Подходы, применявшиеся к решению задач, излагавшихся в предыдущих параграфах, обнаруживают известное сходство с методом нормальных форм колебаний, с помощью которого исследовались в гл. 4 системы со многими степенями свободы. Теперь применим метод нормальных форм колебаний к исследованию призматических стержней с непрерывно распределенной массой и бесконечным числом степеней свободы. Хотя метод будет сформулирован применительно к частной задаче о продольных колебаниях призматических стержней, общие положения рассматриваемого здесь метода нормальных форм колебаний можно распространить на исследование произвольных упругих тел.

Вновь рассмотрим свободные продольные колебания призматического стержня, показанного на рис. 5.1, а. Дифференциальное уравнение движения малого элемента стержня [см. выражение (а) и (б) в п. 5.2] можно записать в виде
\[
m \ddot{u} d x-r u^{\prime \prime} d x=0,
\]

где точками и штрихами обозначено дифференцирование перемещения $u$ соответственно по $t$ и $x$. Величина $m=\rho F$ характеризует массу стержня, отнесенную к единице его длины, а величина $r=E F$ жесткость стержня в продольном направлении. Когда стержень колеблется по $i$-й собственной форме, его перемещение
\[
u_{i}=X_{i}\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i} \sin p_{i} t\right) .
\]

Подставляя выражение (б) в уравнение (а), после несложных преобразований получим уравнение
\[
r X_{i}^{\prime \prime}+m p_{i}^{2} X_{i}=0,
\]

решение которого, как уже говорилось в п. 5.2, имеет вид
\[
X_{i}=C_{i} \cos \left(p_{i} x / a\right)+D_{i} \sin \left(p_{i} x_{i}^{\prime} a\right),
\]

где $a=\sqrt{r / m}$.
Перепишем уравнение (в) в следующей форме:
\[
X_{i}^{\prime \prime}=\lambda_{i} X_{i},
\]

где
\[
\lambda_{i}=-m p_{i}^{2} / r=-\left(p_{i} / a\right)^{2} .
\]

Уравнение (5.11) имеет форму задачи на собственные значения, в которой собственные значения $\lambda_{i}$ и собственные функции $X_{i}$ определя-

ются с учетом заданных концевых условий. В подобного типа задачах на собственные значения вторая производная по $x$ функции $X_{i}$ приравнивается самой функции, умноженной на постоянную $\lambda_{i}$.

Проверим, обладают ли свойством ортогональности соответствующие $i$-й и $j$-й формам колебаний собственные функции в задаче на собственные значения:
\[
\begin{aligned}
X_{i}^{\prime \prime} & =\lambda_{i} X_{i} ; \\
X_{i}^{\prime \prime} & =\lambda_{j} X_{j} .
\end{aligned}
\]

Умножим уравнение (е) на $X_{j}$ и уравнение (ж) на $X_{i}$ и, проинтегрировав результат по длине стержня, получим
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x=\lambda_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x ; \\
\int_{0}^{l} X_{j}^{\prime \prime} X_{i} d x=\lambda_{j} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x .
\end{array}
\]

Интегрирование по частям интегралов, стоящих в левых частях этих уравнений, дает
\[
\begin{array}{c}
{\left[X_{i}^{\prime} X_{j}\right]_{0}^{l}-\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x=\lambda_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x} \\
{\left[X_{j}^{\prime} X_{i}\right]_{0}^{l} \int_{i}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x=\lambda_{j} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x .}
\end{array}
\]

Независимо от того, являются ли концы стержня жестко закрепленными или незакрепленными, первые слагаемые в левых частях уравнений (к) и (л) равны нулю, поэтому, вычитая из уравнения (л) уравнение (к), придем к равенству
\[
\left(\lambda_{i}-\lambda_{j}\right) \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=0 .
\]

Чтобы это равенство выполнялось при $i
eq j$ и при различных собственных значениях (т. е. при $\lambda_{i}
eq \lambda_{j}$ ), должно иметь место следующее равенство:
\[
\int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=0 \quad \text { при } \quad i
eq j .
\]

Подставляя это равенство в уравнение (к), получим
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{j}^{\prime} d x=0 \quad \text { при } \quad i
eq j .
\]

Из уравнения (з) следует равенство
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x=0 \quad \text { при } \quad i
eq j .
\]

Таким образом, видим, что для́ призматического стержня ортогональны не только собственные функции, но также и их производные.

