Для большинства рассмотренных в данной главе систем с двумя стержнями свободы матрицы масс и сил тяжести были диагональными. Связанные с их совместным влиянием члены уравнений движения появились только во внедиагональных элементах матриц жескостей и податливостей. Подобного типа совместное влияние назовем упругим взаимодействием, поскольку эти слагаемые уравнений определяются либо жесткостными свойствами, либо свойствами податливости упругих элементов. Внедиагональные элементы матриц масс и сил тяжести можно получить и путем изменения формы записи уравнений движения. Элементы первого типа часто появляются в уравнениях движения систем с абсолютно жесткими телами и их назовем инерционным взаимодействием, тогда как второй тип будем называть гравитационным взаимодействием.

Для того чтобы показать, как может возникнуть инерционное взаимодействие, запишем уравнения движения в усилиях для показанной на рис. 3.10 , $а$ системы, используя различные способы выбора перемещений. Абсолютно жесткий стержень массой $m$ закреплен в точках $A$ и $D$ на пружинах с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$. Стержень закреп-
Рис. 3.10

лен так, что не может перемещаться в направлении оси $x$ и движение совершает только в плоскости $x y$. Точка $C$ есть центр тяжести стержня, $I_{C}$ – момент инерции масс относительно проходяцей через точку $C$ оси $z$ (на рисунке не показана). Точкой $B$ обозначена такая точка стержня, для которой выполняется условие
\[
k_{1} l_{4}=k_{2} l_{5} .
\]

Приложенная в точке $B$ и направленная параллельно оси $y$ сила вызывает только смещение без поворота стержня, а момент вызывает только поворот без смещения.

На рис. 3.10, б представлен один из способов выбора координат перемещений для подобной системы, в качестве которых взяты $y_{A}$-перенос точки $A$ в направлении оси $y$ и $\theta_{A}$ – поворот стержня относительно точки $A$. На рисунке также показаны приложенные в точке $A$ усилия $Q_{A}$ и $T_{A}$, обусловленные реакцией пружин силы в точках $A$ и $D$, а также инерционные силы в точке $C$. Если на схеме со свободным телом показаны эти действия, тело можно рассматривать как находящееся в состоянии динамического равновесил. Тогда, применяя принцип Даламбера для получения уравнения равновесия в усилиях в направлении оси $y$, найдем
\[
m\left(\ddot{y}_{A}+l_{1} \ddot{\theta}_{A}\right)+k_{1} y_{A}+k_{2}\left(y_{A}+l \theta_{A}\right) l=Q_{A} .
\]

Для того чтобы получить второе уравнение равновесия, подсчитаем моменты относительно точки $A$ и запишем
\[
m\left(\ddot{y}_{A}+l_{1} \ddot{\theta}_{.1}\right) l_{1}+I_{C} \ddot{\theta}_{A}+k_{2}\left(y_{A}+l \theta_{A}\right) l=T_{A} .
\]

В матричной форме уравнения (б) и (в) имеют вил

где присутствуют члены, характеризующие как инерционное, так и упругое взаимодействие.

В качестве второго варианта выбора координат перемещений для этой системы возьмем $y_{B}$ и $\theta_{B}$ (соответственно перемещение точки $B$ в направлении оси $y$ и поворот стержня относительно точки $B$ ) и соответствующие усилия $Q_{B}$ и $T_{B}$. Поступая так же, как и выше, запишем в матричной форме уравнения движения в условиях
\[
\left[\begin{array}{cc}
m & m l_{3} \\
m l_{3} & I_{C}+m l_{3}^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\ddot{y}_{B} \\
\theta_{B}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
k_{1}+k_{2} & 0 \\
0 & k_{1} l_{4}^{2}+k_{2} l_{5}^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
y_{B} \\
\theta_{B}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
Q_{B} \\
T_{B}
\end{array}\right],
\]

где имеются члены, характеризующие инерционное взаимодействие, и отсутствуют члены, описывающие упругое взаимодействие.

