Главная > Колебания в инженерном деле" (С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Для большинства рассмотренных в данной главе систем с двумя стержнями свободы матрицы масс и сил тяжести были диагональными. Связанные с их совместным влиянием члены уравнений движения появились только во внедиагональных элементах матриц жескостей и податливостей. Подобного типа совместное влияние назовем упругим взаимодействием, поскольку эти слагаемые уравнений определяются либо жесткостными свойствами, либо свойствами податливости упругих элементов. Внедиагональные элементы матриц масс и сил тяжести можно получить и путем изменения формы записи уравнений движения. Элементы первого типа часто появляются в уравнениях движения систем с абсолютно жесткими телами и их назовем инерционным взаимодействием, тогда как второй тип будем называть гравитационным взаимодействием.

Для того чтобы показать, как может возникнуть инерционное взаимодействие, запишем уравнения движения в усилиях для показанной на рис. 3.10 , а системы, используя различные способы выбора перемещений. Абсолютно жесткий стержень массой m закреплен в точках A и D на пружинах с жесткостями k1 и k2. Стержень закреп-
Рис. 3.10

лен так, что не может перемещаться в направлении оси x и движение совершает только в плоскости xy. Точка C есть центр тяжести стержня, IC — момент инерции масс относительно проходяцей через точку C оси z (на рисунке не показана). Точкой B обозначена такая точка стержня, для которой выполняется условие
k1l4=k2l5.

Приложенная в точке B и направленная параллельно оси y сила вызывает только смещение без поворота стержня, а момент вызывает только поворот без смещения.

На рис. 3.10, б представлен один из способов выбора координат перемещений для подобной системы, в качестве которых взяты yA-перенос точки A в направлении оси y и θA — поворот стержня относительно точки A. На рисунке также показаны приложенные в точке A усилия QA и TA, обусловленные реакцией пружин силы в точках A и D, а также инерционные силы в точке C. Если на схеме со свободным телом показаны эти действия, тело можно рассматривать как находящееся в состоянии динамического равновесил. Тогда, применяя принцип Даламбера для получения уравнения равновесия в усилиях в направлении оси y, найдем
m(y¨A+l1θ¨A)+k1yA+k2(yA+lθA)l=QA.

Для того чтобы получить второе уравнение равновесия, подсчитаем моменты относительно точки A и запишем
m(y¨A+l1θ¨.1)l1+ICθ¨A+k2(yA+lθA)l=TA.

В матричной форме уравнения (б) и (в) имеют вил

где присутствуют члены, характеризующие как инерционное, так и упругое взаимодействие.

В качестве второго варианта выбора координат перемещений для этой системы возьмем yB и θB (соответственно перемещение точки B в направлении оси y и поворот стержня относительно точки B ) и соответствующие усилия QB и TB. Поступая так же, как и выше, запишем в матричной форме уравнения движения в условиях
[mml3ml3IC+ml32][y¨BθB]+[k1+k200k1l42+k2l52][yBθB]=[QBTB],

где имеются члены, характеризующие инерционное взаимодействие, и отсутствуют члены, описывающие упругое взаимодействие.

При выборе третьего варианта координат воспользуемся центром тяжести (точка C ) в качестве точки, определяющей движение стержня как абсолютно жесткого тела. В этом случае координатами перемещения являются yC и θC (т. е. перемещения в направлении оси y и поворот балки относительно точки C ), а соответствующими усилиями будут QC и TC. Тогда применительно к рассматриваемой точке уравнения движения принимают вид
[m00IC][y¨Cθ¨C]+[k1+k2k2l2k1l1k2l2k1l1k1l12+k2l22][yCθC]=[QCTC],

где имеются члены, характеризующие упругое взаимодействие, и отсутствуют члены, описывающие инерционное взаимодействие. Таким образом видим, что характер взаимодействия, присутствующего в системе уравнений движения, зависит от выбора координат перемещений.

В произвольной матрице масс вида (3.14а) ее элементы можно рассматривать как коэффициенты влияния инерции, которые определяются как усилия, необходимые для создания единичных ускорений:
M=[M11M12M21M22]=[mml1ml1IC+ml12].

