В п. 1.4 с помощью метода Релея мы приближенно определили низшую частоту колебаний стержня или вала. При использовании этого метода необходимо сделать некоторое предположение о форме изгиба упругого тела при колебаниях. Соответствующую частоту затем определяют из рассмотрения энергии системы. Задавая определенную форму прогибов, тем самым неявным образом накладывают некоторые дополнительные связи, которые исходную систему сводят к системе с одной степенью свободы. Введение дополнительных связей может только увеличить жесткость системы и тем самым сделать частоту колебаний (при определении ее методом Релея) несколько большей точного значения. Более точные приближения для основной частоты (а также и для частот более высоких форм колебаний) можно получить с помощью метода Ритца *, который представляет собой дальнейшее развитие метода Релея 10,**. При использовании метода Ритца кривая прогибов стержня при коле-

баниях задается с помощью несколіьких параметров, величины которых выбирают таким образом, чтобы свести к минимуму частоту колебаний. Способ выбора формы прогибов и процедура вычисления последовательных значений частот будут показаны ниже на простом случае колебаний предварительно растянутой нити (см. также п. 5.8).

Если прогибы предварительно растянутой нити малы, можно пренебречь изменением растягивающей силы $\mathcal{S}$ при колебаниях. Тогда увеличение потенциальной энергии деформации, обусловленной прогибами, можно получить, умножив силу на приращение длины нити. В изогнутом состоянии длина нити равна
\[
L=\int_{0}^{l} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x .
\]

Для малых прогибов это выражение можно упростить, взяв приближенно
\[
L \approx \int_{0}^{l}\left[1+\frac{1}{2}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}\right] d x .
\]

Тогда увеличение потенциальной энергии составит
\[
\Delta U \approx \frac{1}{2} S \int_{0}^{l}\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2} d x .
\]

Максимальное значение потенциальной энергии будет иметь место в тот момент времени, когда колеблющаяся нить находится в крайнем положении. В этом положении $y_{\max }=X$. Тогда из выражения (a) следует
\[
\Delta U_{\max } \approx \frac{1}{2} S \int_{0}^{l}\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2} d x .
\]

Қинетическая энергия колеблющейся нити
\[
T=\frac{1}{2} m \int_{0}^{l}(\dot{y})^{2} d x .
\]

Максимальное значение эта энергия имеет в тот момент, когда нить проходит через нейтральное положение, т. е. при $\dot{y}_{\max }=p X$. Отсюда имеем
\[
T_{\max }=\frac{1}{2} p^{2} m \int_{0}^{l} X^{2} d x .
\]

Считая, что потери энергии отсутствуют, можно приравнять выражения (б) и (г). В результате получим
\[
\left.p^{2}=\frac{S}{m} \int_{0}^{l}\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2} d x \right\rvert\, \int_{0}^{l} X^{2} d x .
\]

Задавая различные представления для форм колебаний и подставляя в формулу (5.149) соответствующие выражения для $X$, можем подсчитать приближенные значения частот колебаний по этим формам.

Первым шагом в методе Ритца является выбор подходящего выражения для кривой прогибов. Пусть $\Phi_{1}(x), \Phi_{2}(x), \ldots$ – последовательность функций $\Phi_{n}(x)$, соответствующим образом описывающих выражение $X$ и удовлетворяющих концевым условиям. Тогда можем записать
\[
X=a_{1} \Phi_{1}(x)+a_{2} \Phi_{2}(x)+a_{3} \Phi_{3}(x)+\ldots
\]

Известно, что, удерживая конечное число членов ряда (д), тем самым накладывают определенные ограничения на возможные формы кривой прогибов нити. Поэтому частоты, определяемые по формуле (5.149), будут, как правило, превышать точные значения этих частот. Для того чтобы полученное таким образом приближенное значение было как можно ближе к истинному, В. Ритц предложил коэффициенты $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$, входящие в представление (д), выбирать таким образом, чтобы квадрат частоты $p^{2}$ в формуле (5.149) принимал наименьшее значение. В соответствии с этим можно получить систему уравнений, каждое из которых имеет вид
\[
\left.\frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{l}\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2} d x \right\rvert\, \int_{0}^{l} X^{2} d x=0 .
\]

Выполняя в выражении (5.150) дифференцирование, найдем
\[
\int_{0}^{l} X^{2} d x \frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{l}\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2} d x-\int_{0}^{l}\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2} d x \frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{l} X^{2} d x=0 .
\]

Представив выражение (5.149) в форме
\[
\int_{0}^{l}\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2} d x=\frac{p^{2} m}{S} \int_{0}^{l} X^{2} d x
\]

можем записать
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{t}\left[\left(\frac{d X}{d x}\right)^{2}-\frac{p^{2} m}{S} X^{2}\right] d x=0 .
\]

Подставляя представление (д) для $X$ в равенство (5.151) и выполнив указанные действия, получим систему уравнений, которые являются однородными и линейными относительно $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ Число таких уравнений будет равно числу коэффициентов $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$, в представлении (д). Подобная система уравнений будет иметь решение, отличное от нуля, только в том случае, если равен нулю определитель матрицы коэффициентов при $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ Из этого условия получается частотное уравнение, решив которое можно определить частоты колебаний по различным формам.

