Рассмотрим теперь динамические перемещения стержней при продольных колебаниях, обусловленных не действием приложенных сил, а заданными перемещениями опор. Например, если основание показанной на рис. 5.6 системы перемещается в направлении оси $x$ по закону, определяемому функцией
\[
u_{\text {оси }}=g(t),
\]

то дифференциальное уравнение движения малого элемента стержня можно записать в виде
\[
\text { müd } x-r\left(u-u_{\text {осн }}\right)^{\prime \prime} d x=0 .
\]

Приступая к решению этого уравнения, введем обозначение
\[
u^{*}=u-u_{\text {осн }},
\]

которое характеризует перемещение произвольной точки стержня относительно перемещения основания как абсолютно жесткого тела. Кроме того, абсолютное ускорение произвольной точки можно представить в виде
\[
\ddot{u}=\ddot{u}^{*}+\ddot{u}_{\text {осн }} .
\]

Подставляя представления (в) и (г) в уравнение (б), получим
\[
m\left(\ddot{u}^{*}+\ddot{u}_{\text {осн }}\right) d x-r\left(u^{*}\right)^{\prime \prime} d x=0
\]

или
\[
m \ddot{u}^{*} d x-r\left(u^{*}\right)^{\prime \prime} d x=-m \ddot{u}_{\text {осн }} d x=-m \ddot{g}(t) d x .
\]

Сравнивая это уравнение движения с уравнением (х) из п. 5.4, видим, что эквивалентная распределенная нагрузка в относительных координатах равна – $m \ddot{g}(t)$. Подобная формулировка исходной задачи аналогична той, которая была использована в предыдущих параграфах, где рассматривалось поведение систем с дискретными параметрами, обусловленное заданным ускорением основания [см. уравнение (м) в п. 1.6].

Для удобства разделим уравнение (д) на отнесенную к единице длины стержня массу $m$, откуда получим
\[
\ddot{u}^{*} d x-a^{2}\left(u^{*}\right)^{\prime \prime} d x=-\ddot{g}(t) d x .
\]

Рис. 5.6

Сравнивая это уравнение с уравнением (ц) из п. 5.4, видим, что здесь вместо функции $q(x, t)$ стоит функция – $\vec{g}(t)$. Тогда уравнение (5.26) принимает вид
\[
\ddot{\varphi}_{i}+p_{i}^{2} \varphi_{i}=-\ddot{g}(t) \int_{0}^{l} X_{i} d x, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

где член, стоящий в правой части, представляет эквивалентную нагрузку для соответствующей нормальной формь колебаний. Для $i$-й формы колебаний интеграл Дюамеля принимает вид
\[
\varphi_{i}=-\left(1 / p_{i}\right) \int_{0}^{l} X_{i} d x \int_{0}^{t} \ddot{g}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Просуммировав перемещения по всем нормальным формам колебаний в соответствии с выражением (5.17), получим
\[
u^{*}=-\sum_{i=1}^{\infty}\left(X_{i} / p_{i}\right) \int_{0}^{l} X_{i} d x \int_{0}^{t} \ddot{g}\left(t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime},
\]

что представляет динамическое перемещение произвольной точки стержня относительно движущегося основания. Общее решение определяется суммированием относительного (колебательного) движения и движения основания:
\[
u=u_{\text {осн }}+u^{*}=g(t)+u^{*} .
\]

Таким образом, подставляя вторую производную по времени функции $u_{\text {осн }}=g(t)$. в выражение (5.47), а саму функцию в равенство (5.48), получим закон динамических перемещений стержня, обусловленных движениями основания как абсолютно жесткого тела. Функцию $u_{\text {осн }}=g(t)$ из выражения (5.48) можно охарактеризовать как закон движения невесомого стержня или основания как абсолютно жесткого тела, при этом относительное движение $u^{*}$ обусловлено влиянием сил инерции, распределенных по длине стержня.

Применяя подход, который до некоторой степени аналогичен использовавшемуся при исследовании случая движения основания как абсолютно жесткого тела, получим выражение для продольных динамических перемещений стержня, обусловленных перемещениями обоих концов, задаваемых независимым образом. С этой целью рассмотрим рис. 5.7 и функции вида
Рис. 5.7

которые описывают независимые перемещения соответственно левого и правого концов. Здесь предполагается, что хотя эти перемещения могут быть большими, их разность в произвольный момент времени $t$ мала.

