В предыдущих параграфах были рассмотрены различные задачи, относящиеся к колебаниям стержней постоянного поперечного сечения. Однако некоторые важные для техники задачи, такие, как колебания турбинных лопаток, корпусов судов и мостовых балок переменной высоты, требуют применения теории колебаний стержней переменного поперечного сечения. Дифференциальное уравнение движения такого стержня при колебаниях было получено выше [см. уравнение (5.8) ] и имело вид
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(E I \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)+\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0
\]

где $I$ и $F$ – функции от $x$. Только в некоторых специальных случаях, которые будут рассмотрены ниже, можно получить точные выражения для нормальных функций и частот колебаний. Поэтому для определения собственных частот колебаний часто используют приближенные методы.

Применяя метод Релея-Ритца к задаче о колебаниях стержня, запишем следующие выражения для максимальных значений потенциальной и кинетической энергий:
\[
\begin{array}{c}
U_{\max }=\frac{1}{2} \int_{0}^{l} E I\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right) d x ; \\
T_{\max }=\frac{1}{2} p^{2} \int_{0}^{l} \rho F X^{2} d x,
\end{array}
\]

откуда следует
\[
\left.p^{2}=\frac{E}{\rho} \int_{0}^{l} I\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)^{2} d x \right\rvert\, \int_{0}^{l} F X^{2} d x .
\]

Для того чтобы получить приближенное решение, поступим, как в предыдущем параграфе, и зададим форму кривой прогибов в виде ряда
\[
X=a_{1} \Phi_{1}(x)+a_{2} \Phi_{2}(x)+a_{3} \Phi_{3}(x)+\ldots,
\]

где каждая из функций $\Phi_{n}$ удовлетворяет концевым условиям для стержней. Условие минимума значения частоты (г) имеет вид
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}}\left[\int_{0}^{l} I\left(d^{2} X / d x^{2}\right)^{2} d x \mid \int_{0}^{l} F X^{2} d x\right]=0
\]

или
\[
\int_{0}^{l} F X^{2} d x \frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{l} I\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)^{2} d x-\int_{0}^{l} I\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)^{2} d x \frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{l} F X^{2} d x=0 . \text { (ж) }
\]

Из формулы (г) и равенства (ж) следует
\[
\frac{\partial}{\partial a_{n}} \int_{0}^{l}\left[I\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)^{2}-\frac{p^{2} F \rho}{E} X^{2}\right] d x=0
\]

Таким образом, задача сводится к определению значений входящих в представление (д) постоянных $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$, которые соответствовали бы минимальному значению интеграла
\[
Z=\int_{0}^{l}\left[I\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)^{2}-\frac{p^{2} F \rho}{E} X^{2}\right] d x .
\]

Уравнения, получающиеся из равенства (5.152), являются однородными и линейными относительно $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$, и их число равно числу удерживаемых членов ряда (д). Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получим частотное уравнение, при решении которого можно определить частоты различных форм колебаний.

Колебания клина. Применим теперь метод Релея-Ритца к случаю клина постоянной толщины, один конец которого не закреплен, а второй жестко заделан (рис. 5.30). В данной задаче имеем следующие геометрические характеристики поперечного сечения:
\[
F=2 b x / l ; I=(2 b x)^{3} /\left(12 l^{3}\right),
\]

где $l$ – длина консольного стержня; $2 b$ – высота его поперечного сечения на жестко заделанном конце.
В рассматриваемом случае концевые условия имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left(E I \frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=0}=0 ; \\
\frac{d}{d x}\left(E I \frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=0}=0 ; \\
(X)_{x=l}=0 ; \quad(d X / d x)_{x=l}=0 .
\end{array}
\]

Рис. 5.30

Для того чтобы удовлетворить этим условиям, зададим кривую прогибов в виде ряда
\[
X=a_{1}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{2}+a_{2} \frac{x}{l}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{2}+a_{3} \frac{x^{2}}{l^{2}}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{2}+\cdots
\]

