Двумерным аналогом предварительно растянутой колеблющейся нити (или струны), рассмотренной в п. 5.8, является предварительно растянутая мембрана ${ }^{12}$. В последующем обсуждении предполагается, что мембрана является идеально гибкой, тонкой и постоянной толщины. Кроме того, она растянута одинаковым во всех направлениях и настолько большим равномерно распределенным усилием,

Рис. 5.35
что можно пренебречь малыми изменениями этих усилий, обусловленных малыми прогибами, возникающими при колебаниях. Взяв за плоскость мембраны плоскость $x y$, введем следующие обозначения: $v$ – перемещение произвольной точки мембраны в направлении, перпендикулярном плоскости $x y ; \quad S$ – равномерное удельное растягивающее усилие, приложенное на границе (рис. 5.35); w- вес единицы площади мембраны.
Приращение потенциальной энергии изогнутой мембраны можно найти, умножив равномерное растягивающее усилие $S$ на приращение площади мембраны. В изогнутом положении площадь поверхности мембраны
\[
F=\iint \sqrt{1+\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^{2}} d x d y .
\]

Для малых прогибов это выражение можно приближенно взять в виде
\[
F \approx \iint\left\{1+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y .
\]

Тогда приращение потенциальной энергии будет равно
\[
\Delta U \approx \frac{1}{2} S \iint\left\{\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y .
\]

Кинетическая энергия колеблющейся мембраны
\[
T=\frac{w}{2 g} \iint \dot{v}^{2} d x d y .
\]

Ниже будут исследованы динамические характеристики различного вида мембран.

Прямоугольные мембраны. Пусть $a$ и $b$ – стороны прямоугольной мембраны, показанной на рис. 5.35. Независимо от вида функции координат $v$ в пределах прямоугольной области ее всегда можно представить в виде двойного ряда
\[
v=\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_{m n} \sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b},
\]

где коэффициенты $\varphi_{m n}$ являются функциями времени. Легко видеть, что каждый член ряда (в) удовлетворяет граничным условиям, а именно: при $x=0$ и $x=a$ имеем $v=0$ и при $y=0$ и $y=b$ имеем

$v=0$. Подставляя представление (в) в выражение (а) для приращения потенциальной энергии, получим
\[
\begin{aligned}
\Delta U \approx & \frac{S \pi^{2}}{2} \int_{0}^{a} \int_{0}^{b}\left\{\left(\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_{m n} \frac{m}{a} \cos \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+\left(\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \varphi_{m n} \frac{n}{b} \sin \frac{m \pi x}{a} \cos \frac{n \pi y}{b}\right)^{2}\right\} d x d y .
\end{aligned}
\]

Проинтегрировав это выражение по площади мембраны, с учетом приведенных в п. 1.1 равенств найдем
\[
\Delta U \approx \frac{S}{2} \frac{a b \pi^{2}}{4} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right) \varphi_{m n}^{2} .
\]

Аналогичным образом можно с помощью выражения (б) вычислить кинетическую энергию
\[
T=\frac{w a b}{8 g} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{m n}^{2} .
\]

Сила инерции, действующая на малый элемент мембраны, равна – (w/g) $\ddot{v} d x d y$. Поступая, как и выше, и взяв возможное перемещение в виде $\delta v_{m n}=\delta \varphi_{m n} \sin (m \pi x / a)$ sin $(n \pi y / b)$, получим дифференциальное уравнение движения в главных координатах при свободных колебаниях
\[
\frac{w a b}{4 g} \ddot{\varphi}_{m n}+S \frac{a b \pi^{2}}{4}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right) \varphi_{m n}=0,
\]

отсюда следует
\[
f_{m n}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g S}{w}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right)} .
\]

Частоту колебаний по основной форме получим, положив $m=$ $=n=1$, что дает
\[
f_{11}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g S}{w}\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\right)} .
\]

Изогнутая форма мембраны в этом случае определяется первым членом ряда (в):
\[
v=C \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{b} .
\]

Как видно из уравнения (е), подобные члены ряда (в) представляют нормальные функции для рассматриваемого случая. Если мембрана является квадратной в плане $(a=b)$, частота, соответствующая низшей форме колебаний:
\[
f_{11}=\frac{1}{a} \sqrt{\frac{g S}{2 w}} .
\]

Рис. 5.36

Эта частота прямо пропорциональна квадратному корню из усилия $S$ и обратно пропорциональна длине $a$ и квадратному корню из веса ш единицы площади пластины.

