Для систем с $n$ степенями свободы уравнения (3.17) из п. 3.5 свободных колебаний в усилиях можно представить в общей форме

Предположим, что собственная форма колебаний каждой массы описывается гармонической функцией вида
\[
\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{M i} \sin \left(p_{i} t+q_{i}\right),
\]

где $p_{i}$ и $\varphi_{i}$ – соответственно круговая частота и фазовый угол $i$-й формы колебаний, в уравнении (а) через $\mathbf{X}_{i}$ обозначена матрицастолбец или вектор-столбец перемещений $i$-й формы, а $\mathbf{X}_{M i}$ – то же, относящееся к их максимальным значениям, или амплитуды колебаний
\[
\mathbf{X}_{i}=\left[\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\cdots \\
x_{n}
\end{array}\right]_{i} ; \quad \mathbf{X}_{M i}=\left[\begin{array}{c}
x_{\mathrm{M} 1} \\
x_{\mathrm{M} 2} \\
x_{\mathrm{M} 3} \\
\cdots \\
x_{\mathrm{M} / 2}
\end{array}\right]_{i}
\]

Подставляя представление (а) в уравнение (4.1), получаем систему алгебраических уравнений, которую можно представить так:
\[
\mathbf{H}_{i} \mathbf{X}_{M i}=0,
\]

где $\mathbf{H}_{i}$ – характеристическая матрица вида
\[
\mathbf{H}_{i}=\mathbf{S}-p_{i}^{2} \mathbf{M} .
\]

Для существования нетривиальных решений системы (4.2) определитель характеристической матрицы должен равняться нулю,

откуда получаем следующую форму характеристического уравнения:

При разложении этого определителя получим полином, где член с наибольшей степенью имеет вид $\left(p_{i}^{2}\right)^{n}$. Если полином нельзя разложить на множители, то $n$ его корней можно найти с помощью численной процедуры. Эти корни, которые ранее были известны как характеристические значения, иногда называют собственными гначениями. Если матрица 1 является положительно определенной*, а матрица $S$ либо положительно определенной, либо положительно полуопределенной, все собственные значения характеристической матрицы будут действительными, положительными или равными нулю числами. Однако они не обязательно будут различными, т. е. отличающимися друг от друга. Вопрос о кратных корнях обсуждается ниже в п. 4.7.

Векторы, компонентами которых являются амплитуды форм колебаний и которые обозначаются через $\mathbf{X}_{\text {Mi }}$, называются характеристическими векторами или собственными векторами. Если собственные значения системы были найдены как корни характеристического уравнения (4.4), то из однородных алгебраических уравнений (4.2) можно определить собственные векторы (с точностью до произвольных постоянных).

Поскольку имеется $n$ характеристических значений, будем иметь $n$ соответствующих векторов, компонентами которых являются перемещения. В случае некратных корней для различных собственных значений ( $n-1$ ) амплитуды собственных векторов можно выразить через одну последнюю амплитуду, решая систему ( $n-1$ ) алгебраических уравнений. Однако можно видеть, что такие громоздкие вычисления не требуются, если рассмотреть формальное определение матрицы, обратной матрице $\mathbf{H}_{i}$,
\[
\mathbf{H}_{i}^{-1}=\frac{\mathbf{H}_{i}^{\Pi}}{\left|\mathbf{H}_{i}\right|},
\]

где $\mathbf{H}_{i}^{\text {п }}$ – присоединенная матрица. В действительности, конечно, матрица, обратная матрице $\mathbf{H}_{i}$, не существует, поскольку определитель $\left|\mathbf{H}_{i}\right|$ равен нулю [см. уравнение (4.4)]. Тем не менее, приме-
* Матрица, элементы которой – действительные числа, является положительно определенной, если все ее главные миноры положительны. Если некоторые из этих миноров равны нулю, такая матрица называется положительно полуопределенной.

нительно к обсуждаемому здесь вопросу соотношение (б) можно переписать в виде
\[
\mathbf{H}_{i} \mathbf{H}_{i}^{\mathrm{n}}=\left|\mathbf{H}_{i}\right| \mathbf{I}=0 \text {. }
\]

Сравнивая равенство (в) и уравнение (4.2), можно заключить, что собственный вектор $\mathbf{X}_{\text {мi }}$ пропорционален любому столбцу присоединенной матрицы $\mathbf{H}_{i}^{\pi}$. Так как собственный гектор может иметь произвольную длину, его по желанию можно взять либо равным такому столбцу, либо нормированному.

