необходимо сделать некоторое предположение о форме изгиба упругого тела при колебаниях. Соответствующую частоту затем определяют из рассмотрения энергии системы. Задавая определенную форму прогибов, тем самым неявным образом накладывают некоторые дополнительные связи, которые исходную систему сводят к системе с одной степенью свободы. Введение дополнительных связей может только увеличить жесткость системы и тем самым сделать частоту колебаний (при определении ее методом Релея) несколько большей точного значения. Более точные приближения для основной частоты (а также и для частот более высоких форм колебаний) можно получить с помощью метода Ритца *, который представляет собой дальнейшее развитие метода Релея 10,**. При использовании метода Ритца кривая прогибов стержня при коле- баниях задается с помощью несколіьких параметров, величины которых выбирают таким образом, чтобы свести к минимуму частоту колебаний. Способ выбора формы прогибов и процедура вычисления последовательных значений частот будут показаны ниже на простом случае колебаний предварительно растянутой нити (см. также п. 5.8). Если прогибы предварительно растянутой нити малы, можно пренебречь изменением растягивающей силы Для малых прогибов это выражение можно упростить, взяв приближенно Тогда увеличение потенциальной энергии составит Максимальное значение потенциальной энергии будет иметь место в тот момент времени, когда колеблющаяся нить находится в крайнем положении. В этом положении Қинетическая энергия колеблющейся нити Максимальное значение эта энергия имеет в тот момент, когда нить проходит через нейтральное положение, т. е. при Считая, что потери энергии отсутствуют, можно приравнять выражения (б) и (г). В результате получим Задавая различные представления для форм колебаний и подставляя в формулу (5.149) соответствующие выражения для Первым шагом в методе Ритца является выбор подходящего выражения для кривой прогибов. Пусть Известно, что, удерживая конечное число членов ряда (д), тем самым накладывают определенные ограничения на возможные формы кривой прогибов нити. Поэтому частоты, определяемые по формуле (5.149), будут, как правило, превышать точные значения этих частот. Для того чтобы полученное таким образом приближенное значение было как можно ближе к истинному, В. Ритц предложил коэффициенты Выполняя в выражении (5.150) дифференцирование, найдем Представив выражение (5.149) в форме можем записать Подставляя представление (д) для Рис. 5.29 Для того чтобы показать, насколько быстро повышается точность вычислений с увеличением числа членов ряда (ж), возьмем только один член Интегралы *, входящие в формулу (5.149): Подставляя эти величины в формулу (5.149), найдем Сравнивая это значение с точным решением Для того чтобы получить более точное значение частоты, удержим в ряде (ж) два члена. Тогда будем иметь два параметра найдем Подставив эти выражения в равенство (5.151) и продифефренцировав результат по где Определитель уравнений (л) и (м) должен быть равен нулю, что дает Два корня этого уравнения Сравнивая эти значения с точными видим, что точность, с которой определяется основная частота колебаний, очень велика (ошибка составляет 0,00081\%). С другой стороны, ошибка определения частоты колебаний по третьей форме составляет Из сказанного следует, что при использовании метода Релея-Ритца можно определить с высокой точностью не только частоту основной формы колебаний, но также и частоты более высоких форм, удержав достаточное число членов в представлении для кривой прогибов.
|
1 |
Оглавление
|