Следующие две высшие формы колебаний получим, положив одно из чисел $m$ или $n$ равным 2 , а другое 1 . Эти две формы имеют одну и ту же частоту (при $a=b$ ), но различные конфигурации. На рис. 5.36, $a$ и б показаны узловые линии ${ }^{13}$ для этих двух форм колебаний (на этих линиях прогибы при колебаниях равны нулю). Поскольку, как уже говорилось выше, эти частоты совпадают, интересно посмотреть, что получится при наложении данных поверхностей друг на друга, если задавать различные отношения их максимальных прогибов. Получающаяся в результате наложения комбинация имеет вид
\[
v=C \sin \frac{2 \pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{a}+D \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{2 \pi y}{a},
\]

где $C$ и $D$ – произвольные малые постоянные. Четыре частных случая подобных комбинированных колебаний показаны на рис. 5.36, $a-2$. Положив $D=0$, получим случай колебаний, упоминавшийся выше и представленный на рис. 5.36, $a$. Колеблющуюся мембрану разбиваем на две равные части узловой линией, параллельной оси $y$. При $C=0$ мембрану разбиваем на две части узловой линией, параллельной оси $x$, как показано на рис. 5.36 , б. При $C=D$ получаем
\[
\begin{aligned}
v & =C\left(\sin \frac{2 \pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{a}+\sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{2 \pi y}{a}\right)= \\
& =2 C \sin \frac{\pi x}{a} \sin \frac{\pi y}{a}\left(\cos \frac{\pi x}{a}+\cos \frac{\pi y}{a}\right) .
\end{aligned}
\]

Это выражение принимает нулевые значения при $\sin (\pi x / a)=0$ или $\sin (\pi y / a)=0$, а также при $\cos (\pi x / a)+\cos (\pi y / b)=0$. Первые два уравнения имеют в качестве решения границы мембраны, а из третьего уравнения получаем $\pi x / a=\pi-(\pi y / a)$ или $x+$ $+y=a$.

Это равенство является уравнением одной диагонали квадрата (см. рис. 5.36, в). С другой стороны, на рис. 5.36, г представлен случай, когда $C=-D$. Қаждую из половин мембраны, образующихся

в двух последних случаях, можно рассматривать как независимо колеблющуюся треугольную мембрану. Частоту любой из показанных на рис. 5.36, a-2 форм колебаний находим по формуле (5.167), что дает
\[
f=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{g S}{w}\left(\frac{4}{a^{2}}+\frac{1}{a^{2}}\right)}=\frac{1}{2 a} \sqrt{\frac{5 g S}{w}} .
\]

Точно также можно рассмотреть высшие формы колебаний квадратной или прямоугольной мембраны *.

Рассмотрим теперь вынужденные колебания, для которых дифференциальное уравнение движения (е) имеет вид
\[
\frac{w a b}{4 g} \ddot{\varphi}_{m n}+S \frac{a b \pi^{2}}{4}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right) \varphi_{m n}=Q_{m n},
\]

где $Q_{m n}$ выбирается таким образом, чтобы произведение $Q_{m n} \delta \varphi_{m n}$ представляло возможную работу возмущающих сил в главных координатах. В качестве примера возьмем гармоническую силу $P_{1}(t)=P \cos \omega t$, приложенную в центре мембраны. Вводя возможное перемещение $\delta w_{m n}$ мембраны [см. выражение (в) ], найдем совершаемую силой возможную работу
\[
\begin{aligned}
\delta W_{P} & =P \cos \omega t \delta \varphi_{m n} \sin (m \pi / 2) \times \\
& \times \sin (n \pi / 2)=Q_{m n} \delta \varphi_{m n} .
\end{aligned}
\]

