Во многих важных для практики задачах функции, описывающие возмущающие силы, не удается выразить в аналитическом виде, поэтому их представляют либо в виде набора точек на диаграмме, либо в виде таблиц. В подобных случаях иногда можно аппроксимировать исходные данные с помощью формул, применяемых в методах построения кривых по точкам, и затем подставлять полученные зависимости в интеграл Дюамеля. Однако более общий подход для определения динамического поведения систем состоит в использовании некоторых простых интерполяционных функций в периодически повторяющихся сериях вычислений. Последний упомянутый метод численного исследования и будет обсуждаться в данном параграфе применительно к нескольким типам интерполирующих функций.

Предположим, что на систему с одной степенью свободы с демпфированием (рис. 1.54) действует сила $Q$, изменяющаяся во времени некоторым произвольным образом, аналогичным показанному на рис. 1.55. Эту непрерывную функцию, описывающую возмущающую силу, можно приближенно представить в виде набора ступенчатых функций с различными значениями в различные моменты времени, как показано на рис. 1.55. Первое значение ступенчатой функции равно $\mathrm{\Delta }{Q}_0$ в момент времени $t=0$, второе $-\mathrm{\Delta }Q$ в момент времени
Рис. 1.55

$t=t_1$ и т. д. В произвольный интервал времени $t_{i-1}⩽t<t_i$ динамическое поведение системы при воздействии возмущающей силы, представляемой указанной ступенчатой функцией, можно описать выражением (вм. пример 3 из п. 1.12)
$$x=\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{i-1}\mathrm{\Delta }{Q}_j\{1-e^{-n(t-t_i)}[\cos p_{\overline{\text{AA}}}(t-t_j)+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\overline{Д}}(t-t_j)]\}.$$

В момент времени $t_i$ это перемещение
$$\begin{array}{c}{x}_i=\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{i-1}\mathrm{\Delta }{Q}_j\{1-e^{-n(t_i-t_j)}[\cos p_{\text{Д }}(t_i-t_j)+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{д }}\times \\ \times (t_i-t_j)]\}\end{array}$$

что в случае отсутствия демпфирования дает
$$x=\frac{1}{k}\sum _{j=0}^{i-1}\mathrm{\Delta }{Q}_j[1-\cos p(t_i-t_j)]$$

В данном методе величина $\mathrm{\Delta }{Q}_i$ некоторой типичной степени может быть либо положительной, либо отрицательной, что зависит от угла наклона касательной к рассматриваемой кривой. Для получения достаточной точности в рассматриваемом методе следует выбирать достаточно малые шаги и самокомпенсирующиеся погрешности площади области, лежащей под графиком функции, описывающей возмущающую силу. Речь идет о том, чтобы заштрихованные площади на рис. 1.55, лежащие выше кривой, были примерно равны незаштрихованным площадям, лежащим ниже кривой. Использование такого приема означает, что каждый (после первого) шаг начинается в момент времени, когда ордината кривой равна средней высоте ординат на заданном шаге. Это можно видеть на рисунке. Разумеется, если функция, описывающая силу, представляет импульс, действительно ограниченный горизонтальной и вертикальными линиями, то метод приведет к точному результату.

Другой метод состоит в использовании линий, параллельных осям координат (рис. 1.56). В этом случае кривая аппроксимируется рядом импульсов прямоугольной формы, различной величины и длительности. Для получения достаточной точности величина $Q_i$ типичного импульса должна быть выбрана такой, чтобы она равнялась ординате кривой в середине временного интервала $\mathrm{\Delta }{t}_i$, как показано на рис. 1.56. В произвольный интервал времени $t_{i-1}⩽t⩽t_i$ реакцию системы с одной степенью свободы с демпфированием можно вычислить, представив ее как сумму влияний начальных условий
Рис. 1.56

в момент времени $t_{i-1}$ и влияния импульса, действующего на интервале времени $\mathrm{\Delta }{t}_i$, что дает
$$\begin{array}{rl}x=& e^{-n(t-t_{i-1})}[x_{i-1}\cos p_{\text{Д }}(t-t_{i_{-1}})+\frac{{\dot{x}}_{i-1}+n{x}_{i_{-1}}}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})]+\\ & +\frac{Q_i}{k}\{1-e^{-n(t-t_{i-1})}[\cos p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})]\}.\end{array}$$

В конце интервала это выражение принимает вид
$$\begin{array}{c}{x}_i=e^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}[x_{i_{-1}}\cos p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}+n{x}_{i_{-1}}}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i]+\frac{Q_i}{k}\times \\ \times [1-e^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}(\cos p_{\text{дД }}\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i)],\end{array}$$

