В п. 5.6 рассматривались продольные колебания призматического стержня, обусловленные либо переносом основания как абсолютно жесткого тела, либо независимыми перемещениями опор в продольном направлении. Для стержня следует рассматривать два типа перемещений как абсолютно жесткого тела. В качестве таких перемещений обычно берут чистый параллельный перенос в направлении оси $y$ и малые угловые перемещения вокруг оси $z$, проходящей через начало координат перпендикулярно плоскости $x y$ (см. рис. 5.13). Учитывая указанные два типа перемещений, перемещение в направлении оси $y$ произвольной точки стержня можно представить в следующем виде:
\[
y_{\text {осн }}=g_{1}(t)+x g_{2}(t),
\]

где $g_{1}(t)$ и $g_{2}(t)$ – соответственно перенос и поворот как абсолютно жесткого тела. В соответствии с выражением (5.47) относительное перемещение колеблющегося стержня при указанного вида перемещениях основания как абсолютно жесткого тела можно представить в форме
\[
\begin{aligned}
y^{*}= & -\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i}}{p_{i}}\left[\int_{0}^{t} X_{i} d x \int_{0}^{t} \ddot{g}_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\right. \\
& \left.+\int_{0}^{t} x X_{i} d x \int_{0}^{t} \ddot{g}_{2}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right]
\end{aligned}
\]

где $X_{i}$ – функции, описывающие форму прогибов стержня при колебаниях и нормированные в соответствии с соотношением (5.97). Выражение (5.132) описывает динамические перемещения произвольной точки стержня относительно перемещений его как абсолютно жесткого тела. Результирующее перемещение представляем в виде суммы перемещений стержня при колебаниях и перемещений основания .
\[
y=y_{\text {осн }}+y^{*}=g_{1}(t)+x g_{2}(t)+y^{*} .
\]

Как видно из выражения (5.132), оно содержит сравнительно несложные для вычисления интегралы по длине стержня, не связанные с интегрированием по времени.

Более сложный случай относится к независимым перемещениям каждой из опор. На рис. 5.21, а и б показано влияние единичных

Рис. 5.21

перемещений в направлении оси $y$ опор свободно опертого стержня. Для стержня этого типа функции перемещения
\[
\delta_{1}(x)=1-x / l ; \quad \delta_{2}(x)=x / l
\]

и нормальные функции $X_{i}$ совпадают с аналогичными функциями для предварительно растянутой нити, рассмотренной в п. 5.8. Тогда выражение для относительных динамических перемещений стержня можно записать [см. выражение (5.72)] в виде
\[
\begin{array}{c}
y^{*}=-\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left[\int_{0}^{l} \delta_{1}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x \times\right. \\
\times \int_{0}^{t} g_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i_{A}}^{\prime}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}+\int_{0}^{l} \delta_{2}(x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x \times \\
\left.\times \int_{0}^{t} \ddot{g}_{2}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}\right],
\end{array}
\]

а суммарное перемещение при этом [см. выражение (5.73) ]
\[
y=y_{\text {ст }}+y^{*}=\delta_{1}(x) g_{1}(t)+\delta_{2}(x) g_{2}(t)+y^{*},
\]

где $g_{1}(t)$ и $g_{2}(t)$ – зависящие от времени перемещения, заданные соответственно для левого и правого концов стержня.

Функции перемещения (б) для свободно опертого стержня являются примером выражений, которые в дальнейшем будем называть функциями влияния перемещений. Эти функции описывают перемещение рассматриваемой точки, при единичном перемещении опоры. На рис. 5.22 , а–2 для стержня с жестко защемленными концами показаны четыре типа таких функций вида
\[
\begin{array}{c}
\delta_{1}(x)=1-\frac{3 x^{2}}{l^{2}}+\frac{2 x^{3}}{l^{3}} ; \quad \delta_{2}(x)=x-\frac{2 x^{2}}{l}+\frac{x^{3}}{l^{2}} ; \\
\delta_{3}(x)=\frac{3 x^{2}}{l^{2}}-\frac{2 x^{3}}{l^{3}} ; \quad \delta_{4}(x)=-\frac{x^{2}}{l}+\frac{x^{3}}{l^{2}} .
\end{array}
\]