При выборе третьего варианта координат воспользуемся центром тяжести (точка $C$ ) в качестве точки, определяющей движение стержня как абсолютно жесткого тела. В этом случае координатами перемещения являются $y_{C}$ и $\theta_{C}$ (т. е. перемещения в направлении оси $y$ и поворот балки относительно точки $C$ ), а соответствующими усилиями будут $Q_{C}$ и $T_{C}$. Тогда применительно к рассматриваемой точке уравнения движения принимают вид
\[
\left[\begin{array}{cc}
m & 0 \\
0 & I_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{y}_{C} \\
\ddot{\theta}_{C}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
k_{1}+k_{2} & k_{2} l_{2}-k_{1} l_{1} \\
k_{2} l_{2}-k_{1} l_{1} & k_{1} l_{1}^{2}+k_{2} l_{2}^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
y_{C} \\
\theta_{C}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
Q_{C} \\
T_{C}
\end{array}\right],
\]

где имеются члены, характеризующие упругое взаимодействие, и отсутствуют члены, описывающие инерционное взаимодействие. Таким образом видим, что характер взаимодействия, присутствующего в системе уравнений движения, зависит от выбора координат перемещений.

В произвольной матрице масс вида (3.14а) ее элементы можно рассматривать как коэффициенты влияния инерции, которые определяются как усилия, необходимые для создания единичных ускорений:
\[
\mathbf{M}=\left[\begin{array}{ll}
M_{11} & M_{12} \\
M_{21} & M_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
m & m l_{1} \\
m l_{1} & I_{C}+m l_{1}^{2}
\end{array}\right] .
\]

Гроизвольный элемент $M_{i j}$ матрицы масс представляет собой усилие типа $i$, необходимое для создания единичного (мгновенного) ускорения типа $j$. Это определение совпадает с тем, что было дано для коэффициента влияния жесткости; при этом вычисление элементов столбцов матрицы $\mathbf{M}$ проводится так же, как было описано применительно к элементам столбцов матрицы S. На рис. 3.10, в и а показан процесс, при котором в качестве характерной точки для описания движений абсолютно жесткостного стержня взята точка $A$. На рис. 3.10 , в представлены моменты $M_{11}$ и $M_{21}$, необходимые для создания единичного ускорения $\ddot{y}_{A}=1$ при $\ddot{\theta}_{A}=0$, а также моменты $M_{12}$ и $M_{22}$ (см. рис. $3.10,2$ ), необходимые для создания единичного ускорения $\ddot{\theta}_{A}=1$ при $\ddot{y}_{A}=0$. Для наглядности ускорения изображены так, как будто они являются перемещениями, а двой-

ные черточки на стрелках при точке $A$ служат напоминанием о том, что эти стрелки изображают усилия, необходимые для создания единичных ускорений. Из условий динамического равновесия видно, что коэффициентами влияния инерции являются величины $M_{11}=$ $=m_{1}, M_{21}=M_{12}=m l_{1}$ и $M_{22}=I_{C}+m l_{1}^{2}$, что можно также видеть из выражения (г).

Здесь можно также определить обратные коэффициенты влияния энерции, которые, по определению, являются ускорениями, обусловленными единичными силами, и аналогичны коэффициентам влияния податливости. Обратная матрица $\boldsymbol{M}^{-1}$ существует в том случае, если матрица $\boldsymbol{M}$ неособенная. Тогда, решая уравнения (3.6) относительно ускорения $\ddot{\mathbf{X}}$, получим уравнение движения вида
\[
\ddot{\mathbf{X}}=\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{Q}-\mathbf{S X}) .
\]