что в случае отсутствия демпфирования дает
$$x_i=x_{i-1}\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}}{p}\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{Q_i}{k}(1-\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i).$$

Кроме того, можно найти скорость ${\dot{x}}_i$ в конце интервала времени, которая, будучи поделенной на частоту $p$, имеет вид
$$\frac{{\dot{x}}_i}{p}=-x_{i-1}\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}}{p}\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{Q_i}{k}\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i.$$

Выражения (1.76в) и (1.76г) представляют собой рекуррентные формулы для определения динамического перемещения системы при

отсутствии демпфирования в конце $i$-го шага и тем самым начальных условий в начале шага ( $i+1)$. Последовательно используя эти формулы, можно проследить, как изменяются во времени перемещения и скорость системы с одной степенью свободы, но больший интерес представляет перемещение *.

Полученные выше рекуррентные формулы (1.76в) и (1.76г) позволяют находить перемещения в конце $i$-го интервала времени путем последовательных вычислений. Другой подход заключается в определении перемещений (в момент времени $t_i$ ) при действии всех предыдущих импульсов прямоугольной формы. Для случая колебаний без демпфирования данный подход основывается на использовании следующей формулы:
$$\begin{array}{c}{x}_i=x_0\cos p{t}_i+\frac{{\dot{x}}_0}{p}\sin p{t}_i+\frac{1}{k}\sum _{j=1}^i{Q}_j[\cos p(t_i-t_j)-\\ -\cos p(t_i-t_{j-1})].\end{array}$$

Поскольку в последнем слагаемом формулы (1.76д) необходимо производить суммирование членов ряда, при использовании этой формулы требуется выполнять большее число арифметических операций, чем по формулам (1.76в) и (1.76г). Поэтому с целью облегчения проведения расчетов при определении окончательного вида зависимости перемещений от времени предпочтительнее использовать выражения (1.76в) и (1.76г). Однако, если требуется определить только перемещения в конкретное время, то лучше выбрать формулу (1.76д).

При использовании интерполяции кусочно-постолнного типа, описанной выше, не всегда удобно делать равными погрешности площади областей, лежащих над графиком функции возмущающей силы и под ним. Более грубым подходом является выбор ординат кривой, относящихся к началу (или концу) интервала времени, в качестве значения импульса прямоугольной формы (или ступенчатой функции). При этом для сохранения заданной точности решения может потребоваться большее число шагов по времени, и при вычислении может стать значительной ошибка округленил. Для того чтобы избежать указанных трудностей, можно воспользоваться интерполирующими функциями более высокого порядка. На рис. 1.57 показан логически вытекающий из сказанного способ представления импульсного возмущения с помощью наклонных линий и вертикальных полос. Для этой интерполяции кусочно-линейного типа переме-
Рис. 1.57
щение системы с одной степенью свободы и демпфированием на интервале времени может быть представлено в следующем виде:
$$\begin{array}{l}x=e^{-n(t-t_{i-1})}[x_{i-1}\cos p_{\text{Д }}(t-t_{i_{-1}})+\frac{{\dot{x}}_{i_{-1}}+n{x}_{i-1}}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})]+\\ +\frac{Q_{i-1}}{k}\{1-e^{-n(t-t_{i-1})}[\sin p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})]\}+\\ +\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_i}{k\mathrm{\Delta }{t}_i}\{t-t_{i-1}-\frac{2n}{p^2}+e^{-n(t-t_{i-1})}[\frac{2n}{p^2}\cos p_{\text{д }}(t-t_{i_{-1}})-\\ -\frac{p_{\text{Д }}^2-n_i^2}{p^2{p}_{\text{д }}}\sin p_{\text{Д }}(t-t_{i-1})]\},\end{array}$$

где $\mathrm{\Delta }Q=Q_i-Q_{i-1}$. Последнее слагаемое выражения (1.77a) переписано из решения для задачи о колебаниях с демпфированием, когда возмущающая сила описывается линейной функцией (см. задачу 1.12.9). В конце $i$-го интервала времени выражение (1.77a) будет иметь форму
$$\begin{array}{l}{x}_i=e^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}[x_{i_{-1}}\cos p_{\text{д }}\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}-n{x}_{i-1}}{p_{\text{д }}}\sin p_{\text{д }}\mathrm{\Delta }{t}_i]+\frac{Q_{i_{-1}}}{k}\times \\ \times [1-e^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}(\cos p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{n}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{д }}\mathrm{\Delta }{t}_i)]+\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_i}{k\mathrm{\Delta }{t}_i}[\mathrm{\Delta }{t}_i-\frac{2n}{p^2}+\\ +e^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}(\frac{2n}{p^2}\cos p_{\text{д }}\mathrm{\Delta }{t}_i-\frac{p_{\text{Д }}^2-n^2}{p^2{p}_{\text{д }}}\sin p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i)].\end{array}$$