При исследовании динамических продольных перемещений стержня, обусловленных движениями опор, удобно абсолютное перемещение $u$ представить в виде суммы
\[
u=u_{\mathrm{ct}}+u^{*}
\]

Здесь через $u_{\text {ст }}$ обозначено перемещение произвольной точки невесомого стержня, жестко закрепленного по обоим концам при заданном законе движений опор. Это перемещение определяется из статического анализа, и для призматического стержня оно имеет вид
\[
u_{\mathrm{cT}}=\frac{l-x}{l} g_{1}(t)+\frac{x}{l} g_{2}(t)=u_{\text {ст } 1}+u_{\text {ст } 2} .
\]

Эта часть общего перемещения будет называться перемещением невесомого стержня, обусловленным его податливостью. Тогда функция $u^{*}$ в выражении (з) будет представлять перемещение произвольной точки стержня относительно перемещения $u_{\text {ст }}$. Таким образом, видим, что относительное перемещение $u^{*}$, как и выше, обусловлено влиянием сил инерции, распределенных по длине стержня.

Аналогично можно записать и ускорение $\ddot{u}$ произвольной точки стержня
\[
\ddot{u}=\ddot{u}_{\mathrm{cr}}+\ddot{u}^{*},
\]

которое получается дифференцированием выражения (з) дважды по времени. Уравнение движения для малого элемента стержня (см. рис. 5.7) с использованием выражений (з) и (и) принимает вид
\[
m\left(\ddot{u}_{\text {ст }}+\ddot{u}^{*}\right) d x-r\left(u_{\text {ст }}+u^{*}\right)^{\prime \prime} d x=0 .
\]

Для призматического стержня величина $u_{\mathrm{ct}}$ \” равна нулю, поэтому уравнение (к) можно переписать в виде
\[
m \ddot{u}^{*} d x-r\left(u^{*}\right)^{\prime \prime} d x=-m \ddot{u}_{\mathrm{cT}}(x, t) d x,
\]

сходным с уравнением (д), записанным для случая движения основания как абсолютно жесткого тела. Из уравнения (л) видно, что в рассматриваемом случае эквивалентная распределенная нагрузка в относительных координатах равна – $m \ddot{u}_{\text {ст }}(x, t)$. Разделив обе части уравнения (л) на величину, представляющую отношение массы $m$ стержня к его длине, получим
\[
\ddot{u}^{*} d x-a^{2}\left(u^{*}\right)^{\prime \prime} d x=-\ddot{u}_{\mathbf{c т}}(x, t) d x,
\]

откуда видно, что здесь вместо функции $q(x, t)$ стоит функция $-\ddot{u}_{\text {ст }}(x, t)$. Поэтому $i$-е уравнение движения в нормальных координатах принимает вид
\[
\ddot{\varphi}_{l}+p_{i}^{2} \varphi_{l}=-\int_{0}^{l} X_{i} \ddot{u}_{\mathrm{cr}}(x, t) d x, \quad i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

где в правой части уравнения стоит эквивалентная нагрузка для $i$-й нормальной формы колебаний. Используя интеграл Дюамеля для $i$-й формы колебаний, получим
\[
\varphi_{i}=-\left(1 / p_{i}\right) \int_{0}^{l} X_{i} \int_{0}^{t} \ddot{u}_{\mathrm{cT}}\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x ;
\]

суммированием всех форм колебаний приходим к следующему выражению для перемещений:
\[
u^{*}=-\sum_{i=1}^{\infty}\left(X_{i} / p_{i}\right) \int_{0}^{t} X_{i} \int_{0}^{t} \ddot{u}_{\mathrm{cr}}\left(x, t^{\prime}\right) \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} d x .
\]

Это выражение описывает перемещение произвольной точки стержня относительно перемещения $u_{\mathrm{ct}}$ невесомого стержня. Для того чтобы получить общее перемещение, сложим оба типа перемещений, что дает
\[
u=u_{\mathrm{cr}}+u^{*}=\frac{l-x}{l} g_{1}(t)+\frac{x}{l} g_{2}(t)+u^{*} .
\]