Из этого выражения видно, что когда $m$ и $n$ – нечетные числа, то имеем $Q_{m n}= \pm P \cos \omega t$, в противном случае $Q_{m n}=0$. Учитывая это, из уравнения (з) с помощью интеграла Дюамеля получаем
\[
\begin{aligned}
\varphi_{m n} & = \pm \frac{4 g P}{a b w p_{m n}} \int_{0}^{t} \sin p_{m n}\left(t-t^{\prime}\right) \cos \omega t^{\prime} d t^{\prime}= \\
& = \pm \frac{4 g P}{a b w\left(p_{m n}^{2}-\omega^{2}\right)}\left(\cos \omega t-\cos p_{m n} t\right)
\end{aligned}
\]

где $m$ и $n$ – нечетные числа;
\[
p_{m n}^{2}=\frac{g S \pi^{2}}{w}\left(\frac{m^{2}}{a^{2}}+\frac{n^{2}}{b^{2}}\right) .
\]

Подставляя выражение (л) в представление (в), получим общее решение для рассматриваемого случая.

Когда на мембрану действует распределенная возмущающая сила $Q(x, y, t)$, имеем
\[
Q_{m n}=\int_{0}^{b} \int_{0}^{a} Q \sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b} d x d y .
\]

Предположим, например, что в начальный момент времени $t \Rightarrow 0$ к мембране внезапно прикладывается равномерно распределенное давление $Q_{0}$. Тогда выражение (к) принимает вид
\[
Q_{m n}=\frac{a b Q_{0}}{m n \pi^{2}}(1-\cos m \pi)(1-\cos n \pi) .
\]

Когда $m$ и $n$ являются нечетными числами, из этого выражения получаем
\[
Q_{m n}=4 a b Q_{0} /\left(m n \pi^{2}\right) .
\]

В других случаях нагрузка $Q_{m n}$ равна нулю. Подставляя выражение (л) в уравнение (з) и предполагая, что в начальный момент времени мембрана находится в покое, имеем
\[
\varphi_{m n}=\frac{16 g Q_{0}\left(1-\cos p_{m n} t\right)}{w m n \pi^{2} p_{m n}^{2}} .
\]

Отсюда получаем выражение для динамических прогибов при колебаниях, обусловленных внезапно приложенным давлением $Q_{0}$ :
\[
v=\frac{16 g Q_{0}}{\pi^{2} \omega} \sum_{m} \sum_{n} \frac{1-\cos p_{m n} t}{m n p_{m n}^{2}} \sin \frac{m \pi x}{a} \sin \frac{n \pi y}{b},
\]

где $m$ и $n$ – нечетные числа.
Метод Релея-Ритца. При определении частот собственных форм колебаний мембран может оказаться очень полезным метод Релея-Ритца. Для того чтобы воспользоваться этим методом, предположим, что прогибы колеблющейся мембраны задаются выражением
\[
v=Z \cos (p t-\alpha),
\]

где $Z$ – функция координат $x$ и $y$, которая соответствующим образом описывает форму прогибов мембраны, т. е. форму колебаний. Подставляя прогибы (о) в выражение (а) для приращения потенциальной энергии, найдем, что максимальное его значение
\[
\Delta U_{\max } \approx \frac{S}{2} \iint\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Z}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y,
\]

а максимальное значение кинетической энергии в соответствии с выражением (б) составляет
\[
T_{\max }=\frac{w}{2 g} p^{2} \iint Z^{2} d x d y .
\]

Приравнивая друг другу выражения (п) и (р), находим
\[
p^{2}=\frac{S g}{w} \frac{\iint\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Z}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y}{\iint Z^{2} d x d y} .
\]

Применяя метод Релея-Ритца, возьмем выражение для функции $Z$, описывающей поверхность прогибов мембраны, в виде ряда
\[
\begin{aligned}
Z= & a_{1} \Phi_{1}(x, y)+a_{2} \Phi_{2}(x, y)+ \\
& +a_{3} \Phi_{3}(x, y)+\cdots,
\end{aligned}
\]