Подобные уравнения можно сравнить с уравнениями в перемещениях [см. уравнение (3.12)], рассмотренными в предыдущем параграфе. Однако подобный подход представляет второстепенный интерес и больше в этом параграфе обсуждаться не будет. Чтобы продемонстрировать проявление взаимодействия сил тяжести, рассмотрим соединенную пружиной пару маятников (см. рис. 3.4). Их уравнения движения (3.4а) и (3.4б), полученные выше, содержат взаимодействия, обусловленные только упругостью. Однако, если сложить уравнения (3.4б) и (3.4а) и полученное в результате уравнение рассмотреть совместно с уравнением (3.4б) как систему, то получим
\[
\begin{array}{l}
{\left[\begin{array}{cc}
m l^{2} & m l^{2} \\
0 & m l^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{\theta}_{1} \\
\ddot{\theta}_{2}
\end{array}\right]+\left(\left[\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
-k h^{2} & k h^{2}
\end{array}\right]+\right.} \\
\left.+\left[\begin{array}{cc}
m g l & m g l \\
0 & m g l
\end{array}\right]\right)\left[\begin{array}{l}
\theta_{1} \\
\theta_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
T_{1}+T_{2} \\
T_{2}
\end{array}\right],
\end{array}
\]

где $T_{1}=P_{1} l$ и $T_{2}=P_{2} l$. Первое уравнение полученной системы представляет условие равновесия динамических моментов относительно точки $A$ для всей системы, показанной на рис. 3.4 , тогда как второе уравнение представляет условие равновесия моментов относительно точки $B$ только для правого маятника. При использовании линейной комбинации исходных уравнений как в матрицу масс, так и в матрицу сил тяжести вводятся внедиагональные элементы; при этом исчезает свойство симметрии матрицы жесткости. Уравнение (д) можно также рассматривать как результат умножения уравнения (3.9) из п. 3.2 на транспонированную матрицу $\mathbf{A}^{\mathbf{r}}$, где
\[
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right], \quad \mathbf{A}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right],
\]

а буква «т» обозначает транспонирование. Таким образом, уравнение (д) в кратком матричном представлении имеет вид
\[
\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \ddot{\boldsymbol{\Theta}}+\mathbf{A}^{\mathbf{T}}(\mathbf{S}+\mathbf{G}) \boldsymbol{\Theta}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{T} .
\]

Симметрия матриц коэффициентов будет восстановлена, если перед матрицами столбцами $\ddot{\boldsymbol{\theta}}$ и $\boldsymbol{\Theta}$ из уравнения (ж) поставить единичную матрицу
\[
\mathbf{I}=\mathbf{A A}^{\mathbf{- 1}},
\]

где $\mathbf{A}^{-1}$ – матрица, обратная матрице $\mathbf{A}$ :
\[
\mathbf{A}^{-1}=\left[\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
–1 & 1
\end{array}\right] .
\]

В результате уравнение (ж) примет вид
\[
\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{A A}^{-1} \ddot{\boldsymbol{\Theta}}+\mathbf{A}^{\mathrm{T}}(\mathbf{S}+\mathbf{G}) \mathbf{A A}^{-1} \boldsymbol{\Theta}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{T}
\]

или

где
\[
\mathbf{M}_{A} \ddot{\boldsymbol{\theta}}_{A}+\left(\mathbf{S}_{A}+\mathbf{G}_{A}\right) \boldsymbol{\theta}_{A}=\mathbf{T}_{A},
\]
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{\Theta}_{A}=\mathbf{A}^{-1} \boldsymbol{\Theta}=\left[\begin{array}{c}
\theta_{1} \\
-\theta_{1}+\theta_{2}
\end{array}\right] ; \\
\mathbf{T}_{A}=\mathbf{A}^{\mathrm{r}} \mathbf{T}=\left[\begin{array}{c}
T_{1}+T_{2} \\
T_{2}
\end{array}\right] ;
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\boldsymbol{\theta}}_{A}=\mathbf{A}^{-1} \mathbf{\boldsymbol { \theta }}=\left[\begin{array}{c}
\ddot{\theta}_{1} \\
-\ddot{\theta}_{\mathbf{1}}+\ddot{\theta}_{2}
\end{array}\right] ; \quad \mathbf{M}_{A}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{M} \mathbf{A}=m l^{2}\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right] ; \\
\mathbf{S}_{A}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{A}=k h^{2}\left[\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right] ; \\
\mathbf{G}_{A}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}} \mathbf{G} \mathbf{A}=m g l\left[\begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Уравнения (3.16) представляют вариант системы уравнений движения в усилиях, в которых в качестве обобщенных усилий выступает матрица-столбец $\mathbf{T}_{A}$, а в качестве обобщенных перемещений матрица-столбец $\boldsymbol{\Theta}_{A}$. Подобная замена координат (переход от $\Theta$ к $\boldsymbol{\theta}_{A}$ ) называется преобразованием координат. Симметрия матриц преобразованных коэффициентов устанавливается благодаря тому, что конгруэнтные преобразования вида $\boldsymbol{M}_{A}=$ A $^{\text {T }}$ МА приводят к симметричным матрицам. Қак видно, в новых координатах уравнения имеют члены, описывающие как инерционные взаимодействия, так
Рис. 3.11 взаимодействия сил тяжести, и не имеют членов, характеризующих взаимодействия, обусловленные упругостью.
Пример 1. На рис. 3.11 показано аєсолютно жесткое тело, присоединенное к консольно закрепленной балке. Пусть $I_{C}$ – момент инерции массы тела относительно оси $z$,
Рис. 3.12
проходящей через центр тяжести (точку $C$ ). Эта точка располагается на оси $x$ на расстоянии $b$ от незакрепленного конца балки. Предполагается, что призматическая балка имеет жесткость $E I$ при изгибе. Рассматривая только малые перемещения в плоскости $x y$, обусловленные изгибными деформациями, и считая, что данная система имеет две степени свободы, записать уравнения движения в перемещениях.

