Задача о колебаниях кругового кольца является составной частью исследований колебаний различных деталей конструкций с вращающимися узлами круговой формы. Ниже приведено обсуждение нескольких несложных задач о колебаниях кругового кольца постоянного поперечного сечения в предположении, что размеры поперечного сечения кольца малы по сравнению с радиусом $r$ центральной линии (рис. 5.33,a). Предполагается также, что плоскость $x y$, в которой лежит кольцо, является плоскостью симметрии каждого его поперечного сечения.
Рис. 5.33

Колебания растяжения-сжатия. Простейшей формой колебаний типа растяжения – сжатия является форма, при которой центральная линия кольца образует кольцо с периодически изменяющимся радиусом, а все поперечные сечения перемещаются в радиальном направлении без поворотов (рис. 5.33, б). Обозначим через $u$ перемещение в радиальном направлении (за положительное берется направление наружу) произвольной точки кольца. Тогда относительное удлинение кольца в окружном направлении (деформация растяжения) равно $u / r$. Потенциальная энергия деформации, представляющая в данном случае энергию простого растяжения, будет представляться следующим выражением:
\[
U=\frac{F E u^{2}}{2 r^{2}} 2 \pi r,
\]

где $F$ – площадь поперечного сечения кольца. Далее кинетическую энергию движений при колебаниях можно записать в виде
\[
T=\frac{\rho F}{2} \dot{u}^{2} 2 \pi r .
\]

Приравнивая максимальные значения потенциальной и кинетической энергий и используя равенство $\dot{u}_{\max }=p u_{\max }$, получим
\[
p=\sqrt{\frac{E}{\rho r^{2}}} .
\]

Таким образом, находим частоту основной формы колебаний растяжения-сжатия (см. рис. 5.33, б)
\[
f_{i}=\frac{p}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{E}{\rho r^{2}}} .
\]

Круговое кольцо имеет и другие формы колебаний растяжениясжатия, которые напоминают формы, образующиеся при продольных колебаниях призматических стержней. Если $i$ – число волн, расположенных по окружности, то частоты высших форм колебаний
Рис. 5.34

типа растяжения–сжатия кольца определяем по следующей формуле *:
\[
f_{i}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{E\left(1+i^{2}\right)}{\rho r^{2}} .}
\]

При $i=0$ это выражение совпадает с формулой (5.161) для чисто радиальных колебаний.

Крутильные колебания. Теперь рассмотрим основную форму крутильных колебаний. При таких колебаниях центральная линия кольца остается недеформированной, а все его поперечные сечения поворачиваются на один и тот же угол $\psi$ (рис. 5.34). При таких поворотах точка, расположенная на расстоянии $z$ от срединной поверхности кольца, переместится в радиальном направлении примерно на величину $z \psi$, при этом соответствующую окружную деформацию можно положить равной $z \psi / r$. Потенциальная энергия деформации кольца может быть определена в этом случае из выражения
\[
U=2 \pi r \int_{F} \frac{E}{2}\left(\frac{z \psi}{r}\right)^{2} d F=\frac{\pi E I_{x} \psi^{2}}{r},
\]

где $I_{x}$ – момент инерции поперечного сечения относительно оси $x$. Кинетическая энергия кольца при крутильных колебаниях
\[
T=2 \pi r \frac{\rho I_{\mathrm{\Pi}}}{2} \dot{\psi}^{2},
\]

где $I_{п}$ – полярный момент инерции поперечного сечения.
Приравнивая друг другу $U_{\max }$ и $T_{\max }$ и учитывая равенство $\dot{\psi}_{\max }=p \psi_{\max }$, найдем
\[
p=\sqrt{E I_{x} / \rho r^{2} I_{\Pi}} .
\]

Тогда частоту крутильных колебаний можно определить по формуле
\[
f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{E I_{x}}{\rho r^{2} I_{\Pi}}} .
\]

Сравнивая эту формулу с формулой (5.161), видим, что частоты крутильных и чисто радиальных колебаний относятся, как $\sqrt{I_{x} / I_{n}}$.

Для кольца с поперечным сечением круговой формы частоты крутильных форм колебаний определяем по следующей формуле *:
\[
f_{i}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{E\left(1+i^{2}\right)}{2 \rho r^{2}}} .
\]

Учитывая равенство $V \overline{E /\left(\rho r^{2}\right)}=a / r$, где $a$ – скорость распространения звука вдоль кольца, видим, что рассмотренные выше колебания с растяжением-сжатием и крутильные колебания, как правило, имеют высокие частоты. Намного более низкие значения частот будут получаться при рассмотрении изгибных колебаний кольца.

Изгибные колебания кругового кольца распадаются на два класса, а именно: изгибные колебания в плоскости кольца и изгибные колебания, включающие как перемещения под прямым углом к плоскости кольца, так и кручение. Рассмотрим изгибные колебания в плоскости кольца (см. рис. 5.33, a) и введем следующие обозначения: $\theta$ – угол, определяющий положение точки на кольце; $u$ – радиальное перемещение (за положительное принимается направленное наружу); $v$ – окружное перемещение (за положительное принимается направление в сторону увеличения угла $\theta$ ); $I$ момент инерции поперечного сечения относительно своей главной оси, перпендикулярной плоскости кольца.