каждый член которого удовлетворяет условиям на границе. (Прогибы на границе мембраны должны быть равны нулю). Коэффициенты $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ этого ряда должны быть выбраны такими, чтобы выражение (с) давало минимальное значение для $p^{2}$. Таким образом, имеем
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \iint\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Z}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y / \iint Z^{2} d x d y=0
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\iint Z^{2} d x d y \frac{\partial}{\partial a_{n}} \iint\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Z}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y- \\
-\iint\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Z}{\partial y}\right)^{2}\right\} d x d y \frac{\partial}{\partial a_{n}} \iint Z^{2} d x d y=0 .
\end{array}
\]

Подставляя в последнее равенство выражение (с), найдем
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \iint\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Z}{\partial y}\right)^{2}-\frac{p^{2} w}{g S} Z^{2}\right\} d x d y=0 .
\]

Таким образом получаем столько уравнений типа (у), сколько имеется коэффициентов в ряде (т). Все эти уравнения будут линейными относительно неизвестных коэффициентов $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ Частотное уравнение для мембраны получаем приравниванием нулю определителя этой системы уравнений.

Рассматривая, например, формы колебаний квадратной мембраны, симметричные относительно осей $x$ и $y$ (рис. 5.37), ряд (т) можно взять в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
Z=\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(a^{2}-y^{2}\right)\left(a_{1}+a_{2} x^{2}+\right. \\
\left.+a_{3} y^{2}+a_{4} x^{2} y^{2}+\cdots\right) .
\end{array}
\]

Каждый член этого ряда принимает нулевые значения при $x=$ $=y= \pm a$. Тем самым будут удовлетворяться граничные условия.

Для мембраны в форме выпуклого многоугольника граничные условия будут удовлетворяться, если взять
\[
\begin{aligned}
Z= & {\left[( a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } ) \left(a_{2} x+b_{2} y+\right.\right.} \\
& \left.\left.+c_{2}\right) \ldots\right] \sum_{m} \sum_{n} a_{m n} x^{m} y^{n},
\end{aligned}
\]

где $a_{1} x+b_{1} y+c_{1}=0, \ldots-$ уравнения сторон многоугольника. Удержав в этом ряду только первый член ( $m=0, n=0$ ), можно определить, как правило, с достаточной точностью основную форму колебаний. Если требуется найти частоты высших форм колебаний, необходимо удержать большее число членов ряда.
Рис. 5.37

Круговые мембраны. Рассмотрим теперь простейший случай колебания круговой мембраны, когда поверхность ее прогибов симметрична относительно центра круга. В этом случае прогибы зависят только от расстояния по радиусу $r$, а граничным условиям можно удовлетворить с помощью ряда
\[
Z=a_{1} \cos (\pi r / 2 a)+a_{2} \cos (3 \pi r / 2 a)+\cdots,
\]

где $a$ – радиус границы.
Для удобства воспользуемся полярной системой координат, тогда выражение (п) необходимо представить в следующей форме:
\[
\Delta U_{\max } \approx \frac{S}{2} \int_{0}^{a}\left(\frac{\partial Z}{\partial r}\right)^{2} 2 \pi r d r .
\]

Затем вместо выражения (p) следует взять
\[
T_{\max }=\frac{w}{2 g} p^{2} \int_{0}^{a} Z^{2} 2 \pi r d r,
\]

а равенство (у) заменить на следующее:
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{a}\left\{\left(\frac{\partial Z}{\partial r}\right)^{2}-\frac{p^{2} w}{g S} Z^{2}\right\} 2 \pi r d r=0 .
\]

Удержав .в ряду (ф) только один член и подставив представление $Z=a_{1} \cos (\pi r / 2 a)$ в равенство ( $\left.\mathrm{y}^{\prime}\right)$, получим
\[
\frac{\pi^{2}}{4 a^{2}} \int_{0}^{a} \sin ^{2} \frac{\pi r}{2 a} r d r=\frac{p^{2} w}{g S} \int_{0}^{a} \cos ^{2} \frac{\pi r}{2 a} r d r,
\]