Если демпфированием пренебречь, из этого выражения получим
$$\begin{array}{c}{x}_i=x_{i-1}\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}}{p}\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{Q_{i-1}}{k}(1-\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i)+\\ +\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_i}{pk\mathrm{\Delta }{t}_i}(p\mathrm{\Delta }{t}_i-\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i)\end{array}$$

откуда находим выражение для скорости
$$\begin{array}{c}\frac{{\dot{x}}_i}{p}=-x_{i-1}\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}}{p}\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{Q_{i-1}}{k}\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_i}{pk\mathrm{\Delta }{t}_i}\times \\ \times (1-\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i)\end{array}$$

Выражения (1.77в) и (1.77г) представляют собой рекуррентные формулы, аналогичные формулам (1.76в) и (1.76г) для импульса прямоугольной формы. Для того чтобы определить перемещение только в момент времени $t_i$ для случая отсутствия демпфирования при кусочно-линейной интерполяции, можно взять следующий вариант формулы:
$$\begin{array}{c}-x_i=x_0\cos p{t}_i+\frac{{\dot{x}}_0}{p}\sin p{t}_i+\frac{1}{k}\sum _{j=1}^i\{Q_{j—1}[\cos p(t_i-t_j)-\\ -\cos p(t_i-t_{j-1})]+\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_j}{k\mathrm{\Delta }{t}_j}[\mathrm{\Delta }{t}_j\cos p(t_i-t_j)+\frac{1}{p}\sin p(t_i-t_j)-\\ -\frac{1}{p}\sin p(t_i-t_{j-1})]\}\end{array}$$

где последняя группа слагаемых взята из задачи 1.13.4.
Пример 1. На рис. $1.58,a$-2 показаны четыре различных способа представления функции возмущающей силы с использованием вертикальных полос. На всех
Рис. 1.58
Рис. 1.59
Рис. 1.60

этих рисунках применяются постоянные шаги по времени $\mathrm{\Delta }t=t_1/10$. Первые три случая относятся к импульсам прямоугольной формы, тогда как последний к импульсу трапецеидальной формы (с использованием кусочно-линейной интерполяции). В подходах, к которым относятся рис. $1.58,a-\epsilon$, величины импульсов определялись значениями ординат кривой соответственно в начале, конце и середине шага. Для удобства сравнения указанных случаев была выбрана описываемая уравнением
$$Q=Q_1\cos \left[\pi t/\left(2t_1\right)\right]$$

кривая, для которой известно точное решение при отсутствии демпфирования (см. задачу 1.13.7):
$$x=\frac{Q_1}{k}(\cos \frac{\pi t}{2t_1}-\cos \frac{2\pi t}{\tau })\beta$$

где
$$\beta =1/[1-{\left(\tau /4t_1\right)}^2].$$

В качестве специального случая положим $t_1=\tau /2$, и тогда выражение (б) примет вид
$$x=\frac{4Q_1}{3k}(\sin \frac{\pi t}{2t_1}-\cos \frac{\pi t}{t_1}).$$

Вычислить и представить графически изменения перемещений во времени для системы при колебаниях без демпфирования на интервале времени $0⩽t<t_1$ для четырех способов представления кривых, показанных на рис. 1.58, a-2. Предполагается, что начальные условия при $t=0x_0=0$ и ${\dot{x}}_0=0$ и что величины $Q_1$ и $k$ равны единице.

Решение. Для первых трех случаев воспользуемся выражениями (1.76в) и (1.76г); в свою очередь, выражения (1.77в) и (1.77г) применимы для случая 4. Согласно исходным параметрам в этом примере имеем $\mathrm{\Delta }{t}_i=\tau /20,p\mathrm{\Delta }{t}_i=\pi /10=$ $=18,\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i=0,951,\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i=0,309,1-\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i=0,0489,p\mathrm{\Delta }t-\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i=$ $=0,00514$.
Полученные решения удобнее представить в табличной форме, поэтому в табл. 1.1 приведены все шаги вычислений для первого случая.

