Кроме обсуждавшихся в предыдущих параграфах концевых условий типа жесткого закрепления или свободных от закреплений концов могут встретиться случаи сосредоточенной массы или упругого подкрепления, что изображено у правого конца стержня, показанного на рис. 5.5. Оба этих случая будут рассмотрены в этом параграфе с помощью метода нормальных форм колебаний.
Рис. 5.5

Сначала рассмотрим случай, когда жесткость $k$ пружины (см. рис. 5.5) равна нулю и имеется только сосредоточенная масса $M$, присоединенная к правому концу стержня. При этом сила, передаваемая от сосредоточенной массы к концу стежня при колебаниях, равна $-M(\ddot{u})_{x=l}$. Таким образом, концевые условия для стержня можно представить в следующем виде:
\[
(u)_{x=0}=0 ; \quad r\left(u^{\prime}\right)_{x=l}=-M(\ddot{u})_{x=l} .
\]

Поскольку второе из этих условий включает движение сосредоточенной массы, исследование данного случая несколько сложнее, чем когда рассматривается только один стержень. Однако движение будет по-прежнему гармоническим, поэтому здесь можно вновь взять для $i$-й формы колебаний следующее выражение:
\[
u_{i}=X_{i}\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i} \sin p_{i} t\right) .
\]

Подставляя выражение (б) в концевые условия (а), получим
\[
X_{i 0}=0 ; \quad r X_{i l}^{\prime}=M p_{i}^{2} X_{i l},
\]

где индексы 0 и $l$ обозначают соответственно точки $x=0$ и $x=l$. Қак и в предыдущих случаях, нормальные функции имеют вид
\[
X_{i}=C_{i} \cos \left(p_{i} x / a\right)+D_{i} \sin \left(p_{i} x / a\right) .
\]

Из первого концевого условия (в) следует, что $C_{i}=0$, а из второго получаем соотношение
\[
\frac{r p_{i}}{a} \cos \frac{p_{i} l}{a}=M p_{i}^{2} \sin \frac{p_{i} l}{a} .
\]

Это соотношение можно представить в более компактной форме
\[
\xi_{i} \operatorname{tg} \xi_{i}=\eta,
\]

где $\xi=p_{i} l / a ; \eta=m l / M$ – отношение массы стержня к сосредоточенной массе.

Соогношение (5.30) представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая. Поскольку это уравнение является трансцендентным, круговую частоту $p_{i}$ необходимо искать методом подбора. Наибольший интерес обычно представляет основная форма колебаний, и поэтому ниже приводятся значения параметра частоты $\xi_{1}$ первой формы колебаний, соответствующие различным значениям отношения масс:

Если масса стержня мала по сравнению с прикрепленной массой, обе величины $\eta$ и $\xi_{1}$ малы, и тогда уравнение (5.30) можно упростить к виду $\operatorname{tg} \xi_{1} \approx \xi_{1}$, откуда следует
\[
\xi^{2} \approx \eta=\frac{m l}{M} ; \quad \xi_{1}=\frac{p_{1} l}{a} \approx \sqrt{\frac{m l}{M}} .
\]

Таким образом
\[
p_{1} \approx \frac{a}{l} \sqrt{\frac{m l}{M}}=\sqrt{\frac{E F}{M l}},
\]

где $E F / l$ – параметр продольной жесткости стержня. Этот результат совпадает с результатом, полученным при рассмотрении стержня и массы как системы с одной степенью свободы. С другой стороны, если отношение масс является большой величиной, уравнение частот принимает вид
\[
\operatorname{tg}\left(p_{i} l / a\right)=\infty .
\]

Из этого уравнения получаем следующие значения круговых частот:
\[
p_{i}=i \pi a / 2 l, \quad i=1,3,5, \ldots, \infty,
\]

которые совпадают с найденными в п. 5.2.
Для того чтобы записать соотношения ортогональности для стержня с прикрепленной на конце массой, перепишем задачу на собственные значения [см. уравнение (5.11)] для двух различных форм с номерами $i$ и $j$ колебаний:
\[
\begin{array}{c}
r X_{i}^{\prime \prime}=-m p_{i}^{2} X_{i} ; \\
r X_{j}^{\prime \prime}=-m p_{j}^{2} X_{j} .
\end{array}
\]

Умножая первое из этих соотношений на $X_{j}$, а второе – на $X_{i}$ и интегрируя по длине стержня, получим
\[
\begin{aligned}
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x & =-m p_{i}^{2} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x \\
r \int_{0}^{l} X_{j}^{\prime \prime} X_{i} d x & =-m p_{j}^{2} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x .
\end{aligned}
\]

Массу, помещенную в точку $x=l$, также следует включить в рассматриваемые соотношения ортогональности, и тогда второе концевое условие (в) для $i$-й и $j$-й форм колебаний можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
r X_{i l}^{\prime} X_{j l}=M p_{i}^{2} X_{i l} X_{i l}, \\
r X_{j l}^{\prime} X_{i l}=M p_{j}^{2} X_{i l} X_{i l},
\end{array}
\]

где первое соотношение умножается на $X_{j l}$, а второе – на $X_{i l}$. Вычитание соотношений (к) и (л) из равенств (з) и (и) приводит к следующим комбинированным соотношениям:
\[
\begin{aligned}
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x-r X_{i l}^{\prime} X_{i l} & =-p_{j}^{2}\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{i} d x+M X_{i l} X_{j l}\right) \\
r \int_{0}^{l} X_{j}^{\prime \prime} X_{i} d x-r X_{j l}^{\prime} X_{i l} & =p_{j}^{2}\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{i} d x+M X_{i l} X_{j l}\right) .
\end{aligned}
\]

Интегрируя выражение, стоящее в левой части этих равенств, найдем
\[
\begin{array}{l}
-r X_{i 0}^{\prime} X_{j 0}-r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x=-p_{i}^{2}\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+M X_{i l} X_{j l}\right) \\
-r X_{j 0}^{\prime} X_{i 0}-r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j} d x=-p_{i}^{2}\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+M X_{i l} X_{j l}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку интегралы, стоящие в левых частях соотношений (о) и (п), равны нулю, то, вычитая из (п) соотношение (о), получим
\[
\left(p_{i}^{*}-p_{i}^{\prime \prime}\right)\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+M X_{i l} X_{j l}\right)=0 .
\]

Когда $i
eq j$ и, следовательно, $p_{i}^{2}
eq p_{i}^{2}$, из равенства (р) следует соотношение ортогональности
\[
m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+M X_{i l} X_{j l}=0 \text { при } i
eq j .
\]

Из соотношения (о), кроме того, следует
\[
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x=0 \text { при } i=j,
\]

а из соотношения (м) получаем
\[
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x-r X_{i l}^{\prime} X_{i l}=0 \text { при } i
eq j .
\]

Сравнивая эти соотношения с соответствующими им равенствами (5.12)-(5.14), видим, что в соотношениях (5.31) и (5.33) присутствуют дополнительные слагаемые.

При $i=j$ второй сомножитель, стоящий в круглых скобках соотношения (p), можно положить равным произвольной постоянной. Полагая эту постоянную равной $m$, получим
\[
m \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x+M X_{i l}^{2}=m \text { при } j=j .
\]

При нормировании собственных функций таким образом, чтобы они удовлетворяли этому равенству, из соотношений (м) и (о) следует
\[
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x-r X_{i l}^{\prime} X_{i l}=-r \int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x=-m p^{2} .
\]

Для того чтобы исследовать неустановившееся поведение системы при продольных перемещениях, обусловленное начальными условиями вида $u_{0}=f_{1}(x)$ и $\dot{u}_{0}=f_{2}(x)$ при $t=0$, определим сначала начальные перемещения $u_{0 l}=f_{1}(l)$ и скорость $\dot{u}_{0 l}=f_{2}(l)$ массы,

прикрепленной к стержню в точке $x=l$. Затем начальные условия для стержня и массы представим в виде рядов по функциям времени $\varphi_{i}$ и перемещения $X_{i}$ [см. представления (5.17)]:
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} X_{i}=f_{1}(x) ; & \sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} X_{i}=f_{2}(x) ; \\
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} X_{i l}=f_{1}(l) ; & \sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} X_{i l}=f_{2}(l) .
\end{array}
\]

Далее, соотношения (с) умножаем на $m X$ и интегрируем по длине стержня. Затем представления (т) умножаем на $M X_{j l}$ и полученные результаты складываем с результатом указанных преобразований над соотношениями (с), что в итоге дает
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i}\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+M X_{i l} X_{i l}\right)=m \int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{j} d x+M f_{1}(l) X_{j l} ;(\mathrm{y}) \\
\sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i}\left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+M X_{i l} X_{j l}\right)=m \int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{j} d x+M f_{2}(l) X_{j l} \cdot(\text { () }
\end{array}
\]

Используя соотношения ортогональности (5.31) и нормированности (5.34), находим, что при $i=j$ из соотношений (у) и (ф) получаются следующего вида представления начальных условий в нормальных координатах:
\[
\begin{array}{l}
\widetilde{\Upsilon}_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{i} d x+\frac{l}{\eta} f_{1}(l) X_{i l} \\
\dot{\varphi}_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{i} d x+\frac{l}{\eta} f_{2}(l) X_{i l} .
\end{array}
\]

С учетом этих представлений для функций $\varphi_{0 i}$ и $\dot{\varphi}_{0 i}$ выражение для динамических перемещений стержня, обусловленных заданными начальными условиями, принимает такой же вид, что и выражение (5.25).

