В п. 3.1 для двухмассовой системы, показанной на рис. 3.1, $a$, были получены выражения для собственных частот и форм при свободных колебаниях без демпфирования. Эту же задачу рассмотрим вновь с помощью более формального подхода, позволяющего полу-

чить выражения, применимые ко всем колеблющимся системам с двумя степенями свободы. Будут рассмотрены уравнения движения как в усилиях, так и в перемещениях, и обсуждено получение произвольных постоянных при задании начальных условий в виде перемещений и скоростей. Кроме того, будут проанализированы и проиллюстрированы примерами несколько специальных тем, относящихся к вопросу свободных колебаний. Если к двухмассовой системе, показанной на рис. 3.1, $a$, не приложены нагрузки, уравнения движения в усилиях (3.6) представим в форме
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S X}=\mathbf{0},
\]

где через $\mathbf{0}$ обозначена матрица нулевых нагрузок. При обсуждениях в данном параграфе будем рассматривать только диагональные матрицы масс (как это имеет место в случае, показанном на рис. $3.1, a$ ), тогда уравнение (3.17) в развернутом виде будет иметь вид
\[
\left[\begin{array}{cc}
M_{11} & 0 \\
0 & M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}
S_{11} & S_{12} \\
S_{21} & S_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Предположим, что этой системе однородных уравнений удовлетворяют гармонические решения вида, введенного ранее в п. 3.1, а именно:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=x_{\mathrm{M} 1} \sin (p t+\varphi) ; \\
x_{2}=x_{\mathrm{M} 2} \sin (p t+\varphi) .
\end{array}
\]

В представлениях (а) и (б) через $x_{\text {м1 }}$ и $x_{\mathrm{M} 2}$ обозначены максимальные значения, или амплитуды, колебательных движений.

Подставляя представления (а) и (б) в уравнения (3.18), получим систему алгебраических уравнений
\[
\begin{array}{l}
-p^{2} M_{11} x_{\mathrm{M} 1}+S_{11} x_{\mathrm{M} 1}+S_{12} x_{\mathrm{M} 2}=0 ; \\
-p^{2} M_{22} x_{\mathrm{M} 2}+S_{21} x_{\mathrm{M} 1}+S_{22} x_{\mathrm{M} 2}=0,
\end{array}
\]

или в матричной форме
\[
\left[\begin{array}{cc}
S_{11}-p^{2} M_{11} & S_{12} \\
S_{21} & S_{22}-p^{2} M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{\mathrm{M} 1} \\
x_{\mathrm{M} 2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Чтобы существовали ненулевые решения для перемещений, определитель уравнений (д) должен равняться нулю, что дает
\[
\left|\begin{array}{cc}
S_{11}-p^{2} M_{11} & S_{12} \\
S_{21} & S_{22}-p^{2} M_{22}
\end{array}\right|=0 .
\]

Разложение этого определителя имеет вид
\[
\left(S_{11}-p^{2} M_{11}\right)\left(S_{22}-p^{2} M_{22}\right)-S_{12}^{2}=0
\]

или
\[
M_{11} M_{22}\left(p^{2}\right)^{2}-\left(M_{11} S_{22}+M_{22} S_{11}\right) p^{2}+S_{11} S_{22}-S_{12}^{2}=0 .
\]

Это характеристическое уравнение является квадратным относительно $p^{2}$ и его корни представляют характеристические значения для этой системы. Решая уравнение (з) по формулам для квадратного алгебраического уравнения, найдем
\[
p_{1,2}^{2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
a=M_{11} M_{22} ; \quad b=-\left(M_{11} S_{22}+M_{22} S_{11}\right) ; \\
c=S_{11} S_{22}-S_{12}^{2}=|S| .
\end{array}
\]

Подставляя значения (и) в подкоренное выражение $b^{2}-4 a c$ из решения (3.19), видим, что оно всегда положительно, поэтому корни $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$ являются действительными числами. Далее, если определитель матрицы $S$, равный постояниой величине $c$, не отрицателен, то корень квадратный будет меньше или равен $b$, поэтому оба корня $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$ будут положительными (ни равны нулю). Подставляя характеристические значения $p_{1}^{\prime}$ и ро в однородные уравнения (в) и (г), можно записать решения как отюшения $r_{1}$ и $r_{2}$ амплитуд
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,1}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}-\frac{-S_{12}}{S_{11}-p_{1}^{2} M_{11}}=\frac{S_{1}-p_{1} M_{2}}{-S_{21}} ; \\
r_{2}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,2}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}=\frac{-S_{12}}{S_{1}-p_{21}}=\frac{S_{12}-p_{21} M_{21}}{-S_{21}} .
\end{array}
\]