При умножении функций влияния на заданные перемещения опор получаем соответствующие перемещения стержня как деформируемого тела
\[
\begin{array}{l}
y_{\mathrm{cr}}=\delta_{1}(x) g_{1}(t)+\delta_{2}(x) g_{2}(t)+ \\
+\delta_{3}(x)^{-} g_{3}(t)+\delta_{4}(x)^{-} g_{4}(t) .
\end{array}
\]
Рис. 5.22
Через $g_{1}(t)$ и $g_{2}(t)$ здесь обозначены соответственно параллельный перенос и поворот для левого конца, а через $g_{3}(t)$ и $g_{4}(t)$ – для правого.

На рис. 5.23, $а$ и 6 представлены перемещения консольного стержня, обусловленные единичными независимыми перемещениями левой опоры, в которой защемлен стержень и которая совпадает с началом координат. В этом случае функции влияния перемещения опор имеют вид
\[
\delta_{1}(x)=1 ; \quad \delta_{2}(x)=x
\]

и совпадают с формами движения как абсолютно жесткого тела, рассмотренными выше [см. выражение (а)]. С другой стороны, для стержня, жестко защемленного на левом конце и свободно опертого на правом (рис. 5.24, $a$ и б), функции перемещения
\[
\begin{array}{c}
\delta_{1}(x)=1-\frac{3 x^{2}}{2 l^{2}}+\frac{x^{3}}{2 l^{3}} ; \quad \delta_{2}(x)=x-\frac{3 x^{2}}{2 l}+\frac{x^{3}}{2 l^{2}} ; \\
\delta_{3}(x)=\frac{3 x^{3}}{2 l^{2}}-\frac{x^{3}}{2 l^{3}} .
\end{array}
\]

При умножении этих функций на соответствующие перемещения опор получаем следующее выражение, описывающее движение указанного консольного стержня как податливого тела:
\[
y_{\mathrm{cT}}=\delta_{1}(x) g_{1}(t)+\delta_{2}(x) g_{2}(t)+\delta_{3}(x) g_{3}(t) .
\]

Рис. 5.24

Таким образом, для любого заданного вида независимых перемещений $g(t)$ опор можно определить соответствующую функцию $\delta(x)$ влияния перемещения и получить в результате выражение для динамических прогибов
\[
y^{*}=-\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i}}{p_{i}} \int_{0}^{l} \delta(x) X_{i} d x \int_{0}^{t} \ddot{g}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Суммарное перемещение стержня
\[
y=y_{\text {ст }}+y^{*}=\delta(x) g(t)+y^{*} .
\]

Если перемещение опоры определяется несколькими видами движений, следует вычислить динамические перемещения стержня, соответствующие каждому виду движения опор, и результаты сложить, как было показано на примере свободно опертого стержня [см. выражения (5.134) и (5.135)].

Пример. Предположим, что имеется стержень, свободно опертый на левом конце и защемленный на правом. Записать выражение для динамических прогибов стержня, вызванных заданным, параллельным оси $y$, перемещением $g(t)$ левой опоры ‘стержня.
Решение. В рассматриваемом случае нормальные функции имеют вид
\[
X_{i}=\operatorname{sh} k_{i} l \sin k_{i} x-\sin k_{i} l \operatorname{sh} k_{i} x,
\]

где значения $k_{i}$ находим из решения трансцендентного частотного уравнения (см. п. 5.11$)$
\[
\operatorname{tg} k_{i} l=\text { th } k_{i} l .
\]

Нормируя функции (з) в соответствии с выражением (5.97), получим
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=\frac{l}{2}\left(\operatorname{sh}^{2} k_{i} l-\sin ^{2} k_{i} l\right)=\alpha_{i} .
\]

После нормирования функции $X_{i}$ примут вид
\[
X_{i}=\left(\operatorname{sh} k_{i} l \sin k_{i} x-\sin k_{i} l \operatorname{sh} k_{i} x\right) / \sqrt{\alpha_{i}} .
\]