Если вместо уравнений в усилиях взять уравнения движения в перемещениях, вместо уравнений (4.1) запишем следующие уравнения [см. уравнения (3.1)]:
\[
\begin{array}{l}
\times\left[\begin{array}{c}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2} \\
\ddot{x}_{3} \\
\cdots \\
\ddot{x}_{n}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\cdots \\
x_{n}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
\cdots \\
0
\end{array}\right] . \\
\end{array}
\]

Подставляя представления (а) в уравнения (4.5), получим систему алгебраических уравнений
\[
\mathrm{L}_{i} \mathbf{X}_{\mathrm{Mi}}:=0 .
\]

Здесь $\mathbf{L}_{i}$ – характеристическая матрица, определяемая соотношением
\[
\mathbf{L}_{i}=\mathbf{F} \mathbf{M}-\lambda_{i} \mathbf{I},
\]

где $\lambda_{i}=1 / p_{i}^{?}$. Для существования нетривиальных решений уравнений (4.6) необходимо, чтобы определитель матрицы $\mathbf{L}_{i}$ равнялся нулю, что в данном случае приводит к следующей общей форме характеристического уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\times\left[\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 0 \\
. & . & . & . & . \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}\right]=0 . \\
\end{array}
\]
Рис, 4.1

При разложении определителя (4.8) получаем полином степени $n$, которому соответствуют корни $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{i}, \ldots, \lambda_{n}$. В данном случае эти корни представляют собой собственные значения, а собственные векторы можно определить, подставляя эти значения в уравнения (4.6). С другой стороны, в качестве одного из таких собственных векторов можно взять в произвольном масштабе произвольный столбец матрицы $\mathbf{L}_{f}^{\text {д }}$ алгебраических дополнений.

Из обсуждений, приведенных в гл. 3, видно, что в соотношении (4.3) матрицу жесткости $S$ можно заменить либо дополнить матрицей G сил тяжести [см. выражение (3.10)]. Аналогично в соотношении (4.7) матрицу податливости $\mathbf{F}$ можно заменить матрицей псевдоподатливости, отражающей влияние силы тяжести (см. пример 3 в п. 3.3). В любом случае расчеты значительно упростятся, если матрица $\boldsymbol{M}$ будет диагональной, а не произвольного вида. Теперь проиллюстрируем определение собственных частот и форм колебаний на отдельных примерах систем со многими степенями свободы.

Пример 1. На рис. 4.1, а показана система, состоящая из трех масс, соединенных друг с другом и с основанием тремя пружинами. Движение этой системы с тремя степенями свободы определяется координатами перемещений $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$. Пусть для простоты имеем $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ и $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$. Используя уравнения в усилиях, определить характеристические значения и главные формы колебаний.

Peшение. Для рассматриваемой системы матрица масс является диагональной:
\[
\mathbf{M}=\left[\begin{array}{ccc}
m_{1} & 0 & 0 \\
0 & m_{2} & 0 \\
0 & 0 & m_{3}
\end{array}\right]=m\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right],
\]

а матрица жесткости имеет вид
\[
\mathbf{S}=\left[\begin{array}{ccc}
k_{1}+k_{3} & -k_{2} & 0 \\
-k_{2} & k_{2}+k_{3} & -k_{3} \\
0 & -k_{3} & k_{3}
\end{array}\right]=k\left[\begin{array}{rrr}
2 & -1 & 0 \\
-1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 1
\end{array}\right] .
\]

Используя эту матрицу, запишем характеристическую матрицу в соответствии с соотношением (4.3):
\[
\mathbf{H}_{i}=\left[\begin{array}{ccc}
2 k-p_{i}^{2} m & -k & 0 \\
-k & 2 k-p_{i}^{2} m & -k \\
0 & -k & k-p_{i}^{2} m
\end{array}\right] .
\]

Полагая определитель матрицы $\mathbf{H}_{i}$ равным нулю [см. уравнение (4.4)], после приведения подобных членов получаем следующее характеристическое уравнение:
\[
\left(p_{i}^{2}\right)^{3}-5\left(\frac{k}{m}\right)\left(p_{i}^{2}\right)^{2}+6\left(\frac{k}{m}\right)^{2}\left(p_{i}^{2}\right)+\left(\frac{k}{m}\right)^{3}=0 .
\]

