Все сооружения и машины состоят из частей, каждая из которых обладает как массой, так и жесткостью. Во многих случаях эти части можно путем идеализации представлять как сосредоточенные в точке массы, абсолютно жесткие тела или деформируемые невесомые элементы. Подобные системы обладают конечным числом степеней свободы, поэтому их можно исследовать с помощью методов, описанных в предыдущих главах. Однако некоторые системы можно исследовать и в более строгой постановке, не прибегая к дискретизации аналитической модели. В данной главе будут рассматриваться упругие тела, чьи массовые и деформационные характеристики распределены непрерывным образом. В число элементов конструкций, которые можно рассматривать подобным образом, входят стержни, валы, канаты, балки, простые рамы, кольца, арки, мембраны, пластины, оболочки, а также трехмерные тела. Многие из задач, связанных-с этими элементами, будут здесь обсуждаться подробно, но вопросы, связанные с оболочками и трехмерными телами, рассматриваются как выходящие за рамки этой книги *. Очень трудно исследовать с позиций упругих сред такие геометрически сложные конструкции, как каркасы, арки, пластины с вырезами, фюзеляжи самолетов, корпуса судов и т. д. В подобных случаях необходимо использовать дискретные аналитические модели с большим, но конечным числом степеней свободы **.

Когда тело рассматривается как упругая среда, подразумевается, что оно состоит из бесконечного числа частиц. Для того чтобы указать положение каждой точки тела, требуется ввести бесконечное число координат перемещений, поэтому говорят, что система обладает бесконечным числом степеней свободы. Эти координаты рассматриваются как непрерывные функции, первая и вторая производные по времени которых представляют соответственно скорость и ускорение

характерной точки. Благодаря распределению массы упругое тело имеет бесконечное число собственных форм колебаний, поэтому его динамические перемещения можно рассматривать как сумму перемещений по каждой из нормальных форм колебаний.

Рассматривая колебания упругих тел, будем предполагать, что материал этих тел однороден, изотропен и подчиняется закону Гука. Кроме того, перемещения достаточно малы, чтобы рассматривать поведение при динамических возмущениях как линейно упругое. Хотя в данной главе демпфирование не рассматривается, оно может быть легко учтено с помощью коэффициентов демпфирования по соответствующим формам колебаний, как это делалось в п. 4.8.