Уравнения (3.1а) и (3.1б) можно записать в матричной форме *:
\[
\left[\begin{array}{cc}
m_{1} & 0 \\
0 & m_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\
-k_{2} & k_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
Q_{1} \\
Q_{2}
\end{array}\right] .
\]

Эти же соотношения можно представить также и в более компактном виде
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}=\mathbf{Q}
\]

где предполагается, что $\mathbf{X}, \ddot{\mathbf{X}}$ и $\mathbf{Q}$ – вектор-столбцы:
\[
\mathbf{X}=\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right], \quad \ddot{\mathbf{X}}=\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right], \quad \mathbf{Q}=\left[\begin{array}{l}
Q_{1} \\
Q_{2}
\end{array}\right],
\]
a $\mathbf{S}$ и $\boldsymbol{M}$ – матрицы вида
\[
\mathbf{S}=\left[\begin{array}{ll}
S_{11} & S_{12} \\
S_{21} & S_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
k_{1}+k_{2} & -k_{2} \\
-k_{2} & k_{2}
\end{array}\right] ; \quad \mathbf{M}=\left[\begin{array}{cc}
m_{1} & 0 \\
0 & m_{2}
\end{array}\right] .
\]

Уравнение (3.6) можно рассматривать как систему уравнений движения в усилиях, выраженную в матричной форме. Подобная терминология здесь вводится, потому что это уравнение представляет большой класс уравнений движения, в которых компонентами являются либо силы, либо моменты (или говоря обобщенно – усилил). Матрица жесткости $S$ имеет в качестве элементов коэффициенты влияния жесткости, а в матрице масс М в качестве диагональных элементов стоят массы $m_{1}$ и $m_{2}$. Хотя для большинства задач матрица масс является диагональной, имеются некоторые системы, где это не так. Подобные случаи обсуждены в п. 3.4.

Обратим внимание теперь на свойства матрицы жесткостей $\mathbf{S}$ и на получение ее элементов некоторым упорядоченным путем. Произвольный элемент $S_{i j}$ матрицы представляет собой усилие, соответствующее перемещению типа $i$, обусловленного равным единице перемещением типа $j$. Задавая единичные перемещения для каждой из координат перемещения (в каждый момент времени) и вычисляя соответствующие усилия, получим все такие усилия. На рис. $3.5, a$ и б этот процесс показан применительно к примеру 1 из предыдущего параграфа. На рис. 3.5, а задано единичное перемещение $x_{1}=1$; при этом считается, что $x_{2}=0$. Статические силы, необходимые для выполнения этого условия, обозначены через $S_{11}$ и $S_{21}$ (косые черточки на векторах усилий служат для напоминания о том, что эти усилия являются удерживающими). Обозначение $S_{11}$ относится к усилию типа 1 , необходимому для создания единичного перемещения типа 1 , а через $S_{21}$ обозначено усилие типа 2 , необходимое для создания единичного перемещения типа 1 . Их величины $S_{11}=k_{1}+$ $+k_{2}, S_{21}=-k_{2}$, и они составляют первый столбец матрицы жесткости. Элементы второго столбца матрицы $S$ получаем в соответствии с рис. $3.5,6$, на котором показано единичное перемещение $x_{2}=1$ (при этом $x_{1}=0$ ). В данном случае силы $S_{12}=-k_{2}$ и $S_{22}=k_{2}$. Они представляют собой силы типа 1 и 2 , необходимые для создания единичных перемещений типа 2. Для линейно упругих систем (с ма-
Рис. 3.5

лыми перемещениями) матрицы жесткостей всегда являются симметричными *, и здесь также видно, что $S_{12}=Q_{21}=-k_{2}$.

Если уравнения движения для второго примера предыдущего параграфа [см. рис. 3.2 и уравнения (3.2а) и (3.2б)] задать в матричной форме, получим
\[
\left[\begin{array}{cc}
m & 0 \\
0 & m
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{y}_{1}
\end{array}\right]+\sum_{i=1}^{3} k_{i}\left[\begin{array}{cc}
\cos ^{2} \alpha_{i} & \sin \alpha_{i} \cos \alpha_{i} \\
\sin \alpha_{i} \cos \alpha_{i} & \sin ^{2} \alpha_{i}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
y_{1}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
Q_{x} \\
Q_{y}
\end{array}\right] .
\]

В уравнении (3.7) первый столбец матрицы жесткости можно получить непосредственно из условия $x_{1}=1$ (тогда $y_{1}=0$ ), а второй столбец – из условия $y_{1}=1$ (тогда $x_{1}=0$ ).