Корни этого кубического уравнения можно определить методом последовательного приближения (проб и ошибок), откуда имеем
\[
p_{1}^{2}=0,198 \frac{k}{m} ; \quad p_{2}^{2}=1,555 \frac{k}{m} ; \quad p_{3}^{2}=3,247 \frac{k}{m} .
\]

Для того чтобы найти форму колебаний, соответствующую наименьшему собственному значению, подставим значение $p_{1}^{2}$ в уравнения (4.2) и выразим оттуда $x_{\mathrm{M} 2,1}$ и $x_{\mathrm{M} 3,1}$ через $x_{\mathrm{M}, 1,1}$, тогда получим
\[
x_{\mathrm{M} 2,1}=1,802 x_{\mathrm{M} \mathrm{1,1}} ; \quad x_{\mathrm{M} 3,1}=2,247 x_{\mathrm{M} 1,1} .
\]

Поступая аналогичным образом, из уравнений (4.2) путем подстановки значений $p_{2}^{2}$ и $p_{3}^{2}$ найдем следующие решения:
\[
\begin{array}{c}
x_{\mathrm{M} 2,2}=0,445 x_{\mathrm{M} 1,2} ; \quad x_{\mathrm{M} \mathrm{3}, 2}=0,802 x_{\mathrm{M} \mathrm{1,2}} ; \\
x_{\mathrm{M} \mathrm{2,3}}=-1,247 x_{\mathrm{M} \mathrm{1,3}} ; \quad x_{\mathrm{M} \mathrm{3}, 3}=0,555 x_{\mathrm{M} \mathrm{1,3}} .
\end{array}
\]
имеет вид
\[
\mathbf{H}_{i}^{\Pi}=\left[\begin{array}{ccc}
\left(2 k-p_{i}^{2} m\right)\left(k-p_{i}^{2} m\right)-k^{2} & k\left(k-p_{i}^{2} m\right) & k^{2} \\
k\left(k-p_{i}^{2} m\right) & \left(2 k-p_{i}^{2} m\right)\left(k-p_{i}^{2} m\right) & k\left(2 k-p_{i}^{2} m\right) \\
k^{2} & k\left(2 k-p_{i}^{2} m\right) & \left(2 k-p_{i}^{2} m\right)^{2}-k^{2}
\end{array}\right] \text { (м). }
\]

Подставляя в выражение (м) найденное значение $p_{1}^{2}$, получим
\[
\mathbf{H}_{i}^{\Pi}=k^{2}\left[\begin{array}{lll}
0,445 & 0,802 & 1,000 \\
0,802 & 1,445 & 1,802 \\
1,000 & 1,802 & 2,247
\end{array}\right] .
\]

Третий столбец этой матрицы при делении на $k^{2}$ дает компоненты первого собственного вектора, приведенные к амплитуде перемещений первой массы. Таким образом, имеем
\[
\mathbf{X}_{M_{1}}=\{1,000 ; 1,802 ; 2,247\},
\]

что совпадает с решениями (и). Разумеется, для получения этих результатов требуется определять только один столбец присоединенной матрицы, поскольку все столбцы пропорциональны $\mathbf{X}_{\text {м1 }}$.

В подобном же духе путем подстановки значений $p_{2}^{2}$ и $p_{3}^{2}$ в третий столбец выражения (м) для матрицы $\mathbf{H}_{i}^{\Pi}$ определяются собственные векторы $\mathbf{X}_{M 2}$ и $\mathbf{X}_{M 3}$, которые имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{X}_{M_{2}}=\{1,000 ; 0,445 ;-0,805\} ; \\
\mathbf{X}_{M_{3}}=\{1,000 ;-1,247 ; 0,555\},
\end{array}
\]

совпадающий с видом выражений (к) и (л). Три главнье формы колєбаний, описываемые выражениями (н), (о) и (п), представлены зюачсниями ординат на рис. 4.1, б в и 2 соответственно.