Оба эти представления для решений справедливы, что видно из уравнения (ж). Қак и в общем случае однородных алгебраических уравнений, здесь могут быть получены только такие решения, которые содержат пронзвольные постоянные. Таким образом, абсолютная величина амплитуд не может быть определена, а можно найти только их отношения или формы колебаний. Второй индекс (1 и 2) в выражениях (3.20a) и (3.20б) для амплитуд означает собственные (или главные) формы колебаний, соответствующие корням $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$. Как и в п. 3.1, решения (3.19) характеристического уравнения записаны так, что выполняется условие $p_{1}<p_{2}$. Меньшее значение представляет круговую частоту первой или основной формы колебаний, а большее соответствует второй форме колебаний.

Чтобы показать пример вычисления частот и форм колебаний, примем для системы, показанной на рис. 3.1, $a: m_{1}=m_{2}=m$; жесткости пружин $k_{1}=k_{2}=k$. Тогда $M_{11}=M_{22}=m, S_{11}=2 k$, $S_{12}=S_{21}=-k, S_{22}=k$.
По формуле (3.19) получаем
\[
\begin{array}{l}
p_{1}^{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}=0,382 \frac{k}{m} ; \\
p_{2}^{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}=2,618 \frac{k}{m} .
\end{array}
\]
Рис. 3.13
Подставляя найденные значения этих корней в одно из выражений (3.20a) и (3.20б) для отношений амплитуд, найдем для первой формы колебаний
\[
r_{1}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,1}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0,618
\]

и для второй формы колебаний
\[
r_{2}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,2}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}=\frac{2}{1-\sqrt{5}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-1,618 .
\]

Разумеется, можно как угодно изменять величину амплитуд этих двух форм, но их отношение должно оставаться постоянным. На рис. 3.13 , а показана двухмассовая система, колеблющаяся по основной форме, и указаны безразмерные значения амплитуд, отнесенные к амплитуде колебаний второй массы. Аналогично на рис. 3.13, б показана вторая форма колебаний; при этом безразмерные значения амплитуд также отнесены к амплитуде второй массы.

Если вместо уравнений движения в усилиях взять уравнения движения в перемещениях, уравнение (3.17) примет вид
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}=\mathbf{0} .
\]

Развернутая форма его такова:
\[
\left[\begin{array}{ll}
F_{11} M_{11} & F_{12} M_{22} \\
F_{21} M_{11} & F_{22} M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Подставляя представления (а) и (б) в уравнение (3.22), получим следующие алгебраические уравнения:
\[
\begin{array}{l}
-p^{2} F_{11} M_{11} x_{\mathrm{M} 1}-p^{2} F_{12} M_{22} x_{\mathrm{M} 2}+x_{\mathrm{M} 1}=0 ; \\
-p^{2} F_{21} M_{11} x_{\mathrm{M} 1}-p^{2} F_{22} M_{22} x_{\mathrm{M} 2}+x_{\mathrm{M} 2}=0,
\end{array}
\]

которые можно представить в виде
\[
\left[\begin{array}{cc}
F_{11} M_{11}-\lambda & F_{12} M_{22} \\
F_{21} M_{11} & F_{22} M_{22}-\lambda
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{\mathrm{M} 1} \\
x_{\mathrm{M} 2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right],
\]

где $\lambda=1 / p^{2}$. Для того чтобы существовали не равные тождественно нулю решения, должен равняться нулю определитель матрицы коэффициентов (р). Откуда получаем
\[
\left(F_{11} M_{11}-\lambda\right)\left(F_{22} M_{22}-\lambda\right)-F_{12}^{2} M_{11} M_{22}=0
\]

или
\[
\lambda^{2}-\left(F_{11} M_{11}+F_{22} M_{22}\right) \lambda+\left(F_{11} F_{22}-F_{12}^{2}\right) M_{11} M_{22}=0 .
\]

Уравнение (т) является характеристическим, соответствующим однородным дифференциальным уравнениям движения в перемещениях, и его корни представляют обратные величины квадратов круговых частот. Корни можно определить по одной из следующих формул:
\[
\lambda_{1,2}=\frac{-d \pm \sqrt{d^{2}-4 e}}{2}
\]