Pешение. Если в качестве координат перемещения выбрать прогиб $y_{B}$ и поворот $\theta_{B}$ точки $B$ абсолютно жесткого тела, то легко получить коэффициенты податливостей. Кроме того, элементы матрицы масс совпадают с элементами матрицы (г), за исключением того, что длина $l_{1}$ заменяется на расстояние $b$. Таким образом, можно записать уравнения движения в перемещениях для рассматриваемой точки $B$ :
\[
\left[\begin{array}{l}
y_{B} \\
\theta_{B}
\end{array}\right]=\frac{l}{6 E l}\left[\begin{array}{cc}
2 l^{2} & 3 l \\
3 l & 6
\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{c}
Q_{B} \\
T_{B}
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
m & m b \\
m b & I_{C}+m b^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\ddot{y}_{B} \\
\ddot{\theta}_{B}
\end{array}\right]\right),
\]

в которых имеются как инерционные взаимодействия, так и взаимодействия, обусловленные упругостью.

С другой стороны, если движения абсолютно жесткого тела рассматривать в точке $C$, получим следующие уравнения в перемещениях:
\[
\begin{aligned}
{\left[\begin{array}{l}
y_{C} \\
\theta_{C}
\end{array}\right] } & =\frac{l}{6 E I}\left[\begin{array}{cc}
2\left(l^{2}+3 l b+3 b^{2}\right) & 3(l+2 b) \\
3(l+2 b) & 6
\end{array}\right] \times \\
& \times\left(\left[\begin{array}{c}
Q_{C} \\
T_{C}
\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}
m & 0 \\
0 & I_{C}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{y}_{C} \\
\ddot{\theta}_{C}
\end{array}\right]\right),
\end{aligned}
\]

в которых отсутствуют члены, описывающие инерционные взаимодействия, но имеются члены, характеризующие более сложные взаимодействия, обусловленные упругостью.

Пример 2. Рассмотрим двойной составной маятник (рис. 3.12,a), состоящий из двух соединенных в точке $B$ абсолютно жестких тел, шарнирно закрепленных в точке $A$. При наличии сил тяжести эта система может колебаться в плоскости $x y$. В качестве координат перемещения возьмем малые повороты $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$. Тела имеют массы $m_{1}$ и $m_{2}$, центры тяжести находятся в точках $C_{1}$ и $C_{2}$, через $I_{1}$ и $I_{2}$ обозна-

чены моменты инерции масс относительно осей $z$, проходящие через эти точки. Тре буется записать уравнения движения данной системы в усилиях.

