В ряде практических задач поведение колеблющейся системы обусловлено не непосредственным действием возмущающей силы, а перемещением опоры. Вынужденные колебания, вызываемые изменяющимися по гармоническому закону перемещениями и ускорениями опоры при отсутствии демпфирования и при наличии вязкого сопротивления, обсуждались соответственно в пп. 1.6 и 1.9. В данном параграфе будут рассматриваться случаи, где заданные перемещения опоры являются произвольными функциями времени.

Рассмотрим систему с одной степенью свободы с демпфированием (рис. $1.47, a$ ) и предположим, что перемещение опоры $x_{\text {оп }}$ является заданной аналитической функцией времени. Тогда уравнение движения принимает вид
\[
m \ddot{x}=-c\left(\dot{x}-\dot{x}_{\text {оп }}\right)-k\left(x-x_{\text {оп }}\right),
\]

что после преобразования дает
\[
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=k x_{\text {оп }}+c \dot{x}_{\text {оп }} .
\]

Если выражение для перемещения $x_{\text {оп }}$ допускает дифференцирование по времени, в правой части уравнения (б) будем иметь две аналитические функции. Первая из них эквивалентна возмущающей силе, равной $k x_{\text {оп }}$ и приложенной непосредственно к массе, вторая ана-

Рис. 1.47

логична силе $c x_{\text {оп }}$. Разделив обе части уравнения (б) на массу $m$, получим
\[
\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2} x=q_{o \Pi}=q_{o \Pi 1}+q_{\text {oп2 }},
\]

где
\[
q_{\text {оп } 1}=p^{2} x_{\text {оп }}=p^{2} F\left(t^{\prime}\right)=f\left(t^{\prime}\right)
\]

является отнесенной к единице массы эквивалентной силой, обусловленной перемецением $x_{\text {оп }}$ опоры;
\[
q_{\mathrm{\cup \Pi 2}}=\frac{2 n}{p^{2}} \dot{q}_{011} \text {. }
\]

Так же, как в случае функций, описывающих возмущающие силы, предполагаем, что перемецение $x_{\text {оп }}$ и соответствующая ему сила $q_{\text {оп1 }}$ являются функциями фиктивного времени $t^{\prime}$ (рис. 1.47, б).

С учетом сказанного дальнейшее рассмотрение проводится аналогично тому, как это делалось для функции, описывающей возмущающие силы. Однако в этом случае приращение импульса состоит из двух частей и выражение для приращения скорости в момент времени имеет вид
\[
d \dot{x}=\left(q_{\text {oп1 }}+q_{\text {оп2 }}\right) d t^{\prime},
\]

где первое слагаемое представляет собой заштрихованную область на рис. 1.47, б. В произвольный момент времени $t$ приращение перемещения
\[
d x=e^{-n\left(t-t^{\prime}\right)} \frac{1}{p_{\text {д }}}\left(q_{\text {оп1 }}+q_{\text {оп2 }}\right) \sin p_{\text {Д }}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

В силу того, что перемещение опоры оказывает непрерывное влияние, суммарное перемещение массы принимает вид
\[
x=x_{1}+x_{2}=\frac{e^{-n t}}{p_{\text {д }}} \int_{0}^{t} e^{n t^{\prime}}\left(q_{\text {оп } 1}+q_{\text {оп } 2}\right) \sin p_{\text {д }}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

что является более полным выражением для интеграла Дюамеля, чем приводившееся ранее выражение (1.62) в п. 1.12.

Если не учитывать демпфирования, получим $n=0$ и $p_{\text {д }}=p$, и тогда выражение (1.69) упрощается до
\[
x=\frac{1}{p} \int_{0}^{t} q_{\mathrm{OH1}} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\beta \int_{0}^{t} x_{\text {өI }} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Здесь первое выражение совпадает по форме с выражением (1.64) из п. 1.12.

Рассмотрим далее случай заданного ускорения $\ddot{x}_{\text {оп }}$ опоры. Так же, как это было сделано в п. 1.6 при рассмотрении вынужденных колебаний, воспользуемся следующим преобразованием координат:
\[
x^{*}=x-x_{\text {оп }} ; \quad \dot{x}^{*}=\dot{x}-\dot{x}_{\text {оп }} ; \quad \ddot{x}^{*}=\ddot{x}-\ddot{x}_{\text {оп }},
\]

где через $x^{*}$ обозначено перемещение массы относительно опоры. Подставляя выражения (ж) для $x-x_{\text {оп }}, \dot{x}-\dot{x}_{\text {оп }}$ и $\ddot{x}$ в уравнение (а), после преобразования получим
\[
m \ddot{x}^{*}+c \dot{x}^{*}+k x^{*}=-m \ddot{x}_{\text {оп }} .
\]

Стоящий в правой части член этого уравнения эквивалентен всзмущающей силе – $m \ddot{x}_{\text {оп }}$, действующей непосредственно на массу. Если уравнение (з) разделить на $m$, найдем

где
\[
\ddot{x}^{*}+2 n \dot{x}^{*}+k x^{*}=q_{\mathrm{on}}^{*},
\]
\[
q_{\mathrm{on}}^{*}=-\ddot{x}_{\mathrm{on}}=-f\left(t^{\prime}\right)
\]

является функцией, описывающей в относительных координатах возмущающую силу, обусловленную ускорением опоры.

