Импульсные воздействия, рассмотренные в пп. 1.12 и 1.13, вызывали колебательные движения упругих систем; максимальные значения возникающих при этом перемещений могли быть или меньшими, или равными, или большими, чем соответствующие перемещения при статическом нагружении. В общем случае максимальное значение динамического перемещения зависит от характеристик системы и от природы нагрузки. Для системы с одной степенью свободы без демпфирования период (или частота) собственных колебаний является характеристикой, которая определяет характер поведения системы при действии заданной возмущающей силы. Кроме того, форма и длительность импульса возмущающей силы сами по себе оказывают важное влияние на характеристики системы. Графики зависимости максимальных значений перемещений от некоторых параметров системы или функции возмущающей силы называются частотной характеристикой. Такие зависимости представляют интерес для конструкторов, поскольку они позволяют предсказать отношение максимального значения динамического напряжения, возникающего в конструкции, к соответствующему статическому напряжению. Представляет интерес также и время, когда возникает максимальное значение динамического перемещения си-
Рис. 1.51

стемы, поэтому в данном параграфе будут обсуждаться как эта зависимость, так и частотная характеристика.

Рассмотрим импульс прямоугольной формы, показанный на рис. $1.51,a$ и уже подробно обсужденный в п. 1.12. В данном параграфе положим, что импульс прямоугольной формы длительностью $t_1=\tau /2$ таков, что способен вызвать максимальное значение перемещения $x_{\mathrm{m}}=2Q/k$. Это максимальное значение равно тому, что имеет место при внезапном приложении силы $Q_1$ бесконечной длительности (в виде ступенчатой функции). Таким образом, импульсу прямоугольной формы, длительность которого превышает $\tau /2$, всегда будет соответствовать перемещение, максимальное значение которого в 2 раза превышает перемещение системы при статическом нагружении. Используя обозначение
$$x_{\mathrm{cT}}=Q_1/k\text{, }$$

в указанном случае можем считать
$$x_{\mathrm{M}}/x_{\text{ст }}=2,t⩾\tau /2.$$

Если длительность импульса прямоугольной формы меньше, чем $\tau /2$, максимальное значение перемещения будет меньше, чем $2x_{\text{ст }}$. Примеры, иллюстрирующие сказанное, приведены на рис. 1.51, б, где представлены зависимости перемещений при $t_1=\tau /10$ и $t_1=$ $=2\tau /10$. Во всех подобных случаях перемещение приобретает максимальное значение после завершения действия импульса, поскольку скорость на интервале времени $t_1$ является положительной [см. выражение (ж) в п. 1.12 ]. Отсюда следует, что для нахождения максимального значения перемещения, а также момента времени, когда оно возникает, нужно рассмотреть выражение (1.67) для $t⩾t_1$. Это выражение можно переписать в безразмерной форме
$$\frac{x}{x_{\mathrm{cT}}}=\cos p(t-t_1)-\cos pt.$$

Дифференцируя это выражение по времени, получим
$$\frac{\dot{x}}{x_{\mathrm{c}\mathrm{T}}}=p[\sin pt-\sin p(t-t_1)].$$

Приравнивая выражение, стоящее в скобках, нулю, получим уравнение для времени $t_{\mathrm{m}}$ возникновения максимального значения перемещения

откуда находим
$$\sin p{t}_{\mathrm{M}}=\sin p(t_{\mathrm{M}}-t_1),$$
$$p{t}_{\mathrm{M}}=\frac{\pi }{2}+\frac{p{t}_1}{2}.$$

Из решения (е) следует, что время $t_{\mathrm{m}}$ линейно зависит от $t_1$. Кроме того, поскольку интерес представляют значения $p{t}_1$, относящиеся к области $0⩽p{t}_1⩽\pi$, то соответствующей областью для $p{t}_{\text{м }}$ является $\pi /2⩽p{t}_{\mathrm{m}}⩽\pi$. Подставляя выражение для $p{t}_{\mathrm{M}}$, получаемое из (е), вместо значений $pt$, стоящих в (в), найдем
$$\frac{x_{\mathrm{M}}}{x_{\mathrm{cT}}}=2\sin \frac{p{t}_1}{2}=\sqrt{2(1-\cos p{t}_1)}.$$