При $i=j$ интеграл в соотношении (м) может равняться произвольной постоянной. Если эту постоянную обозначить через $\alpha_{i}$, получим
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=\alpha_{i} \quad \text { при } \quad i=j .
\]

Если указанным способом пронормировать собственные функции, выражения (з) и (к) примут вид
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x=-\int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x=\lambda_{i} \alpha_{i}=-\frac{m p_{i}^{2}}{r} \alpha_{i}=-\left(\frac{p_{i}}{a}\right)^{2} \alpha_{i} .
\]

Из последующего обсуждения уясним, каким образом следует подбирать значения $\alpha_{i}$ при исследовании динамических перемещений в стержне.

Как и в предыдущем параграфе, представим перемещения стержня при продольных колебаниях в виде набора произведений, зависящих от времени функций $\varphi_{i}$ и функций $X_{i}$, описывающих перемещения:
\[
u=\sum_{i} \varphi_{i} X_{i}, i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Подставляя представление (5.17) в уравнение движения (а) при свободных колебаниях стержня, получим
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(m \ddot{\varphi}_{i} X_{i}-r \varphi_{i} X_{i}^{\prime \prime}\right) d x=0 .
\]

Умножая это соотношение на нормальную функцию $X_{j}$ и интегрируя результат по длине стержня, найдем
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(m \ddot{\varphi}_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x-r \varphi_{i} \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x\right)=0 .
\]

Учитывая условия ортогональности, задаваемые выражениями (5.12) и (5.14), видим, что при $i=j$ уравнение движения (н) принимает вид
\[
m_{\Gamma i} \ddot{\varphi}_{i}=r_{\Gamma i} \varphi_{i}=0, i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
m_{\Gamma i}=m \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=m \alpha_{i} \\
r_{\Gamma i}=-r \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x=r \int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x=m p_{i}^{2} \alpha_{i} .
\end{array}
\]

Здесь через $m_{\Gamma i}$ обозначена главная масса или обобщенная масса для $i$-й формы колебаний, через $r_{\Gamma i}$ — главная или обобщенная

жесткость. Таким образом, уравнение (5.18) представляет собой уравнение движения в главных координатах при свободных колебаниях.

Если собственные функции $X_{i}$ нормируются таким образом, что имеет место равенство
\[
m_{\Gamma i}=m \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=1,
\]

то говорят, что они нормированы по отношению к массе, отнесенной к единице длины стержня. При таком способе нормирования главная масса $m_{\Gamma i}$ равна единице, постоянная $\alpha_{i}$ [см. равенство (5.15)] равна $1 / \mathrm{m}$, а из равенства (5.20) следует, что главная жесткость
\[
r_{\Gamma i}=p_{i}^{2} .
\]

C учетом сказанного уравнение движения (5.18) принимает более простой вид
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=0, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty
\]

и тогда говорят, что это уравнение записано в нормальных координатах. Если произвольная постоянная $\alpha_{i}=1$, получаем $m_{\Gamma i}=m$ и $r_{\Gamma i}=m p_{i}^{2}$. Тогда уравнение движения (5.21) будет содержать общий множитель $m$, на который его можно разделить. Поэтому для удобства будем полагать $\alpha_{i}=1$ вместо $\alpha_{i}=1 / \mathrm{m}$.

Подводя итоги сказанному, отметим, что уравнение движения (а) было преобразовано к нормальным координатам путем подстановки в него представления (5.17) для $u$, умножения на $X_{j}$ и последующего интегрирования результата по длине стержня. Когда собственные функции нормируются так, что имеет место
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=1 ; \quad \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x=-\int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x=-\left(\frac{p_{i}}{a}\right)^{2},
\]

обобщенная масса, соответствующая каждой главной координате, равна $m$, а обобщенная жесткость составляет $m p_{i}^{2}$. Однако после деления на общий множитель $m$ можно получить уравнение (5.21).

