Главная > Колебания в инженерном деле" (С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

В предыдущих параграфах были рассмотрены различные задачи, относящиеся к колебаниям стержней постоянного поперечного сечения. Однако некоторые важные для техники задачи, такие, как колебания турбинных лопаток, корпусов судов и мостовых балок переменной высоты, требуют применения теории колебаний стержней переменного поперечного сечения. Дифференциальное уравнение движения такого стержня при колебаниях было получено выше [см. уравнение (5.8) ] и имело вид
2x2(EI2yx2)+ρF2yt2=0

где I и F — функции от x. Только в некоторых специальных случаях, которые будут рассмотрены ниже, можно получить точные выражения для нормальных функций и частот колебаний. Поэтому для определения собственных частот колебаний часто используют приближенные методы.

Применяя метод Релея-Ритца к задаче о колебаниях стержня, запишем следующие выражения для максимальных значений потенциальной и кинетической энергий:
Umax=120lEI(d2Xdx2)dx;Tmax=12p20lρFX2dx,

откуда следует
p2=Eρ0lI(d2Xdx2)2dx|0lFX2dx.

Для того чтобы получить приближенное решение, поступим, как в предыдущем параграфе, и зададим форму кривой прогибов в виде ряда
X=a1Φ1(x)+a2Φ2(x)+a3Φ3(x)+,

где каждая из функций Φn удовлетворяет концевым условиям для стержней. Условие минимума значения частоты (г) имеет вид
an[0lI(d2X/dx2)2dx0lFX2dx]=0

или
0lFX2dxan0lI(d2Xdx2)2dx0lI(d2Xdx2)2dxan0lFX2dx=0. (ж) 

Из формулы (г) и равенства (ж) следует
an0l[I(d2Xdx2)2p2FρEX2]dx=0

Таким образом, задача сводится к определению значений входящих в представление (д) постоянных a1,a2,a3,, которые соответствовали бы минимальному значению интеграла
Z=0l[I(d2Xdx2)2p2FρEX2]dx.

Уравнения, получающиеся из равенства (5.152), являются однородными и линейными относительно a1,a2,a3,, и их число равно числу удерживаемых членов ряда (д). Приравнивая нулю определитель этих уравнений, получим частотное уравнение, при решении которого можно определить частоты различных форм колебаний.

Колебания клина. Применим теперь метод Релея-Ритца к случаю клина постоянной толщины, один конец которого не закреплен, а второй жестко заделан (рис. 5.30). В данной задаче имеем следующие геометрические характеристики поперечного сечения:
F=2bx/l;I=(2bx)3/(12l3),

где l — длина консольного стержня; 2b — высота его поперечного сечения на жестко заделанном конце.
В рассматриваемом случае концевые условия имеют вид
(EId2Xdx2)x=0=0;ddx(EId2Xdx2)x=0=0;(X)x=l=0;(dX/dx)x=l=0.

Рис. 5.30

Для того чтобы удовлетворить этим условиям, зададим кривую прогибов в виде ряда
X=a1(1xl)2+a2xl(1xl)2+a3x2l2(1xl)2+

Легко видеть, что каждый член ряда, а также его производная по x обращаются в нуль при x=l. Поэтому будут выполняться третье и четвертое условия (к). Первое и второе условия также будут выполняться, поскольку I и dI/dx равны нулю при x=0.
Взяв в качестве первого приближения представление
X1=a1(1xl)2,

после подстановки его в формулу (г) получим
p2=10Eb2ρl4;f=p2π=5,482πl2E3ρ.

Для получения более точного решения удержим в представлении (л) два первых слагаемых:
X2=a1(1xl)2+a2xl(1xl)2.

Подставляя это представление в выражение (з), найдем
Z2=23b3l3[(a12a2)2+245a2(a12a2)+6a22]2bρlp2E[a1230+2a1a2105+a22280].

Условия
Z2/a1=0;Z2/a2=0

дают следующие два линейных уравнения:
(Eρb23l4p230)a1+(2E5ρb23l4p2105)a2=0(2E5ρb23l4p2105)a1+(2E5ρb23l4p2280)a2=0.

Приравнивая нулю определитель матрицы, составленной из коэф фициентов этого уравнения, приходим к уравнению
(Eρb23l4p230)(2E5ρb23l4p2280)(2E5ρb23l4p2105)2=0.

Решив это уравнение, можно вычислить p1,22. Тогда наименьшему из этих корней будет соответствовать
f1=p12π=5,319b2πl2E¯3ρ.

Для рассматриваемого случая имеется точное решение, для которого нормальные функции являются функцией Бесселя *. Из этого точного решения следует
f1=p12π=5,315b2πl2E3ρ.

Сравнивая это решение с (н) и (т), видим, что погрешность первого приближения составляет примерно 3,1%, тогда как второе приближение дает ошибку примерно 0,075%. Дальнейшее увеличение числа удерживаемых членов ряда (д) необходимо только в том случае, когда вычисляются также и частоты высших форм колебаний. Для сравнения укажем, что в случае консольного стержня постоянного поперечного сечения, равного поперечному сечению клина в его основании, было получено
f1=p12π=(1,875)2a2πl2=3,515b2πl2E3ρ.

Метод Релея-Ритца (первый метод Ритца) может применяться также и в случаях, когда площадь F и момент инерции I поперечного сечения стержня не являются непрерывными функциями от x. Эти функции могут иметь несколько точек разрыва или описываться различными выражениями на различных интервалах по длине l стержня. В подобных случаях интервал интегрирования в выражении (з) следует разбивать на несколько интервалов, внутри каждого из которых момент инерции I и площадь F поперечного сечения представляются непрерывными функциями **. Метод Релея-Ритца можно применять и в том случае, когда функции F и I представляются в графическом или табличном виде. При этом интегралы в выражении (з) необходимо вычислять численно.

