Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
В предыдущих параграфах были рассмотрены различные задачи, относящиеся к колебаниям стержней постоянного поперечного сечения. Однако некоторые важные для техники задачи, такие, как колебания турбинных лопаток, корпусов судов и мостовых балок переменной высоты, требуют применения теории колебаний стержней переменного поперечного сечения. Дифференциальное уравнение движения такого стержня при колебаниях было получено выше [см. уравнение (5.8) ] и имело вид где Применяя метод Релея-Ритца к задаче о колебаниях стержня, запишем следующие выражения для максимальных значений потенциальной и кинетической энергий: откуда следует Для того чтобы получить приближенное решение, поступим, как в предыдущем параграфе, и зададим форму кривой прогибов в виде ряда где каждая из функций или Из формулы (г) и равенства (ж) следует Таким образом, задача сводится к определению значений входящих в представление (д) постоянных Уравнения, получающиеся из равенства (5.152), являются однородными и линейными относительно Колебания клина. Применим теперь метод Релея-Ритца к случаю клина постоянной толщины, один конец которого не закреплен, а второй жестко заделан (рис. 5.30). В данной задаче имеем следующие геометрические характеристики поперечного сечения: где Рис. 5.30 Для того чтобы удовлетворить этим условиям, зададим кривую прогибов в виде ряда Легко видеть, что каждый член ряда, а также его производная по после подстановки его в формулу (г) получим Для получения более точного решения удержим в представлении (л) два первых слагаемых: Подставляя это представление в выражение (з), найдем Условия дают следующие два линейных уравнения: Приравнивая нулю определитель матрицы, составленной из коэф фициентов этого уравнения, приходим к уравнению Решив это уравнение, можно вычислить Для рассматриваемого случая имеется точное решение, для которого нормальные функции являются функцией Бесселя *. Из этого точного решения следует Сравнивая это решение с (н) и (т), видим, что погрешность первого приближения составляет примерно Метод Релея-Ритца (первый метод Ритца) может применяться также и в случаях, когда площадь Описанные выше расчеты гораздо легче можно выполнить с помощью второго метода P итца Предполагая, что стержень жестко защемлен на левом конце и не закреплен на правом, запишем концевые условия в виде При использовании второго метода Ритца После подстановки ряда (ж) в это равенство и после интегрирования получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно Взяв только два члена ряда (ж), предположим, что в рассматр иваемом случае Қаждое из выражений, стоящих в скобках, удовлетворяет концевым условиям (х). Первое слагаемое с точностью до постоянного множителя описывает прогибы консольного стержня при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки, второе — прогибы консольного стержня при действии распределенной поперечной нагрузки, изменяющейся по линейному закону и принимающей нулевое значение в-месте заделки. Подставляя представление (ц) в равенство (5.154) и выполнив интегрирование, получим Приравнивая нулю определитель этих двух уравнений, найдем Значение Колебания конического стержня. Задача колебаний конического стержня, вершина которого не закреплена, а основание жестко заделано, впервые была рассмотрена Кирхгофом *. Для основной формы колебаний в этом случае получаем где Таким образом, видим, что частоты основных форм поперечных колебаний конического и цилиндрического стержней относятся как где Другие случаи консольно закрепленных стержней переменного поперечного сечения. В общем случае частоты поперечных колебаний консольно закрепленных стержней можно определить по формуле В этой формуле Стержни переменного поперечного сечения с незакрепленными концами. Рассмотрим теперь случай колеблющегося в поперечном направлении стержня с незакрепленными концами, состоящего из двух равных половин, соединенных своими большими основаниями (рис. 5.31), при этом контур левой половины стержня образуется вращением кривой вокруг оси В этой формуле
|
1 |
Оглавление
|