Главная > Колебания в инженерном деле" (С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В п. 1.4 с помощью метода Релея мы приближенно определили низшую частоту колебаний стержня или вала. При использовании этого метода необходимо сделать некоторое предположение о форме изгиба упругого тела при колебаниях. Соответствующую частоту затем определяют из рассмотрения энергии системы. Задавая определенную форму прогибов, тем самым неявным образом накладывают некоторые дополнительные связи, которые исходную систему сводят к системе с одной степенью свободы. Введение дополнительных связей может только увеличить жесткость системы и тем самым сделать частоту колебаний (при определении ее методом Релея) несколько большей точного значения. Более точные приближения для основной частоты (а также и для частот более высоких форм колебаний) можно получить с помощью метода Ритца *, который представляет собой дальнейшее развитие метода Релея 10,**. При использовании метода Ритца кривая прогибов стержня при коле-

баниях задается с помощью несколіьких параметров, величины которых выбирают таким образом, чтобы свести к минимуму частоту колебаний. Способ выбора формы прогибов и процедура вычисления последовательных значений частот будут показаны ниже на простом случае колебаний предварительно растянутой нити (см. также п. 5.8).

Если прогибы предварительно растянутой нити малы, можно пренебречь изменением растягивающей силы S при колебаниях. Тогда увеличение потенциальной энергии деформации, обусловленной прогибами, можно получить, умножив силу на приращение длины нити. В изогнутом состоянии длина нити равна
L=0l1+(dydx)2dx.

Для малых прогибов это выражение можно упростить, взяв приближенно
L0l[1+12(dydx)2]dx.

Тогда увеличение потенциальной энергии составит
ΔU12S0l(dydx)2dx.

Максимальное значение потенциальной энергии будет иметь место в тот момент времени, когда колеблющаяся нить находится в крайнем положении. В этом положении ymax=X. Тогда из выражения (a) следует
ΔUmax12S0l(dXdx)2dx.

Қинетическая энергия колеблющейся нити
T=12m0l(y˙)2dx.

Максимальное значение эта энергия имеет в тот момент, когда нить проходит через нейтральное положение, т. е. при y˙max=pX. Отсюда имеем
Tmax=12p2m0lX2dx.

Считая, что потери энергии отсутствуют, можно приравнять выражения (б) и (г). В результате получим
p2=Sm0l(dXdx)2dx|0lX2dx.

Задавая различные представления для форм колебаний и подставляя в формулу (5.149) соответствующие выражения для X, можем подсчитать приближенные значения частот колебаний по этим формам.

Первым шагом в методе Ритца является выбор подходящего выражения для кривой прогибов. Пусть Φ1(x),Φ2(x), — последовательность функций Φn(x), соответствующим образом описывающих выражение X и удовлетворяющих концевым условиям. Тогда можем записать
X=a1Φ1(x)+a2Φ2(x)+a3Φ3(x)+

Известно, что, удерживая конечное число членов ряда (д), тем самым накладывают определенные ограничения на возможные формы кривой прогибов нити. Поэтому частоты, определяемые по формуле (5.149), будут, как правило, превышать точные значения этих частот. Для того чтобы полученное таким образом приближенное значение было как можно ближе к истинному, В. Ритц предложил коэффициенты a1,a2,a3,, входящие в представление (д), выбирать таким образом, чтобы квадрат частоты p2 в формуле (5.149) принимал наименьшее значение. В соответствии с этим можно получить систему уравнений, каждое из которых имеет вид
an0l(dXdx)2dx|0lX2dx=0.

Выполняя в выражении (5.150) дифференцирование, найдем
0lX2dxan0l(dXdx)2dx0l(dXdx)2dxan0lX2dx=0.

Представив выражение (5.149) в форме
0l(dXdx)2dx=p2mS0lX2dx

можем записать
an0t[(dXdx)2p2mSX2]dx=0.

