В предыдущих рассмотрениях задачи об изгибных колебаниях предполагалось, что размеры поперечных сечений малы по сравнению с длиной стержня. Здесь будет дано уточнение теории, целью которой является учет влияния размеров поперечных сечений на частоты колебаний. Эти уточнения могут иметь важное значение при исследовании форм колебаний с высокими частотами, когда колеблющийся стержень разделяется узловыми поперечными сечениями на сравнительно короткие отрезки.

Легко видеть, что при колебаниях стержня его малый элемент (см. рис. 5.13, б) совершает движения, соответствующие не только переносу, но и повороту *. Угол поворота, который равен углу наклона кривой прогибов, имеет вид $\partial y / \partial x$, тогда соответствующие угловые скорость и ускорение представляются выражениями
\[
\frac{\partial^{2} y}{\partial x \partial t} \text { и } \frac{\partial^{3} y t}{\partial x \partial t^{2}} .
\]

Поэтому момент инерции этого малого элемента относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости $x y$, равен **
\[
-\rho I \frac{\partial^{3} y}{\partial x \partial t^{2}} d x .
\]

Этот момент инерции следует учитывать при записи условия динамического равновесия для малого элемента стержня. Тогда вместо уравнения (б) из п. 5.9 получим
\[
-V d x+\frac{\partial M}{\partial x} d x-\rho I \frac{\partial^{3} y}{\partial x \partial t^{2}} d x=0 .
\]

Подставляя выражение поперечной силы $V$, получаемое из этого выражения, в уравнение равновесия проекции сил на ось $y$ [см. уравнение (а) в п. 5.9], найдем
\[
\frac{\partial V}{\partial x} d x=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\rho I \frac{\partial^{3} y}{\partial x \partial t^{2}}\right) d x=-\rho F d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Тогда с учетом выражения (д) из п. 5.9 придем к уравнению
\[
E I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}=-\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}+\rho I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{2} \partial t^{2}} .
\]

Это уравнение представляет собой дифференциальное уравнение для поперечных колебаний призматических стержней, в правой части которого второе слагаемое учитывает влияние инерции вращения. Еще более точное дифференциальное уравнение можно получить, если учесть не только инерции вращения, но также и прогибы, обусловленные поперечным сдвигом.* Угол наклона кривой прогибов зависит не только от поворота поперечных сечений стержня, но также и от деформаций поперечного сдвига. Обозначим через $\psi$ угол наклона кривой прогибов в том случае, когда поперечная сила не учитывается, а через $\beta$ – угол поперечного сдвига на нейтральной оси для того же самого поперечного сечения. Таким образом, суммарный угол наклона
\[
d y / d x=\psi+\beta .
\]

Из элементарной теории изгиба стержней следуют такие выражения для изгибающего момента и поперечной силы:
\[
M=E I \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}} ; V=-k^{\prime} \beta F G=-k^{\prime}\left(\frac{\partial y}{\partial x}-\psi\right) F G,
\]

где $k^{\prime}$ – коэффициент, зависяций от формы поперечного сечения; $F$ – площадь поперечного сечения; $G$ – модуль сдвига. Дифференциальное уравнение, описывающее условие равенства нулю моментов, действующих на малый элемент, имеет вид
\[
-V d x+\frac{\partial M}{\partial x} d x-\rho I \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}} d x=0 .
\]

Подставляя выражения (г) в уравнение (д), найдем
\[
E I \frac{\partial^{2} \psi}{\partial x^{2}}+k^{\prime}\left(\frac{\partial y}{\partial x}-\psi\right) F G-\rho I \frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Дифференциальное уравнение, вытекающее из условия равенства проекций на вертикальную ось сил, действующих на малый элемент стержня, можно представить в форме
\[
-\frac{\partial V}{\partial x} d x-\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} d x=0 .
\]

Подставляя второе из выражений (г) в уравнение (ж), получим
\[
k^{\prime}\left(\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}-\frac{\partial \psi}{\partial x}\right) G-\rho \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0 .
\]

Исключая функцию $\psi$ из уравнений (е) и (з), находим более полное уравнение поперечных колебаний призматических стержней
\[
E I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}+\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-\rho I\left(1+\frac{E}{k^{\prime} G}\right) \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{2} \partial t^{2}}+\frac{\rho^{2} I}{k^{\prime} G} \frac{\partial^{4} y}{\partial t^{4}}=0 .
\]

Применение этого уравнения ${ }^{9}$ при определении частот колебаний стержней будет показано ниже.