или
\[
p_{1,2}^{2}=\frac{1}{\lambda_{1,2}}=\frac{2}{-d \pm \sqrt{d^{2}-4 e}},
\]

где
\[
d=-\left(F_{11} M_{11}+F_{22} M_{22}\right) ; e=\left(F_{11} F_{22}-F_{12}^{2}\right) M_{11} M_{22}=|\mathbf{F}| M_{11} M_{22} \text {. }
\]

В формулах (3.23a) и (3.23б) значение $\lambda_{1}$ (большее из двух значений $\lambda$ ) соответствует $p_{1}^{2}$ (т. е. меньшему из двух значений $p^{2}$ ), а значение $\lambda_{2}$ (меньшее из двух значений $\lambda$ ) соответствует $p_{2}^{2}$ (т. е. большему из двух значений $p^{2}$ ). Оба корня (и их обратные значения) будут действительными и положительными числами, если положителен определитель матрицы $\mathbf{F}$.
Подставив характеристические значения $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ в однородные уравнения (p), получим дуальные соотношения для отношений амплитуд $r_{1}$ и $r_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
r_{1}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,1}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}=\frac{-F_{12} M_{22}}{F_{11} M_{11}-\lambda_{1}}=\frac{F_{22} M_{22}-\lambda_{1}}{-F_{21} M_{11}} ; \\
r_{2}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,2}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}=\frac{-F_{12} M_{22}}{F_{11} M_{11}-\lambda_{2}}=\frac{F_{22} M_{22}-\lambda_{2}}{-F_{21} M_{11}},
\end{array}
\]

правильность которых можно проверить с помощью уравнения (с).
Если снова положить, что в изображенной на рис. 3.1, a системе массы и жесткости пружины имеют одинаковые значения, то коэффициенты влияния гибкости будут равны $F_{11}=\delta, F_{12}=F_{21}=\delta$, $F_{22}=2 \delta($ где $\delta=1 / k$ ).
Тогда по формуле (3.23a) получим
\[
\lambda_{1}=\frac{(3+\sqrt{5}) m \delta}{2}=\frac{m \delta}{0,382} ; \quad \text { (ф) } \lambda_{2}=\frac{(3-\sqrt{5}) m \delta}{2}=\frac{m \delta}{2,618},
\]
т. е. величины, обратные (к) и (л). Подставляя найденные значения (ф) и (к) в выражения (3.24а) и (3.24б), найдем отношения амплитуд для первой формы колебаний
\[
r_{1}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,1}}{x_{\mathrm{M} 2,1}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0,618
\]

и для второй формы колебаний
\[
r_{2}=\frac{x_{\mathrm{M} 1,2}}{x_{\mathrm{M} 2,2}}=\frac{2}{1-\sqrt{5}}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}=-1,618,
\]

которые совпадают с ранее найденными значениями (м) и (н). Отсюда следует, что частоты и формы колебаний не зависят от выбора формы уравнения движения.

Определив характеристики колебаний данной системы, можно записать полное решение для свободных колебаний в виде суммы собственных форм
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{1} x_{\mathrm{M} 2,1} \sin \left(p_{1} t+\varphi_{1}\right)+r_{2} x_{\mathrm{M} 2,2} \sin \left(p_{2} t+\varphi_{2}\right) ; \\
x_{2}=x_{\mathrm{M} 2,1} \sin \left(p_{1} t+\varphi_{1}\right)+x_{\mathrm{M} 2,2} \sin \left(p_{2} t+\varphi_{2}\right) .
\end{array}
\]

В первом из этих выражений вместо $x_{\mathrm{M} 1,1}$ и $x_{\mathrm{M} 1,2}$ используются выражения $r_{1} x_{\mathrm{M} 2,1}$ и $r_{2} x_{\mathrm{m} 2,2}$. Выражения (ц) и (ч) можно записать также в следующих эквивалентных формулах:
\[
\begin{aligned}
x_{1}= & r_{1}\left(C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t\right)+r_{2}\left(C_{3} \cos p_{2} t+C_{4} \sin p_{2} t\right) ; \\
& x_{2}=C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t+C_{3} \cos p_{2} t+C_{4} \sin p_{2} t .
\end{aligned}
\]