Подставляя представление (д) для X в равенство (5.151) и выполнив указанные действия, получим систему уравнений, которые являются однородными и линейными относительно a1,a2,a3, Число таких уравнений будет равно числу коэффициентов a1,a2,a3,, в представлении (д). Подобная система уравнений будет иметь решение, отличное от нуля, только в том случае, если равен нулю определитель матрицы коэффициентов при a1,a2,a3, Из этого условия получается частотное уравнение, решив которое можно определить частоты колебаний по различным формам.

Рис. 5.29
Рассмотрим симметричные относительно середины пролета формы колебаний предварительно растянутой нити (рис. 5.29,aε ). Легко показать, что функция вида y=l2x2, описывающая симметричную параболу и удовлетворяющая концевому условию (y)x=±t=0, достаточно хорошо описывает форму колебаний, показанную на рис. 5.29, а. Умножив эту функцию на x2,x4,, получим набор также симметричных кривых, удовлетворяющих концевым условиям. Используя указанный прием, получим следующее выражение для кривой прогибов при колебаниях нити:
X=a1(l2x2)+a2x2(l2x2)++a3x4(l2x2)+.

Для того чтобы показать, насколько быстро повышается точность вычислений с увеличением числа членов ряда (ж), возьмем только один член
X1=a1(l2x2).

Интегралы *, входящие в формулу (5.149):
0l(X1)2dx=815a12l5;0l(dX1dx)2dx=43a12l3.

Подставляя эти величины в формулу (5.149), найдем
p12=5S/2l2m

Сравнивая это значение с точным решением p12=π2S/4l2m, видим, что ошибка при определении частоты составляет примерно 0,66%. Таким образом, форма прогибов полностью определяется при удержании только одного члена ряда (ж), при этом исходная система сводится к системе с одной степенью свободы, как и при использовании метода Релея.

Для того чтобы получить более точное значение частоты, удержим в ряде (ж) два члена. Тогда будем иметь два параметра a1 и a2. Изменяя их отношение, можно также изменять (в определенной мере) форму прогибов. Наилучшее приближение соответствует такому отношению, при котором формула (5.149) дает минимальное значение частоты, для чего требуется выполнение условия (5.151). Взяв в качестве второго приближения

найдем
X2=a1(l2x2)+a2x2(l2x2),
0lX22dx=815a12l5+16105a1a2l7+8315a22l9;0l(dX2dx)2dx=43a12l3+815a1a2l5+44105a22l7.

Подставив эти выражения в равенство (5.151) и продифефренцировав результат по a1 и a2, получим
(125k2l2)a1+l2(15235k2l2)a2=0;(127k2l2)a1+l2(117221k2l2)a2=0,

где
k2=p2 m/S.

Определитель уравнений (л) и (м) должен быть равен нулю, что дает
k4l428k2l2+63=0.

Два корня этого уравнения k12l2=2,46744;k22l2=25,6. Учитывая, что рассматриваются только формы колебаний, симметричные относительно середины пролета, и принимая во внимание обозначение (н), для первой и второй форм колебаний найдем
p12=2,46744S/l2m;p32=25,6S/l2m.

Сравнивая эти значения с точными
p12=π2S4l2m=2,46740Sl2m;p32=9π2S4l2m=22,207Sl2m,

видим, что точность, с которой определяется основная частота колебаний, очень велика (ошибка составляет 0,00081\%). С другой стороны, ошибка определения частоты колебаний по третьей форме составляет 7,4%. При удержании трех членов ряда (ж) частота колебаний по третьей форме будет получена с ошибкой, не превышающей 0,5%.

Из сказанного следует, что при использовании метода Релея-Ритца можно определить с высокой точностью не только частоту основной формы колебаний, но также и частоты более высоких форм, удержав достаточное число членов в представлении для кривой прогибов.
В следующем параграфе будет показано применение метода Релея—Ритца к исследованию колебаний стержня переменного поперечного сечения. Другой метод Ритца будет также описан и применен для расчета примеров.

1
Оглавление
email@scask.ru