Иногда удобнее использовать принцип сохранения энергии в колеблющихся системах, где не происходит рассеивания энергин. С помощью подобного подхода будет вновь получено уравнение движения при свободных колебаниях системы с одной степенью свободы и установлено равенство максимальных значений кинетической и потенциальной энергий при свободных колебаниях.

Используя энергетический подход, вновь проанализируем систему, состоящую из пружины с массой (см. рис. 1.1,a). Если снова пренебречь массой пружины, то кинетическую энергию системы можно представить в следующем виде:
\[
E_{\mathrm{K}}=\frac{W}{g} \frac{\dot{x}^{2}}{2} .
\]

Потенциальная энергия системы в этом случае состоит из двух частей: а) потенциальной энергии груза весом $W$, поскольку он располагается ниже положения равновесия как исходного состояния, и б) энергии деформации, накопленной в пружине при перемещении на величину $x$. Первая из указанных двух энергий выражается в следующем виде:
\[
E_{\mathrm{n}}=-W x .
\]

Для того чтобы подсчитать вторую часть энергии, рассмотрим представленную на рис. 1.11 диаграмму, описывающую изменение силы $S$ реакции пружины в зависимости от перемещения $x$. В состоянии равновесия сила реакции пружины равна $W$, при перемещении $x$ эта сила равна $W+k x$. Таким образом, энергия, накопленная в пружине при перемещении $x$,
\[
E_{\mathrm{c}}=W x+k x^{2} / 2 .
\]

Суммируя энергии (а), (б) и (в) и учитывая, что их сумма должна быть постоянной в соответствии с законом сохранения энергии, полу-
Рис 1.11,
чим
\[
\frac{W}{g} \frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}=\text { const. }
\]

Поскольку в правой части соотношения (г) стоит постоянная величина, скорость изменения во времени этой величины равна нулю; таким образом, имеем
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{W}{g} \frac{\dot{x}^{2}}{2}+\frac{k x^{2}}{2}\right)=0 .
\]

Выполнив в равенстве (д) дифференцирование и разделив результат;)

на $x$, получим уравнение движений, аналогичное приведенному в п. 1.1;
\[
(W / g) \ddot{x}+k x=0 .
\]

Если требуется найти только собственную частоту колеблющейся системы, то нет необходимости рассматривать полностью уравнение движения. Вместо этого можно рассмотреть колеблющийся груз, показанный на рис. 1.1, a, в состоянии покоя в одном из двух крайних положений; при этом суммарная потенциальная энергия
\[
E_{\mathrm{n} \max }=k x_{\max }^{2} / 2
\]

а кинетическая энергия равна нулю. С другой стороны, когда груз проходит состояние равновесия (при $x=0$ ), имея при этом максимальную скорость, его кинетическая энергия
\[
E_{\mathrm{r} \max }=\frac{W}{g} \frac{\dot{x}_{\text {max }}^{2}}{2} .
\]

В этом случае потенциальная энергия равна нулю. Поскольку полная энергия остается постоянной, максимальная кинетическая энергия, должна быть равна максимальной потенциальной энергии. В результате имеем
\[
E_{\mathrm{H} \max }=E_{\mathrm{nt} \max } .
\]

Это простое соотношение является полезным при определении собственной частоты или периода колебаний системы. Приравнивая для системы, изображенной на рис. 1.1, $a$, величины (ж) и (з), получим
\[
\frac{W}{g} \frac{\dot{x}_{\max }^{2}}{2}=\frac{k x_{\max }^{2}}{2} .
\]

Задавая гармоническое движение в форме, определяемой выражением (1.6): $x=A \cos (p t-\alpha) ; \dot{x}=-A p \sin (p t-\alpha)$, видим, что
\[
\dot{x}_{\max }=p x_{\max } .
\]

Подставляя выражение для $\dot{x}_{\max }$ в соотношение (и), найдем частоту $p=\sqrt{k g / W}$ и период колебания $\tau=$ $=2 \pi \sqrt{W /(k g)}$, аналогичные полученным ранее в п. 1.1. Использование соотношения (1.13) при расчете периода или частоты колебаний является особенно удобным в том случае, когда имеется не простая, подобная показанной на рис. 1.1, a система, а более сложная, состоящая из нескольких колеблющихся частей. Такие случаи рассмотрены в приводимых ниже примерах.

Пример 1. Измеритель перемещений союоит из корпуса, в котором находится груз весом $W$, установленный на пружине $k_{1}$ (рис. 1.12). Движения груза отнюетельно
2 тимошенко С. П. и др.

корпуса передаются стрелке $B O A$, вращающейся вокруг точки $O$ и соединенной с другой пружиной $k_{2}$, как показано на рисунке. Пренебрегая массой обеих пружин, вычислить период свободных колебаний системы при условии, что в ней имеет место простое гармоническое движение.