откуда следует
\[
\frac{\pi^{2}}{4 a^{2}}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{\pi^{2}}\right)=\frac{p^{2} w}{g S}\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi^{2}}\right)
\]

или
\[
p=\frac{2,415}{a} \sqrt{\frac{\overline{g S}}{\omega} .}
\]

Точное решение * в этом случае имеет вид
\[
p=\frac{2,404}{a} \sqrt{\frac{\bar{g} \bar{S}}{w} .}
\]

Ошибка первого приближения не превышает $0,5 \%$.
Для того чтобы получить более точное приближение для основной формы колебаний, а также для частот более высоких форм колебаний, необходимо удержать большее число членов ряда (ф). Эти

формы колебаний будут иметь одну, две, три и т. д. узловых окружностей, на которых равны нулю прогибы при колебаниях.

Кроме форм колебаний, симметричных относительно центра, круговая мембрана может иметь также такие формы, при которых образуются один, два, три и т. д. диаметров круга, называемых узловыми диаметрами, на которых прогибы при колебаниях равны

Рис. 5.38 нулю. Несколько форм колебаний круговой мембраны показаны на рис. 5.38, где узловые окружности и узловые диаметры изображены штриховыми линиями.

Во всех случаях величину $p_{n s}$, представляющую собой частоту, можно выразить в виде
\[
p_{n s}=\frac{\alpha_{n s}}{a} \sqrt{\frac{\overline{g S}}{w}} .
\]

Значения входящих в эту формулу постоянных $\alpha_{n s}$ приведены в табл. 5.1 *, где $n$ – число узловых диаметров, $s$ – число узловых окружностей. (Граничная окружность входит в число последних).
5.1. Значения $\alpha_{n s}$ для круговой мембраны
В предыдущих обсуждениях предполагалось, что мембрана представляет сплошной круг и что она закреплена только на граничной окружности. Полученные выше результаты также могут быть использованы в качестве решения других задач, таких, как мембраны, ограниченные двумя окружностями и двумя радиусами, или мембраны в форме секторов. Рассмотрим, например, мембрану в форме половины круга. Все возможные формы колебаний этой мем-
браны будут входить в число тех форм, которые образуются при колебании круговой мембраны. При этом необходимо только один из узловых диаметров круговой мембраны считать за жестко защемленную границу.

Когда граница мембраны несколько отличается от круговой, частота низшей формы колебаний мембраны примерно равна частоте круговой мембраны, имеющей ту же площадь и то же значение величины $g S / w$. В общем случае формулу для определения частоты основной формы колебаний мембраны можно взять в виде
\[
p=\alpha \sqrt{\frac{\overline{g S}}{w F}},
\]

где $F$ – площадь мембраны. Ниже приведены значения постоянной $\alpha$, стоящей в этой формуле и показывающей влияние на частоту отношения от круговой формы *:

Круг
Квадрат
Четверть круга
Сектор круга с углом раствора $60^{\circ}$
Прямоугольник ( $a / b=3 / 2$ )
Равносторонний треугольник
Половина круга
Прямоугольник $(a / b=2 / 1)$
Прямоугольник ( $a / b=3 / 1$ )
\[
\begin{array}{l}
\alpha=2,404 \sqrt{\pi}=4,261 \\
\alpha=\pi / 2=4,443 \\
\alpha=(5,135 / 2) / \sqrt{\pi}=4,551 \\
\alpha=6,379 \sqrt{\pi / 6}=4,616 \\
\alpha=\pi \sqrt{13 / 6}=4,624 \\
\alpha=2 \pi \sqrt{\operatorname{tg} 30^{\circ}}=4,774 \\
\alpha=3,832 \sqrt{\pi / 12}=4,803 \\
\alpha=\pi \sqrt{5 / 2}=4,967 \\
\alpha=\pi \sqrt{10 / 3}=5,736
\end{array}
\]

В тех случаях, когда граница отличается от рассмотренных выше, исследование колебаний представляет значительные математические трудности. Однако для случая эллиптической границы имеется точное решение **: