В этом параграфе рассмотрим динамические прогибы свободно опертого стержня при поперечных колебаниях, обусловленных распределенной нагрузкой $Q(x, t)$, сосредоточенной силой $P_{1}(t)$ или сосредоточенным моментом $M_{1}(t)$, приложенным в точке $x=x_{1}$ (рис. 5.19). Как уже указывалось выше (см. п. 5.9), для первых двух случаев нагружения не требуется получать общих выражений, описывающих неустановившееся поведение стержня. Из выражения
Рис. 5.19
(5.28) можно найти поперечное динамическое перемещение $y$, обусловленное действием распределенной поперечной нагрузки $Q(x, t)$ :
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i}}{p_{i}} \int_{0}^{t} X_{i} \int_{0}^{t} q\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x,
\]

где $q(x, t)=Q(x, t) / m$.
Аналогичным образом из выражения (5.29) определяем перемещение при действии сосредоточенной силы $P_{1}(t)$ :
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{p_{i}} \int_{0}^{t} q_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

где $X_{i 1}$ – значение функции $X_{i}$ в точке $x=x_{1} ; q_{1}(t)=P_{1}(t) / m$.
Поскольку момент $M_{1}(t)$ не соответствует виду возникающих перемещений, последние нельзя определять непосредственно. С этой целыо воспользуемся методом возможной работы так, как это было сделано выше (п. 5.3). При таком подходе функцию, описывающую линию прогибов, представляют в виде ряда
\[
y=\sum_{j=1}^{\infty} \varphi_{j} X_{j}
\]

тогда возможное перемещение при $i$-й форме колебаний $\delta y_{i}=\delta \varphi_{i} X_{i}$. В этом случае возможная работа распределенных сил инерции на возможном перемещении при $i$-й форме колебаний
\[
\delta W_{\text {и } i}=\int_{0}^{l}(-\rho F d x \ddot{y}) \delta y_{i}=-m \delta \varphi_{i} \int_{0}^{l} \ddot{y} X_{i} d x .
\]

Подставляя представление (а) в выражение (б) и учитывая соотношения ортогональности (5.88) и нормированности (5.97) при $i=j$, пол учим
\[
\delta W_{\text {и }_{i}}=-m \ddot{\varphi}_{i} \delta \varphi_{i} \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=-m \ddot{\varphi}_{i} \delta \varphi_{i} .
\]

Энергия деформации, обусловленная изгибом стержня:
\[
U=\int_{0}^{l} \frac{E I}{2}\left(y^{\prime \prime}\right)^{2} d x=\frac{r}{2} \int_{0}^{l}\left(y^{\prime \prime}\right)^{2} d x .
\]

Подставляя выражение (а) в выражение (г) и учитывая соотношения (5.89) и (5.97), найдем
\[
U=\frac{r}{2} \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_{j}^{2} \int_{0}^{l}\left(X_{j}^{\prime \prime}\right)^{2} d x=\frac{r}{2} \sum_{j=1}^{\infty} k_{j}^{4} \varphi_{j}^{2} .
\]

Возможную работу упругих сил при $i=j$ можно определить следующим образом:
\[
\delta W_{\mathrm{y}_{i}}=-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}} \delta \varphi_{i}=-r k_{i}^{4} \varphi_{i} \delta \varphi_{i}=-m p_{i}^{2} \varphi_{i} \delta \varphi_{i} .
\]

Для того чтобы определить возможную работу, совершаемую сосредоточенным моментом, замётим, что этот момент совершает работу на угловом перемещении $\delta y_{i}^{\prime}$, возникающем в точке его приложения. Тогда работу момента $M_{1}$ на возможном перемещении при $i$-й форме колебаний можно записать в виде
\[
\delta W_{M_{1} i}=M_{1} \delta y_{i 1}^{\prime}=M_{1} \delta \varphi_{i} X_{i 1}^{\prime},
\]

где $X_{i 1}^{\prime}$ – значение первой производной функции $X_{i}$ по $x$, вычисленное в точке $x=x_{1}$.