Воспользуемся теперь подходом, основанным на применении нормальных форм колебаний, для определения продольных динамических перемещений в стержне при заданных начальных условиях по перемещению и скорости. Как и в п. 5.2, предполагаем, что при $t=0$ начальные перемещения представлены в виде $u_{0}=f_{1}(x)$, а начальные скорости заданы в виде функции $\dot{u}_{0}=f_{2}(x)$.
Представляя функции $u_{0}$ и $\dot{u}_{0}$ в виде рядов (5.17), получим
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} X_{i}=f_{1}(x) ; \\
\sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} X_{i}=f_{2}(x) .
\end{array}
\]

Умножив эти предста́вления на $X_{j}$ и проинтегрировав по длине стержня, найдем
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=\int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{j} d x \\
\sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=\int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{j} d x .
\end{array}
\]

Из выражений (5.12) и (5.22), определяющих условия ортогональности и ортонормированности, видно, что при $i=j$ для начальных условий могут быть получены следующие представления в нормальных координатах:
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{i} d x \\
\dot{\varphi}_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{i} d x .
\end{array}
\]

Следовательно, динамическое поведение при свободных колебаниях, выраженное с помощью нормальных форм, можно описать выражением
\[
\varphi_{i}=\varphi_{0 i} \cos p_{i} t+\frac{\dot{\varphi}_{0 i}}{p_{i}} \sin p_{i} t, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Подставляя эти выражения в представление (5.17), получаем следующее суммарное по всем формам колебаний выражение для динамических перемещений:
\[
u=\sum_{i=1}^{\infty} X_{i}\left(\varphi_{0 i} \cos p_{i} t+\frac{\dot{\varphi}_{0 i}}{p_{i}} \sin p_{i} t\right) .
\]

Это выражение представляет обобщенную форму решений частного вида (5.6) и (5.7).

Применим теперь метод нормальных форм колебаний к исследованию вынужденных продольных динамических перемещений призматических стержней. С этой целью предположим, что на стержень (рис. 5.4) действует распределенная сила $Q(x, t)$. В этом случае
Рис. 5.4
дифференциальное уравнение движения, записанное для малого элемента стержня, имеет вид
\[
\operatorname{mü} x-r u^{\prime \prime} d x=Q\left(x_{1} t\right) d x .
\]

Для удобства разделим обе части этого уравнения на $m=\rho F$, т. е. на массу, отнесенную к единице длины. Тогда получим
\[
\ddot{u} d x-a^{2} u^{\prime \prime} d x=q(x, t) d x,
\]

где $a^{2}=r / m=E / \rho, q(x, t)=Q(x, t) / m$. Преобразуем уравнение (ц) к нормальным координатам подстановкой представления (5.17) для $u$, умножением на $X_{j}$ и интегрированием по длине стержня, что дает
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(\ddot{\varphi}_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x-a^{2} \varphi_{i} \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x\right)=\int_{0}^{l} X_{j} q(x, t) d x .
\]

Используя условия ортогональности и нормированности, задаваемые выражениями (5.12), (5.14) и (5.22), при $i=j$ получим
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=\int_{0}^{l} X_{i} q(x, t) d x, i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Это соотношение представляет уравнение движения в нормальных координатах, где стоящий в правой части интеграл является нагрузкой, соответствующей $i$-й форме колебаний.

Динамическое поведение, соответствующее $i$-й форме колебаний, описывается с помощью интеграла Дюамеля
\[
\varphi_{i}=\frac{1}{p_{i}} \int_{0}^{l} X_{i} \int_{0}^{t} q\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x .
\]

Подстановка этих функций, зависящих от времени, в представление (5.17) дает суммарное динамическое перемещение в виде
\[
u=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i}}{p_{i}} \int_{0}^{l} X_{i} \int_{0}^{t} q\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x .
\]

Если нагрузка $P_{1}(t)$ является сосредоточенной и приложенной в точке $x_{1}$ (см. рис. 5.4), интегрировать по длине стержня не требуется. Динамическое перемещение при такого рода нагружении вычисляем по более простой формуле
\[
u=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{X_{i} X_{i 1}}{p_{i}} \int_{0}^{t} q_{1}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

где через $X_{i 1}$ обозначена нормальная функция $X_{i}$, соответствующая случаю приложения единичной нагрузки в точке $x_{1} ; q_{1}(t)=$ $=P_{1}(t) / m$.

Метод нормальных форм колебаний для исследования неустановившегося поведения стержня при действии возмущающих сил эквивалентен методу возможной работы, изложенному в предыдущем параграфе. Ниже приведены примеры, демонстрирующие применения выражений (5.28) и (5.29) соответственно для распределенной и соредоточенной возмущающих сил.

Пример 1. Предполагается, что стержень, показанный на рис. 5.4 , жестко закреплен на левом конце и не закреплен на правом, исследовать его динамическое поведение при внезапном приложении равномерно распределенной продольной силы интенсивностью $Q$.