Решение. Пусть $\dot{x}_{\text {м }}$ — максимальная скорость груза $W$ при колебании. Тогда соответствующая угловая скорость стрелки $B O A$ будет $\dot{x}_{\mathrm{M}} / b$; если $I$ — момент инерции массы этой стрелки относительно точки $O$, то полная кинетическая энергия системы в равновесном положении
\[
E_{\mathrm{K} \max }=\frac{W}{g} \frac{\dot{x}_{\mathrm{M}}^{2}}{2}+\frac{I}{b^{2}} \frac{\dot{x}_{\mathrm{M}}^{2}}{2} .
\]

Когда система находится в крайнем положении, что определяется вертикальным перемещением $x_{\text {м }}$ груза $W$, на пружину $k_{2}$ будет действовать растягивающая сила $c x_{M} / b$; при этом полная потенциальная энергия системы
\[
E_{\text {п } \max }=\frac{1}{2} k_{1} x_{\mathrm{M}}^{2}+\frac{1}{2} k_{2}\left(\frac{c}{b}\right)^{2} x_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

Приравнивая согласно соотношению (1.13) выражения (к) и (л) и используя для случая простого гармонического движения равенство (1.14) $\dot{x}_{\mathrm{M}}=p x_{\mathrm{M}}$, найдем круговую частоту колебаний
\[
p=\sqrt{\frac{k_{1}+(c / b)^{2} k_{2}}{W / g+I / b^{2}}} .
\]

Период колебаний равен, соответственно, величине $2 \pi$, поделенной на правую часть выражения (м).

Пример 2. Обратный маятник состоит из шара весом $W$, укрепленного на конце абсолютно жесткого стержня $O A$ длиной $l$, который шарнирно закреплен в точке $O$ и поддерживается в вертикальном положении пружиной (рис. 1.13, a). Пренебрегая массами пружины и стержня $O A$, определить условие устойчивости и круговую частоту малых колебаний маятника в плоскости рисунка.
Рис, 1.13 —

Решение. Обозначим через $\varphi_{\text {м }}$ (рис. 1.13, б) амплитуду простого гармонического движения. В этом крайнем положении пружина имеет удлинение, приблизительно равное $a \varphi_{\mathrm{M}}$, а груз $W$ опускается вниз от своего положения равновесия на расстояние
\[
\Delta=l\left(1-\cos \varphi_{\mathrm{M}}\right) \approx \frac{1}{2} l_{\rho_{\mathrm{M}}^{2}}^{2} .
\]

Отсюда потенциальная энергия системы в ее крайнем положении
\[
E_{\Pi \max } \approx \frac{1}{2} k a^{2} \varphi_{\mathrm{M}}^{2}-\frac{1}{2} W \varphi_{\varphi_{\mathrm{M}}^{2}}^{2} .
\]

В вертикальном положении рис. $1.13, a$ ), где маятник имеет угловую скорость $\varphi_{\mathrm{m}}$, кинетическая энергия
Рис. 1.14

приближенно равна $0,5 I \varphi_{\mathrm{M}}^{2}$, где $I=W l^{2} / g$ момент инерции груза $W$ относительно точки $O$. Таким образом, имеем
\[
E_{\text {к max }}=\left(W l^{2} / 2 g\right) \varphi_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

Приравнивая выражения (о) и (п) и учитывая согласно (1.14), что $\dot{\varphi}_{\mathrm{M}}=p \varphi_{\mathrm{M}}$, найдем круговую частоту колебаний
\[
p=\sqrt{\frac{g}{l}\left(\frac{k a^{2}}{W l}-1\right)} .
\]

Қак видно из формулы (р), частота $p$ имеет действительное значение, если выполняется условие
\[
k a^{2}>W l \text {. }
\]

Если это условие не выполняется, вертикальное положение равновесия маятника будет неустойчивым.

Пример 3. Абсолютно твердый цилиндр круговой формы весом $W$ и радиусом $r$ перекатывается без трения по цилиндрической поверхности радиуса а (рис. 1.14). Предполагая, что перекатывающийся цилиндр совершает простое гармоническое движение, найти круговую частоту колебания $p$ при малых амплитудах смещения относительно положения равновесия.