Легко видеть, что каждый член ряда, а также его производная по $x$ обращаются в нуль при $x=l$. Поэтому будут выполняться третье и четвертое условия (к). Первое и второе условия также будут выполняться, поскольку $I$ и $d I / d x$ равны нулю при $x=0$.
Взяв в качестве первого приближения представление
\[
X_{1}=a_{1}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{2},
\]

после подстановки его в формулу (г) получим
\[
p^{2}=\frac{10 E b^{2}}{\rho l^{4}} ; \quad f=\frac{p}{2 \pi}=\frac{5,48}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{3 \rho}} .
\]

Для получения более точного решения удержим в представлении (л) два первых слагаемых:
\[
X_{2}=a_{1}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{2}+a_{2} \frac{x}{l}\left(1-\frac{x}{l}\right)^{2} .
\]

Подставляя это представление в выражение (з), найдем
\[
\begin{array}{c}
Z_{2}=\frac{2}{3} \frac{b^{3}}{l^{3}}\left[\left(a_{1}-2 a_{2}\right)^{2}+\frac{24}{5} a_{2}\left(a_{1}-2 a_{2}\right)+6 a_{2}^{2}\right]- \\
-\frac{2 b \rho l p^{2}}{E}\left[\frac{a_{1}^{2}}{30}+\frac{2 a_{1} a_{2}}{105}+\frac{a_{2}^{2}}{280}\right] .
\end{array}
\]

Условия
\[
\partial Z_{2} / \partial a_{1}=0 ; \partial Z_{2} / \partial a_{2}=0
\]

дают следующие два линейных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{E}{\rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{30}\right) a_{1}+\left(\frac{2 E}{5 \rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{105}\right) a_{2}=0 \\
\left(\frac{2 E}{5 \rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{105}\right) a_{1}+\left(\frac{2 E}{5 \rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{280}\right) a_{2}=0 .
\end{array}
\]

Приравнивая нулю определитель матрицы, составленной из коэф фициентов этого уравнения, приходим к уравнению
\[
\left(\frac{E}{\rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{30}\right)\left(\frac{2 E}{5 \rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{280}\right)-\left(\frac{2 E}{5 \rho} \frac{b^{2}}{3 l^{4}}-\frac{p^{2}}{105}\right)^{2}=0 .
\]

Решив это уравнение, можно вычислить $p_{1,2}^{2}$. Тогда наименьшему из этих корней будет соответствовать
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{5,319 b}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{\bar{E}}{3 \rho}} .
\]

Для рассматриваемого случая имеется точное решение, для которого нормальные функции являются функцией Бесселя *. Из этого точного решения следует
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{5,315 b}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{3 \rho}} .
\]

Сравнивая это решение с (н) и (т), видим, что погрешность первого приближения составляет примерно $3,1 \%$, тогда как второе приближение дает ошибку примерно $0,075 \%$. Дальнейшее увеличение числа удерживаемых членов ряда (д) необходимо только в том случае, когда вычисляются также и частоты высших форм колебаний. Для сравнения укажем, что в случае консольного стержня постоянного поперечного сечения, равного поперечному сечению клина в его основании, было получено
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{(1,875)^{2} a}{2 \pi l^{2}}=\frac{3,515 b}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{3 \rho}} .
\]

Метод Релея-Ритца (первый метод Ритца) может применяться также и в случаях, когда площадь $F$ и момент инерции $I$ поперечного сечения стержня не являются непрерывными функциями от $x$. Эти функции могут иметь несколько точек разрыва или описываться различными выражениями на различных интервалах по длине $l$ стержня. В подобных случаях интервал интегрирования в выражении (з) следует разбивать на несколько интервалов, внутри каждого из которых момент инерции $I$ и площадь $F$ поперечного сечения представляются непрерывными функциями **. Метод Релея-Ритца можно применять и в том случае, когда функции $F$ и $I$ представляются в графическом или табличном виде. При этом интегралы в выражении (з) необходимо вычислять численно.