Вновь вернемся к свободно опертому стержню, который уже исследовался в п. 5.10 (см. рис. 5.14). Для того чтобы точнее определить частоты колебаний, воспользуемся уравнением (5.115) вместо (5.83). Разделив каждый член уравнения (5.115) на $\rho F$ и введя обозначение
\[
r_{\mathrm{B}}^{2}=I / F_{1},
\]

получим
\[
a^{2} \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}+\frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}-r_{\mathrm{B}}^{2}\left(1+\frac{E}{k^{\prime} G}\right) \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{2} \partial t^{2}}+r_{\mathrm{B}}^{2} \frac{\rho}{k^{\prime} G} \frac{\partial^{4} y}{\partial t^{4}}=0 .
\]

Этому уравнению и заданным концевым условиям удовлетворяет решение вида
\[
y_{i}=\sin (i \pi x / l)\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i} \sin p_{i} t\right),
\]

которое содержит те же нормальные функции, что и относящиеся к случаю рассмотрения поперечных колебаний стержня без учета инерции вращения и деформации поперечного сдвига. Подставляя выражение (к) в уравнение (5.116), получим следующее уравнение для нахождения частот колебаний:
\[
a^{2} \frac{i^{4} \pi^{4}}{l^{4}}-p_{i}^{2}-p_{i}^{2} \frac{i^{2} \pi^{2} r_{\mathrm{B}}^{2}}{l^{2}}-p_{i}^{2} \frac{\pi^{2} r_{\mathrm{B}}^{2}}{l^{2}} \frac{E}{k^{\prime} G}+\frac{r_{\mathrm{B}}^{2} \rho}{k^{\prime} G} p_{i}^{4}=0 .
\]

Если в этом уравнении сохранить только первые два слагаемых, найдем
\[
p_{i}=a \frac{i^{2} \pi^{2}}{l^{2}}=\frac{a \pi^{2}}{\lambda_{i}^{2}},
\]

где- $\lambda_{i}=l / i$ – длины полуволн, на которые разделяется длина стержня при его колебаниях. Полученный результат совпадает с полученным выше результатом (5.102). Сохраняя в уравнении

(5.117) первые три слагаемых и используя формулу биномиального разложения, получим
\[
p_{i}=\frac{a \pi^{2}}{\lambda_{i}^{2}}\left(1-\frac{\pi^{2} r_{\mathrm{B}}^{2}}{2 \lambda_{i}^{2}}\right) .
\]

В этой формуле учитывается влияние инерции вращения, из которой видно, что уточнение становится тем существеннее, чем меньше $\lambda_{i}$, т. е. чем больше частота колебаний.

Для того чтобы учесть влияние деформаций поперечного сдвига, возьмем уравнение (5.117) в полном виде, когда в нем учитываются все слагаемые. Подставляя первое приближенное значение (л) для $p_{i}$ в последний член этого уравнения, видим, что он является малой величиной более высокого порядка, чем величина $\pi^{2} r_{\mathrm{B}}^{2} / \lambda_{i}^{2}$. Пренебрегая последним членом уравнения, найдем
\[
p_{i}=\frac{a \pi^{2}}{\lambda_{i}^{2}}\left[1-\frac{1}{2} \frac{\pi^{2} r_{\mathrm{B}}^{2}}{\lambda_{i}^{2}}\left(1+\frac{E}{k^{\prime} G}\right)\right] .
\]

Приняв, что $G=3 E / 8$ и что поперечное сечение стержня имеет прямоугольную форму, для которой $k^{\prime}=0,833$ *, получаем $\left(E / k^{\prime}\right) G=3,2$. Таким образом, поправка на поперечный сдвиг в 3,2 раза больше поправки, учитывающей инерцию вращения.** Предположив, что длина волны $\lambda_{i} i$-й формы колебаний в 10 раз больше, чем высота поперечного сечения стержня, получим
\[
\frac{1}{2} \frac{\pi^{2} r_{\mathrm{B}}^{2}}{\lambda_{l}^{2}}=\frac{1}{2} \frac{\pi^{2}}{12} \cdot \frac{1}{100} \approx 0,004,
\]

откуда следует, что суммарная поправка по частоте $p_{i}$, обусловленная учетом инерции вращения и деформацией поперечного сдвига, составляет примерно $1,7 \%$.