Peшение. Поскольку нагрузка $q=Q / m$ не зависит ни от времени $t$, ни от координаты $x$, ее можно вынести из-под знака интеграла в выражении (5.28). Рассматривая свободные колебания этого стержня, получим
\[
p_{i}=i \pi a /(2 l) ; \quad X_{i}=D_{i} \sin \left(p_{i} x / a\right), \quad i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]

Для того чтобы пронормировать функции $X_{i}$ в соответствии с выражениями (5.22), следует взять $D_{i}=\sqrt{2 / l}$. Тогда выражение (5.28)【принимает вид
\[
\begin{aligned}
u=\frac{2 Q}{l m} & \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{p_{i} x}{a} \int_{0}^{l} \sin \frac{p_{i} x}{a} \int_{0}^{t} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x= \\
& =\frac{4 Q}{\pi m} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{i p_{i}^{2}} \sin \frac{p_{i} x}{a}\left(1-\cos p_{i} t\right)= \\
& =\frac{16 l^{2} Q}{\pi^{3} a^{2} m} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{2 l}\right) .
\end{aligned}
\]

Пример 2. Исследовать динамическое поведение стержня, взяв такие же концевые условия, как и в примере 1 , на случай, когда внезапно снимается нагрузка $P$, первоначально приложенная к правому концу $x=l$ стержня.

Решение. В этом случае для получения динамических перемещений в стержне воспользуемся выражением (5.29):
\[
\begin{aligned}
u & =\frac{2 P}{l m} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{p_{i} x}{a} \sin \frac{p_{i} l}{a} \int_{0}^{t} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}= \\
& =\frac{2 P}{l m} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{p_{i}^{2}} \sin \frac{p_{i} x}{a} \sin \frac{p_{i} l}{a}\left(1-\cos p_{i} t\right)= \\
& =\frac{8 l P}{\pi^{2} a^{2} m} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(1-\cos p_{i} t\right) .
\end{aligned}
\]

Полученное выражение совпадает с выражением (н), найденным в п. 5.3.

ЗАДАЧИ

5.4.1. Предположим, что сила $P_{0}$, первоначально действующая на стержень, приложена не в середине пролета, а на расстоянии, равном одной трети длины стержня ( $x=l / 3$ ). Используя подход, основанный на рассмотрении нормальных

форм колебаний, исследовать свободные колебания, возникающие при внезапном снятии указанной силы.
Oтвет: $u=\frac{2 P_{0}}{3 \pi E F} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i} \sin \frac{i \pi x}{l}\left[\frac{l}{i \pi}\left(3 \sin \frac{i \pi}{3}-\sin \frac{2 i \pi}{3}\right)-\right.$
$\left.-\frac{l}{3} \cos \frac{2 i \pi}{3}\right] \cos \frac{i \pi a t}{l}$.
5.4.2. Предположим, что правой половине стержня, показанного на рис. $5.2, a$, задана в момент времени $t=0$ начальная скорость $v$ в продольном направлении. Исследовать свободные колебания стержня, обусловленные указанным условием.
\[
\text { Omвет: } u=\frac{8 v l}{\pi^{2} a} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \cos \frac{i \pi}{4} \sin \frac{i \pi x}{2 l} \sin \frac{i \pi a t}{2 l} \text {. }
\]
5.4.3. К стержню с жестко закрепленными концами внезапно прикладывается распределенная продольная нагрузка, которая изменяется по линейному закону от нулевого значения при $x=0$ до значения $Q$ при $x=l$. Методом нормальных форм колебаний исследовать динамические продольные перемещения этого стержня.
Oтвет: $u=\frac{2 l^{2} Q}{\pi^{3} a^{2} m} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i-1}}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right)$.
5.4.4. Определить динамические продольные перемещения стержня с незакрепленными концами, если в середине пролета $x=l / 2$ прикладывается изменяющаяся во времени продольная сила $P \leftrightharpoons P_{1}\left(t / t_{1}\right)^{2}$.
\[
\begin{array}{c}
\text { Omвem: } u=\frac{P_{1} t^{4}}{12 l m t_{1}^{2}}+\frac{2 l P_{1}}{\pi^{2} a^{2} m t_{1}^{2}} \sum_{i=2,4,6, \ldots}^{\infty} \frac{(-1)^{i / 2}}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{l} \times \\
\times\left[t^{2}-\frac{2 l^{2}}{(i \pi a)^{2}}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right)\right] .
\end{array}
\]