Продифференцировав выражения (3.25а) и (3.25б) по времени, получим выражения для скоростей
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}_{1}=-p_{1} r_{1}\left(C_{1} \sin p_{1} t+C_{2} \cos p_{1} t\right)- \\
-p_{2} r_{2}\left(C_{3} \sin p_{2} t-C_{4} \cos p_{2} t\right) ; \\
\quad \dot{x}_{2}=-p_{1}\left(C_{1} \sin p_{1} t-C_{2} \cos p_{1} t\right)- \\
-p_{2}\left(C_{3} \sin p_{2} t-C_{4} \cos p_{2} t\right) .
\end{array}
\]

Четыре произвольные постоянные $C_{1}, C_{2}, C_{3}, C_{4}$ в выражениях (3.25a)-(3.25г) можно определить, используя четыре начальных условия для перемещения и скорости. Для системы с двумя степенями свободы в момент времени $t=0$ эти условия будем обозначать $x_{01}, \dot{x}_{01}, x_{02}, \dot{x}_{02}$. Подставляя начальные условия в выражения (3.25а)(3.25г), определим
\[
\begin{array}{ll}
C_{1}=\frac{x_{01}-r_{2} x_{02}}{r_{1}-r_{2}}, \quad C_{2}=\frac{\dot{x}_{01}-r_{2} \dot{x}_{02}}{p_{1}\left(r_{1}-r_{2}\right)} ; \\
C_{3}=\frac{r_{1} x_{02}-r_{01}}{r_{1}-r_{2}} ; \quad C_{4}=\frac{r_{1} \dot{x}_{02}-\dot{x}_{01}}{p_{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)} .
\end{array}
\]

Для иллюстрации применения этих выражений определяем динамические перемещения системы (см. рис. 3.1,a) при начальных условиях вида $x_{01}=x_{02}=1$ и $\dot{x}_{01}=\dot{x}_{02}=0$. Величины $p_{1}, p_{2}, r_{1}$ и $r_{2}$ уже известны [см. выражения (к), (л), (м) и (н)] для системы,

у которой равны массы и жесткости пружин. Подставляя известные величины и начальные условия в выражения (3.26), найдем следующие значения постоянных интегрирования: $C_{1}=1,171, C_{2}=0$, $C_{4}=0$ и $C_{3}=-0,171$. Тогда выражения (3.25a) и (3.25б), описывающие новые системы, можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=0,724 \cos p_{1} t+0,277 \cos p_{2} t \\
x_{2}=1,171 \cos p_{1} t-0,171 \cos p_{2} t .
\end{array}
\]

В данном случае выражения для перемещений системы содержат только функции косинуса, поскольку равны начальные скорости. Если равны нулю начальные перемещения, а начальные скорости отличны от нуля, выражения динамических перемещений будут содержать только функции синуса. Далее, свой вклад в поведение системы дают обе собственные формы колебаний, за исключением случаев, когда начальные условия системы совпадают с одной из этих собственных форм. Например, если начальные перемещения в точности соответствуют характеру первой формы колебания $\left(x_{01} / x_{02}=r_{1}\right)$ при $\dot{x}_{01}=\dot{x}_{02}=0$, динамические перемещения системы примут вид
\[
x_{1}=x_{01} \cos p_{1} t ; x_{2}=x_{02} \cos p_{1} t,
\]

что в точности совпадает с первой формой колебаний.
Обобщая сказанное, отметим, что, если, как предполагается, собственные формы колебаний имеют вид (а) и (б), то можно перейти от однородных дифференциальных уравнений свободных колебаний, подобных уравнениям (3.17) или (3.21), к системе алгебраических уравнений. Полагая определитель матрицы коэффициентов равным нулю, получим характеристическое уравнение, из которого определяем частоты и формы колебаний. При таком подходе форма решения является установленной, но величина вклада соответствующих форм в суммарное динамическое перемещение должна определяться с помощью начальных условий.

Для того чтобы обсудить несколько особых ситуаций, связанных со свободными колебаниями, снова рассмотрим два простых маятника (см. рис. 3.4), соединенных пружиной. Для этой системы элементы диагональной матрицы масс [см. выражение (3.9)] имеют вид $M_{11}=M_{22}=m l^{2}$. Кроме того, вместо матрицы $\mathbf{S}$ там используется матрица $S^{*}$, содержащая обусловленные силами тяжести элементы вида
\[
S_{11}^{*}=S_{22}^{*}=k h^{2}+m g l ; S_{12}^{*}=S_{21}^{*}=-k h^{2} .
\]