Рис. 5.29
Рассмотрим симметричные относительно середины пролета формы колебаний предварительно растянутой нити (рис. $5.29, a-\varepsilon$ ). Легко показать, что функция вида $y=l^{2}-x^{2}$, описывающая симметричную параболу и удовлетворяющая концевому условию $(y)_{x= \pm t}=0$, достаточно хорошо описывает форму колебаний, показанную на рис. 5.29, а. Умножив эту функцию на $x^{2}, x^{4}, \ldots$, получим набор также симметричных кривых, удовлетворяющих концевым условиям. Используя указанный прием, получим следующее выражение для кривой прогибов при колебаниях нити:
\[
\begin{aligned}
X= & a_{1}\left(l^{2}-x^{2}\right)+a_{2} x^{2}\left(l^{2}-x^{2}\right)+ \\
& +a_{3} x^{4}\left(l^{2}-x^{2}\right)+\cdots .
\end{aligned}
\]

Для того чтобы показать, насколько быстро повышается точность вычислений с увеличением числа членов ряда (ж), возьмем только один член
\[
X_{1}=a_{1}\left(l^{2}-x^{2}\right) .
\]

Интегралы *, входящие в формулу (5.149):
\[
\int_{0}^{l}\left(X_{1}\right)^{2} d x=\frac{8}{15} a_{1}^{2} l^{5} ; \int_{0}^{l}\left(\frac{d X_{1}}{d x}\right)^{2} d x=\frac{4}{3} a_{1}^{2} l^{3} .
\]

Подставляя эти величины в формулу (5.149), найдем
\[
p_{1}^{2}=5 S / 2 l^{2} m \text {. }
\]

Сравнивая это значение с точным решением $p_{1}^{2}=\pi^{2} S / 4 l^{2} m$, видим, что ошибка при определении частоты составляет примерно $0,66 \%$. Таким образом, форма прогибов полностью определяется при удержании только одного члена ряда (ж), при этом исходная система сводится к системе с одной степенью свободы, как и при использовании метода Релея.

Для того чтобы получить более точное значение частоты, удержим в ряде (ж) два члена. Тогда будем иметь два параметра $a_{1}$ и $a_{2}$. Изменяя их отношение, можно также изменять (в определенной мере) форму прогибов. Наилучшее приближение соответствует такому отношению, при котором формула (5.149) дает минимальное значение частоты, для чего требуется выполнение условия (5.151). Взяв в качестве второго приближения

найдем
\[
X_{2}=a_{1}\left(l^{2}-x^{2}\right)+a_{2} x^{2}\left(l^{2}-x^{2}\right),
\]
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{l} X_{2}^{2} d x=\frac{8}{15} a_{1}^{2} l^{5}+\frac{16}{105} a_{1} a_{2} l^{7}+\frac{8}{315} a_{2}^{2} l^{9} ; \\
\int_{0}^{l}\left(\frac{d X_{2}}{d x}\right)^{2} d x=\frac{4}{3} a_{1}^{2} l^{3}+\frac{8}{15} a_{1} a_{2} l^{5}+\frac{44}{105} a_{2}^{2} l^{7} .
\end{array}
\]

Подставив эти выражения в равенство (5.151) и продифефренцировав результат по $a_{1}$ и $a_{2}$, получим
\[
\begin{array}{l}
\left(1-\frac{2}{5} k^{2} l^{2}\right) a_{1}+l^{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{35} k^{2} l^{2}\right) a_{2}=0 ; \\
\left(1-\frac{2}{7} k^{2} l^{2}\right) a_{1}+l^{2}\left(\frac{11}{7}-\frac{2}{21} k^{2} l^{2}\right) a_{2}=0,
\end{array}
\]

где
\[
k^{2}=p^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{S} .
\]

Определитель уравнений (л) и (м) должен быть равен нулю, что дает
\[
k^{4} l^{4}-28 k^{2} l^{2}+63=0 .
\]

Два корня этого уравнения $k_{1}^{2} l^{2}=2,46744 ; k_{2}^{2} l^{2}=25,6$. Учитывая, что рассматриваются только формы колебаний, симметричные относительно середины пролета, и принимая во внимание обозначение (н), для первой и второй форм колебаний найдем
\[
p_{1}^{2}=2,46744 S / l^{2} m ; p_{3}^{2}=25,6 S / l^{2} m .
\]

Сравнивая эти значения с точными
\[
p_{1}^{2}=\frac{\pi^{2} S}{4 l^{2} m}=\frac{2,46740 S}{l^{2} m} ; \quad p_{3}^{2}=\frac{9 \pi^{2} S}{4 l^{2} m}=\frac{22,207 S}{l^{2} m},
\]

видим, что точность, с которой определяется основная частота колебаний, очень велика (ошибка составляет 0,00081\%). С другой стороны, ошибка определения частоты колебаний по третьей форме составляет $7,4 \%$. При удержании трех членов ряда (ж) частота колебаний по третьей форме будет получена с ошибкой, не превышающей $0,5 \%$.

Из сказанного следует, что при использовании метода Релея-Ритца можно определить с высокой точностью не только частоту основной формы колебаний, но также и частоты более высоких форм, удержав достаточное число членов в представлении для кривой прогибов.
В следующем параграфе будет показано применение метода Релея–Ритца к исследованию колебаний стержня переменного поперечного сечения. Другой метод Ритца будет также описан и применен для расчета примеров.