Суммируя выражения (в), (е) и (ж) и приравнивая результат нулю, получим
\[
m \ddot{\varphi}_{i}+m p_{i}^{2} \varphi_{i}=M_{1} X_{i 1}^{\prime} .
\]

Разделив левую и правую части равенства (3) на $m$, найдем
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=M_{1} X_{i 1 / m}^{\prime}, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Полученное соотношение представляет типичное уравнение движения в нормальных координатах, а стоящий в правой части член нагрузку, соответствующую $i$-й нормальной форме колебаний.

Для $i$-й формы колебаний интеграл Дюамеля для рассматриваемой задачи
\[
\varphi_{i}=\frac{X_{i 1}^{\prime}}{m p_{i}} \int_{0}^{t} M_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

а соответствующие полные поперечные динамические перемещения стержня имеют вид
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{m p_{i}} \int_{0}^{t} M_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Таким образом, с помощью подхода, основанного на рассмотрении возможной работы, и представления решения в виде ряда по нормальным формам колебаний мы получили выражение для перемещений при неустановившемся поведении, аналогичное выражению

для случая действия сосредоточенной силы [см. выражение (5.120)]. Однако в последнем выражении величины $P_{1}$ и $X_{i 1}$ следует при этом заменить соответственно на $M_{1}$ и $X_{i 1}^{\prime}$.

В частном случае свободно опертого стержня его круговые частоты и нормированные функции, описывающие формы колебаний (см. п. 5.10), имеют вид
\[
p_{i}=k_{i}^{2} a=\frac{i^{2} \pi^{2} a}{l^{2}} ; \quad X_{i}=\sqrt{\frac{2}{l}} \sin \frac{i \pi x}{l}, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Подстановкой нормальных функций в выражение (5.119) для перемещений при действии изменяющейся во времени распределенной силы получаем
\[
y=\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{l} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{t} q\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x .
\]

Аналогично из выражения (5.120) для случая действия изменяющейся во времени сосредоточенной силы имеем
\[
y=\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \int_{0}^{t} q_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{1}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

а выражение (5.123) дает решение для случая действия сосредоточенного момента
\[
y=\frac{2 \pi}{m l^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \int_{0}^{t} M_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Выражения (5.124) и (5.125) аналогичны выражениям (5.69) и (5.70) для предварительно растянутой нити (см. п. 5.8), а выражение (5.126) применимо только к элементам конструкций, обладающим изгибной жесткостью.

В качестве примера рассмотрим случай, когда сила изменяется во времени по гармоническому закону $P_{1}=P$ sin $\omega t$ и приложена в точке $x=x_{1}$. Тогда состветствующие динамические перемещения стержня в соответствии с выражением (5.125) имеют вид
\[
\begin{aligned}
y & =\frac{2 P}{m l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \int_{0}^{t} \sin \omega t^{\prime} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}= \\
& =\frac{2 P}{m l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p_{i}} \sin p_{i} t\right) \beta_{i}= \\
& =\frac{{ }^{-} l^{3}}{m \pi^{4} a^{3}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l}\left(\sin \omega t-\frac{\omega l^{2}}{i \pi^{2} a} \sin p_{i} t\right) \beta_{i},
\end{aligned}
\]

где коэффициент усиления
\[
\beta_{i}=1 /\left(1-\omega^{2} / p_{i}^{2}\right) .
\]

Первое слагаемое выражения (5.127) характеризует установившеєся поведение при вынужденных колебаниях стержня, второе описывает неустановившееся поведение при свободных колебаниях. При наличии демпфирования последние будут затухать, поэтому практический интерес будет представлять только установившееся поведение балки.