Описанные выше расчеты гораздо легче можно выполнить с помощью второго метода P итца ${ }^{11}$, ***, в котором вместо рассмотрения энергетических соотношений используется непосредственным образом дифференциальное уравнение движения. В качестве примера рассмотрим уже известный случай колебаний консольно закрепленного стержня постоянного поперечного сечения, где дифференциальное уравнение для нормальных функций имеет вид
\[
E I \frac{d^{4} X}{d x^{4}}-\rho F p^{2} X=0 .
\]

Предполагая, что стержень жестко защемлен на левом конце и не закреплен на правом, запишем концевые условия в виде
\[
\begin{array}{l}
(X)_{x=0}=0, \quad\left(\frac{d X}{d x}\right)_{x=0}=0, \\
\left(\frac{d^{2} X}{d x^{2}}\right)_{x=l}=0,\left(\frac{d^{3} X}{d x^{3}}\right)_{x=l}=0 .
\end{array}
\]

При использовании второго метода Ритца ${ }^{11}$ вновь возьмем функцию в форме ряда (д). Поскольку это решение неточное, оно не будет удовлетворять уравнению (ф) и при подстановке в левую часть равенства будет давать отличное от нуля значение, которое представляет некоторую нагрузку $Q(x)$, распределенную по длине консольного стержня. Тогда значения коэффициентов $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ ряда (ж) можно получить, воспользовавшись тем условием, что возможная работа нагрузки $Q(x)$ на возможных перемещения х $\delta y_{n}=\delta a_{n} \Phi_{n}(x)$ равна нулю. В результате получаем равенства следующей формы:
\[
\int_{0}^{l}\left(E I \frac{d^{4} X}{d x^{4}}-\rho F p^{2} X\right) \Phi_{n}(x) d x=0 .
\]

После подстановки ряда (ж) в это равенство и после интегрирования получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ Как и выше, частотное уравнение получаем приравниванием нулю определителя этого уравнения.

Взяв только два члена ряда (ж), предположим, что в рассматр иваемом случае
\[
\begin{array}{l}
X=a_{1}\left(6 l^{2} x^{2}-4 l x^{3}+x^{4}\right)+ \\
+a_{2}\left(20 l^{3} x^{2}-10 l^{2} x^{3}+x^{5}\right) .
\end{array}
\]

Қаждое из выражений, стоящих в скобках, удовлетворяет концевым условиям (х). Первое слагаемое с точностью до постоянного множителя описывает прогибы консольного стержня при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки, второе – прогибы консольного стержня при действии распределенной поперечной нагрузки, изменяющейся по линейному закону и принимающей нулевое значение в-месте заделки. Подставляя представление (ц) в равенство (5.154) и выполнив интегрирование, получим
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{104}{45} \frac{p^{2} l^{4}}{a^{2}}-\frac{144}{5}\right) a_{1}+\left(\frac{2644}{315} \frac{p^{2} l^{4}}{a^{2}}-104\right) a_{2}=0 \\
\left(\frac{2644}{315} \frac{p^{2} l^{4}}{a^{2}}-104\right) a_{1}+\left(\frac{21,128}{693} \frac{p^{2} l^{4}}{a^{2}}-\frac{2640}{7}\right) a_{2}=0 .
\end{array}
\]

Приравнивая нулю определитель этих двух уравнений, найдем
\[
p_{1}=3,517 \frac{a}{l^{2}}=\frac{3,517}{l^{2}} \sqrt{\frac{E I}{\rho F}}, p_{2}=\frac{22,78}{l^{2}} \sqrt{\frac{E I}{\rho F}} .
\]

Значение $p_{1}$ здесь найдено с высокой точностью, а ошибка в значении $p_{2}$ составляет примерно $3,4 \%$.