Обусловленное перемещениями $u$ и $v$ относительное удлинение в произвольной точке, расположенной на центральной оси кольца:
\[
r=\frac{u}{r}+\frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta},
\]

а изменение кривизны можно представить соотношением **
\[
\frac{1}{r+\Delta r}-\frac{1}{r}=-\frac{\partial^{2} u}{r^{2} \partial \theta^{2}}-\frac{u}{r^{2}} .
\]

Для самого общего случая изгибных колебаний в плоскости кольца радиальное перемещение $u$ можно представить в виде тригонометрического ряда ${ }^{* * *}$
\[
\begin{array}{c}
u=a_{1} \cos \theta+a_{2} \cos 2 \theta+\cdots+b_{1} \sin \theta+ \\
+b_{2} \sin 2 \theta+\cdots,
\end{array}
\]

где коэффициенты $a_{1}, a_{2}, \ldots, b_{1}, b_{2}, \ldots$ являются функциями времени. Рассматривая изгибные колебания без растяжения *, положим $e=0$. Тогда из выражения (ж) следует
\[
u=-\partial v / \partial \theta \text {. }
\]

Подставив представление (и) в выражение (к) и проинтегрировав результат, найдем **
\[
\begin{array}{l}
v=-a_{1} \sin \theta-\frac{1}{2} a_{2} \sin 2 \theta \ldots \cdots+ \\
+b_{1} \cos \theta+\frac{1}{2} b_{2} \cos 2 \theta+\cdots \\
\end{array}
\]

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении кольца определяем выражением
\[
M=-\frac{E I}{r^{2}}\left(\frac{\left.\partial^{2} u\right\rceil}{\partial \theta^{2}}+u\right),
\]

откуда находим потенциальную энергию изгиба
\[
U=\frac{E I}{2 r^{4}} \int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial \theta^{2}}+u\right)^{2} r d \theta .
\]

Подставляя ряд (и) в выражение (н) и используя равенства
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi} \cos m \theta \cos n \theta d \theta=0 ; \quad \int_{0}^{2 \pi} \sin m \theta \sin n \theta d \theta=0 \text { при } m
eq n ; \\
\int_{0}^{2 \pi} \cos m \theta \sin n \theta d \theta=0 ; \quad \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} m \theta d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} m \theta d \theta=\pi ;
\end{array}
\]

получим
\[
U=\frac{E I \pi}{2 r^{3}} \sum_{i=1}^{\infty}\left(1-i^{2}\right)^{2}\left(a_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right) .
\]

Кинетическая энергия колеблющегося кольца
\[
T=\frac{\rho F}{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(\dot{u}^{2}+\dot{v}^{2}\right) r d \theta .
\]

Подставляя выражения (и) и (л) для $u$ и $v$ в выражение (п), найдем
\[
T=\frac{\pi r \rho F}{2} \sum_{i=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{i^{2}}\right)\left(\dot{a}_{i}^{2}+b_{i}^{2}\right) .
\]

Используя уравнение Лагранжа для консервативной системы * и обобщенных координат $a_{i}$, получим следующее дифференциальное уравнение движения:

или
\[
\pi r \rho F\left(1+\frac{1}{i^{2}}\right) \ddot{a}_{i}+\frac{E I \pi}{r^{3}}\left(1-i^{2}\right)^{2} a_{i}=0
\]
\[
\bar{a}_{i}+\frac{E I i^{2}\left(1-i^{2}\right)^{2}}{\rho F r^{4}\left(1+i^{2}\right)} a_{i}=0 .
\]

Такое же уравнение получаем и для обобщенной координаты $b_{i}$. Отсюда находим, что частота колебаний по $i$-й форме
\[
f_{i}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{E I i^{2}\left(1-i^{2}\right)^{2}}{\rho F r^{4}\left(1+i^{2}\right)}} .
\]

При $i=1$ получаем $f_{1}=0$. В этом случае $u=a_{1} \cos \theta$ и $v=$ $=a_{1} \sin \theta$, и кольцо движется как абсолютно жесткое тело. Қак видно из рис. 5.33 , в, коэффициент $a_{1}$ определяет движение как абсолютно жесткого тела в направлении оси $x$. При $i=2$ имеет место основная форма изгибных колебаний кольца. Формы кольца при крайних положениях, соответствующие таким колебаниям, показаны на рис. 5.33, 2 штриховыми линиями.

В случае изгибных колебаний кольца с поперечным сечением круговой формы, когда учитываются как перемещения, направленные под прямым углом к плоскости кольца, так и кручение, частоты основных формт колебаний можно определить\”с\”помощью формулы **
\[
f_{i}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{E I i^{2}\left(i^{2}-1\right)^{2}}{\rho F r^{4}\left(i^{2}+1+v\right)}},
\]

где $v$ – коэффициент Пуассона. Сравнивая формулы (5.165) и (5.166), видим, что даже для низшей формы ( $i=2$ ) колебаний из рассмотренных двух видов изгибных колебаний частоты различаются, но незначительно.