Уравнение (1.71) аналогично (1.61) из п. 1.12. Отсюда можно сделать вывод, что динамическое поведение системы в относительных координатах совпадает по форме с рассмотренными в предыдущих случаях. В данном случае интеграл Дюамеля для перемещения относительно опоры при наличии демпфирования имеет вид
\[
x^{*}=\frac{e^{-n t}}{p_{\text {д }}} \int_{0}^{t} e^{n t^{\prime}} q_{\mathrm{OII}}^{*} \sin p_{\text {д }}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Если демпфирование отсутствует, решение (1.72) принимает более простой вид
\[
x^{*}=\frac{1}{p} \int_{0}^{t} q_{\text {oп }}^{*} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Добавим, что абсолютное динамическое перемещение системы можно определить в том случае, если заданы начальные условия относительно перемещения и скорости опоры.

Пример 1. Предположим, что опора (см. рис. 1.47,a) внезапно сдвинулась вправо в соответствии со ступенчатой функцией, показанной на рис. 1.48. Oпределить закон поведения системы в условиях отсутствия демпфирования при внезапном смещении опоры.

Peшeние. В этом случае из выражения (в) имеем $q_{0 п 1}=p^{2} d=$ const, и тогда решение (1.70) для случая отсутствия демпфирования принимает вид
\[
x=p d \int_{0}^{t} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}=d(1-\cos p t),
\]

который совпадает с выражением (1.66), за исключением того, что множитель $Q_{1} / k$ заменен постоянной $d$. Таким образом, видим, что движение представляет собой свободные колебания с амплитудой $d$, наложенные на статическое перемещение той же величины.

Пример 2. В качестве иллюстрации использования решения (1.69) рассмотрим перемещение опоры в виде линейно возрастающей функции (рис. 1.49). Угол наклона прямой линии на рисунке равен отношению $\delta d$ к единице времени. Требуется получить выражение для обусловленного перемещением опоры движения системы с демпфированием (см. рис. 1.47, a).
Pешение. Перемещение опоры, выраженное через $t^{\prime}$ и $\delta d$ :
\[
x_{\text {оп }}=t^{\prime} \delta d,
\]

поэтому функция $q_{0 п 1}$, описывающая возмущающую силу в выражении (в), принимает вид
\[
q_{\text {опі }}=p^{2} t^{\prime} \delta d .
\]

Вторую часть эквивалентной силы, отнесенной к единице массы, представляем выражением (г):
\[
q_{\mathrm{ou2}}=2 n \delta d .
\]

Подставляя выражения (м) и (н) для $q_{\text {оп1 }}$ и $q_{\text {оп2 }}$ в решение (1.69), получаем
\[
x=x_{1}+x_{2}=\frac{\delta d e^{-n t}}{p_{\text {д }}} \int_{0}^{t} e^{n t^{\prime}}\left(p^{2} t^{\prime}+2 n\right) \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

После интегрирования первая часть решения принимает вид
\[
x_{1}=\frac{\delta d}{p^{2}}\left\{p^{2} t-2 n+e^{-n t}\left[2 n \cos p_{\text {д }} t+\frac{1}{p_{\text {Д }}^{\prime}}\left(n^{2}-p_{\text {д }}^{2}\right) \sin p_{\text {д }} t\right]\right\},
\]

а для второй части имеем
\[
x_{2}=2 n \delta d\left[1-e^{-n t}\left(\cos p_{\text {д }} t+\frac{n}{p_{\text {д }}} \sin p_{\text {Д }} t\right)\right] .
\]

Полученное выражение для первой части решения характеризует поведение, аналогичное показанному на рис. $1.46,6$, но только в этом случае колебания постепенно затухают. Если пренебречь демпфированием, то выражение (п) сводится к (о) из п. 1.12 , когда вместо $\delta d$ берем $\delta Q / k$. Кроме того, выражение (р) для второй части решения совпадает с (х) из п. 1.12 , если $2 n \delta d$ заменить на $Q_{1} / k$.