Вначале можно заполнить первые шесть столбцов в таблице, поместив начальные значения $x_0$ и ${\dot{x}}_0/p$ (в данном примере равные нулю) на первой строке столбцов

1.1. Решение для случая 1 из примера 1

с номерами соответственно 11 и 12. Тогда величины для второй строки столбцов 7-10 подсчитываем по следующим формулам:
$$\begin{array}{cc}\text{ столбец }7& x_0\cos p\mathrm{\Delta }{t}_1=0;\\ \text{ столбец }8& x_0\sin p\mathrm{\Delta }{t}_1=0;\\ \text{ столбец }9\mathrm{\%}& \left({\dot{x}}_0/p\right)\cos p\mathrm{\Delta }{t}_1=0;\\ \text{ столбец }10\left({\dot{x}}_0/p\right)\sin p\mathrm{\Delta }{t}_2=0.\end{array}$$

1.2. Перемещения для примера 1

В этой точке величины $x_1$ и ${\dot{x}}_1/p$ можно подсчитать по выражениям (1.76в) и (1.76r), после чего подставить соответственно в столбцы 11 и 12; при этом имеем
$$\begin{array}{l}\text{ столбец }11=\text{ столбец }5+\text{ столбец }7+\text{ столбец }10;\\ \text{ столбец }12=\text{ столбец }6-\text{ столбец }8+\text{ столбец }9.\end{array}$$

Все последующие строки таблицы записываем по тем же правилам, что и для первой строки.

Аналогичным образом можно рассмотреть остальные три случая из данного примера, полученные таким образом для всех четырех случаев перемещения. Их точные значения приведены в табл. 1.2. Графики, построенные по полученным результатам, приведены на рис. 1.59, где сплошной линией представлено точное решение. Қак и следовало ожидать, кривая, относяцаяся к случаю 1 (см. рис. $1.58,a$ ), лежит выше кривой для точного решения, тогда как в случае 2 (см. рис. 1.58, б) — кривая лежит ниже точного решения; в случаях 3 и 4 (см. рис. 1.58 , в и а) эти кривые практически совпадают с точным решением, но из сопоставления числовых данных из табл. 1.2 следует, что оба способа интерполяции дают значения, несколько меньшие, чем точные.

Пример 2. Пусть система с одной степенью свободы без демпфирования имеет жесткость пружины $k=1,787\cdot {10}^3\mathrm{H}/$ м и период собственных колебаний $\tau =1,2\mathrm{c}$. Возмущающая сила $Q$ изменяется во времени так, как показано на рис. 1.60, $a$. Числовые данные для силы $Q$ приведены в столбце 3 табл.1.3. Как видно из рис. $1.60,a$, в качестве интерполирующей выбрана кусочно-постоянная функция с постоянным шагом по времени $\mathrm{\Delta }{t}_i=0,1$ с. В качестве значения каждого импульса прямоугольной формы выбрано значение ординаты кривой в середине шага. Кроме того, предполагается, что начальные условия в данной задаче: $x_0=0$ и ${\dot{x}}_0=0$ при $t=0$. Вычислить и построить график перемещения системы на интервале времени $0⩽t⩽1,6$ с.

Решение. В рассмотренном примере имеем $\mathrm{\Delta }{t}_i/\tau =1/12,p\mathrm{\Delta }{t}_i=\pi /6={30}^{\circ }$, $\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i=0,866,\sin p\mathrm{\Delta }{t}_i=0,5,1-\cos p\mathrm{\Delta }{t}_i=0,134$. В табл. 1.3 приведены все этапы вычислений, а на рис. $1,60,6$ построен график зависимости перемещения от времени.

