Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим теперь поперечные колебания призматического стержня (рис. 5.13, a) в плоскости $x y$, которая является плоскостью симметрии для его поперечных сечений. Так же, как и выше, в случае колебаний растянутой нити через $y$ обозначим поперечное перемещение малого элемента стержня, расположенного на расстоянии $x$ от левого конца последнего. Если для нити жесткость при изгибе $E I$ предполагалась малой, в случае стержня эту жесткость следует учитывать. На рис. 5.13, б показан малый элемент стержня длиной $d x$, а также внутренние и внешние силы, действующие на него. На этом рисунке знаки поперечной силы $V$ и изгибающего момента $M$ взяты в соответствии с принятым в теории изгиба стержней правилом *. При поперечных колебаниях стержней условие динамического равновесия сил, действующих в направлении оси $y$, имеет вид а условие равенства моментов дает Выражая $V$ из уравнения (б) и подставляя результат в уравнение (a), получим Из элементарной теории изгиба стержней имеем соотношение Подставляя это выражение в уравнение (в), находим что является общим уравнением поперечных свободных колебаний стержней. В частном случае призматического стержня с жесткостью $E I$ при изгибе, не зависящей от $x$, имеем Это уравнение может быть представлено и в такой форме: где Когда гтержень колеблется в поперечном направлении по одной из форм собственных колебаний, его прогибы в произвольной точке будут изменяться во времени по гармоническому закону Здесь для удобства записи опущен индекс $i$, обозначающий $i$-ю форму колебаний. Подставляя представление (д) в уравнение (5.83), получим Учитывая необходимость решать обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, введем обозначение и перепишем уравнение (е) в виде Примем в уравнении (3) $X=e^{n x}$, что даст Таким образом, видим, что величина $n$ может принимать следующие значения: $n_{1}=k, n_{2}=-k, n_{3}=i k, n_{4}=-i k$, где $i^{2}=-1$. Общее решение уравнения (и) которое можно записать в следующей эквивалентной форме: Полученное выражение является нормальной функцией задачи о поперечных колебаниях призматического стержня. Постоянные $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $C_{4}$, входящие в выражение (5.85), являются произвольными и должны определяться в каждом частном случае в соответствии с условиями, заданными на концах стержня. Например, для свободного конца прогиб и изгибающий момент равны нулю, что дает На защемленном конце равны нулю прогиб и угол наклона, следовательно, в этом случае имеем На незакрепленном конце обращаются в нуль изгибающий момент и поперечная сила. В результате получаем Поскольку у стержня есть два конца, всегда имеется возможность записать такие концевые условия, используя которые можно найти величины $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $C_{4}$, а найдя их, определить частоты и формы свободных колебаний. Затем нормальные формы можно просуммировать и получить результирующие перемещения при поперечных колебаниях стержня Конкретные случаи поперечных колебаний стержней с различными концевыми условиями будут рассматриваться в следующих параграфах. где Подобный тип задач можно представить как задачи, в которых четвертая производная (в данном случае по $x$ ) функции $X$ приравнивается самой функции, умноженной на собственное значение $\lambda_{i}$. Свойства ортогональности собственных функций исследуем путем рассмотрения $i$-й \»и $j$-й форм колебаний: Умножая уравнение (п) на $X_{j}$ и уравнение (р) на $X_{i}$ и интегрируя результат по длине балки, получим Интегрируя по частям выражения, стоящие в левых частях этих равенств, приходим к соотношениям вида Из концевых условий (л) и (н) следует, что стоящие в квадратных скобках слагаемые в левых частях соотношений (у) и (ф) должны быть равны нулю. Тогда вычитая равенство (ф) из (у), получим Для того чтобы равенство (х) выполнялось при $i Подставляя это равенство в соотношение (у), получим а из соотношения (с) следует Соотношения (5.88)-(5.90) определяют условие ортогональности для задачи о поперечных колебаниях призматического стержня. 4. Для случая $i=j$ интеграл в соотношении (х) может принимать произвольное постоянное значение $\alpha_{i}$, а именно: Если собственные функции нормируются в соответствии с этим соотношением, из равенств ${ }_{-}^{\text {“ }}$ (с) и (у) следует Для того чтобы преобразовать уравнение движения (5.82) к главным координатам, перепишем его в форме где $m=\rho F$ — масса единицы длины балки, $r=E I-$ жесткость при изгибе. Представляя динамические перемещения в виде ряда по функциям времени $\varphi_{i}$ и функциям перемещений $X_{i}$, запишем Подставляя представление (5.93) в уравнение движения (ц), найдем Умножая равенство (ч) на нормальную функцию $X_{j}$ и интегрируя по длине стержня, приходим к следующему равенству: Из соотношений (5.88) и (5.90)-(5.92) видно, что при $i=j$ уравнение движения в главных координатах принимает вид где Таким образом, главная масса $m_{\Gamma i}$ при изгибных колебаниях вычисляется так же, как и в случае продольных колебаний [см. ‘выражение (5.19)]. Однако здесь главная жесткость $r_{\Gamma i}$ [см. выражение (5.96)] определяется иначе, чем в случае продольных колебаний [см. выражение $(5.20)$ ]. Как и выше, положим в соотношениях нормированности постоянную равной единице, поэтому соотношения (5.91) и (5.92) примут вид Тогда, разделив уравнение (5.94) на величину $m$, получим Можно видеть, что применение метода нормальных форм к задаче изгибных колебаний стержней приводит к уравнению, аналогичному по форме уравнению для продольных колебаний стержня, полученному в п. 5.4. В силу отмеченной аналогии, здесь не будут вновь выводиться выражения, описывающие динамическое поведение стержней при поперечных колебаниях при заданных начальных условиях и приложенных динамических нагрузках. Выражение для динамических перемещений при изгибных колебаниях будут совпадать с аналогичным выражением для задачи о продольных колебаниях [см. выражения (5.23)—(5.29)], если в последних выражениях продольное перемещение $u$ заменить на поперечное $y$.
|
1 |
Оглавление
|