Используя эти значения, по формуле (3.19) определим круговые частоты собственных колебаний
\[
p_{1}=\sqrt{\frac{g}{l}} ; \quad p_{2}=\sqrt{\frac{g}{l}+\frac{2 k h^{2}}{m l^{2}}} .
\]

Затем из выражений (3.20a) и (3.20б) можно найти отношения амплитуд
\[
r_{1}=1 ; r_{2}=-1 .
\]

Рис. 3.14
На рис. $3.14, a$ и 6 показаны две собственные формы колебаний, где безразмерные значения амплитуд отнесены к значению амплитуды правого маятника. При колебаниях по первой форме маятники перемещаются в одном и том же направлении с одной и той же амплитудой (как если бы это был один маятник); при этом связывающая их пружина не деформируется. При колебаниях по второй форме маятники качаются с одинаковыми амплитудами в противоположные стороны, поэтому пружина периодически растягивается и сжимается.

Эта система является симметричной относительно вертикальной плоскости, равноотстоящей от обоих маятников. Как видно из рис. 3.14 , б, вторая форма собственных колебаний является симметричной относительно этой плоскости и называется симметричной формой колебаний. Чтобы представить эту форму колебаний, можно использовать половину системы, закрепив неподвижную пружину в точке, расположенной в середине ее пролета (в этом случае эффективная жесткость половины пружины равна $2 k$ ). С другой стороны, первая форма собственных колебаний (см. рис. $3.14, a$ ) будет антисимметрична относительно упомянутой плоскости симметрии, вследствие чего она и называется антисимметричной формой колебаний. В этом случае можно пользоваться половиной системы, если позволить средней точке пружины свободно перемещаться через плоскость симметрии (следовательно, здесь эффективная жесткость половины пружины равна нулю). В общем случае в колебательной системе, имеющей единственную плоскость симметрии, будут возникать относительно этой плоскости только симметричная и антисимметричная формы, поэтому вместо исходной системы можно рассмотреть две приведенные системы. Одна из них должна быть закреплена в плоскости симметрии с тем, чтобы появились только симметричные формы перемещений, а другая должна допускать только антисимметричные перемещения.

Если на соединенные пружиной маятники не действуют силы тяжести, матрица $\mathbf{S}^{*}$ переходит в матрицу $\boldsymbol{S}$, являющуюся особенной. В этом случае корни (э) принимают вид
\[
p_{1}=0, p_{2}=\frac{h}{l} \sqrt{\frac{2 k}{m}} .
\]

Теперь первая форма колебаний системы состоит из движения системы как жесткого тела, которое появляется при отсутствии демпфирования. Собственная частота такой формы движения как жесткого тела равна нулю, а период равен бесконечности. Характеристические уравнения, имеющие только положительные корни, называются положительно определенными, а уравнения с одним или более нулевыми корнями называются положительно полуопределенными. В соответствии с этим колеблющиеся системы с одним или большим числом форм движения как жесткого тела иногда называются полуопределенными системами.

В качестве другого случая, относящегося к паре маятников, предположим, что имеется сила тяжести, но жесткость соединительной пружины равна нулю; при этом вторая круговая частота в выражениях (э) совпадает с первой, т. е. имеет место случай кратных корней. Маятники могут колебаться независимо с одинаковой частотой, а внутренней связи между их амплитудами не существует.

С другой стороны, если соединяющая маятники пружина имеет малую (но не равную нулю) жесткость, то говорят, что обе части системы являются слабо связанными. В этом случае частота колебаний во второй форме будет ненамного выше, чем частота колебаний, соответствующая первой форме (см. выражение (э) ]. Предположим, что колебания системы возникают при начальных условиях вида $\theta_{01}=\theta_{0}, \quad \theta_{02}=0, \quad \dot{\theta}_{01}=\dot{\theta}_{02}=0$. Из выражения (3.26) находим $C_{1}=-C_{3}=\theta_{0} / 2, C_{2}=C_{4}=0$. Тогда согласно выражениям (3.25а) и (3.25б) для динамических перемещений системы получим
\[
\begin{array}{c}
\theta_{1}=\frac{\theta_{0}}{2}\left(\cos p_{1} t+\cos p_{2} t\right)=\theta_{0} \cos \frac{\left(p_{1}-p_{2}\right) t}{2} \cos \frac{\left(p_{1}+p_{2}\right) t}{2} ; \\
\theta_{2}=\frac{\theta_{0}}{2}\left(\cos p_{1} t-\cos p_{2} t\right)=-\theta_{0} \sin \frac{\left(p_{1}-p_{2}\right) t}{2} \sin \frac{\left(p_{1}+p_{2}\right) t}{2} .
\end{array}
\]