1.3. Решения для примера 2

ЗАДАЧИ*

1.15.1. Определить выражение для скорости ${\dot{x}}_i$, поделенной на частоту $p$, для случая, когда реакция системы при колебаниях без демпфирования определяется выражением (1.76д).
Oтвет:
$$\begin{array}{c}\frac{x_i}{p}=-x_0\sin p{t}_i+\frac{{\dot{x}}_0}{p}\cos p{t}_i+\frac{1}{k}\sum _{j=1}^i{Q}_j[-\sin p(t_i-t_j)+\\ +\sin p(t_i-t_{j-1})].\end{array}$$
1.15.2. Определить выражение для скорости ${\dot{x}}_i$, поделенной на частоту $p$, для случая, когда реакция системы при колебаниях без демпфирования определяется выражением (1.77д).
Ответ:
$$\begin{array}{c}\frac{{\dot{x}}_i}{p}=-x_0\sin p{t}_i+\frac{{\dot{x}}_0}{p}\cos p{t}_i+\frac{1}{k}\sum _{j=1}^i\{Q_{j—1}[-\sin p(t_i-t_j)+\\ +\sin p(t_i-t_{j-1})]+\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_j}{k\mathrm{\Delta }{t}_j}[-\mathrm{\Delta }{t}_j\sin p(t_i-t_j)+\frac{1}{p}\cos p\times \\ \times (t_i-t_j)-\frac{1}{p}\cos p(t_i-t_{j-1})]\}.\end{array}$$
1.15.3. Получить выражение, аналогичное (1.75в) для кусочно-линейной интерполяционной функции, используемой для представления импульсного воздействия с помощью горизонтальных полос (см. задачу 1.13.2).
Omвer:
$$\begin{array}{c}{x}_i=\frac{1}{k}\{\mathrm{\Delta }{Q}_0(1-\cos p{t}_i)+\sum _{j=1}^i\frac{\mathrm{\Delta }{Q}_j}{\mathrm{\Delta }{t}_j}[\mathrm{\Delta }{t}_j+\frac{1}{p}\sin p(t_i-t_j)-\\ -\frac{1}{p}\sin p(t_i-t_j)]\}.\end{array}$$
1.15.4. Определить выражение для скорости ${\dot{x}}_i$, поделенной на частоту $p_{\text{д, }}$, для случая, когда перемещение системы при колебаниях с демпфированием представляется выражением (1.76б).
Omвem:
$$\begin{array}{c}\frac{{\dot{x}}_i}{p_{\text{Д }}}=e^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}[-x_{i-1}\sin p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}+n{x}_{i-1}}{p_{\text{Д }}}\cos {\rho }_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i-\frac{n}{p_{\text{Д }}}\times \\ \times (x_{i-1}\cos p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i+\frac{{\dot{x}}_{i-1}+n{x}_{i-1}}{p_{\text{Д }}}\sin p_{\text{д }}\mathrm{\Delta }{t}_i)]+\frac{Q_i}{k}{e}^{-n\mathrm{\Delta }{t}_i}(1+\frac{n^2}{p_{\text{Д }}^2})\times \\ \times \sin p_{\text{Д }}\mathrm{\Delta }{t}_i.\end{array}$$
1.15.5. Получить самостоятельно результаты, приведенные для случая 2 в табл. 1.2 (см. пример 1). При повторных применениях выражений (1.76в) и (1.76r) использовать форму, аналогичную табл. 1.1.
1.15.6. Получить самостоятельно результаты, приведенные для случая 3 в табл. 1.2 (см. пример 1). При повторных применениях выражений (1.76в) и (1.76г) использовать форму, аналогичную табл. 1.1.
1.15.7. Получить самостоятельно результаты, приведенные для случая 4 в табл. 1.2 (см. пример 1). При повторных применениях выражений (1.77в) и (1.77г) использовать форму, аналогичную табл. 1.1, но с дополнительными столбцами.
1.15.8. Используя показанный на рис. 1.56 метод кусочно-постоянной интерполяции, определить и построить график для перемещения в системе с одной степенью свободы и без демпфирования, на которую действует возмущающая сила, представляемая функцией в задаче 1.12.7. Использовать постоянный по времени шаг $\mathrm{\Delta }{t}_i=t_1/10$ и рассмотреть отрезок времени $0⩽t⩽t_1$. Начальные условия суть $x_0={\dot{x}}_0=0$, величины $Q_1$ и $k$ равны единице. Сравнить полученные результаты с точным решением этой задачи, считая, что $t_1=\tau /2$.
Oтвет: $x_{10}=4/3$ (точное значение).
1.15.9. Задачу 1.15 .8 решить, используя метод кусочно-линейной интерполяции, показанной на рис. 1.57.
1.15.10. Задачу 1.15 .8 решить, используя для функции, описывающей возмущающую силу, выражение из задачи 1.12.8.
Oтвет: $x_{10}=2/3$ (точное значение).
1.15.11. Задачу 1.15 .10 решить, используя метод кусочно-линейной интерполяции, показанный на рис. 1.57.
1.15.12. Используя показанный на рис. 1.57 метод кусочно-линейной интерполяции, для описанной в примере 2 системы определить и построить график (на отрезке времени $0⩽t⩽1,0$ ) зависимости перемещений реакции от времени при действии возмущающей силы, заданной ниже:
Ответ: $6,93\cdot {10}^{-2}\mathrm{m}$.