Гроизвольный элемент Mij матрицы масс представляет собой усилие типа i, необходимое для создания единичного (мгновенного) ускорения типа j. Это определение совпадает с тем, что было дано для коэффициента влияния жесткости; при этом вычисление элементов столбцов матрицы M проводится так же, как было описано применительно к элементам столбцов матрицы S. На рис. 3.10, в и а показан процесс, при котором в качестве характерной точки для описания движений абсолютно жесткостного стержня взята точка A. На рис. 3.10 , в представлены моменты M11 и M21, необходимые для создания единичного ускорения y¨A=1 при θ¨A=0, а также моменты M12 и M22 (см. рис. 3.10,2 ), необходимые для создания единичного ускорения θ¨A=1 при y¨A=0. Для наглядности ускорения изображены так, как будто они являются перемещениями, а двой-

ные черточки на стрелках при точке A служат напоминанием о том, что эти стрелки изображают усилия, необходимые для создания единичных ускорений. Из условий динамического равновесия видно, что коэффициентами влияния инерции являются величины M11= =m1,M21=M12=ml1 и M22=IC+ml12, что можно также видеть из выражения (г).

Здесь можно также определить обратные коэффициенты влияния энерции, которые, по определению, являются ускорениями, обусловленными единичными силами, и аналогичны коэффициентам влияния податливости. Обратная матрица M1 существует в том случае, если матрица M неособенная. Тогда, решая уравнения (3.6) относительно ускорения X¨, получим уравнение движения вида
X¨=M1(QSX).

Подобные уравнения можно сравнить с уравнениями в перемещениях [см. уравнение (3.12)], рассмотренными в предыдущем параграфе. Однако подобный подход представляет второстепенный интерес и больше в этом параграфе обсуждаться не будет. Чтобы продемонстрировать проявление взаимодействия сил тяжести, рассмотрим соединенную пружиной пару маятников (см. рис. 3.4). Их уравнения движения (3.4а) и (3.4б), полученные выше, содержат взаимодействия, обусловленные только упругостью. Однако, если сложить уравнения (3.4б) и (3.4а) и полученное в результате уравнение рассмотреть совместно с уравнением (3.4б) как систему, то получим
[ml2ml20ml2][θ¨1θ¨2]+([00kh2kh2]++[mglmgl0mgl])[θ1θ2]=[T1+T2T2],

где T1=P1l и T2=P2l. Первое уравнение полученной системы представляет условие равновесия динамических моментов относительно точки A для всей системы, показанной на рис. 3.4 , тогда как второе уравнение представляет условие равновесия моментов относительно точки B только для правого маятника. При использовании линейной комбинации исходных уравнений как в матрицу масс, так и в матрицу сил тяжести вводятся внедиагональные элементы; при этом исчезает свойство симметрии матрицы жесткости. Уравнение (д) можно также рассматривать как результат умножения уравнения (3.9) из п. 3.2 на транспонированную матрицу Ar, где
A=[1011],AT=[1101],

а буква «т» обозначает транспонирование. Таким образом, уравнение (д) в кратком матричном представлении имеет вид
ATMΘ¨+AT(S+G)Θ=ATT.

Симметрия матриц коэффициентов будет восстановлена, если перед матрицами столбцами θ¨ и Θ из уравнения (ж) поставить единичную матрицу
I=AA1,

где A1 — матрица, обратная матрице A :
A1=[1011].

В результате уравнение (ж) примет вид
ATMAA1Θ¨+AT(S+G)AA1Θ=ATT

или

где
MAθ¨A+(SA+GA)θA=TA,
ΘA=A1Θ=[θ1θ1+θ2];TA=ArT=[T1+T2T2];
θ¨A=A1θ=[θ¨1θ¨1+θ¨2];MA=ATMA=ml2[2111];SA=ATSA=kh2[0001];GA=ATGA=mgl[2111].

Уравнения (3.16) представляют вариант системы уравнений движения в усилиях, в которых в качестве обобщенных усилий выступает матрица-столбец TA, а в качестве обобщенных перемещений матрица-столбец ΘA. Подобная замена координат (переход от Θ к θA ) называется преобразованием координат. Симметрия матриц преобразованных коэффициентов устанавливается благодаря тому, что конгруэнтные преобразования вида MA= A МА приводят к симметричным матрицам. Қак видно, в новых координатах уравнения имеют члены, описывающие как инерционные взаимодействия, так
Рис. 3.11 взаимодействия сил тяжести, и не имеют членов, характеризующих взаимодействия, обусловленные упругостью.
Пример 1. На рис. 3.11 показано аєсолютно жесткое тело, присоединенное к консольно закрепленной балке. Пусть IC — момент инерции массы тела относительно оси z,
Рис. 3.12
проходящей через центр тяжести (точку C ). Эта точка располагается на оси x на расстоянии b от незакрепленного конца балки. Предполагается, что призматическая балка имеет жесткость EI при изгибе. Рассматривая только малые перемещения в плоскости xy, обусловленные изгибными деформациями, и считая, что данная система имеет две степени свободы, записать уравнения движения в перемещениях.