Когда частоты $p_{1}$ и $p_{2}$ имеют близкие значения, каждое из перемещений $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ содержит произведение тригонометрических функций, в аргументы которых входят либо низкая ( $p_{1}-p_{2}$ ) $/ 2$, либо высокая $\left(p_{1}+p_{2}\right) / 2$ частоты. В результате будет возникать явление, называемое биением (см. п. 1.7). В начале процесса развития движения системы левый маятник колеблется с амплитудой $\theta_{0}$, а правый находится в покое. Далее амплитуда у первого маятника уменьшается, тогда как у второго она нарастает. В момент времени $t=\pi /\left(p_{1}-p_{2}\right)$ левый маятник перестанет колебаться, а правый колеблется с амплитудой $\theta_{0}$. Затем колебания первого маятника начнут увеличиваться, а второго уменьшаться, пока в момент времени $t=2 \pi /\left(p_{1}-p_{2}\right)$ состояние системы не будет снова соответствовать исходным начальным условиям. Подобная картина поведения повторяется бесконечно

долго, если в системе отсутствует демпфирование. C уменьшением жесткости пружины растет период биения. Разумеется, при жесткости пружины $k=0$ маятники не взаимодействуют, поэтому соотношение между формами колебаний становится неопределенным.

Пример 1. Для показанной на рис. 3.3 системы принять, что каждая часть вала имеет постоянную жесткость $k_{\text {к }}$ при кручении и что $I_{2}=2 I_{1}$. Определить реакцию си –

Рис. 3.15 стемы при свободных колебаниях, возникающих при внезапной остановке в точках $A$ и $B$ вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью $\varphi_{0}$.

Решение. Из уравнения (3.8) (см. п. 3.2) видно, что $M_{11}=I_{1}, M_{22}=2 I_{1}$, $S_{11}=S_{22}=2 k_{\mathrm{K}}, S_{12}=S_{21}=-k_{1}$. Используя эти данные из выражения (3.19), определим характеристические значения
\[
\begin{array}{l}
p_{1}^{2}=\frac{(3-\sqrt{3})}{2} \frac{k_{\mathrm{K}}}{I_{1}}=0,634 \frac{k_{\mathrm{K}}}{I_{1}} ; \\
p_{2}^{2}=\frac{(3+\sqrt{3})}{2} \frac{k_{\mathrm{K}}}{I_{1}}=2,366 \frac{k_{\mathrm{H}}}{I_{1}},
\end{array}
\]

а из выражений (3.20a) и (3.20б) – отношения амплитуд
\[
r_{1}=\frac{2}{(1+\sqrt{3})}-0,732 ; r_{2}=\frac{2}{(1-\sqrt{3})}=-2,732 .
\]

Нарис. 3,15 , и б показаны соответственно первая и вторая формы колебаний, причем значения амплитуд даны в безразмерном виде и отнесены к величине амплитуды колебаний правого диска.

Из выражений (3.26) находим значения постоянных $C_{1}=C_{3}=0, C_{2}=$ $=1,352 \varphi_{0} \sqrt{I / k_{\kappa}}, C_{4}=-0,05024 \varphi_{0} \sqrt{I_{1} / k_{\mathrm{K}}}$. После чего с помощью выражений (3.25a) и (3.25б) определяем угловые перемещения системы
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=\left(0,992 \sin p_{1} t+0,137 \sin p_{2} t\right) \varphi_{0} \sqrt{I_{1} / k_{\mathrm{K}}} \\
\varphi_{2}=\left(1,352 \sin p_{1} t-0,0502 \sin p_{2} t\right) \varphi_{0} \sqrt{I_{1} / k_{\mathrm{K}}} .
\end{array}
\]

Пример 2. Систему, показанную на рис. $3.10, a$ из предыдущего параграфа, можно рассматривать как упрощенную схему автомобиля, опертого на передние и задние пружины. Для того чтобы исключить инерционное взаимодействие, при рассмотрении поперечных и угловых перемещений вокруг поперечной оси используем центр тяжести $C$. Предполагается, что известны следующие характеристики автомобиля:
\[
\begin{array}{c}
m g=1,46 \cdot 10^{4} \mathrm{H}, k_{1}=3,57 \cdot 10^{5} \mathrm{H} / \mathrm{M}, k_{2}=4,47 \cdot 10^{5} \mathrm{H} / \mathrm{M}, \\
I_{C}=1,74 \cdot 10^{2} \mathrm{H} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{c}^{2}, l_{1}=0,102 \mathrm{~m}, l_{2}=0,152 \mathrm{~m} .
\end{array}
\]