Выражение (ж) совпадает с выражением (3) из п. 1.12, которое было получено с помощью другого подхода. Таким образом, спектральная характеристика для импульсов прямоугольной формы может быть представлена в следующем виде:
при $0⩽t_1/\tau ⩽t/2$ имеем
$$\begin{array}{c}\frac{x_{\mathrm{M}}}{x_{\mathrm{c}T}}=2\sin \frac{\pi t_1}{\tau };\\ \frac{t_{\mathrm{M}}}{\tau }=\frac{1}{4}(1+\frac{2t_1}{\tau }),\end{array}$$

при $t_1/\tau ⩾1/2$ имеем
$$\begin{array}{l}\frac{x_{\mathrm{M}}}{x_{\mathrm{cT}}}=2;\\ \frac{t_{\mathrm{M}}}{\tau }=\frac{1}{2}.\end{array}$$

Графики безразмерных зависимостей $x_{\mathrm{M}}/x_{\text{ст }}$ и $t_{\mathrm{M}}/\tau$ от $t_{\mathbf{1}}/\tau$ представлены на рис. 1.52 , а и б. Из выражения (1.74a) видно, что если длительность импульса меньше, чем $\tau /6$, динамическое перемещение будет меньше обусловленного статическим приложением нагрузки. С другой стороны, если длительность импульса лежит между $\tau /6$ и $\tau /2$, отношение $x_{\mathrm{m}}/x_{\mathrm{cr}}$ располагается между 1 и 2 . Разумеется, когда $t_{\mathrm{i}}⩾\tau /2$, значение $x_{\mathrm{N}}/x_{\mathrm{c}\text{, }}$ всегда равно 2 .
Pис. 1.52
Рис. 1.53
В свете сказанного представляет интерес то обстоятельство, что график зависимоети коэффициента усиления для вынужденных колебаний представляет собой спектральную характеристику в соответствии с определением, приведенным в данном параграфе. На рис. 1.33 в п. 1.9 представлено семейство кривых зависимости $\beta =x_{\mathrm{M}}/x_{\text{ст }}$ от отношения частот $\omega /p$. Следует напомнить, что кривые относились только к установившейся части поведения системы и построены были для различных значений коэффициентов демпфирования. Если бы при этом были учтены неустановившиеся части перемещений при колебаниях, то кривые спектральных характеристик (см. рис. 1.33) располагались бы несколько выше, но незначительно. Более того, хотя демпфирование имеет большое значение в задачах о вынужденных колебаниях, оно часто не учитывается при рассмотрении спектральных характеристик, обусловленных импульсными воздействиями.

Низкие значения коэффициентов демпфирования имеют незначительное влияние на указанные максимальные амплитуды, которые возникают еще до того, как рассеется значительная часть энергии. Однако в семействе кривых, описывающих спектральные характеристики при демпфировании, каждая кривая, которая соответствует значению коэффициента демпфирования, может быть всегда построена для возмущающей силы произвольного вида. Для простых случаев это можно сделать, используя при решении соответствующие аналитические выражения для функций, но в более сложных случаях следует прибегать к численным подходам.

Пример 1. На рис. 1.53, a представлена функция, описывающая возмущающую силу, линейно изменяющуюся от нуля до $Q_1$ за время $t_1$, а затем остающуюся постоянной. Перемещение системы с одной степенью свободы и без демпфирования при действии указанной возмущающей „силы представляется в следующем виде (см. задачу 1.13 .2$):$ i
$$\begin{array}{c}x=\frac{Q_1}{k}(\frac{t}{t_1}-\frac{\sin pt}{p{t}_1});0⩽t⩽t_1;\\ x=\frac{Q_1}{k}[1+\frac{\sin p(t-t_1)-\sin pt}{p{t}_1}],t⩾t_1.\end{array}$$

Определить для указанного случая спектральные характеристики и соответствующие временные функции.