Предположим теперь, что жесткость $k_{1}$ первой пружины на рис. 4.1, $a$ равна нулю. В этом случае система будет свободно передавать и движение как жесткого тела, и колебания. Коэффициент жесткости $S_{11}$ изменит свое значение с $2 k$ на $k$, а соответствующий элемент характеристической матрицы примет вид $H_{i 11}=$ $=k-p_{i}^{?} \mathrm{~m}$. Соответственно упростится характеристическое уравнение, которое в данном случае может быть разложено на простейшие множители:
\[
p_{i}^{2}\left(p_{i}^{2}-\frac{k}{m}\right)\left(p_{i}^{\frac{2}{2}}-\frac{3 k}{m}\right)=0,
\]

откуда получаем
\[
p_{1}^{2}=0, \quad p_{2}^{2}=\frac{k}{m}, \quad p_{3}^{2}=\frac{3 k}{m},
\]

где разыи нулю корень соответствует форме „вижения как абсолютно жесткого тела

Трєтий столбец в выражении (м) для присоединенной матрицы $\mathbf{H}_{i}^{n}$ принимает вид
\[
\mathbf{H}_{i, 3}^{\pi}=\left[\begin{array}{c}
k^{2} \\
k\left(k-p_{i}^{2} m\right) \\
\left(k-p_{i}^{2} m\right)\left(2 k-p_{i}^{2} m\right)-k^{2}
\end{array}\right] .
\]

Позледовательной подстановкой собственных значений для этой полуопределенной системы в выражение (т) получаем следующие выражения для собственных векторов:
\[
\mathbf{x}_{M 1}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{M 2}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{M_{1}}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
-2 \\
1
\end{array}\right] .
\]

Из рассмотрения этих векторов легко устанавливаются главные формы колебаний этой системы.

Пример 2. Три сосредоточенные массы прикреплены к предварительно растянутой нити, как показано на рис. $4.2, a$. Предполагается, что растягивающая сила $T$. в тросе достаточно велика, поэтому при малых перемещениях масс она изменяется незначительно. Требуется определить характеристические значения и ссбственные векторы этой системы, используя уравнения в перемещения и считая, что $m_{1}=$ $=m_{2} \xlongequal{=} m_{3} \xlongequal[=]{=}$ и $l_{1}=l_{2}=l_{3}=l$.

Решение. Матрица масс имеет тот же вид, что и в примере 1 , а матрица податливостей
\[
\mathbf{F}=\frac{l}{4 T}\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right] \text {. }
\]

Используя эту матрицу, запишем характеристическую матрицу в соответствии с выражением (4.7):
\[
\mathbf{L}_{i}=\left[\begin{array}{ccc}
3 \alpha-\lambda_{i} & 2 \alpha & \alpha \\
2 \alpha & 4 \alpha-\lambda_{i} & 2 \alpha \\
\alpha & 2 \alpha & 3 \alpha-\lambda_{i}
\end{array}\right],
\]

где $\alpha=\operatorname{lm} /(4 T)$. Затем определитель матрицы $\mathrm{H}_{i}$ полагаем равным нулю и получаем характеристическое уравнение
\[
\left(\lambda_{i}-2 \alpha\right)\left(\lambda_{i}^{2}-8 \alpha \lambda_{i}+8 \alpha^{2}\right)=0
\]

Корни данного уравнения в порядке убывания суть
\[
\lambda_{1}-2(2+\sqrt{2}) \alpha, \quad \lambda_{2}=2 \alpha, \quad \lambda_{3}-2(2 \cdots \sqrt{2}) \alpha .
\]

Для того чтобы найти формы колебаний этой системы, построим только первый столбец матрицы, присоединенной к матрице $\mathbf{L}_{i}$ :
\[
\mathrm{L}_{i, 1}^{\Pi}=\left[\begin{array}{c}
\left(4 \alpha-\lambda_{i}\right)\left(3 \alpha-\lambda_{i}\right)-4 \alpha^{2} \\
-2 \alpha\left(3 \alpha-\lambda_{i}\right)+2 \alpha^{2} \\
4 \alpha^{2}-\alpha\left(4 \alpha-\lambda_{i}\right)
\end{array}\right] .
\]

Последовательно подставляя собственные значения в выражение (ш), после деления каждой компоненты на величину компоненты $x_{\text {м1 }}$ получим следующие выражения для собственных векторов:
\[
\mathbf{X}_{M_{1}}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
\sqrt{2} \\
1
\end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{M_{2}}=\left[\begin{array}{r}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{M_{3}}=\left[\begin{array}{c}
1 \\
-\sqrt{2} \\
1
\end{array}\right] .
\]

Эти формы колебаний представлены на рис. 4.2, б, в и а.
Описанные в данном параграфе два метода получения характеристических значений и векторов можно прелставить единым образом в виде
\[
\mathbf{A X}_{M i}=\lambda_{i} \mathbf{X}_{M i} \text {, }
\]

где $\mathbf{A}$ – квадратная матрица, элементами которой являются действительные числа. Уравнение (э) известно как стандартная форма задачи на собственные значения. Для линейно упругих колебательных систем путем соответствующего выбора координат матрица коэффициентов А всегда может быть преобразована к симметричному, положительно или полуположительно определенному виду. Такая форма часто бывает предпочтительной в том случае, когда задача на собственные значения решается численно, поэтому в последующем обсуждении дана процедура приведения матрицы коэффициентов к симметричному виду.