Определить частоты и формы колебаний системы и исследовать поведение автомобиля при свободных колебаниях, если имеется начальное перемещение $\Delta$ в вертикальном направлении без поворота:
\[
\left(y_{0 C}=\Delta, \theta_{0 \mathrm{C}}=0, \dot{y}_{0 C}=\dot{\theta}_{0 C}=0\right) .
\]

Рис. 3.16

Решение. Используя уравнения (3.14в) из предыдущщего параграфа, возьмем
\[
\begin{array}{c}
M_{11}=m=1,49 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{c}^{2} / \mathrm{M}, M_{22}=I_{C}=2,23 \cdot 10^{4} \mathrm{H} \cdot \mathrm{c}^{2} / \mathrm{M}, \\
S_{11}=k_{1}+k_{2}=6,7 \cdot 10^{4} \mathrm{H} / \mathrm{M}, S_{12}=S_{21}=k_{2} l_{2}-k_{1} l_{1}=3,18 \cdot 10^{4} \mathrm{H}, \\
S_{22}=k_{1} l_{1}^{2}+k_{2} l_{2}^{2}=1,42 \cdot 10^{4} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m} .
\end{array}
\]

Для указанных данных из выражений (3.19), (3.20a) и (3.20б) следует
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=6,13 \text { рад } / \mathrm{c}, p_{2}=9,42 \text { рад } / \mathrm{c}, \\
\left(\tau_{1} \approx 1,02 \mathrm{c}^{-1}, \tau_{2} \approx 0,67 \mathrm{c}^{-1}\right), \\
r_{1}=-2,86 \mathrm{~m} / \text { рад }=-0,05 \text { м/град, } \\
r_{2}=0,48 \text { м } / \text { рад }=0,008 \text { м } / \text { град. }
\end{array}
\]

На १рис. $3.16, a$ и бпредставлены первая и вторая формы колебаний, значения которых отнесены к поворотам. Эти формы эквивалентны поворотам автомобиля как жесткого тела относительно узловых точек $O^{\prime}$ и $O^{\prime \prime}$, расположенных на расстояниях соответственно 2,87 м вправо и 0,48 м влево от точки $C$. При колебаниях по первой форме автомобиль в основном совершает поперечные перемещения, в то время \”как второй форме соответствуют в основном угловые колебания вокруг поперечной оси.

Используя заданные начальные условия из выражений (3.26), определяем произвольные постоянные интегрирования $C_{1}=-C_{3}=-\Delta / 10,99, C_{2}=C_{4}=0$. $И$, наконец, в соответствии с выражениями (3.25a) и (3.26a) найдем, что компоненты движения автомобиля имеют вид
\[
\begin{array}{r}
y_{C}=\left(0,856 \cos p_{1} t+0,145 \cos p_{2} t\right) \Delta, \\
\theta_{C}=-0,0911\left(\cos p_{1} t-\cos p_{2} t\right) \Delta
\end{array}
\]

и представляют сложную непериодическую комбинацию поперечных и угловых колебаний.