Pешение. Если в качестве координат перемещения выбрать прогиб yB и поворот θB точки B абсолютно жесткого тела, то легко получить коэффициенты податливостей. Кроме того, элементы матрицы масс совпадают с элементами матрицы (г), за исключением того, что длина l1 заменяется на расстояние b. Таким образом, можно записать уравнения движения в перемещениях для рассматриваемой точки B :
[yBθB]=l6El[2l23l3l6]([QBTB][mmbmbIC+mb2][y¨Bθ¨B]),

в которых имеются как инерционные взаимодействия, так и взаимодействия, обусловленные упругостью.

С другой стороны, если движения абсолютно жесткого тела рассматривать в точке C, получим следующие уравнения в перемещениях:
[yCθC]=l6EI[2(l2+3lb+3b2)3(l+2b)3(l+2b)6]××([QCTC][m00IC][y¨Cθ¨C]),

в которых отсутствуют члены, описывающие инерционные взаимодействия, но имеются члены, характеризующие более сложные взаимодействия, обусловленные упругостью.

Пример 2. Рассмотрим двойной составной маятник (рис. 3.12,a), состоящий из двух соединенных в точке B абсолютно жестких тел, шарнирно закрепленных в точке A. При наличии сил тяжести эта система может колебаться в плоскости xy. В качестве координат перемещения возьмем малые повороты θ1 и θ2. Тела имеют массы m1 и m2, центры тяжести находятся в точках C1 и C2, через I1 и I2 обозна-

чены моменты инерции масс относительно осей z, проходящие через эти точки. Тре буется записать уравнения движения данной системы в усилиях.

Решение. Используя принцип Даламбера, запишем уравнение динамического равновесия моментов относительно точки A для всей системы (см. рис. 3.12,a)
I1θ¨1+I2θ¨2+m1h12θ¨1+m2(lθ¨1+h2θ¨22)(l+h2)+m1gh1θ1++m2g(lθ1+h2θ2)=T1+T2.

Аналогично, из условия равновесия моментов относительно точки B для второго тела получаем
I2θ¨2+m2(lθ¨1+h2θ¨2)h2+m2gh2θ2=T2.

Переписав уравнения (о) и (п) в матричной форме, имеем
[I1+m1h12+m2l(l+h2)I2+m2h2(l+h2)m2h2I2+m2h22][θ¨1θ¨2]++[(m1h1+m2l)gm2h2g0m2h2g][θ1θ2]=[T1+T2T2].

Уравнение (p) напоминает уравнение (д), поскольку обобщенные усилия не соответствуют координатам перемещения, и матрицы коэффициентов являются несимметричными. Однако, если из уравнения (о) вычесть уравнение (п), то результирующее уравнение вместе с уравнением (п) даст следующую систему:
Mθ¨+GΘ=T=[T1T2],

где M и G — симметричные матрицы вида
M=[I1+m1h12+m2l2m2lh2m2lh2I2+m2h22];G=[(m1h1+m2l)g00m2h2g].

Теперь первое уравнение этой системы представляет условие динамического равновесия моментов относительно точки A только для первого тела.

Симметричные матрицы M и G можно построить непосредственно как матрицы коэффициентов влияния соответственно инерции и сил тяжести. На рис. 3.12,6 и в схематично представлены условия θ¨1=1 (при θ¨2=0 ) и θ¨2=1 (при θ¨1=0 ), которые требуются для определения элементов матрицы М. Из рис.3.12, б видно, что величины
M21=m2lh2;M11=I1+m1h12+m2l(l+h2)M21=I1+m1h12+m3l2

представляют собой элементы первого столбца матрицы M [см. выражение (т)]. Из рис. 3.12, в находим элементы второго столбца
M22=I2+m2h22;M12=I2+m2h2(l+h2)M22=mh2.

Элементы матрицы G можно определить аналогичным образом, взяв вместо ускорения единичные перемещения.

1
Оглавление
email@scask.ru