Решение. Из выражений (з) и (и) видно, что максимальное значение перемещения будет иметь место после времени $t_1$. Таким образом, здесь представляет интерес только выражение (и), которое перепишем в безразмерном виде
$$\frac{x}{x_{\mathrm{CT}}}=\frac{1}{p{t}_1}[p{t}_1+\sin p(t-t_1)-\sin pt].$$

Дифференцируя выражение (к) по времени, получим
$$\frac{\dot{x}}{x_{\mathrm{cT}}}=\frac{1}{t_1}[\cos p(t-t_1)-\cos pt]\text{. }$$

Полагая выражение, стоящее в квадратных скобках, равным нулю, получим уравнение относительно времени
$$\cos p{t}_{\mathrm{M}}=\cos p(t_{\mathrm{M}}-t_{\mathrm{L}}),$$

откуда найдем
$$p{t}_{\mathrm{M}}=\pi +\frac{p{t}_1}{2}.$$

Как и в ранее полученном случае, время $t_{\mathrm{M}}$ линейно зависит от $t_1$. Кроме того, из выражения (м) следует, что величина $p{t}_{\mathrm{M}}$ принимает значения в интервале $p{t}_{\mathrm{M}}>\pi$. Подставляя решение (н) в выражение (к), получим
$$\frac{x_{\mathrm{M}}}{x_{\mathrm{CT}}}=1+\frac{2}{p{t}_1}\sin \frac{p{t}_1}{2}=1\pm \frac{1}{p{t}_1}\sqrt{2(1-\cos p{t}_1)}.$$

Это выражение дает как максимальные, так и минимальные значения $x_{\mathrm{M}}/x_{\mathrm{c}\text{ т }}$, которые зависят от величины $p{t}_1$. Для максимальных значений этих величин в интервале $t⩾t_1$ имеем
$$\begin{array}{c}\frac{x_{\mathrm{M}}}{x_{\mathrm{ct}}}=1+\frac{\tau }{\pi t_1}|\sin \frac{\pi t_1}{\tau }|;\\ \frac{t_{\mathrm{M}}}{\tau }=\frac{1}{2}(1+\frac{t_1}{\tau }).\end{array}$$

На рис. 1.53, 6 и в представлены графики соответственно для выражений (п) и (р). Как видно из этой частотной характеристики (см. рис. 1.53,б), наибольшее значение $x_{\mathrm{M}}/x_{\mathrm{ct}}=2$ возникает при $t=0$, что соответствует случаю ступенчатой функции. При $t_1⩽\pi /4$ величина $x_{\mathrm{M}}/x_{\mathrm{c}}$ приблизительно равна 2 , что не намного отличается от случая ступенчатой функции. Поскольку практически невозможно получить равный нулю отрезок времени, интересно указать, что бесконечно малый, но конечный отрезок времени приводит практически к тому же результату. При $t_1⩾\tau$ величина $x_{\mathrm{M}}$ не намного превышает значение $x_{\mathrm{cT}}$, а при достаточно большом отрезке времени нагрузку, по существу, можно рассматривать как статическую.

Пример 2. Рассмотрим случай импульса прямоугольной формы (см. рис. 1.51,a), воздействующего на систему с одной степенью свободы и демпфированием (см. рис. $1.42,a$ ). Указанную функцию для возмущающей силы можно представить в виде суммы ступенчатой функции (равной $Q_1$ ), заданной в момент времени $t=0$, и второй ступенчатой функции (равной $-Q_1$ ), заданной в момент времени $t=t_1$. Таким образом, безразмерные перемещения (при $t⩾t_1$ ) системы с демпфированием могут быть описаны выражением (см. пример 3 из п. 1.12)
$$\begin{array}{c}\frac{x}{x_{\mathrm{CT}}}=e^{-n(t-t_1)}[\cos p_{\text{Д }}(t-t_1)+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{д }}(t-t_1)]-\\ -e^{-nt}(\cos p_{\text{д }}t+\frac{n}{p_{\text{д }}}\sin p_{\text{д }}t).\end{array}$$

Требуется получить выражения для частотной характеристики и времени возникновения максимальных значений перемецений.

Pешение. Выражение (с) можно упростить, используя тригонометрические формулы, и тогда после преобразований получим
$$\frac{x}{x_{\mathrm{cT}}}=e^{-nt}(A\cos p_{\mathrm{It}}t+B\sin p_{\mathrm{D}}t),$$

где
$$\begin{array}{c}A=e^{n{t}_1}(\cos p_{\text{Д }}{t}_1-\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}{t}_1)-1;\\ B=e^{n{t}_1}(\sin p_{\text{Д }}{t}_1-\frac{n}{p_{\text{Д }}}\cos p_{\text{Д }}{t}_1)-\frac{n}{p_{\text{Д }}}.\end{array}$$