Решение. Рассмотрим цилиндр в крайнем положении, определяемом углом $\varphi_{\text {м }}$ (см. рис. 1.14). В этом положении центр тяжести цилиндра поднимается от положения равновесия в направлении, противоположном действию силы тяжести, на величину
\[
(a-r)\left(1-\cos \varphi_{\mathrm{M}}\right) \approx(a-r) \varphi_{\mathrm{M}}^{2} / 2 .
\]

Тогда потенциальная энергия имеет вид
\[
E_{n \max }=\frac{1}{2} W(a-r) \varphi_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

В среднем положении точка контакта $A$ является мгнсвенным центром вращения цилиндра, поэтому при условии отсутствия трения мгновенная угловая скорость относительно этой точки
\[
\dot{\theta}_{\mathrm{M}}=\frac{a-r}{r} \varphi_{\mathrm{M}} .
\]

Тогда кинетическую энергию, которая равна $0,5 I_{A} \dot{\theta}_{\mathrm{M}}^{2}$, можно представить в виде
\[
E_{\text {К } \max }=\frac{1}{2} \frac{W}{g}-\frac{3 r^{2}}{2} \frac{(a-r)^{2}}{r^{2}} \varphi_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

Приравнивая выражения (у) и (х), получим следующее выражение для круговой частоты:
\[
p=\sqrt{\frac{2 g}{3(a-r)}} .
\]

ЗАДАЧИ
1.3.1. На рис. А.1.3.1 показан тяжелый маятник, ось вращения которого составляет малый угол $\beta$ с вертикалью. Определить частоту малых колебаний, учитывая только вес $W$ шара и предполагая, что масса шара сосредоточена в центре тяжести $C$. Считать, что трение в подшипниках отсутствует.
Oтвет: $p=\sqrt{\frac{\overline{\beta g}}{l}}$.
1.3.2. Определить собственную частоту колебаний системы, показанной на рис. 1.12, если $W=$ $=22,7 \mathrm{H}, \quad k_{1}=0,356 \cdot 10^{3} \mathrm{H} / \mathrm{M}, \quad k_{2}=1,79 \cdot 10^{3} \mathrm{H} / \mathrm{M}$, $b=0,102$ м, $c=0,051$ м. Стрелку $B O A$ рассматривать как тонкий, постоянного поперечного сечения стержень весом $W=1,82 \mathrm{H}$ и считать, что длина участка $O A$ стрелки равна 0,306 м.
Oтвет: $f=2,72 \mathrm{c}^{-1}$.
1.3.3. Когда в показанной на рис. $1.13, a$ системе
Рис. А.1.3.1 к верхнему концу вертикального стержня прикреплен груз весом $W_{1}=9,1 \mathrm{H}$, частота колебаний системы равна $1,5 \mathrm{c}^{-1}$. При установке груза весом $W_{2}=18,2 \mathrm{H}$ частота равна $0,75 \mathrm{c}^{-1}$. Какой минимальный вес должен иметь груз $W_{3}$, установка которого создает в системе условия неустойчивого равновесия? Весом стержня можно пренебречь.
Ответ: $W_{3}=27,3 \mathrm{H}$.
1.3.4. Определить круговую частоту $p$ колебаний системы, показанной на рис. 1.13 , $a$, если вертикальный стержень имеет общий вес $w l$, равномерно распределенный по его длине.
Omвeт : $p=\sqrt{\frac{g}{l}\left[\frac{3 k a^{2} / l}{3 W+w l}-\frac{3}{4}\left(\frac{4 W+2 w l}{3 W+w l}\right)\right]}$.
1.3.5. Для записи вертикальных колебаний используется прибор, схема которого показана на рис. 1.3.5: абсолютно жесткая рамка $A O B$ весом $W$ может по-
Рис. А.1.3.5
ворачиваться относительно оси $O$, перпендикулярной плоскости чертежа. Определить круговую частоту малых вертикальных колебаний груза, считая, что массами рамки и пружин можно пренебречь.
Omвem : $p=\sqrt{\frac{g\left[k_{1} a^{2}+k_{2}(a \operatorname{tg} \alpha)^{2}\right]}{W l^{2}}}$.
1.3.6. Призматический стержень $A B$ весом $W$ подвешен на двух вертикальных тросах (рис. A.1.3.6) и может совершать малые крутильные колебания в горизонтальной плоскости относительно оси, проходящей через середину пролета стержня
Рис. А.1.3.6
Рис. А.1.3.7

перпендикулярно плоскости чертежа. Определить круговую частоту этих колебаний.
Omsem $: p=\sqrt{\frac{3 g a^{2}}{l b^{2}}}$.
1.3.7. Полукруговой сегмент цилиндра совершает колебательные движения, перекатываясь без трения по горизонтальной плоскости (рис. А.1.3.7). Определить круговую частоту малых колебаний, если $r$ — радиус цилиндра, $c$ — координата центра тяжести, $i^{2}=I g / W$ — квадрат радиуса инерции относительно центральной оси.
Omвem: $p=\sqrt{\frac{c g}{i^{2}+(r-c)^{2}}}$.