Пример 3. Предположим, что на рис. 1.49 наклонная прямая описывает не перемещение опоры, а ее ускорение $\ddot{x}_{\text {оп }}$ и что угол наклона прямой равен отношению $\delta a$

Рис. 1.50
к единице времени. Пусть известно, что в момент времени $t=0$ заданы начальные условия относительно перемещения $x_{0}$ опоры и ее скорости $\dot{x}_{0}$. Для системы с одной степенью свободы без демпфирования определить обусловленный движением опоры закон абсолютного перемещения в момент времени $t$.
Peшение. В этом случае функция, описывающая возмущающую силу, согласно выражению (и) имеет вид
\[
q_{\mathrm{OII}}^{*}=-t^{\prime} \delta a .
\]

Подставляя это выражение в решение (1.73), получим
\[
x^{*}=-\frac{\delta a}{p} \int_{0}^{t} t^{\prime} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Интегрируя выражение (т), найдем перемещение в относительных координатах при отсутствии демпфирования
\[
x^{*}=-\frac{\delta a}{p^{2}}\left(t-\frac{1}{p} \sin p t\right),
\]

а также скорость движения
\[
\dot{x^{*}}=-\frac{\delta a}{p^{2}}(1-\cos p t) .
\]

Полное решение представляет сумму перемещения опоры и относительного перемещения. Таким образом, учитывая выражение (ж) и начальные условия, найдем абсолютную скорость движения
\[
\begin{aligned}
\dot{x} & =\dot{x}_{\text {оп }}+\dot{x}^{*}=\dot{x}_{\text {оп }}+\int_{0}^{t} \ddot{x}_{\text {оп }} d t^{\prime}+\dot{x}^{*}= \\
& =\dot{x}_{\text {оп } 0}+\delta a\left[\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{p^{2}}(1-\cos p t)\right]
\end{aligned}
\]

и абсолютное перемещение
\[
\begin{array}{c}
x=x_{\text {оп }}+x^{*}=x_{\text {опо }}+\dot{x}_{\text {опо }} t+\int_{0}^{t} \dot{x}_{\text {Оп }} d t^{\prime}+x^{*}= \\
=x_{\text {опо }}+\dot{x}_{\text {оп } 0} t+\delta a\left[\frac{t^{3}}{6}-\frac{1}{p^{2}}\left(t-\frac{1}{p} \sin p t\right)\right] .
\end{array}
\]

Пример 1. Лифтовая кабина весом $W$ без демпфера (рис. 1.50) подвешена на гибком тросе с площадью поперечного сечения $A$ и модулем упругости $E$. Кабина опускается вниз с постоянной скоростью $v_{0}$, когда в лебедке включается тормоз, что вызывает угловое ускорение, равное $a / r$, где $r$ – радиус подъемного барабана. При этом условии трос перестанет раскручиваться через промежуток времени, равный $v_{0} / a$, считая от момента времени $t=0$, когда был включен тормоз. Найти перемещение $x$ кабины за интервал времени $0 \leqslant t \leqslant v_{0} / a$, полагая, что в момент времени $t=0$ длина свободно висящего троса равна $l$ и она не меняется при торможении.

Решение. Данный пример представляет собой случай, когда задано постоянное (равное – a) ускорение опоры. Тогда согласно выражению (1.73) при отсутствии демпфирования перемещение кабины в относительных координатах имеет вид
\[
x^{*}=\frac{a}{p} \int_{0}^{t} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}=\frac{a}{p^{2}}(1-\cos p t) .
\]

Қак и в предыдущем примере, это перемещение в относительных координатах можно сложить с перемещением верхнего конца троса и тем самым получить выражение для суммарной реакции
\[
x=x_{\text {оп }}+x^{*}=v_{0} t-a\left[\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{p^{2}}(1-\cos p t)\right] .
\]

Разумеется, действительные конструкции лифтов таковы, что тормозные устройства включаются более плавно, а любая склонность к колебаниям подавляется соответствующими амортизаторами.

ЗАДАЧИ

1.13.1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без демпфирования, если перемещение опоры задано в виде, показанном на рис. А.1.13.1
Omeвem:
\[
\begin{array}{c}
x=d\left(\frac{t}{t_{1}}-\frac{\sin p t}{p t_{1}}\right), 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=d\left[\frac{\sin p\left(t-t_{1}\right)-\sin p t}{p t_{1}}+\cos p\left(t-t_{1}\right)\right], t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.13.2. Определить закон движения системы с одной степенью свободы и без демпфирования, если ускорение опоры задано в виде, показанном на рис. А.1.13.2.
Omвem:
\[
\begin{array}{c}
x^{*}=-\frac{a}{p^{2}}\left(\frac{t}{t_{1}}-\frac{\sin p t}{p t_{1}}\right), 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x^{*}=-\frac{a}{p^{2}}\left(1+\frac{\sin p\left(t-t_{1}\right)-\sin p t}{p t_{1}}\right), \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]