Для того чтобы показать, как можно определить динамические перемещения системы, обусловленные приложенными к ней продольными силами, начнем с того, что запишем уравнение движения для малого элемента стержня (ем. рис. 5.5):
\[
m \ddot{u} d x-r u^{\prime \prime} d x=Q(x, t) d x .
\]

На правом конце стержня из выражений (a) получаем условие вида
\[
M \ddot{u}_{l}+r u_{l}^{\prime}=0 .
\]

Подставляя в уравнение (х) представления (5.17), затем умножая на $X_{j}$ и интегрируя по длине стержня, найдем
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(m \varphi_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x-r \varphi_{i} \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x\right)=\int_{0}^{l} X_{j} Q(x, t) d x .
\]

Подстановка аналогичного представления в соотношение (ц) и умножение затем на $X_{j l}$ дает
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(M \ddot{\varphi}_{i} X_{i l} X_{i l}+r \varphi_{i} X_{i l}^{\prime} X_{j l}\right)=0 .
\]

Складывая почленно соотношения (ч) и (ш), приходим к соотношению вида
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{\infty}\left[\ddot { \varphi _ { 1 } } \left(m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+\right.\right.\left.\left.M X_{i l} X_{i l}\right)-\varphi_{i} r\left(\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x-X_{i l}^{\prime} X_{j l}\right)\right]= \\
=\int_{0}^{l} X_{j} Q(x, t) d x .
\end{array}
\]

Из условий (5.31), (5.33) – (5.35) ортогональности и нормированности следует, что при $i=j$ имеем
\[
\ddot{\varphi}_{i}+m p_{i}^{2} \varphi_{i}=\int_{0}^{l} X_{i} Q(x, t) d x .
\]

Если правую и левую части этого уравнения разделить на $m$, в результате получим уравнение (5.26), в котором $q(x, t)=Q(x, t) / m$. Поэтому динамические перемещения, соответствующие $i$-й форме колебаний, будут и здесь представляться выражением (5.27), а суммарные динамические перемещения можно найти из выражения (5.28). В случае действия сосредоточенной нагрузки $P_{1}(t)$, приложенной в точке $x_{1}$ (см. рис. 5.5), динамические перемещения можно найти из выражения (5.29). Если $x=l$, это означает, что сосредоточенная сила прикладывается непосредственно к массе $M$, поэтому данный случай не требует специального исследования.

Все изложенные выше рассуждения в этом параграфе относились к случаю, когда жесткость $k$ пружины (см. рис. 5.5) равнялась нулю, а сосредоточенная масса $M$ была ненулевой. Рассмотрим теперь противоположную ситуацию, когда $k
eq 0$ и $M=0$. В этом случае сила, передаваемая пружиной к концу стержня при его колебаниях, будет равна – $k(u)_{x=l}$. Согласно этому концевые условия для стержня примут вид
\[
(u)_{x=0}=0 ; \quad r\left(u^{\prime}\right)_{x=l}=-k(u)_{x=l} .
\]

Рассуждая, как и в случае сосредоточенной массы, приходим к выводу, что для нормальных функций следует взять выражение
\[
X_{i}=D_{i} \sin \left(p_{i} x / a\right)
\]

и тогда второе концевое условие в ( $\mathrm{a}^{\prime}$ ) приводит к соотношению
\[
\frac{r p_{i}}{a} \cos \frac{p_{i} l}{a}=-k \sin \frac{p_{i} l}{a} .
\]

Если ввести безразмерный параметр $\zeta_{i}=m l^{2} p_{i}^{2} / k$, частотное уравнение можно представить в следующей компактной форме:
\[
\xi_{i} \operatorname{tg} \xi_{i}=-\zeta_{i},
\]

где, как и выше, $\xi_{i}=p_{i} a / l$. Таким образом, приведенная ранее таблица числовых значений для первой формы колебаний будет применима и в данном случае, если параметр $\eta$ заменить на $-\xi_{i}$. Когда жесткость $k$ пружины мала ( $k \rightarrow 0$ ), уравнение (в’) превращается в частотное уравнение для стержня с незакрепленным правым концом и жестко закрепленным на левом конце. С другой стороны, когда $k$ велико $(k \rightarrow \infty$ ), уравнение (в’), если его разделить на $k$, перейдет в частотное уравнение для стержня, жестко закрепленного по обоим концам.