Описанные выше расчеты гораздо легче можно выполнить с помощью второго метода P итца 11, ***, в котором вместо рассмотрения энергетических соотношений используется непосредственным образом дифференциальное уравнение движения. В качестве примера рассмотрим уже известный случай колебаний консольно закрепленного стержня постоянного поперечного сечения, где дифференциальное уравнение для нормальных функций имеет вид
EId4Xdx4ρFp2X=0.

Предполагая, что стержень жестко защемлен на левом конце и не закреплен на правом, запишем концевые условия в виде
(X)x=0=0,(dXdx)x=0=0,(d2Xdx2)x=l=0,(d3Xdx3)x=l=0.

При использовании второго метода Ритца 11 вновь возьмем функцию в форме ряда (д). Поскольку это решение неточное, оно не будет удовлетворять уравнению (ф) и при подстановке в левую часть равенства будет давать отличное от нуля значение, которое представляет некоторую нагрузку Q(x), распределенную по длине консольного стержня. Тогда значения коэффициентов a1,a2,a3, ряда (ж) можно получить, воспользовавшись тем условием, что возможная работа нагрузки Q(x) на возможных перемещения х δyn=δanΦn(x) равна нулю. В результате получаем равенства следующей формы:
0l(EId4Xdx4ρFp2X)Φn(x)dx=0.

После подстановки ряда (ж) в это равенство и после интегрирования получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно a1,a2,a3, Как и выше, частотное уравнение получаем приравниванием нулю определителя этого уравнения.

Взяв только два члена ряда (ж), предположим, что в рассматр иваемом случае
X=a1(6l2x24lx3+x4)++a2(20l3x210l2x3+x5).

Қаждое из выражений, стоящих в скобках, удовлетворяет концевым условиям (х). Первое слагаемое с точностью до постоянного множителя описывает прогибы консольного стержня при действии равномерно распределенной поперечной нагрузки, второе — прогибы консольного стержня при действии распределенной поперечной нагрузки, изменяющейся по линейному закону и принимающей нулевое значение в-месте заделки. Подставляя представление (ц) в равенство (5.154) и выполнив интегрирование, получим
(10445p2l4a21445)a1+(2644315p2l4a2104)a2=0(2644315p2l4a2104)a1+(21,128693p2l4a226407)a2=0.

Приравнивая нулю определитель этих двух уравнений, найдем
p1=3,517al2=3,517l2EIρF,p2=22,78l2EIρF.

Значение p1 здесь найдено с высокой точностью, а ошибка в значении p2 составляет примерно 3,4%.

Колебания конического стержня. Задача колебаний конического стержня, вершина которого не закреплена, а основание жестко

заделано, впервые была рассмотрена Кирхгофом *. Для основной формы колебаний в этом случае получаем
f1=p12π=4,359r2πl2Eρ,

где r — радиус основания конуса; l — длина конического стержня. Для сравнения напомним, что цилиндрический стержень той же длины и площадью поперечного сечения, как у основания конуса, имеет частоту колебаний
f1=p12π=(1,875)2a2πl2=1,758r2πl2Eρ.

Таким образом, видим, что частоты основных форм поперечных колебаний конического и цилиндрического стержней относятся как 4,359/1,7582,5. В более общем виде частоту колебаний конического стержня по произвольной форме можно определить по формуле
fn=pn2π=αnr2πl2Eρ,

где αn имеет следующие значения **:
Unknown environment 'tabular'

Другие случаи консольно закрепленных стержней переменного поперечного сечения. В общем случае частоты поперечных колебаний консольно закрепленных стержней можно определить по формуле
fi=pn2π=αnrII 2πl2Eρ.

В этой формуле rп  — радиус инерции поперечного сечения, расположенного в месте жесткой заделки; l — длина консольного стержня; αn — постоянная, зависящая от конфигурации стержня и от формы колебаний. Для наиболее важных с практической точки зрения случаев постоянная α1 принимает следующие значения:
1. Если изменения площади и момента инерции поперечного сечения в зависимости от x можно представить в виде
F=axm,I=bxm
( x измеряется от незакрепленного конца), радиус rп  инерции остается постоянным по длине консольного стержня, и постоянную α1 для ссновной формы колебаний с достаточной точностью можно определять по формуле ***
α1=3,47(1+1,05m).
Рис. 5.31
2. Если изменения площади и момента инерции поперечного сечения в зависимости от x можно представить в виде
F=a(1cxl),I=b(1cxl)
( x измеряется от места жесткой заделки), радиус ιn остается постоянным по длине стержня, а величину α1 можно выбрать из следующих значений *:

Стержни переменного поперечного сечения с незакрепленными концами. Рассмотрим теперь случай колеблющегося в поперечном направлении стержня с незакрепленными концами, состоящего из двух равных половин, соединенных своими большими основаниями (рис. 5.31), при этом контур левой половины стержня образуется вращением кривой
y=axm

вокруг оси x. Точное решение этой задачи, выраженное в функциях Бесселя, было получено ** для некоторых значений m, при этом частоту основной формы колебаний можно было представить в виде
f1=p12π=α1r4πl2E¯ρ.

В этой формуле r — радиус наибольшего поперечного сечения: 2l — длина стержня; α1 — постоянная, зависящая от формы кривой ( r ) и принимающая следующие значения:

1
Оглавление
email@scask.ru