Если сила $P \sin \omega t$ изменяется во времени очень медленно, т. е. $\omega$ является очень малой величиной, то можно принять $\beta_{i} \approx 1$ и для поперечных динамических перемещений при установившемся поведении записать
\[
y=\frac{2 P l^{3}}{m \pi^{4} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \sin \omega t
\]

или, положив $m a^{2}=E I$,
\[
y=\frac{2 P l^{3}}{E l \pi^{4}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi x_{1}}{l} \sin \omega t .
\]

Это выражение описывает статический прогиб стержня при действии нагрузки $P \sin \omega t$. В частном случае, когда сила $P$ прикладывается в середине пролета стержня (т. е. в точке $x_{1}=l / 2$ ), имеем
\[
y=\frac{2 P l^{3}}{E l \pi^{4}}\left(\sin \frac{\pi x}{l}-\frac{1}{3^{4}} \sin \frac{3 \pi x}{l}+\frac{1}{5^{4}} \sin \frac{5 \pi x}{l}-\ldots\right) \sin \omega t .
\]

Ряд (м) является быстросходящимся и хорошее приближение для прогибов получается при удержании только первого члена. Таким образом, определяем амплитуду $y_{0}$ прогибов в середине пролета балки:
\[
\left(y_{c}\right)_{x=l / 2}=\frac{2 P l^{3}}{E I \pi^{4}}=\frac{P l^{3}}{48,7 E I} .
\]

Ошибка при таком приближении составляет около $1,5 \%$.
Обозначив через $\alpha$ отношение частоты изменения возмущающей силы к частоте основной формы свободных колебаний, из выражений (и) получаем
\[
\alpha=\omega / p_{1}=\omega l^{2} /\left(a \pi^{2}\right),
\]

тогда прогибы при установившихся вынужденных колебаниях согласно выражению (5.127)
\[
y=\frac{2 P l^{3} \sin \omega t}{E I \pi^{4}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\sin (i \pi x / l) \sin \left(i \pi x_{1} / l\right)}{i^{4}-\alpha^{2}} .
\]

Если изменяющаяся по закону синуса сила прикладывается в середине пролета, для прогибов имеем
\[
y=\frac{2 P l^{3} \sin \omega t}{E l \pi^{4}}\left[\frac{\sin (\pi x / l)}{1-\alpha^{2}}-\frac{\sin (3 \pi x / l)}{3^{4}-\alpha^{2}}+\frac{\sin (5 \pi x / l)}{5^{4}-\alpha^{2}}-\ldots\right] .
\]

При малых значениях $\alpha$ высокую точность при определении прогибов стержня получим, удержав только первый член этого ряда, а сравнивая выражения (а) и (м), можно видеть, что отношение динамического прогиба к статическому
\[
\beta_{1}=\frac{1}{1-\alpha^{2}} .
\]

Например, если частота изменения возмущающей силы равна одной четвертой частоты основной формы колебаний, динамический прогиб будет на $6 \%$ превышать статический.

Из выражения (5.126) можно найти динамические прогибы, вызываемые изменяющимся по закону синуса изгибающим моментом $M_{1}=M \sin \omega t$, приложенным на левом ( $x=0$ ) конце стержня. Следуя приведенным выше рассуждениям, найдем
\[
y=\frac{2 M l^{2} \sin \omega t}{E I \pi^{3}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\beta_{i}}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l},
\]

что представляет собой динамические прогибы при установившихся колебаниях, обусловленных действием изгибающего момента.

Поскольку задачи о колебаниях стержней описываются линейными дифференциальными уравнениями, то здесь может применяться принцип наложения решений. Поэтому при действии на стержень нескольких изменяющихся во времени сил и изгибающих моментов результирующее перемещение можно получить, сложив перемещения, соответствующие каждому из указанных силовых факторов.

Случай непрерывно распределенных, изменяющихся по закону синуса возмущающих сил может быть также рассмотрен аналогичным образом с помощью выражения (5.124). Предположим, например, что стержень нагружен равномерно распределенной поперечной силой с интеңсивностью $Q(t)=w \sin \omega t$. Тогда из выражения (5.124) получаем
\[
y=\frac{4 w l^{4} \sin \omega t}{E / \pi^{5}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\beta_{i}}{i^{5}} \sin \frac{i \pi x}{l} .
\]

Если частота изменения нагрузки очень мала по сравнению с частотой основной формы поперечных колебаний стержня, можно воспользоваться следующим приближенным выражением:
\[
y=\frac{\left\langle w \pi^{4}\right.}{E I \pi^{5}}\left(\sin \frac{\pi x}{l}+\frac{1}{j^{5}} \sin \frac{3 \pi x}{l}+\frac{1}{5^{5}} \sin \frac{5 \pi x}{l}+\cdots\right) \sin \omega t .
\]