Для случая перемещения левой опоры в направлении оси функция̆ влияния перемещения имеет вид
\[
\delta(x)=1-\frac{3 x}{2 l}+\frac{x^{3}}{2 l^{3}} .
\]

Далее, из выражения (5.136) определяем относительные динамические прогибы
\[
\begin{array}{l}
y^{*}=-\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i}}{p_{i}} \int_{0}^{l}\left(1-\frac{3 x}{2 l}+\frac{x^{3}}{2 l^{3}}\right) \times \\
\times X_{i} d x \int_{0}^{t} \ddot{g}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\end{array}
\]

где $X_{i}$ – нормальные функции (л). Общее решение для данного случая [см. выражение (5.137)] можно представить в следующей форме:
\[
y=\left(1-\frac{3 x}{2 l}+\frac{x^{3}}{2 l^{3}}\right) g(t)+y^{*} .
\]

ЗАДАЧИ
5.15.1. Определить динамические прогибы свободно опертого стержня, обусловленные перемещениями его левой опоры, изменяющимися во времени по гармоническому закону $g_{1}(t)=y_{1} \sin \omega t$ (см. рис. 5.21,a).
\[
\begin{aligned}
\text { Omsem: } y- & {\left[1-\frac{x}{l}+\frac{2 l^{4} \omega^{2}}{\pi^{5} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\beta_{i}}{i^{5}} \times\right.} \\
& \left.\times \sin \frac{i \pi x}{l}\right] y_{1} \sin \omega t
\end{aligned}
\]
5.15.2. Предположим, что консолыный стержень, показанный на рис. $5.23,6$, поворачивается вокруг опоры так, что угловые перемещения описываются функцией $g_{2}(t)=\theta_{2}\left(t / t_{2}\right)^{2}$, где $\theta_{2}$ – малый угол. Получить общее выражение для динамических перемещений стержня через функции $X_{i}$ и частоты $p_{i}$.
Ответ: $y=\frac{\theta_{2}}{t_{2}^{2}}\left[\frac{x}{l} t^{2}-\sum_{i=1}^{\infty} \frac{2 X_{i}}{p_{i}^{2}} \int_{0}^{l} x X_{i} d x\left(1-\cos p_{i} t\right)\right]$.
5.15.3. Получить общее выражение для динамических прогибов стержня с жестко защемленными концами, обусловленных угловыми перемещениями правой опоры, заданными в виде $g_{4}=\theta_{4} \sin \omega t$ (см. рис. $5.22,2$ ), если угол $\theta_{4}$ мал.
\[
\begin{array}{c}
\text { Ombem: } y=\left[-\frac{x^{2}}{l}+\frac{x^{3}}{l^{2}}+\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\omega^{2} X_{i}}{\left(p_{i}^{2}-\omega^{2}\right)} \int_{0}^{l}\left(-\frac{x^{2}}{l}+\frac{x^{3}}{l^{2}}\right) \times\right. \\
\left.\times X_{i} d x\right] \theta_{4} \sin \omega t .
\end{array}
\]
5.15.4. Получить общее выражение для динамических прогибов стержня с жестко защемленным левым концом и свободно опертым правым, обусловленные перемещениями правой опоры, заданными в виде $g_{3}(t)=y_{3}\left(t / t_{3}\right)^{3}$ (рис. $5.24,8$ ).
\[
\begin{aligned}
\text {
Omвem: } y= & \frac{y_{3}}{t_{3}^{3}}\left[\left(\frac{3 x^{2}}{2 l^{2}}-\frac{x^{3}}{2 l^{3}}\right) t^{3}-\sum_{i=1}^{\infty} \frac{6 X_{i}}{p_{i}^{2}} \int_{0}^{l}\left(\frac{3 x^{2}}{2 l^{2}}-\right.\right. \\
& \left.\left.-\frac{x^{3}}{2 l^{3}}\right) X_{i} d x\left(t-\frac{1}{p_{i}} \sin p_{i} t\right)\right] .
\end{aligned}
\]