Аналогично уравнения движения для третьего примера [см. рис. 3.3 и уравнения (3.3а) и (3.3б) ] в матричной форме принимают вид
\[
\left[\begin{array}{ll}
I_{1} & 0 \\
0 & I_{2}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{\varphi}_{1} \\
\ddot{\varphi}_{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}
k_{\mathrm{k} 1}+k_{\mathrm{K} 2} & -k_{\mathrm{k} 2} \\
-k_{\mathrm{k} 2} & k_{\mathrm{k} 2}+k_{\mathrm{r} 3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\varphi_{1} \\
\varphi_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
T_{1} \\
T_{2}
\end{array}\right] .
\]

В данном случае перемещения представляют повороты, поэтому соответствующие усилия являются парами сил или моментами. Матрица коэффициентов, содержащая $I_{1}$ и $I_{2}$, будет по-прежнему рассматриваться как «матрица масс», хотя этот термин не совсем удачен. Қак и выше, элементы матрицы жесткости можно найти из условий $\varphi_{1}=1$ (для первого столбца) и $\varphi_{2}=1$ (для второго столбца).

И, наконец, запишем в матричной форме уравнения движения для последнего примера โсм. рис. 3.4 и уравнения (3.4а) и (3.4б) ]

Однако в данном случае имеем комбинацию восстанавливающих усилий, обусловленных влиянием как жесткости, так и силы тяжести. Если для указанных двух типов восстанавливающих усилий коэффициенты влияния записать раздельно, получим

где
\[
\mathbf{S}^{*}=\mathbf{S}+\mathbf{G} \text {, }
\]
\[
\mathbf{S}=\left[\begin{array}{cc}
k h^{2} & -k h^{2} \\
-k h^{2} & k h^{2}
\end{array}\right] ; \quad \mathbf{G}=\left[\begin{array}{cc}
m g l & 0 \\
0 & m g l
\end{array}\right] .
\]

В предыдущих случаях имели место обычные коэффициенты влияния жесткости, тогда как в последнем уже встречаются коэффициенты влияния силы тлжести, которые определяются как усилия, необходимые для создания единичных перемещений при наличии силы тяжести. Если сила тяжести не учитывается, элементы матриць $G$ силь тяжести полагаются равными нулю.

ЗАДАЧИ

3.2.1. Для двухмассовой системы, показанной на рис. А.3.2.1, определить матрицу жесткости $\mathbf{S}$ и записать в матричной форме уравнение движения в усилиях.
Рис. А.3.2.1
3.2.2. Пусть жесткости пружин рис. 3.2 равны $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$, а для углов заданы следующие значения: $\alpha_{1}=0^{\circ}, \alpha_{2}=120^{\circ}, \alpha_{3}=210^{\circ}$. Определить элементы матрицы жесткости для подвешенной на пружинах массы, выразив их через жесткость $k$.
3.2.3. На рис. А.3.2.3 показан двойной маятник с пружинами, присоединенными к массам $m_{1}$ и $m_{2}$. В качестве координат перемещений взять малые перемещения $x_{1}$ и $x_{2}$ масс в горизонтальном направлении. Построить матрицу жесткости $S$ и матрицу сил тяжести $\mathrm{G}$ для этой системы, а также записать в матричной форме уравнения движения в усилиях.
3.2.4. Показанный на рис. А.3.2.4 двойной маятник имеет в обоих шарнирах работающие на кручение пружины. Принимая за координаты перемещений малые горизонтальные перемещения $x_{1}$ и $x_{2}$ масс, построить матрицы $S$ и $\mathbf{G}$; записать в матричной форме уравнения движения.
Рис. А.3.2.3
Рис. А.3.2.4
3.2.5. Для показанной на рис. А.3.2.5 двухэтажной рамы здания ошределить матрицу жесткости $S$ и записать в матричной форме уравнения движения в усилиях. Считать, что горизонтальные балки являются абсолютно жесткими и в качестве координат перемещений использовать малые перемещения $x_{1}$ и $x_{2}$ в горизонтальном направлении. Стойки рамы являются призматическими и имеют жесткости при изгибе, равные $E I_{1}$ на нижнем этаже и $E I_{2}$ – на верхнем.
3.2.6. Абсолютно жесткий призматический стержень опирается в вертикальном положении на шарнир, а от боковых перемещений подкреплен (за верхний и нижний концы) установленными горизонтально пружинами (рис. А.3.2,6). Здесь $l$, $A$ и $\rho-$ соответственно длина, площадь поперечного сечения и плотность материала стержня. Построить для этой системы матрицы жесткости, сил тяжести и масс, используя в качестве координат перемещений малые перемещения $x_{C}$ и $\theta_{C}$ центра тяжести (точки $C$ ) стержня. Записать уравнение движения в усилиях в матричной форме, включив в них горизонтальную силу $Q_{c}$ и момент $T_{C}$, приложенные в точке $C$.
Рис. А.3.2.5
Рис. А.3.2.6