Рассмотрим теперь поперечные колебания призматического стержня (рис. 5.13, a) в плоскости $x y$, которая является плоскостью симметрии для его поперечных сечений. Так же, как и выше, в случае колебаний растянутой нити через $y$ обозначим поперечное перемещение малого элемента стержня, расположенного на расстоянии $x$ от левого конца последнего. Если для нити жесткость при изгибе $E I$ предполагалась малой, в случае стержня эту жесткость следует учитывать. На рис. 5.13, б показан малый элемент стержня длиной $d x$, а также внутренние и внешние силы, действующие на него. На этом рисунке знаки поперечной силы $V$ и изгибающего момента $M$ взяты в соответствии с принятым в теории изгиба стержней правилом *. При поперечных колебаниях стержней условие динамического равновесия сил, действующих в направлении оси $y$, имеет вид
\[
V-V-\frac{\partial V}{\partial x} d x-\rho F d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}}=0,
\]

а условие равенства моментов дает
\[
-V d x+\frac{\partial M}{\partial x} d x \approx 0 .
\]

Выражая $V$ из уравнения (б) и подставляя результат в уравнение (a), получим
\[
\frac{\partial^{2} M}{\partial x^{2}} d x=-\rho F d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Из элементарной теории изгиба стержней имеем соотношение
\[
M=E l \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}} .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (в), находим
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(E I \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right) d x=-\rho F d x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}},
\]
* См. с. 96 в кн. Timoshenko S., Young D. H. Elements of strength of materials, цитированной в п. 1.1.
Рис. 5.13

что является общим уравнением поперечных свободных колебаний стержней. В частном случае призматического стержня с жесткостью $E I$ при изгибе, не зависящей от $x$, имеем
\[
E I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}} d x=-\cdots \rho F x \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Это уравнение может быть представлено и в такой форме:
\[
\frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}=-\frac{1}{a^{2}} \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}},
\]

где
\[
a=\sqrt{E I / \rho F} .
\]

Когда гтержень колеблется в поперечном направлении по одной из форм собственных колебаний, его прогибы в произвольной точке будут изменяться во времени по гармоническому закону
\[
y=X(A \cos p t+B \sin p t) .
\]

Здесь для удобства записи опущен индекс $i$, обозначающий $i$-ю форму колебаний. Подставляя представление (д) в уравнение (5.83), получим
\[
\frac{d^{4} X}{d x^{4}}-\frac{p^{2}}{a^{2}} X=0 .
\]

Учитывая необходимость решать обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, введем обозначение
\[
p^{2} / a^{2}=k^{4}
\]

и перепишем уравнение (е) в виде
\[
\frac{d^{4} X}{d x^{4}}-k^{4} X=0
\]

Примем в уравнении (3) $X=e^{n x}$, что даст
\[
e^{n x}\left(n^{4}-k^{4}\right)=0 \text {. }
\]

Таким образом, видим, что величина $n$ может принимать следующие значения: $n_{1}=k, n_{2}=-k, n_{3}=i k, n_{4}=-i k$, где $i^{2}=-1$. Общее решение уравнения (и)
\[
X=C e^{k x}+D e^{-k x}+E e^{i k x}+F e^{-i k x},
\]

которое можно записать в следующей эквивалентной форме:
\[
X=C_{1} \sin k x+C_{2} \cos k x+C_{3} \operatorname{sh} k x+C_{4} \operatorname{ch} k x .
\]

Полученное выражение является нормальной функцией задачи о поперечных колебаниях призматического стержня.

Постоянные $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $C_{4}$, входящие в выражение (5.85), являются произвольными и должны определяться в каждом частном случае в соответствии с условиями, заданными на концах стержня. Например, для свободного конца прогиб и изгибающий момент равны нулю, что дает
\[
X=0 ; X^{\prime \prime}=0 .
\]

На защемленном конце равны нулю прогиб и угол наклона, следовательно, в этом случае имеем
\[
X=0 ; \quad X^{\prime}=0 .
\]

На незакрепленном конце обращаются в нуль изгибающий момент и поперечная сила. В результате получаем
\[
X^{\prime \prime}=0 ; \quad X^{\prime \prime \prime}=0 .
\]

Поскольку у стержня есть два конца, всегда имеется возможность записать такие концевые условия, используя которые можно найти величины $C_{1}, C_{2}, C_{3}$ и $C_{4}$, а найдя их, определить частоты и формы свободных колебаний. Затем нормальные формы можно просуммировать и получить результирующие перемещения при поперечных колебаниях стержня
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} X_{i}\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i}{ }_{\mathrm{s}}^{2} \sin p_{i} t\right) .
\]

Конкретные случаи поперечных колебаний стержней с различными концевыми условиями будут рассматриваться в следующих параграфах.
Запишем уравнение (з) в форме жздачи на собственные значения

где
\[
X_{i}^{\mathrm{IV}}=\lambda_{i} X_{l},
\]
\[
\lambda_{i}=k_{i}^{4}=\left(p_{i} / a\right)^{2} .
\]

Подобный тип задач можно представить как задачи, в которых четвертая производная (в данном случае по $x$ ) функции $X$ приравнивается самой функции, умноженной на собственное значение $\lambda_{i}$. Свойства ортогональности собственных функций исследуем путем рассмотрения $i$-й \”и $j$-й форм колебаний:
\[
\begin{array}{l}
X_{i}^{\mathrm{IV}}=\lambda_{i} X_{i} ; \\
X_{j}^{\mathrm{IV}}=\lambda_{j} X_{j} .
\end{array}
\]

Умножая уравнение (п) на $X_{j}$ и уравнение (р) на $X_{i}$ и интегрируя результат по длине балки, получим
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{l} X_{i}^{\mathrm{IV}} X_{j} d x=\lambda_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x ; \\
\int_{0}^{l} X_{j}^{\mathrm{IV}} X_{i} d x=\lambda_{j} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x .
\end{array}
\]

Интегрируя по частям выражения, стоящие в левых частях этих равенств, приходим к соотношениям вида
\[
\begin{array}{l}
{\left[X_{i}^{\prime \prime \prime} X_{j}\right]_{0}^{l}-\left[X_{i}^{\prime \prime} X_{j}^{\prime}\right]_{0}^{l}+\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j}^{\prime \prime} d x-\lambda_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x} \\
{\left[X_{j}^{\prime \prime \prime} X_{i}\right]_{0}^{l}-\left[X_{j}^{\prime \prime} X_{i}^{\prime}\right]_{0}^{l}+\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j}^{\prime \prime} d x=\lambda_{j} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x .}
\end{array}
\]

Из концевых условий (л) и (н) следует, что стоящие в квадратных скобках слагаемые в левых частях соотношений (у) и (ф) должны быть равны нулю. Тогда вычитая равенство (ф) из (у), получим
\[
\left(\lambda_{i}-\lambda_{i}\right) \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=0 .
\]

Для того чтобы равенство (х) выполнялось при $i
eq j$ и при различных собственных значениях (т. е. при $\lambda_{i}
eq \lambda_{j}$ ), следует положить
\[
\int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x=0 \quad \text { при } \quad i
eq j .
\]

Подставляя это равенство в соотношение (у), получим
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j}^{\prime \prime} d x=0 \quad \text { при } \quad i
eq j,
\]

а из соотношения (с) следует
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{\mathrm{IV}} X_{j} d x=0 \quad \text { при } \quad i
eq j .
\]

Соотношения (5.88)-(5.90) определяют условие ортогональности для задачи о поперечных колебаниях призматического стержня. 4. Для случая $i=j$ интеграл в соотношении (х) может принимать произвольное постоянное значение $\alpha_{i}$, а именно:
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=\alpha_{i} \quad \text { при } \quad i=j .
\]

Если собственные функции нормируются в соответствии с этим соотношением, из равенств ${ }_{-}^{\text {“ }}$ (с) и (у) следует
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{\mathrm{IV}} X_{i} d x=\int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime \prime}\right)^{2} d x=\lambda_{i} \alpha_{i}=k_{i}^{4} \alpha_{i}=\left(\frac{p_{i}}{a}\right)^{2} \alpha_{i} .
\]

Для того чтобы преобразовать уравнение движения (5.82) к главным координатам, перепишем его в форме
\[
m \ddot{y} d x+r y^{\mathrm{IV}} d x=0,
\]

где $m=\rho F$ – масса единицы длины балки, $r=E I-$ жесткость при изгибе. Представляя динамические перемещения в виде ряда по функциям времени $\varphi_{i}$ и функциям перемещений $X_{i}$, запишем
\[
y=\sum_{i} \varphi_{i} X_{i}, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Подставляя представление (5.93) в уравнение движения (ц), найдем
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(m \ddot{\varphi}_{i} X_{i}+r \varphi_{i} X_{i}^{\mathrm{IV}}\right) d x=0 .
\]

Умножая равенство (ч) на нормальную функцию $X_{j}$ и интегрируя по длине стержня, приходим к следующему равенству:
\[
\sum_{i=1}^{\infty}\left(m \ddot{\varphi}_{i} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+r \varphi_{i} \int_{0}^{l} X_{i}^{\mathrm{IV}} X_{j} d x\right)=0 .
\]

Из соотношений (5.88) и (5.90)-(5.92) видно, что при $i=j$ уравнение движения в главных координатах принимает вид
\[
m_{\Gamma i} \ddot{\varphi}_{i}+r_{\Gamma i} \varphi_{i}=0, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

где
\[
m_{\Gamma i}=m \int_{0}^{t} X^{2} d x=m \alpha_{i}
\]
\[
r_{\Gamma}=r \int_{0}^{l} X_{i}^{\mathrm{IV}} X_{i} d x=r \int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime \prime}\right)^{2} d x=m p_{i}^{2} \alpha_{i} .
\]

Таким образом, главная масса $m_{\Gamma i}$ при изгибных колебаниях вычисляется так же, как и в случае продольных колебаний [см. ‘выражение (5.19)]. Однако здесь главная жесткость $r_{\Gamma i}$ [см. выражение (5.96)] определяется иначе, чем в случае продольных колебаний [см. выражение $(5.20)$ ].

Как и выше, положим в соотношениях нормированности постоянную равной единице, поэтому соотношения (5.91) и (5.92) примут вид
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x=1 ; \quad \int_{0}^{l} X_{i}^{\mathrm{IV}} X_{i} d x=\int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime \prime}\right)^{2} d x=k_{i}^{4}=\left(\frac{p_{i}}{a}\right)^{2} .
\]

Тогда, разделив уравнение (5.94) на величину $m$, получим
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=0, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Можно видеть, что применение метода нормальных форм к задаче изгибных колебаний стержней приводит к уравнению, аналогичному по форме уравнению для продольных колебаний стержня, полученному в п. 5.4. В силу отмеченной аналогии, здесь не будут вновь выводиться выражения, описывающие динамическое поведение стержней при поперечных колебаниях при заданных начальных условиях и приложенных динамических нагрузках. Выражение для динамических перемещений при изгибных колебаниях будут совпадать с аналогичным выражением для задачи о продольных колебаниях [см. выражения (5.23)–(5.29)], если в последних выражениях продольное перемещение $u$ заменить на поперечное $y$.