Дифференцируя выражение (т) по времени и приравнивая результат нулю, найдем
$$\begin{array}{c}{t}_{\mathrm{M}}=\frac{1}{p_{\text{Д }}}\mathrm{arctg}\left(\frac{p_{\text{Д }}B-nA}{p_{\text{Д }}A-nB}\right);\\ \sin p_{\text{д }}{t}_{\mathrm{M}}=\frac{p_{\text{Д }}B-nA}{C};\cos p_{\text{Д }}{t}_{\mathrm{M}}=\frac{p_{\text{Д }}A+nB}{C},\end{array}$$

где $C=(p_{\text{д }}^2+n^2)(A^2+B^2)$.
Подставляя представления (ц) в выражение (т), после приведения подобных членов получим
$$\frac{x}{x_{\mathrm{CT}}}=e^{-n{t}_{\mathrm{M}}}\sqrt{1+e^{2n{t}_1}-2e^{n{t}_1}\cos p_{\text{д }}{t}_1}.$$

Когда постоянная демпфирования полагается равной нулю, выражение (ч) принимает тот же вид, что и (ж) для случая отсутствия демпфирования.

Описанные в данном параграфе примеры приводят к простым выражениям для отношений $t_{\mathrm{M}}/\tau$ и ${\dot{x}}_{\mathrm{M}}/x_{\mathrm{c}}$, но не следует забывать, что они относятся к исключительным случаям. В общем же случае трудно определить интервал времени, в течение которого возникнет максимальное значение перемещений в системе. Кроме того, уравнение относительно отношения $t_{\mathrm{M}}/\tau$ может быть решено простыми способами. Поэтому значения $x_{\mathrm{M}}/x_{\mathrm{ct}}$ и $t_{\mathrm{M}}/\tau$ надо получать с помощью метода последовательных приближений, задавая последовательные значения для безразмерного времени $t_1/\tau$. Для каждого значения $t_1/{\tau }_1$ можно построить график зависимости $x/x_{\text{ст }}$ от $t/\tau$, откуда получить значения $x_{\mathrm{M}}/x_{\mathrm{c}\text{ т }}$ и $t_{\mathrm{M}}/\tau$.

ЗАДАЧИ

1.14.1. Построить графики для частотной характеристики и времени $t_{\mathrm{M}}/\tau$ появления максимальных значений перемещений в зависимости от $t_1/\tau$ для показанной на рис. А.1.14.1 функции возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.13.1).
1.14.2. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.2 функции возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.12.4).
Рис. А.1.14.1
Рис. A.1.14.2
1.14.3. Задачу 1.14 .1 решить для показанной на рис. А.1.14.3 функции возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.13.4).
1.14.4. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. А.1.14.4 функции возмущающей силы (представление для перемещений взять из задачи 1.12.3).
Рис. А.1.14.3
Рис. А.1.14.4
1.14.5. Задачу 1.14 .1 решить для показанной на рис. А.1.14.5 параболической функции вида $Q=Q_1{t}^2/t_1^2$ (представление для перемещений взять из задачи 1.13.6).
1.14.6. Задачу 1.14 .1 решить для показанной на рис. А.1.14.6 параболической функции возмущающей силы вида $Q=Q_1(1=t^2/t_1^2$ ) (представление для перемещений взять из задачи 1.12 .5 ).
Рис. А.1.14.5
Рис. А.1.14.6
1.14.7. Задачу 1.14 .1 решить для показанной на рис. А.1.14.7 тригонометрической функции возмущающей силы вида $Q=Q_1\cos \pi t/\left(2t_1\right)$ (представление для перемещений взять из задачи 1.13.7).
1.14.8. Задачу 1.14.1 решить для показанной на рис. A.1.14.8 тригонометрической функции возмущающей силы вида $Q=Q_1\sin \pi t/\left(2t_1\right)$ (представление для перемещений при $0⩽t⩽2t_1$ взять из задачи 1.12 .7 ; причем эту формулу надо получить также для времени $t⩾2t_1$ ).
1.14.9. Построить график для безразмерных перемещений $x/x_{\text{ст }}$ и для времени $t_{\mathrm{M}}/t$ появления максимальных значений перемещений в зависимости от $t_1/\tau$ для рассмотренного в примере 2 случая с демпфированием, взяв коэффициент демпфирования $\gamma =0,1$.