Уравнение движения (4.6) в перемещениях можно записать, используя матрицы $\mathbf{F}$ и $\mathbf{M}$, в форме
\[
\mathbf{F M X}_{M i}=\lambda_{i} \mathbf{X}_{M i} .
\]

Это уравнение имеет стандартную форму (э), но матрица коэффициентов FM является несимметричной. Произведение матриц $\mathbf{F}$ и $\mathbf{M}$ не обладает симметричной структурой, даже если матрица $M$ диагональная, за исключением специального случая, когда все диагональные элементы равны между собой. Чтобы получить симметричную матрицу коэффициентов, требуется изменить координаты. Если матрица $\mathbf{M}$ является положительно определенной, с помощью метода квадратного корня $Х о$ лецкого * ее можно представить в виде
\[
\mathbf{M}=\mathbf{U}^{\mathrm{T}} \mathbf{U},
\]

где $\mathbf{U}$ – верхнетреугольная матрица, $\mathbf{U}^{\mathrm{T}}$ – транспонированная матрица $\mathrm{U}$. Подставляя представление (4.10) в уравнение (4.9) и умножая его слева на матрицу $\mathrm{U}$, получим $\mathbf{U F U} \mathbf{U}^{\mathrm{T}} \mathbf{U} \mathbf{X}_{\mathrm{M} i}=\lambda_{i} \mathbf{U} \mathbf{X}_{\mathrm{Mi}}$. Это уравнение можно переписать в виде
\[
\mathbf{F}_{U} \mathbf{X}_{U i}=\lambda_{i} \mathbf{X}_{U i}
\]

где
\[
\mathbf{X}_{U i}=\mathbf{U} \mathbf{X}_{M i}
\]

или
тогда
\[
\mathbf{X}_{M i}=\mathbf{U}^{-1} \mathbf{X}_{U i},
\]
\[
\mathbf{F}_{U}=\mathbf{U F U}^{\mathrm{T}} .
\]

Элементами матрицы-столбца [см. выражение (4.12a)] являются амплитуды форм колебаний, записанные в новой системе координат, где матрица обобщенных масс представляет собой единичную матрицу. В этих көординатах матрица обобщенных податливостей, представляемая выражением (4,13), является симметричной, поскольку она получается с помощью преобразования подобия симметричной матрицы $\mathbf{F}$.

Таким образом, уравнение (4.11) имеет стандартную форму задачи на собственные значения с симметричной, положительно определенной матрицей коэффициентов. Очевидно, что это преобразованное уравнение имеет те же собственные значения $\lambda_{i}$, что и исходное уравнение (4.9). Однако собственные векторы $\mathbf{X}_{U i}$ и $\mathbf{X}_{M i}$ не являются тождественными. Найдя выражения собственных векторов $\mathbf{X}_{U i}$ в обобщенных координатах, можно затем преобразовать их, выразив через исходные координаты с помощью соотношения (4.12б).

Преобразования, задаваемые выражениями (4.12а) и (4.12б), упрощаются, если матрица масс диагональная. В этом случае из выражения (4.10) для матрицы $\mathbf{M}$ получаем
\[
\mathbf{U}:=\mathbf{U}^{\mathrm{T}}=\mathbf{M}^{1 / 2}, \quad \mathbf{U}^{-1}=\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\mathbf{M}^{-1 / 2} .
\]

Здесь $\boldsymbol{M}^{1 / 2}$ – диагональная матрица с диагональными элементами, равными квадратному корню из соответствующих элементов матрицы $\mathbf{M}$, а $\mathbf{M}^{-1 / 2}$-диагональная матрица, диагональными элементами которой являются величины, обратные значениям соответствующих элементов матрицы $\boldsymbol{M}^{1 / 2}$. Тогда выражения (4.12a), (4.12б) и (4.13) принимают вид

или
\[
\mathbf{X}_{U i}=\mathbf{M}^{1 / 2} \mathbf{X}_{M i}
\]

а также
\[
\mathbf{X}_{M i}=\mathbf{M}^{-1 / 2} \mathbf{X}_{U i}
\]
\[
\mathbf{F}_{U}=\mathbf{M}^{1 / 2} \mathbf{F} \mathbf{M}^{1 / 2} .
\]

Уравнение движения в усилиях также можно преобразовать, используя обобщенные координаты. Сначала представим это уравнение с помоцью матриц $\mathbf{S}$ и $\mathbf{M}$ в следующей форме:
\[
\mathbf{S X}_{M i}=p_{i}^{2} \mathbf{M} \mathbf{X}_{M i}
\]

которая отличается от стандартной формы уравнения (э), поскольку в правой части присутствует матрица М. Уравнение (4.17) является задачей на собственные значения в нестандартной форме, имеющей две симметричные матрицы коэффициентов. Это уравнение можно было бы привести к стандартной форме, умножив обе части этого уравнения слева на матрицу $\mathbf{M}^{-1}$, но при этом результирующая матрица $\mathbf{M}^{-1} \mathbf{S}$ коэффициентов оказалась бы несимметричной. Чтобы избежать потери матрицами свойства симметрии, подставим выражение (4.126) в уравнение (4.17) и умножим слева обе части этого уравнения на $\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}$, тогда получим
\[
\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{S} \mathbf{U}^{-1} \mathbf{X}_{U i}=p_{i}^{2}\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathbf{T}} \mathbf{M} \mathbf{U}^{-1} \mathbf{X}_{U i}
\]

Подставляя в правую часть уравнения (4.18) выражение (4.10) для матрицы $\mathbf{M}$, придем к соотношению вида
\[
\mathbf{S}_{U} \mathbf{X}_{U i}=p_{i}^{2} \mathbf{M}_{U} \mathbf{X}_{U i}=p_{i}^{2} \mathbf{X}_{U i}
\]

где
\[
\mathbf{S}_{U}=\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \mathbf{S U}^{-1}=\mathbf{F}_{U}^{-1} .
\]

Отсюда становится очевидным способ приведения матрицы $\boldsymbol{M}$ к симметричному виду
\[
\mathbf{M}_{U}=\left(\mathbf{U}^{-1}\right)^{\mathbf{T}} \mathbf{M} \mathbf{U}^{-1}=\left(\mathbf{U}^{\mathbf{T}}\right)^{-1} \mathbf{U}^{\mathrm{T}} \mathbf{U} \mathbf{U}^{-1}=\mathbf{I} .
\]

В этом случае уравнение (4.19) имеет стандартную форму задачи на собственные значения с симметричной матрицей коэффициентов. Как следует из выражения (4.20), матрица $S_{U}$ обобщенных жесткостей является обратной матрице обобщенных

податливостей, описываемой выражением (4.13). Разумеется, взаимообратимость этих утверждений справедлива только в том случае, когда матриць $S$ и $S_{U}$ положительно определенные. Если матрица масс диагональная, то сведение матрицы $\mathbf{S}$ к виду (4.20) упрощается до
\[
\mathbf{S}_{U}=\mathbf{M}^{-1 / 2} \mathbf{S} \mathbf{M}^{-1 / 2} .
\]

Пример 3. Предположим, что вторая масса на рис. $4.2, a m_{2}=4 m_{1}$, а для остальных, как и в примере 2 , имеем $m_{1}=m_{3}=m$. В этом случае произведение FM в уравнении (4.9) принимает вид следующей матрицы:
\[
\mathbf{F} \mathbf{M}=\frac{l}{4 T}\left[\begin{array}{lll}
3 & 2 & 1 \\
2 & 4 & 2 \\
1 & 2 & 3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] m=\alpha\left[\begin{array}{ccc}
3 & 8 & 1 \\
2 & 16 & 2 \\
1 & 8 & 3
\end{array}\right] .
\]

Эта матрица является несимметричной, поскольку масштаб второго столбца матрицы $\mathbf{F}$ изменялся независимо от других столбцов. Вместо того чтобы использовать эту форму, можно сохранить симметрию матрицы $\boldsymbol{M}$, построив сначала диагональную матрицу $\boldsymbol{M}^{1.2}$ и обратную матрицу
\[
\mathbf{M}^{1 / 2}=\sqrt{m}\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right], \quad M^{-1 / 2}=\frac{1}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 / 2 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] \text {. }
\]