Колебания конического стержня. Задача колебаний конического стержня, вершина которого не закреплена, а основание жестко

заделано, впервые была рассмотрена Кирхгофом *. Для основной формы колебаний в этом случае получаем
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{4,359 r}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{\rho}},
\]

где $r$ – радиус основания конуса; $l$ – длина конического стержня. Для сравнения напомним, что цилиндрический стержень той же длины и площадью поперечного сечения, как у основания конуса, имеет частоту колебаний
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{(1,875)^{2} a}{2 \pi l^{2}}=\frac{1,758 r}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{\rho}} .
\]

Таким образом, видим, что частоты основных форм поперечных колебаний конического и цилиндрического стержней относятся как $4,359 / 1,758 \approx 2,5$. В более общем виде частоту колебаний конического стержня по произвольной форме можно определить по формуле
\[
f_{n}=\frac{p_{n}}{2 \pi}=\frac{\alpha_{n} r}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{\rho}},
\]

где $\alpha_{n}$ имеет следующие значения **:
\begin{tabular}{cccccc}
$\alpha_{1}$ & $\alpha_{2}$ & $\alpha_{3}$ & $\alpha_{4}$ & $\alpha_{b}$ & $\alpha_{6}$ \\
4,359 & 10,573 & 19,225 & 30,339 & 43,921 & 59,956
\end{tabular}

Другие случаи консольно закрепленных стержней переменного поперечного сечения. В общем случае частоты поперечных колебаний консольно закрепленных стержней можно определить по формуле
\[
f_{i}=\frac{p_{n}}{2 \pi}=\frac{\alpha_{n} r_{\text {II }}}{2 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{E}{\rho}} .
\]

В этой формуле $r_{\text {п }}$ – радиус инерции поперечного сечения, расположенного в месте жесткой заделки; $l$ – длина консольного стержня; $\alpha_{n}$ – постоянная, зависящая от конфигурации стержня и от формы колебаний. Для наиболее важных с практической точки зрения случаев постоянная $\alpha_{1}$ принимает следующие значения:
1. Если изменения площади и момента инерции поперечного сечения в зависимости от $x$ можно представить в виде
\[
F=a x^{m}, I=b x^{m}
\]
( $x$ измеряется от незакрепленного конца), радиус $r_{\text {п }}$ инерции остается постоянным по длине консольного стержня, и постоянную $\alpha_{1}$ для ссновной формы колебаний с достаточной точностью можно определять по формуле ***
\[
\alpha_{1}=3,47(1+1,05 m) .
\]
Рис. 5.31
2. Если изменения площади и момента инерции поперечного сечения в зависимости от $x$ можно представить в виде
\[
F=a\left(1-\frac{c x}{l}\right), I=b\left(1-\frac{c x}{l}\right)
\]
( $x$ измеряется от места жесткой заделки), радиус $\iota_{n}$ остается постоянным по длине стержня, а величину $\alpha_{1}$ можно выбрать из следующих значений *:

Стержни переменного поперечного сечения с незакрепленными концами. Рассмотрим теперь случай колеблющегося в поперечном направлении стержня с незакрепленными концами, состоящего из двух равных половин, соединенных своими большими основаниями (рис. 5.31), при этом контур левой половины стержня образуется вращением кривой
\[
y=a x^{m}
\]

вокруг оси $x$. Точное решение этой задачи, выраженное в функциях Бесселя, было получено ** для некоторых значений $m$, при этом частоту основной формы колебаний можно было представить в виде
\[
f_{1}=\frac{p_{1}}{2 \pi}=\frac{\alpha_{1} r}{4 \pi l^{2}} \sqrt{\frac{\bar{E}}{\rho}} .
\]

В этой формуле $r$ – радиус наибольшего поперечного сечения: $2 l$ – длина стержня; $\alpha_{1}$ – постоянная, зависящая от формы кривой ( $r^{\prime}$ ) и принимающая следующие значения: