Рассмотрим показанный на рис. 1.8 упругий вал, верхний конец которого жестко закреплен, а к нижнему прикреплен перпен дикулярно оси вала абсолютно жесткий диск круговой формы. Подобная система называется крутильным малтником. Если диск повернуть на малый угол относительно оси вала и затем отпустить, то крутящий момент, появившийся при закручивании вала, приведет его в движение, и возникнут свободные крутильные колебанил. При этих колебаниях момент, передаваемый на диск со стороны закрученного вала, пропорционален углу закручивания $\varphi$
Рис. 1.8

и всегда действует в направле-
нии, противоположном вращению диска. Так, если через $I$ обозначить момент инерции диска относительно оси вала, через $\ddot{\varphi}$ – угловые ускорения и через $k_{\mathrm{K}}$ – крутящий момент, отнесенный к единице угла поворота (жесткость пружины при кручении), то дифференциальное уравнение движения примет вид
\[
I \ddot{\varphi}=-k_{\mathrm{r}} \varphi .
\]

Вводя обозначение
\[
p^{2}=k_{\mathrm{n}} / I,
\]

уравнение (a) можно записать в виде
\[
\ddot{\varphi}+p^{2} \varphi=0 .
\]

Это уравнение имеет вид, аналогичный уравнению (1.1) из предыдущего параграфа, поэтому его решение будем искать в виде, аналогичном (1.5), что дает
\[
\varphi=\varphi_{0} \cos p t+\left(\dot{\varphi}_{0} / p\right) \sin p t,
\]

где $\varphi_{0}$ и $\dot{\varphi}_{0}$ – соответственно угловое перемещение и угловая скорость диска в начальный момент времени $t=0$. Рассуждая так же, как и в предыдущем параграфе, из выражения (1.8) получим период крутильных колебаний
\[
\tau=\frac{2 \pi}{p}=2 \pi \sqrt{\frac{I}{k_{\mathrm{K}}}},
\]
a его частота
\[
f=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_{\mathrm{K}}}{I}} .
\]

В случае вала кругового поперечного сечения длиной $l$ и диаметром $d$ жесткость пружины при кручении можно определить по формуле *
\[
k_{\mathrm{k}}=\frac{G J}{l}=\frac{\pi d^{4} G}{32 l},
\]

где $G$ – модуль упругости материала при сдвиге. Через $J$ обозначен момент сопротивления кручению поперечного сечения вала, который в случае поперечного сечения круговой формы равен полярному моменту инерции. Жесткость пружины при кручении $k_{\mathrm{k}}$ обычно измеряется в $\mathrm{H} \cdot \mathrm{m} /$ рад.

Далее, если диск круговой формы является однородным и имеет диаметр $D$ и вес $W$, то момент инерции
\[
I=W D^{2 /(8 g) .}
\]

Определив таким образом величины $k_{\mathrm{K}}$ и $I$, период и частоту крутильных колебаний можно вычислить по формулам (1.9) и (1.10).

В более сложном случае вала некругового поперечного сечения и тела неправильной формы величины $k_{\mathrm{k}}$ и $I$ определяют более сложным образом. Однако, если отсутствуют формулы для вычисления этих величин, то их всегда можно найти экспериментальным путем. Для того чтобы колебание было чисто крутильным, необходимо совпадение оси вала с главной осью тела, проходящей через его центр тяжести. Однако, чтобы воспрепятствовать другим движениям тела, необходимо ввести ограничения в виде подшипников. Следует также отметить, что крутильные колебания могут возникать и в таких системах, где отсутствуют крутильные деформации (см. пример 2 в конце этого параграфа).

В последующем обсуждении полагаем, что вал на рис. 1.8 имеет постоянное поперечное сечение диаметром $d$. Если вал имеет два участка с длинами $l_{1}$ и $l_{2}$ и диаметрами $d_{1}$ и $d_{2}$, соответственно, то по формуле (в) можно подсчитать соответствующие этим участкам жесткости $k_{\mathrm{K} 1}$ и $k_{\mathrm{K} 2}$ при кручении. Затем, поскольку два участка вала представляют собой последовательно соединенные пружины, работающие на кручение, жесткость пружины эквивалентной системы можно найти из выражения (л) предыдущего параграфа.

Случай ступенчатого вала можно рассмотреть иным путем. Если вал, состоящий из двух участков, нагружен крутящим моментом $M$, то полный угол закручивания вала находим из выражения
\[
\varphi=\frac{M}{k_{\mathrm{K} 1}}+\frac{M}{k_{\mathrm{K} 2}}=\frac{32 M l_{1}}{\pi d_{1}^{4} G}+\frac{32 M l_{2}}{\pi d_{2}^{4} G}=\frac{32 M}{\pi d_{1}^{4} G}\left(l_{1}+l_{2} \frac{d_{1}^{4}}{d_{2}^{4}}\right) .
\]

Таким образом, видно, что угол закручивания вала с двумя диаметрами $d_{1}$ и $d_{2}$ равен углу закручивания вала с постоянным диаметром $d_{1}$ и приведенной длиной $L_{1}$, определяемой по формуле
\[
L_{1}=l_{1}+l_{2} d_{1}^{4} / d_{2}^{4} .
\]

Вал длиной $L_{1}$ и диаметром $d_{1}$ имеет ту же самую жесткость пружины, что и данный вал с двумя различными диаметрами, и является эквивалентным валом для указанного случая.

Рассмотрим теперь случай вала, опирающегося на работающие в условиях отсутствия трения подшиг-

Рис. 1.9 ники и несущего на концах вращающиеся вместе с ним абсолютно жесткие тела (рис. 1.9). Случай представляет практический интерес:в таком виде можно представить вал с пропеллером на одном конце и ротором турбины – на другом*.

Если два диска закрутить в противоположных направлениях, а затем внезапно отпустить, то возникнут крутильные колебания. Из принципа сохранения момента количества движения следует, что при таких колебаниях диски всегда должны вращаться в противоположных направлениях. Таким образом, имеется некоторое промежуточное поперечное сечение, расположенное в точке $P$ на оси вала (см. рис. 1.9), которое остается неподвижным. Это поперечное сечение называется узловым сечением. Его положение опредделяют из следующего соображения: оба диска должны иметь один и тот же период колебаний, поскольку в противном случае не будет выполняться условие, что они вращаются в противоположных направлениях.

Применяя формулу (1.9) к обеим подсистемам, примыкающим с двух сторон к узловому сечению, получим
\[
\sqrt{\frac{I_{1}}{k_{\mathrm{K} 1}}}=\sqrt{\frac{I_{2}}{k_{\mathrm{K} 2}}} \text { или } \frac{k_{\mathrm{K} 1}}{k_{\mathrm{K} 2}}=\frac{I_{1}}{I_{2}},
\]

где $k_{\text {к } 1}$ и $k_{\text {к } 2}$ являются жесткостями при кручении соответственно для левой и правой частей вала. Их величины, как видно из формулы (в), обратно пропорциональны длинам соответствующих частей вала, что в соответствии с соотношениями (е) дает $a / b=I_{2} / I_{1}$. Поскольку справедливо $a+b=l$, то имеем
\[
a=l I_{2} /\left(I_{1}+I_{2}\right) ; b=l I_{1}\left(I_{1}+I_{2}\right) .
\]

Применяя формулы (1.9) и (1.10) к левой части системы, получим
\[
\begin{array}{c}
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{I_{1}}{k_{\mathrm{K} 1}}}=2 \pi \sqrt{\frac{32 I_{1} I_{2}}{\pi d^{4} G\left(I_{1}+I_{2}\right)}} ; \\
f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi d^{4} G\left(I_{1}+I_{2}\right)}{32 l I_{1} I_{2}}} .
\end{array}
\]

С помощью этих формул можно подсчитать период и частоту крутильных колебаний, если известны размеры вала, модуль упругости
* Это была одна из самых ранних проблем, столкнувшись с которой инженеры обнаружили необходимость исследования крутильных колебаний.

при сдвиге $G$ и моменты инерции масс дисков, закрепленных на концах вала. В приведенных рассуждениях масса вала не учитывается, ее влияние на период колебаний будет рассмотрено ниже в п. 1.4.

Как видно из соотношений (ж), если один из двух вращающихся дисков имеет очень большой момент инерции массы по сравнению с моментом другого диска, то можно положить, что узловое сечение совпадает с положением большего диска, и таким образом система с двумя дисками (см. рис. 1.9) сводится к системе только с одним диском.

Пример 1. Предположим, что два диска, установленные на концах вала (см. рис. 1.9), имеют веса $W_{1}=4,54 \cdot 10^{3} \mathrm{H}, W_{2}=9,08 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$ и диаметры $D_{1}=1,27 \mathrm{~m}$, $D_{2}=1,9$ м. Длина вала $l=3,05 \mathrm{~m}$, диаметр $d=0,1 \mathrm{~m}$, модуль упругости его материала $G=8,4 \cdot 10^{10}$ Па. Определить частоту свободных крутильных колебаний системы. Қак изменится эта частота, если на длине 1,6 м диаметр вала изменить от 0,1 м до 0,2 м?

Решение. Подставляя заданные числовые значения в формулу (r), определим моменты инерции масс дисков:
\[
I_{1}=\frac{4,54 \cdot 10^{3} \cdot 1,27}{8 \cdot 9,81}=73,5 \mathrm{H} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{c}^{2} ; \quad I_{2}=\frac{9,08 \cdot 10^{3} \cdot 1,9}{8 \cdot 9,81}=219,8 \mathrm{H} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{c}^{2} .
\]

Используя эти значения, а также исходные данные для вала, по формуле (1.12) получаем
\[
f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi \cdot 0,0001 \cdot 8,4 \cdot 10^{10}(73,5+219,8)}{32 \cdot 3,05 \cdot 73,5 \cdot 219,8}}=11,15 \mathrm{c}^{-1} .
\]

Если диаметр вала увеличить от 0,1 до 0,2 м на длине 1,6 м, то длина эквивалентного вала диаметром 0,1 м в соответствии с формулой (д) будет $L_{1}=1,45+$ $+1,6 \cdot 0,1^{4} / 0,2^{4}=1,45+0,1=1,55$ м. Поскольку эта длина составляет половину от первоначальной длины 3 м, а частота обратно пропорциональна квадратному корню из длины [см. формулу (1.2)], то получаем, что в результате усиления вала частота увеличивается в $\sqrt{2}$ раз.

Пример 2. Маховик имеет массивный обод весом $W$ и средним радиусом $R$, прикрепленный к ступице четырьмя призматическими спицами (рис. 1.10,a). Найти период свободных крутильных колебаний обода относительно центральной оси,
Рис. 1.10 проходящей через точку $O$, при внезап ной остановке ступицы. Массу спиц не учитывать и принять, что каждая спица имеет длину $R$ и жесткость при изгибе $B$.
Решение. Пусть, как показано на рисунке, обод поворачивается на малый угол $\varphi$. Қаждая спица ведет себя как балка, один конец которой жестко заделан в ступице, а другой вынужден перемещаться вместе с ободом. K внешнему концу спицы приложены поперечная сила $Q$ и изгибающий момент $M$ (рис. $1.10,6)$. Применяя известные соотношения для жесткостей балки, получим
\[
\begin{array}{c}
Q=12 B \Delta / R^{3}-6 B \varphi / R^{2} ; \\
M=6 B \Delta / R^{2}-4 B \varphi / R .
\end{array}
\]

Если обод считать абсолютно жестким, то касательная, проведенная к упругой линии в точке на внешнем конце спицы, должна быть направлена вдоль радиуса.

Таким образом, поперечная сила $Q$ и изгибающий момент $M$ связаны с углом поворота $\varphi$ простым геометрическим соотношением $\Delta \approx R \varphi$. Подставляя это соотношение в зависимости (з) и (и), найдем
\[
Q=6 B \varphi / R^{2} ; M=2 B \varphi / R .
\]

Суммарный момент, действующий на обод:
\[
M_{\mathrm{c}}=4 Q R-4 M=16 B \varphi / R .
\]

Тогда, очевидно, жесткость при кручении в этом случае
\[
k_{\mathrm{k}}=M_{\mathrm{c}} / \varphi=16 B / R \text {. }
\]

Подставляя это значение $k_{\mathrm{K}}$ в формулу (1.9) и учитывая, что момент инерции массы маховика определяется выражением $I \approx W R^{2} / g$, получим
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{w R^{3}}{16 g B}} .
\]

ЗАДАЧИ
1.2.1. Определить частоту крутильных колебаний горизонтального стержня $A B$ весом $W=18,2 \mathrm{H}$ и длиной $a=0,51 \mathrm{~m}$, который прикреплен в середине пролета к вертикальному стальному тросу длиной $l=0,51 \mathrm{м}$ и диаметром $d=$ $=3,2 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}$. Считать, что стержень является тонким, но абсолютно жестким; массу троса не учитывать и модуль упругости при сдвиге взять $G=8,4 \cdot 10^{10}$ Па. Oтвет: $f=0,781 \mathrm{c}^{-1}$.
1.2.2. На рис. А.1.2.2 представлено устройство, с помощью которого весьма удобно экспериментально определять момент инерции масс тел неправильной формы. Оно состоит из двух параллельных пластин, соединенных таким образом, что вся система действует как абсолютно жесткое тело, которое присоединено к вертикальному стержню и внутрь которого может быть помещено произвольной формы тело небольших размеров. Будучи пустотелым (рис. А.1.1.2,a), этот крутильный маятник
Рис. А.1.2.2

имеет измеренный период $\tau_{0}$. При помещении в это устройство тела с известным моментом инерции $I_{1}$ (рис. A.1.2.2,б), которое начинает колебаться вместе с маятником, период колебаний устройства равен $\tau_{1}$. Когда же в устройство помещают тело с неизвестным моментом ннерции $I$ (рис. А.1.2.2, в), период колебаний маятника равен $\tau_{2}$. Найти момент инерции $I$ последнего тела относительно оси вращения, т. е. относительно оси стержня.
Ответ: $I=I_{1} \frac{\left(\tau_{2}^{2}-\tau_{0}^{2}\right)}{\left(\tau_{1}^{2}-\tau_{0}^{2}\right)}$.

1.2.3. Тонкий призматический стержень $A B$ (рис. A.1.2.3) весом $W$ и дли* ной $l$ удерживается в горизонтальном положении шарниром за конец $A$ и пружи-
Рис, А.1.2.3

ной с жесткостью $k$ за конец $B$. Найти период крутильных колебаний для малых значений угловых перемещений $\varphi$ стержня в вертикальной плоскости. Массу пружины не учитывать и считать стержень абсолютно жестким.
Omoem: $\tau=2 \pi \sqrt{\frac{W}{3 k g}}$.
1.2.4. Тонкий, но абсолютно жесткий стержень $A B$ (рис, А.1.2.4) весом $W$ и длиной $l$ закреплен в горизонтальном положении шарниром за конец $A$ и вер-
Рис. A.1.2.4

тикальной пружиной в точке $C$. Для случая малых амплитуд колебаний при поворотах стержня в вертикальной плоскости вычислить период $\tau$ колебаний, если жесткость пружины равняется $k$ и масса ее пренебрежимо мала.
Omecm: $\tau=2 \pi \frac{l}{a} \sqrt{\frac{W}{3 k g}}$.
1.2.5. Определить частоты крутильных колебаний диска (рис. А.1.2.5), если концы $A$ и $B$ вала жестко заделаны. Обе части вала имеют один и тот же диаметр
Рис. А.1.2.5

$d$, нө длины их различны $-l_{1}$ и $l_{2}$. Момент инерции массы диска равен $t$.
Omвem: $f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\pi d^{4} G\left(l_{1}+l_{2}\right)}{32 I l_{1} l_{2}}}$.
1.2.6. Определить эквивалентную длину $L_{1}$ прямого вала, имеющего ту же крутильную жесткость $C_{1}$, что и шейки коленчатого вала, показанного на рис. А.1.2.6. Плечи кривошипа $C E$ и $D F$ имеют жесткость при изгибе $B$. Предполагается, что подшипники $A$ и $B$ имеют достаточный зазор, допускающий свободное поперечное перемещение щек $C$ и $D$ при кручении коленчатого вала. Палец кривошипа $E F$ имеет жесткость $C_{2}$, радиус кривошипа равен $r$.
Ответ: $L_{1}=2 a+\frac{C_{1}}{C_{2}} b+2 \frac{C_{1}}{B} r$.
Рис. А.1.2.6
Рис. A.1.2.7
1.2.7. Два параллельных вала $A B$ и $C D$ (рис. A.1.2.7) закреплены в подшипниках и связаны друг с другом зубчатой передачей. На внешнем конце каждого вала прикреплен массивный диск, и вся система совершает крутильные колебания. Вычислить период колебания, если известны следующие данные: $I_{A}=I_{D}=$ $=116 \mathrm{H} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{c}^{-2}, l_{1}=l_{2}=1,52 \mathrm{M}, d_{1}=d_{2}=7,62 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}, r_{1} / r_{2}=1 / 2$. Массу зубчатых колес и валов не учитывать. Модуль упругости при сдвиге материалов обоих валов $G=8,4 \cdot 10^{10} \mathrm{I}$.
Oтвет: $\tau=0,158$ с.
1.2.8. Для той же системы, что рассматривалась в задаче 1.2.7, найти общее выражение для длины $L_{1}$ одиночного эквивалентного вала диаметром $d_{1}$, нә концах которого укреплены диски $A$ и $D$.
Omвem: $L_{1} \stackrel{=}{=} l_{1}+\left(d_{1} / d_{2}\right)^{4}\left(r_{2} / r_{1}\right)^{2} l_{2}$.
1.2.9. Стальной обод круговой формы весом $W$ и радиусом средней линии $r$ (рис. А.1.2.9) прикреплен к неподвижной ступице радиуса $r_{0}$ с помощью $n$ радиальных спиц, каждая из которых имеет значительное предварительное натяжение с силой $S_{0}$. Определить период крутильного колебания обода, предположив, что растягивающее усилие в каждой спице остается неизменным при колебаниях. Спицы шарнирно закреплены по концам и не сопротивляются изгибу.
Oтвет: $\tau=2 \pi \sqrt{\frac{\overline{W r\left(r-r_{0}\right)}}{n g S_{0} r_{0}}}$.
1.2.10. Платформа с растяжками из примера 3, п. 1.1 (см. рис. 1.6), имеет вес $W=$ $=1,75 \cdot 10^{5} \mathrm{H}$, равномерно распределенный по платформе. Определить период крутильных колебаний системы относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести.
Ответ: $\tau=0,0724$ с.
Рис. А.1.2.9