Тогда, как следует из соотношения (4.16), матрицу $\boldsymbol{M}^{1 / 2}$ можно применять как оператор преобразования, что дает матрицу
\[
\mathbf{F}_{U}=\boldsymbol{M}^{1 / 2} \mathbf{F} \mathbf{M}^{1 / 2}=\alpha\left[\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 1 \\
4 & 16 & 4 \\
1 & 4 & 3
\end{array}\right],
\]

которая обладает требуемой симметрией. Преобразованную матрицу $\mathbf{F}_{U}$ можно использовать для решения задачи на собственные значения в стандартной форме (4.11). И, наконец, с помощью выражения (4.156) и оператора $\boldsymbol{M}^{-1 / 2}$ определяются собственные векторы в исходных координатах.

ЗАДАЧИ
4.2.1. Используя уравнения в усилиях и коэффициенты влияния жесткссти для системы, показанной на рис. $4.2, a$, определить собственные значения $p_{i}^{2}$ и собственные векторы $\mathbf{X}(i=1,2,3)$. Принять, что $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m, l_{1}=l_{2}=l$. Ombem: $p_{1,2,3}^{2}=(2+\sqrt{2}) T /(m l) ; 2 T /(m l) ;(2+\sqrt{2}) T /(m l)$.
4.2.2. На рис. А.4.2.2 показаны три массы и четыре пружины. Определить собственные значения и собственные векторы, используя уравнения в перемещениях и коэффициенты влияния податливости, если дано: $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m, k_{1}=k_{2}=$ $=k_{3}=k_{4}=k$.
Omвem: $\lambda_{1,2,3}=(2+\sqrt{2}) m /(2 k) ; m /(2 k) ;(2-\sqrt{2}) m /(2 k)$.
Рис. А.4.2.2
4.2.3. Три простейших маятиика соединены двумя пружинами (рис. А.4.2.3). Дано: $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m, k_{1}=k_{2} \cdots k$. Используя уравнения в усилиях, найти собственные значения и собственные векторы, взять в качестве координат перемещений малье углы $\theta_{1}, \theta_{2}$ и $\theta_{3}$.
Oтвет:
\[
p_{1,2,3}^{2}=\frac{g}{l} ; \quad \frac{g}{l}+\frac{k h^{2}}{\hbar i l^{2}} ; \quad \frac{g}{l}+\frac{3 k h^{2}}{m l^{2}} .
\]
4.2.4. На рис. А.4.2.4 показаны три диска, установленные на валу, которь, й неподвижно закреплен в точке $A$ и свободно поворач івается в подшипниках в точках $B, C$ и $D$. Определить собственные значения и собственные векторы, используя уравнения в перемещениях, если дано: $I_{1}=I_{2}=I_{3}=I, k_{\mathrm{K} 1}=k_{\mathrm{K} 2}=k_{\mathrm{K} 3}=k_{\mathrm{K}}$. В качестве кооринат перемещений использовать углы $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}$.
Oтвет: $\lambda_{1,2,3}=5,05 I / k ; 0,643 I / k_{k} ; 0,308 I / k_{\mathrm{K}}$.
Рис. А.4.2.4
4.2.5. Четыре массы, соединенные тремя пружинами, могут свободно перемещаться в направлении оси (рис. A.4.2.5). Определить собственные значения и собственные векторы, используя уравнения движения в усилиях, если дано: $m_{1}=$ $=m_{2}=m_{3}=m_{4}=m, k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$.
Omвem: $p_{1, \therefore, 3,4}^{2}=0 ;(2-\sqrt{2}) k / m ; 2 k / m ;(2+\sqrt{2}) \mathrm{km}$.
Рис. А.4.2.5
4.2.6. На свободно опертой балке (рис. А.4.2.6) закреплены три массы в точках, отстоящих друг от друга и от концов балки на четверть ее длины. Используя в качестве координат перемещений малые смещения $y_{1}, y_{2}$ и $y_{3}$, определить собственные значения и собственные векторы для этой системы с помощью уравнений в перемещениях. Принять, что $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ и что невесомая призматическая балка имеет жесткость при изгибе $E I$.
Omвem: $\lambda_{1,2,3}=31,6 \alpha ; 2 \alpha ; 0,444 \alpha\left[\alpha=m l^{3} /(768 E J)\right]$.