Этот быстросходящийся ряд описывает статический прогиб стержня при действии равномерно распределенной нагрузки $w \sin \omega t$. Положив $x=l / 2$, найдем выражение для динамического прогиба в середине пролета стержня
\[
(y)_{x=l / 2}=\frac{4 w l^{4}}{E l \pi^{5}}\left(1-\frac{1}{3^{5}}+\frac{1}{5^{5}}-\cdots\right) \sin \omega t .
\]

Если в этом ряду удержать только первый член, прогиб в середине пролета будет определяться с ошибкой $0,25 \%$.

ЗАДАЧИ

5.13.1. Свободно опертый стержень, нагруженный в середине пролета поперечной силой $P$, прогибается на величину 0,01 м в точке приложения силы. Определить амплитуду вынужденных колебаний, под действием силы $P \sin \omega t$, если частота $\omega$ равна половине основной частоты колебаний стержня.
Omsem: $\left(y_{\mathrm{c}}\right)_{x=l}=\frac{2 P l^{3}}{\pi^{4} E I}\left(\frac{1}{1-1 / 4}+\right.$
\[
\left.+\frac{1}{3^{4}-1 / 4}+\frac{1}{5^{4}-1 / 4}+\cdots\right) \approx 0,034 \mathrm{~m} \text {. }
\]
5.13.2. Стержень, рассмотренный в предыдущей задаче, нагружается двумя силами $P \sin \omega t$, точки приложения которых отстоят на треть длины стержня от его концов и друг от друга. Определить амплитуду вынужденных колебаний в середине пролета стержня, если частота $\omega$ здесь такая же, как и в предыдущей задаче
\[
\begin{array}{l}
\text { Omsem: } \quad\left(y_{\mathrm{c}}\right)_{x=l / 2}=\frac{4 P l^{3}}{\pi^{4} E I}\left[\frac{\sin (\pi / 3)}{1-1 / 4}+\right. \\
\left.+\frac{\sin (5 \pi / 3)}{5^{4}-1 / 4}-\frac{\sin (7 \pi / 3)}{7^{4}-1 / 4}+\cdots\right] \approx 0,057 \mathrm{~m} .
\end{array}
\]
5.13.3. Определить амплитуду вынужденных колебаний в середине пролета свободно опертого стержня, на левой половине длины которого приложена распределенная изменяющаяся во времени нагрузка с интенсивностью $w \sin \omega t$.
\[
\text { Omвem: }\left(y_{\mathrm{c}}\right)_{x=l / 2}=\frac{2 w l^{4}}{\pi^{5} E I} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i\left(i^{4}-\alpha^{2}\right)} \text {. }
\]
5.13.4. Определить динамические прогибы свободно опертого стержня, возникающие при внезапном приложении в середине его пролета силы $P$.
Omвem:
\[
y=\frac{2 P l^{3}}{\pi^{4} E I} \sum_{i=1,3,5 \ldots}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i^{4}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(1-\cos p_{i} t\right) .
\]
5.13.5. Определить динамические перемещения при установившихся поперечных колебаниях свободно опертого стержня, нагруженного изменяющейся по длине по закону синуса нагрузкой $Q(x, t)=w \sin \frac{\pi x}{l} \sin \omega t$.
\[
\text { Omвem: } y=\frac{w l^{4} \beta_{1} \sin \omega t}{\pi^{4} E I} \times \sin \frac{\pi x}{l} \text {. }
\]
5.13.6. С помощью подхода, основанного на рассмотрении возможной работы, получить общее выражение для динамических прогибов стержня при действии распределенного изгибающего момента интенсивностью $M(x, t)$. Затем найти решение для случая свободно опертого стержня.
\[
\begin{array}{c}
\text {
Ombem: } y=\frac{2 \pi}{m l^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{t} \cos \frac{i \pi x}{l} \int_{0}^{t} M\left(x, t^{\prime}\right) \times \\
\times \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x .
\end{array}
\]