Подводя итоги сказанному, видим, что продольные динамические перемещения стержня, обусловленные независимыми перемещениями концевых опор, можно определить, сложив относительное перемещение $u^{*}$ (которое можно также назвать колебательным движением) с перемещением $u_{\text {ст }}$, обусловленным податливостью невесомого стержня. Хотя перемещение $u_{\text {ст }}$ определяется из статического рассмотрения, функция $u$ зависит как от $x$, так и от $t$. Перемещение $u^{*}$ характеризует отклонение суммарного динамического перемещения $u$ от перемещения $u_{\text {ст }}$ стержня, масса которого не равна нулю. Однако в уравнении (л) эквивалентная распределенная нагрузка – mй не равна распределенной силе инерции – mӥ, выраженной в исходных координатах, или распределенной силе инерции – mй*, выраженной через относительные координаты. Этот член можно истолковать как приложенную нагрузку, обусловленную возможными изменениями определяющих движение координат от абсолютных к относительным. Собственные значения и собственные функции, найденные в относительных и исходных координатах, равны между собой (в случае, когда оба конца стержня жестко закреплены), поскольку коэффициенты $m$ и $r$ в уравнении (л) имеют то же значение, что и выше.

Если функции $g_{1}(t)$ и $g_{2}(t)$, описывающие перемещения обоих концов стержня,
\[
g_{1}(t)=g_{2}(t)=g(t),
\]

из выражения (5.49) получаем $u_{\text {ст }}=u_{\text {осн }}=g(t)$. В этом случае движение, обусловленное податливостью стержня, представляет движение как абсолютно жесткого тела (с жестко закрепленными обоими концами), а выражения (5.50)-(5.53) совпадают с соответствующими выражениями (5.45)-(5.48).

Пример 1. Предположим, что движение опоры показанного на рис. 5.6 стержня происходит по закону, описываемому параболической функцией $u_{0 с \mathrm{c}}=g(t)=$ $=u_{1}\left(t / t_{1}\right)^{2}$, где $u_{1}$ – перемещение в момент времени $t_{1}$. Oпределить обусловленные указанным движением динамические перемещения стержня, если в начальный момент времени стержень находился в покое.

Решение. Из приведенных выше исследований продольных колебаний стержня имеем
\[
p_{i}=i \pi a / 2 l ; \quad X_{i}=\sqrt{2 / l} \sin \left(p_{i} x_{i} a\right), \quad i=1,3,5, \ldots, \infty,
\]

где $X_{i}$ – нормированные в соответствии с выражением (5.22) функции. Дифференцируя функцию $u_{0 \text { сн }}$, определяющую закон движения основания системы, дважды по времени, получим
\[
\ddot{u}_{\mathrm{OCH}}=\ddot{g}(t)=2 u_{1} / t_{1}^{2} .
\]

Тогда из выражения (5.47) получаем перемещення при относительном движении
\[
\begin{array}{c}
u^{*}=-\frac{4 u_{1}}{l t_{1}^{2}} \sum_{1=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \sin \frac{p_{i} x}{a} \int_{0}^{l} \sin \frac{p_{i} x}{a} d x \int_{0}^{t} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}= \\
=-\frac{8 u_{1}}{\pi t_{1}^{2}} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i p_{i}^{2}} \sin \frac{p_{i} x}{a}\left(1-\cos p_{i} t\right)= \\
=-\frac{32 l^{2} u_{1}}{\pi^{3} a^{2} t_{1}^{2}} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{2 l}\right),
\end{array}
\]

а из выражения (5.48) определяем общее перемещение
\[
u=\frac{u_{1}}{t_{1}^{2}}\left[t^{2}-\frac{32 l^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{2 l}\right)\right] .
\]

Пример 2. Предположим, что опоры показанного на рис. 5.7 стержня совершают простые гармонические движения в виде
\[
u_{\mathrm{OCH} 1}=g_{1}(t)=u_{1} \sin \omega_{1} t ; \quad u_{\mathrm{OCH} 2}=g_{2}(t)=u_{2} \sin \omega_{2} t ;
\]

здесь $u_{1}$ и $\ddot{u}_{2}$ – амплитуды колебательных движений соответственно левой и правой опор; $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – круговые частоты колебательных движений опор. Определить перемещения произвольной точки стержня при установившихся вынужденных колебаниях, обусловленных указанными независимыми движениями опор.