Рис. А.4.2.6
4.2.7. Для показанного на рис. А.4.2.7 тройного маятника определить собственные значения и собственные векторы, используя уравнения движения в усилиях. В качестве координат перемещений взять $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$; считать, что $m_{1}=m_{2}=$ $=m_{3}=m, l_{1}=l_{2}=l_{3}=l$.
Omвem: $p_{1,2}^{2}, 3=0,416 g / l ; 2,29 g / l ; 6,29 g / l$.
4.2.8. На рис. А.4.2.8 показан каркас трехэтажного дома с абсолютно жесткими балками и гибкими стойками. Дано: $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m, h_{1}=h_{2}=h_{3}=$ $=h, E I_{1}=3 E I, E I_{2}=2 E I, E I_{3}=E I$. Используя в качестве координат перемещений горизонтальные перемещения $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$, определить собственные значения и собственные векторы с помощью уравнений в перемещениях.
Oтвет: $\lambda_{1,2,3}=14,4 \alpha ; 2,62 \alpha ; 0,954 \alpha\left\{\alpha=\mathrm{mh}^{3} /(144 E I)\right]$.
Рис. А.4.2.7
Рис. А.4.2.8
4.2.9. Для подвешенной на пружинах массы (рис. А.4.2.9) в качестве координат перемещений используются ортогональные смещения $x_{1}, y_{1}$ и $z_{1}$. Пружины установлены в направлениях, определяемых следующими единичными векторами: $\mathbf{e}_{1}=0,8 \mathbf{i}-0,6 \mathbf{j}, \quad \mathbf{e}_{2}=0,6 \mathbf{j}+0,8 \mathbf{k}$ и $\mathbf{e}_{3}=0,6 \mathbf{j}-0,8 \mathrm{k}$ (где $\mathbf{i}, \mathbf{j}$ и $\mathbf{k}-$ единичные
векторы в направлениях соответственно $x, y$ и $z$ ). Используя уравнения движения в усилиях, определить собственные значения и собственные векторы, приняв, что жесткость всех пружин одинакова.
Ответ: $p_{1,2,3}^{2}=0,332 k / m ; 1,28 \mathrm{~km} ; 1,39 k / m$.
4.2.10. Показанная на рис. A.4.2.10 плоская рама состоит из двух призматических стержней с жесткостью $E I$ при изгибе. Она неподвижно закреплена в точке $A$, а в точках $B$ и $D$ на ней закреплены сосредоточенные массы, В качестве координат перемещения берутся малые перемещения $x_{1}, y_{1}$ и $y_{2}$. Принимая, что $m_{1}=$ $\xlongequal{=} m_{2}=m$ и $l_{1}=l_{2}=l$, с помощью уравнений движения в перемещения определить собственные значения и собственные векторы.
Oтвет: $\lambda_{1,2,3}=74,7 \alpha ; 6,99 \alpha ; 0,307 \alpha\left[\alpha=m l^{3} /(48 E I)\right]$.
Рис. А.4.2.9
Рис. A.4.2.10
4.2.11. Предположим, что балка, на которой закреплены три сосредоточенные массы (рис. А.4.2.11), может свободно перемещаться только в направлении оси $y$. Приняв, что $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ и $l_{1}=l_{2}=l$, найти собственные значения и собственные векторы с помощью уравнений движения в усилиях. Балка является призматической и ее жесткость при изгибе равна $E I$.
Oтвет: $p_{1,2,3}=0 ; 0 ; 9 E I /\left(m l^{3}\right)$.
Рис. А.4.2.11
4.2.12. На рис. А.4.2.12 показаны два абсолютно жестких стержня, соединенных в точке $B$ с помощью шарнира. Предполагается, что $l_{1}=l_{2}=l, k_{1}=$ стержней. В качестве координат перемещений используются малое перемещение $y_{i}$
9 тимошенко С. П. и др.
точки $B$ и малые повороты $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ стержней вокруг точки $B$. C помощью уравнений движения в усилиях определить собственные значения и собственные векторы этой системы.
Omвem: $p_{1,2,3}^{?}=(3-\sqrt{3}) \mathrm{k} / \mathrm{m} ; 3 \mathrm{k} / \mathrm{m} ;(3+\sqrt{3}) \mathrm{k} / \mathrm{m}$.
Рис. А.4.2.12