Рис. А.1.13.1
Рис. А.1.13.2
1.13.3. Определить закон движения системы с одной степенью свободы и без демпфирования, если перемещение опоры задано в виде, показанном на рис. А.1.13.3.
Omeem:
\[
\begin{array}{c}
x=d_{1}(1-\cos p t)-\left(d_{1}+d_{2}\right)\left(\frac{t}{t_{1}}-\frac{\sin p t}{p t_{1}}\right), 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=-d_{1} \cos p t-d_{2} \cos p\left(t-t_{1}\right)-\frac{d_{1}+d_{2}}{p t_{1}}\left[\sin p\left(t-t_{1}\right)-\sin p t\right], \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.13.4. Определить закон движения системы с одной степенью свободы и без демпфирования, если ускорение опоры задано в виде, показанном на рис. A.1.13.4.
Ombem:
\[
\begin{array}{c}
x^{*}=-\frac{a_{1}}{p^{2}}(1-\cos p t)-\frac{a_{2}-a_{1}}{p^{2}}\left(\frac{t}{t_{1}}-\frac{\sin p t}{p t_{1}}\right), 0 \leqslant t \leqslant t_{1} \\
x^{*}=-\frac{a_{1}}{p^{2}}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t\right]- \\
-\frac{a_{2}-a_{1}}{p^{2}}\left[\frac{\sin p\left(t-t_{1}\right)-\sin p t}{p t_{1}}+\cos p\left(t-t_{1}\right)\right], t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
Рис. А.1.13.3
Рис. А.1.13.4
1.13.5. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без демпфирования, если перемещение опоры задается, как показано на рис. А.1.13.5, в виде параболической функции вида
\[
x_{\text {on }}=d\left[1-\left(t-t_{1}\right)^{2} / t_{1}^{2}\right] .
\]

Omвem:
\[
\begin{array}{c}
x=d\left[\frac{2}{p^{2} t_{1}^{2}}\left(1-\cos p t-p t_{1} \sin p t\right)+\frac{2 t}{t_{1}}-\frac{t^{2}}{t_{1}^{2}}\right], 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=d\left\{\frac{2}{p^{2} t_{1}^{1}}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t-p t_{1} \sin p t\right]+\cos p\left(t-t_{1}\right)\right\}, t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.13.6. Определить реакцию системы с одной степенью свободы без демпфирования, если ускорение опоры задается, как показано на рис. А.1.13.6, в виде параболической функции вида $\ddot{x}_{0 п}=a t^{2} / t_{1}^{2}$.
Omвem:
\[
\begin{array}{c}
x^{*}=-\frac{a}{p^{2}}\left[\frac{t^{2}}{t_{1}^{2}}-\frac{2}{p^{2} t_{\overline{1}}^{2}}(1-\cos p t)\right], 0 \leqslant t \leqslant t_{1} \\
x^{*}=-\frac{a}{p^{2}}\left\{\frac{2}{p^{2} t_{1}^{2}}\left[\cos p t-\cos p\left(t-t_{1}\right)+p t_{1} \sin p\left(t-t_{1}\right)\right]+\right. \\
\left.+\cos p\left(t-t_{1}\right)\right\}, \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]

Рис. А.1.13.5
Рис. А.1.13.6
1.13.7. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без демпфирования, если перемещение опоры задается, как показано на рис. А.1.13.7, в виде тригонометрической функции $x_{\text {оп }}=d \cos \pi t / 2 t_{1}$.
Omвem:
\[
\begin{array}{l}
x=d(\cos \omega t-\cos p t) \beta, \omega=\pi / 2 t, 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=-d\left[\cos p t+(\omega / p) \sin p\left(t-t_{1}\right)\right] \beta, t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.13.8. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без демпфирования, если ускорение опоры задается, как показано на рис. А.1.13.8, в виде тригонометрической функции $\ddot{x}_{0 \text { II }}=a\left[1-\sin \left(\pi t / 2 t_{1}\right)\right]$.
Omвem:
\[
\begin{array}{l}
x^{*}=-\frac{a}{p^{2}}\left[1-\cos p t-\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p} \sin p t\right) \beta\right], \quad \omega=\frac{\pi}{2 t_{1}}, 0 \leqslant t \leqslant t_{1} \\
x^{*}=-\frac{a}{p^{2}}\left\{\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t-\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\frac{\omega}{p} \sin p t\right] \beta\right\}, \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.13.9. Используя решение, полученное в примере 4, для показанной на рис. 1.50 системы без демпфирования, определить амплитуду свободных колебаний, которые будет совершать кабина лифта после затормаживания подъемного механизма.
Ombem:
\[
A^{*}=\frac{\sqrt{2} a}{p^{2}} \sqrt{1-\cos \frac{p v_{0}}{a}} .
\]