Если на колеблющийся стержень действует растягивающая сила $S$ (рис. 5.26), дифференциальное уравнение для кривой прогибов при действии статической поперечной нагрузки имеет вид
\[
E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=M+S y,
\]

где $M$ – изгибающий момент, создаваемый поперечной распределенной нагрузкой с интенсивностью ш (см. рис. 5.26). Дважды продифференцировав левую и правую части этого уравнения по $x$, получим
\[
\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(E I \frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)=w+S \frac{d^{2} y}{d x^{2}} .
\]

Для того чтобы получить уравнение для поперечных колебаний, подставим вместо величину силы инерции, отнесенной к единице длины,
\[
\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(E I \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}\right)-S \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

В случае стержня постоянного поперечного сечения имеем
\[
E I \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}-S \frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=-\rho F \frac{\partial^{2} y}{\partial t^{2}} .
\]

Рис. 5.26

Предполагая, что стержень колеблется по одной из собственных форм, найдем решение уравнения (5.142) в форме
\[
y=X\left(A_{2} \cos p t+B \sin p t\right),
\]

где $X$ – нормальная функция. Подставляя в уравнение (5.142) представление (r), получим
\[
E I \frac{d^{4} X}{d x^{4}}-S \frac{d^{2} X}{d x^{2}}=\rho F p^{2} X .
\]

Решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным концевым условиям, должно включать в себя соответствующие нормальные функции. Простейший случай имеет место при свободном опирании стержня. Эти условия будут удовлетворены, если взять
\[
X_{i}=\sin (i \pi x / l), i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Подставляя это выражение в уравнение (д), найдем соответствующую круговую частоту колебаний
\[
p_{i}=\frac{i^{2} \pi^{2} a}{l^{2}} \sqrt{1+\frac{S l^{2}}{i E I \pi^{2}}},
\]

где, как и прежде, имеем $a=\sqrt{E I /(\rho F)}$. Эта частота больше той [см. выражение (5.102) ], которая была получена при рассмотрении колебаний без учета осевой силы $S$.

Если имеется очень податливый на изгиб стержень (допустим, трос), второе слагаемое, стоящее под корнем в выражении (5.143), становится намного большим единицы, и если при этом $i^{2}$ не слишком велико, можно принять
\[
p_{i} \approx \frac{i^{2} \pi^{2} a}{l^{2}} \sqrt{\frac{S l^{2}}{i E I \pi^{2}}}=\frac{i \pi}{l} \sqrt{\frac{S}{\rho F}},
\]

что представляет собой выражение для собственных частот предварительно растянутой нити (см. п. 5.8).

Подставляя функции (е) в представление (г) для решения, найдем собственную форму колебаний, представляющую синусоиду с числом полуволн, равным $i$. Суммируя подобные формы, получим общее решение задачи о свободных колебаниях свободно опертого стержня при действии осевой растягивающей силы
\[
y=\sum_{i=1}^{\infty} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i} \sin p_{i} t\right),
\]

где $p_{i}$ находим по формуле (5.143). Если заданы начальные прогибы и начальные скорости, произвольные постоянные $A_{i}$ и $B_{i}$, входящие в решение (3), можно определить точно так же, как и выше (см. п. 5.10).

Если на стержень вместо растягивающей действует сжимающая сила, частоты поперечных колебаний уменьшаются и выражение

для определения значений частот получаем заменой $S$ в формуле (5.143) на $-S$, что дает
\[
p_{i}=\frac{i^{2} \pi^{2} a}{l^{2}} \sqrt{1-\frac{S l^{2}}{i^{2} E I \pi^{2}}} .
\]

Эта формула дает меньшие значения частот, чем получаемые для свободно опертого стержня без сжимающей осевой силы. Указанные значения зависят от члена $S l^{2} / E I \pi^{2}$, представляющего собой отношение осевой силы к эйлеровой критической сжимающей нагрузке. Если это отношение становится равным единице, частота низшей формы колебаний принимает значение, равное единице, и тогда приходим к случаю потери устойчивости при осевом сжатии.

При исследовании динамических перемещений в условиях вынужденных колебаний свободно опертого стержня, сжатого осевой силой $S$, поступают так, как описано в п. 5.13. При этом необходимо только вместо простого выражения (5.102) взять более сложные выражения (5.143) или (5.144). Все остальные этапы исследования остаются без изменения.*