Решение. Используя принцип Даламбера, запишем уравнение динамического равновесия моментов относительно точки $A$ для всей системы (см. рис. 3.12,a)
\[
\begin{array}{c}
I_{1} \ddot{\theta}_{1}+I_{2} \ddot{\theta}_{2}+m_{1} h_{1}^{2} \ddot{\theta}_{1}+m_{2}\left(l \ddot{\theta}_{1}+h_{2} \ddot{\theta}_{22}\right)\left(l+h_{2}\right)+m_{1} g h_{1} \theta_{1}+ \\
+m_{2} g\left(l \theta_{1}+h_{2} \theta_{2}\right)=T_{1}+T_{2} .
\end{array}
\]

Аналогично, из условия равновесия моментов относительно точки $B$ для второго тела получаем
\[
I_{2} \ddot{\theta}_{2}+m_{2}\left(l \ddot{\theta}_{1}+h_{2} \ddot{\theta}_{2}\right) h_{2}+m_{2} g h_{2} \theta_{2}=T_{2} .
\]

Переписав уравнения (о) и (п) в матричной форме, имеем
\[
\begin{array}{c}
{\left[\begin{array}{cc}
I_{1}+m_{1} h_{1}^{2}+m_{2} l\left(l+h_{2}\right) & I_{2}+m_{2} h_{2}\left(l+h_{2}\right) \\
m_{2} h_{2} & I_{2}+m_{2} h_{2}^{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{\theta}_{1} \\
\ddot{\theta}_{2}
\end{array}\right]+} \\
+\left[\begin{array}{cc}
\left(m_{1} h_{1}+m_{2} l\right) g & m_{2} h_{2} g \\
0 & m_{2} h_{2} g
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\theta_{1} \\
\theta_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
T_{1}+T_{2} \\
T_{2}
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Уравнение (p) напоминает уравнение (д), поскольку обобщенные усилия не соответствуют координатам перемещения, и матрицы коэффициентов являются несимметричными. Однако, если из уравнения (о) вычесть уравнение (п), то результирующее уравнение вместе с уравнением (п) даст следующую систему:
\[
\mathbf{M} \ddot{\boldsymbol{\theta}}+\mathbf{G} \Theta=\mathbf{T}=\left[\begin{array}{l}
T_{1} \\
T_{2}
\end{array}\right],
\]

где $\mathbf{M}$ и $\mathbf{G}$ – симметричные матрицы вида
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}
I_{1}+m_{1} h_{1}^{2}+m_{2} l^{2} & m_{2} l h_{2} \\
m_{2} l h_{2} & I_{2}+m_{2} h_{2}^{2}
\end{array}\right] ; \\
\mathbf{G}=\left[\begin{array}{cc}
\left(m_{1} h_{1}+m_{2} l\right) g & 0 \\
0 & m_{2} h_{2} g
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

Теперь первое уравнение этой системы представляет условие динамического равновесия моментов относительно точки $A$ только для первого тела.

Симметричные матрицы $\mathbf{M}$ и $\mathbf{G}$ можно построить непосредственно как матрицы коэффициентов влияния соответственно инерции и сил тяжести. На рис. $3.12,6$ и $в$ схематично представлены условия $\ddot{\theta}_{1}=1$ (при $\ddot{\theta}_{2}=0$ ) и $\ddot{\theta}_{2}=1$ (при $\ddot{\theta}_{1}=0$ ), которые требуются для определения элементов матрицы М. Из рис.3.12, б видно, что величины
\[
\begin{array}{c}
M_{21}=m_{2} l h_{2} ; \\
M_{11}=I_{1}+m_{1} h_{1}^{2}+m_{2} l\left(l+h_{2}\right)-M_{21}=I_{1}+m_{1} h_{1}^{2}+m_{3} l^{2}
\end{array}
\]

представляют собой элементы первого столбца матрицы $\boldsymbol{M}$ [см. выражение (т)]. Из рис. 3.12, в находим элементы второго столбца
\[
\begin{array}{c}
M_{22}=I_{2}+m_{2} h_{2}^{2} ; \\
M_{12}=I_{2}+m_{2} h_{2}\left(l+h_{2}\right)-M_{22}=m h_{2} .
\end{array}
\]

Элементы матрицы G можно определить аналогичным образом, взяв вместо ускорения единичные перемещения.