Для того чтобы получить соотношения ортогональности для стержня, подпружиненного на конце, поступим так же, как и в случае стержня с сосредоточенной массой, прикрепленной к его концу. В этом случае вместо соотношений (к) и (л) следует взять
\[
\begin{array}{l}
r X_{i l}^{\prime} X_{j l}=-k X_{i l} X_{j l} ; \\
r X_{j l}^{\prime} X_{i l}=-k X_{i l} X_{j l} .
\end{array}
\]

Вычитая эти равенства почленно из соотношений (з) и (и), получим следующие комбинированные соотношения:
\[
\begin{aligned}
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x-r X_{i l}^{\prime} X_{j l}-k X_{i l} X_{j l} & =-m p_{i}^{2} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x \\
r \int_{0}^{l} X_{j}^{\prime \prime} X_{i} d x-r X_{j l}^{\prime} X_{i l}-k X_{i l} X_{j l} & =-m p_{j}^{?} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x .
\end{aligned}
\]

Интегрируя по частям интегралы, стоящие в левых частях этих соотношений, и вычитая соотношение (е’) из соотношения (ж), получим соотношения ортогональности для рассматриваемой системы:
\[
\begin{array}{c}
m \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=0 \text { при } i
eq j ; \\
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x+k X_{i l} X_{j l}=0 \text { при } i
eq j ; \\
r \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x-r X_{i l}^{\prime} X_{j l}-k X_{i l} X_{i l}=0 \text { при } i
eq j .
\end{array}
\]

Сравнивая эти соотношения с (5.12)-(5.14), видим, что соотношение (5.39) совпадает с аналогичным выражением для системы без пружины. Однако в соотношениях (5.40) и (5.41) появляются дополнительные слагаемые.
Для случая $i=j$ процедуру нормирования выполним так:
\[
\begin{array}{c}
m \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=m \\
r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x-r X_{i l}^{\prime} X_{i l}-k X_{i l}^{2}=-r \int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x-k X_{i l}^{2}=-m p_{i}^{2} .
\end{array}
\]
Поскольку соотношение нормированности (5.42) совпадает с аналогичным (5.22), то и выражения (5.23)-(5.25), полученные в п. 5.4 для динамических перемещений при заданных начальных условиях, применимы в данном случае. Более того, динамические перемещения системы, обусловленные действием продольных сил, можно найти, воспользовавшись выражениями (5.28) и (5.29), также полученными в п. 5.4. Таким образом, видим, что хотя наличие пружины и оказывает влияние на частоты и формы продольных колебаний стержня, тем не менее суть метода нормальных форм колебаний для определения динамического поведения системы не изменилась.

Если в системе одновременно присутствуют как сосредоточенная масса, так и пружина ( $M
eq 0 ; k
eq 0$ ) (см. рис. 5.5), концевые условия принимают вид
\[
(u)_{x=0}=0 ; \quad r\left(u^{\prime}\right)_{x=l}=-M(\ddot{u})_{x=l}=-k(u)_{x=l} .
\]

В данном случае, являющемся комбинацией двух изученных ранее, выражения для нормальных функций можно по-прежнему брать
\[
\frac{r p_{i}}{a} \cos \frac{p_{i} l}{a}=\left(M p_{i}^{2}-k\right) \sin \frac{p_{i} l}{a},
\]

откуда следует частотное уравнение в безразмерной форме
\[
\xi_{i} \operatorname{tg} \xi_{i}=\eta \zeta_{i} /\left(\zeta_{i}-\eta\right) .
\]

Соотношения ортогональности определяются в данном случае выражениями (5.31), (5.40) и (5.41), а нормированности – выражениями (5.34) и (5.43). Начальные перемещения и скорости в нормальных координатах представляются выражениями (5.36) и (5.37), а решения для динамических перемещений, обусловленных заданными начальными условиями и действием приложенных сил, задаются выражениями (5.25), (5.28) и (5.29).

Изложенный в этом параграфе подход может быть распространен и на более сложный случай, когда массы и пружины прикрепляют к обоим концам стержня. В этом случае, как следует из выражения (г), нормальные функции будут содержать оба ненулевых слагаемых, поэтому частотное уравнение будет иметь больше членов. Кроме того, соотношения ортогональности и нормированности будут содержать члены с массами и жесткостями пружин, прикрепленными к обоим концам стержня, но при этом начальные условия, записанные в нормальных координатах, можно представить в виде, когда они будут определяться только влиянием прикрепленных на концах стержня масс. В качестве упражнения предлагаем читателю получить эти более сложные (но и более общие) выражения, описывающие продольные колебания призматических стержней. Аналогичный с точки зрения математической формулировки случай вала с закрепленными на концах дисками будет обсужден в п. 5.7, а случай предварительно растянутой нити с дополнительными пружинами, препятствующими поперечным перемещениям, будет рассмотрен в п. 5.8.