Решение. Поскольку оба конца показанного на рис. 5.7 стержня жестко закреплены, собственные частоты и нормированные формы колебаний применительно к данному случаю имеют вид
\[
p_{i}=i \pi a / l ; \quad X_{i}=\sqrt{2 / l} \sin \left(p_{i} x / a\right), \quad i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Из выражения (5.49) видно, что перемещения, обусловленные податливостью невесомого стержня:
\[
u_{\mathrm{c} \mathrm{T}}=\frac{l-x}{l} u_{1} \sin \omega_{1} t+\frac{x}{l} u_{2} \sin \omega_{2} t,
\]

тогда вторая производная этой функции по времени будет иметь вид
\[
\ddot{u}_{\mathrm{cT}}=-\frac{l-x}{l} \omega_{1}^{2} u_{1} \sin \omega_{1} t-\frac{x}{l} \omega_{2}^{2} u_{2} \sin \omega_{2} t .
\]

Возникающие при установившихся колебаниях динамические перемещения $u^{*}$ произвольной точки стержня относительно перемещения $u_{\text {ст }}$ находим из выражения (5.52), выполнив интегрирование по времени
\[
\begin{array}{c}
u^{*}=\frac{2}{l} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}^{2}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(\omega_{1}^{2} u_{1} \beta_{i 1} \sin \omega_{1} t \int_{0}^{t} \frac{l-x}{l} \sin \frac{i \pi x}{l} d x+\right. \\
\left.+\omega_{2}^{2} u_{2} \beta_{i 2} \sin \omega_{2} t \int_{0}^{l} \frac{x}{l} \sin \frac{i \pi x}{l} d x\right)= \\
=\frac{2 l^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left[\omega_{1}^{2} u_{1} \beta_{i 1} \sin ^{-} \omega_{1} t-(-1)^{i} \omega_{2}^{2} u_{2} \beta_{i 2} \sin \omega_{2} t\right],
\end{array}
\]

где $\beta_{i 1}=1 /\left[1-\omega_{1}^{2} / p_{i}^{2}\right] ; \beta_{i 2}=1 /\left[1-\omega_{2}^{2} / p_{i}^{2}\right]$.
Подставляя выражения (п) и (с) в выражение (5.53), найдем суммарное перемещение стержня
\[
\begin{array}{l}
u=\left[\frac{l-x}{l}+\frac{2 l^{2} \omega_{1}^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\beta_{i 1}}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\right] u_{1} \sin \omega_{1} t+ \\
+\left[\frac{x}{l}-\frac{2 l^{2} \omega_{2}^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i} \frac{\beta_{i 2}}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\right] u_{2} \sin \omega_{2} t
\end{array}
\]

ЗАДАЧИ

5.6.1. Стержень, конец $x=0$ которого свободен, а конец $x=l$ жестко закреплен, колеблется вследствие того, что основание совершает колебательное движение по гармоническому закону $u_{\text {осн }}=g(t)=d \sin \omega t$, где $d$ – амплитуда колебательного движения.
Определить динамические перемещения стержня при установившихся колебаниях при заданном движении основания.
Oтвет: $u_{i}^{n}=\left[1+\frac{16 l^{2} \omega^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{\beta_{i}}{i^{3}}(-1)^{(i-1) / 2} \cos \frac{i \pi x}{2 l}\right] d \sin \omega t$.
5.6.2. Определить динамические продольные перемещения стержня с жестко закрепленными концами при движении основания как абсолютно жесткого тела по закону $u_{\text {осн }}=g(t)=u_{1}\left(t / t_{1}\right)^{2}$.
Oтвет: $u=\frac{u_{1}}{t_{1}^{2}}\left[t^{2}-\frac{8 l^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{t=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right)\right]$.
5.6.3. Опора $x=0$ жестко закрепленного по обоим концам стержня совершает движение по закону $u_{\text {осні }}=g_{1}(t)=u_{1}\left(t / t_{1}\right)^{2}$, тогда как опора $x=l$ остается неподвижной. Определить возникающие при этих условиях продольные динамические перемещения стержня.
Omeem: $a=\frac{u_{1}}{t_{1}^{2}}\left[\frac{l-x}{l} t^{2}-\frac{4 l^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{l=1}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(1-\cos \frac{i \pi a t}{l}\right)\right]$.
5.6.4. Предположим, что опора на конце $x=l$ стержня, рассмотренного в задаче 5.6 .3 , совершает движение по закону
\[
u_{\text {осн } 2}=g_{2}(t)=u_{2}\left(t / t_{2}\right)^{3} .
\]
Определить те добавочные динамические продольные перемещения, обусловленные указанным движением, которые следует прибавить к перемещениям, найденным в задаче 5.6.3.
Omвem: $u=\frac{u_{2}}{t_{2}^{3}}\left[\frac{x}{l} t^{3}+\frac{12 l^{2}}{\pi^{3} a^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(-1)^{i}}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{l}\left(t-\frac{l}{i \pi a} \sin \frac{i \pi a t}{l}\right)\right]$.