Полученное в предыдущем параграфе выражение (5.119) относилось к общему виду распределенной возмущающей нагрузки, зависящей как от продольной координаты $x$, так и от времени $t$. Однако, если функцию нагрузки $Q(x, t)$ можно представить в виде произведения
\[
Q(x, t)=f(x) Q(t),
\]

то выражение (5.119) можно записать в более простой форме
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i}}{p_{i}} \int_{0}^{l} f(x) X_{i} d x \int_{0}^{t} q\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

где $q(t)=Q(t) / m$. Подобного типа процедура уже обсуждалась выше, в п. 5.11, и ее выполнение представляет трудности для стержней, у которых концевые условия отличаются от свободного опирания.

С другой стороны, если нагрузки представляют сосредоточенные силы или изгибающие моменты, для определения динамических перемещений колеблющихся стержней можно использовать выражения (5.120) и (5.123) независимо от вида закрепления концов стержня. В качестве примера рассмотрим случай стержней с жестко защемленными концами и предположим, что ее колебания вызываются изменяющейся во времени силой $P_{1}(t)=P \sin \omega t$, приложенной на расстоянии $x=x_{1}$ от левого конца стержня (рис. 5.20). В этом случае из выражения (5.120) следует
\[
\begin{array}{l}
y=\frac{2 P}{m l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{p_{i}} \int_{0}^{t} \sin \omega t^{\prime} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}= \\
=\frac{2 P}{m l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{p_{i}^{2}}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p_{i}} \sin p_{i} t\right) \beta_{i} .
\end{array}
\]

Это выражение является общим и применимо для произвольным образом закрепленных стержней, поэтому, если необходимо его применить к рассматриваемому случаю, надо подставить в него частоты $p_{i}$ и нормальные функции $X_{i}$ для стержней с жестко защемленными концами.
Рис. 5.20

Предположим, что изменяющаяся во времени сила (см. рис. 5.20) прикладывается в середине пролета стержня и что требуется вычислить динамический прогиб в точке приложения нагрузки при установившихся колебаниях. Тогда, учитывая первое слагаемое в выражении (5.131), имеем
\[
(y)_{x=l / 2}=\frac{2 P \sin \omega t}{m l} \sum_{i} \frac{\beta_{i}}{p_{i}^{2}}\left(X_{i}\right)_{x=l / 2}^{2}, \quad i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]

Подставляя в выражение (б) величины $p_{i}^{2}=a^{2} k_{i}^{4}$ и $m a^{2}=E I$, получим
\[
(y)_{x=l / 2}=\frac{2 P l^{3} \sin \omega t}{E I} \sum_{i} \frac{\beta_{i}}{\left(k_{i} l\right)^{4}}\left(X_{i}\right)_{x=l / 2}^{2}, \quad i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]

В примере, рассмотренном в п. 5.11, получены числовые значения членов записанного выше ряда. С учетом этого имеем
\[
(y)_{x=t / 2}=\frac{2 P l^{3} \sin \omega t}{E I}\left(5038 \beta_{1}+135 \beta_{3}+22 \beta_{5}+\ldots\right) 10^{-6} .
\]

ЗАДАЧИ

5.14.1. Определить динамические прогибы при установившихся вынужденных колебаниях консольного стержня, к незакрепленному концу которого приложена поперечная сила $P \sin \omega t$.
\[
\text { Oтвет: } y=\frac{P l^{3} \sin \omega t}{E I} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\beta_{i} X_{i}\left(X_{i}\right)_{x=l}}{\left(k_{i} l\right)^{4}} ; \beta_{i}=\frac{1}{1-\omega^{2} / p_{i}^{2}} .
\]

Здесь $X_{t}$ – нормальные функции для стержня с одним жестко защемленным концом и незакрепленным другим; $k_{i} l$ – круговые частоты свободных форм колебаний рассматриваемого стержня.
5.14.2. Определить динамические прогибы на незащемленном конце консольного стержня, рассматриваемого в предыдущей задаче.
\[
\begin{array}{c}
\text { Omeem: }(y)_{x=l}= \\
=\frac{P l^{3} \sin \omega t}{E I} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\beta_{i}\left(X_{i}\right)_{x=l}^{2}}{\left(k_{i} l\right)^{4}} .
\end{array}
\]

Из таблиц находим
\[
\left(X_{i}\right)_{x=l}=2(-1)^{i+1} .
\]

Тогда, взяв значения $k_{i} l$ из п. 5.11 , получим
\[
\begin{array}{c}
(y)_{x=l}=\frac{4 P l^{3}}{E I}\left[\frac{\beta_{1}}{1,875^{4}}+\frac{\beta_{2}}{4,694^{4}}+\right. \\
\left.+\frac{\beta_{3}}{7,855^{4}}+\cdots\right] \sin \omega t=\frac{4 P l^{3}}{E I}\left(0,08091 \beta_{1}+\right. \\
\left.+0,00206 \beta_{2}+0,00026 \beta_{3}+\ldots\right) \sin \omega t .
\end{array}
\]
5.14.3. Исслєдсвать устансвившиєся вынужденные колебания стержня, огин конец которого жестко защємлен, а другой – свободно оперт, если изменяющаяся во времєни сила $P \sin \omega t$ приложєна в середине пролета стержня.
5.14.4. Определить динамические прогнбы в середине пролета стержня, рассмотренного в предыдущей задаче, если заданы следующие числовые величнны:
\[
\begin{array}{c}
\left(X_{1}\right)_{x=l / 2}=1,4449 ; \quad\left(X_{2}\right)_{x=l / 2}=0,5704 ; \quad\left(X_{3}\right)_{x=l / 2}=-1,3005 ; \\
\left(X_{4}\right)_{x=l / 2}=-0,5399 ; \quad\left(X_{5}\right)_{x=l / 2}=1,3068 .
\end{array}
\]

Необходимые для заданного в этой задаче стержня значения $k_{i} l$ приведены в п. 5. 11 .