ЗАДАЧИ

3.5.1. Для системы из задачи 3.2 .1 (см. п. 3.2) принять, что $m_{1}=m_{2}=m$ и что $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$. Определить характеристические значения $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$, а также отношения амплитуд $r_{1}$ и $r_{2}$. Взять величины $x_{01}=x_{02}=\Delta$ и $\dot{x}_{01}=\dot{x}_{02}=0$ в качестве начальных условий и определить поведение системы при свободных колебаниях.
i. Omвem: $r_{1}=1, r_{2}=-1$.
3.5.2. Используя значения параметров, приведенных в задаче 3.2 .2 (см. п. 3.2) применительно к показанной на рис. 3.2 системе, определить характеристические значения $p_{1}^{2}$ и $p_{2}^{2}$, а также отношения амплитуд $r_{1}$ и $r_{2}$. Определить также поведение системы при начальных условиях $x_{01}=\Delta, y_{01}=0, \dot{x}_{01}=\dot{y}_{01}=0$.
Oтвет: $r_{1}=-\sqrt{3} / 2, r_{2}=\sqrt{3} / 2$.
3.5.3. Пусть для системы, рассмотренной в задаче 3.2 .3 (см. п. 3.2), дано: $m_{1}=m_{2}=m, l_{1}=l_{2}=l, k_{1}=k_{2}=0$. Найти $p_{1}^{2}, p_{2}^{2}, r_{1}$ и $r_{2}$ и определить реакцию системы при следующих начальных условиях: $x_{01}=x_{02}=0, \dot{x}_{01}=\dot{x}_{02}=v$. Omвет: $r_{1}=1 /(1+\sqrt{2}), r_{2}=1 /(1-\sqrt{2})$.
3.5.4. Принять, что для двухэтажной рамы, рассмотренной в задаче 3.2 .5 (см. п. 3.2), дано: $m_{1}=2 m, m_{2}=m, h_{1}=h_{2}=h, E I_{1}=E I_{2}=E I$. Найти $p_{1}^{2}, p_{2}^{2}, r_{1}$ и $r_{2}$ и определить перемещения при свободных колебаниях, если к нижней балке рамы внезапно прикладывается статическая нагрузка $\left(Q_{1}\right)_{\text {ст }}$.
Oтвет: $r_{1}=0,894, r_{2}=-0,014$.
3.5.5. Принять, что для системы, показанной на рис. 3.7, $a$ (см. пример 1 в п. 3.3), дано: $m_{1}=m_{2}=m$. Найти значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}, r_{1}$ и $r_{2}$ с помощью выражений (3.23a), (3.24a) и (3.246). Определить поведение системы при внезапном приложении к незакрепленному концу балки статической нагрузки $\left(Q_{2}\right)_{\text {ст }}$.
Ответ: $r_{1}=0,168, r_{2}=-2,68$.
3.5.6. Для системы, показанной на рис. 3.8, $a$ (см. пример 2 в п.3.3), найти $\lambda_{1}, \lambda_{2}, r_{1}$ и $r_{2}$. Дано, что при ударе масса приобретает скорость $v_{x}$ в направлении оси $x\left(\dot{x}_{01}=v_{x}, \dot{y}_{01}=0, x_{01}=\dot{y}_{01}=0\right)$. Определить движения системы при свободных колебаниях с учетом указанных начальных условий.
Oтвет: $r_{1}=2,41, r_{2}=-0,414$.
3.5.7. Пусть для системы, рассмотренной в задаче 3.3 .6 (см. п. 3.3), дано $m_{1}=$ $=m_{2}=0$. Найти $\lambda_{1}, \lambda_{2}, r_{1}$ и $r_{2}$. Предположить, что балка внезапно падает со своих опор и пролетает расстояние $h$, после чего снова оказывается опертой аналогичным образом. Определить движения системы при свободных колебаниях с учетом указанных начальных условий.
Ответ: $r_{1}=1, r_{2}=-1$.
F 3.5.8. Найти $\lambda_{1}, \lambda_{2}, r_{1}$ и $r_{2}$ для системы, рассмотренной в задаче 3.3 .8 (см. п. 3.3$)$, считая, что $m_{1}=m_{2}=m$ и $R=E I /(G J)=1 / 3$. Кроме того, определить движение системы при внезапном приложении к первой массе статической нагрузки $\left(Q_{1}\right)_{\mathrm{cT}}$.
Oтвет: $r_{1}=1 /(1+\sqrt{2}), r_{2}=-1 /(1-\sqrt{2})$.
3.5.9. Предполагается, что матрица $M$ масс для системы с двумя степенями свободы является не диагональной, а заполненной. Найти $p_{1}^{2}, p_{2}^{2}, r_{1}$ и $r_{2}$, используя уравнения движения, выраженные через усилия и коэффициенты жесткости.
3.5.10, Решить задачу 3.5.9, используя уравнения движения в перемещениях и коэффициенты податливости.
3.5.11. Решить пример 2 из данного параграфа, рассмотрев точку $A$ для описания движения автомобиля как жесткого тела. Уравнения движения в уснлиях для указанной точки были получены в виде (3.14а) в п. 3.4. (Для решения этой задачи потребуется использовать результаты решения задачи 3.5.9).
Oтвет: $r_{1}=-4,08 \mathrm{~m} /$ рад; $r_{2}=0,73 \mathrm{~m} /$ рад.
3.5.12. Для показанной на рис. 3.11 системы (см. пример 1 в п. 3.4) найти $\lambda_{1}, \lambda_{2}, r_{1}$ и $r_{2}$, приняв $b=l / 3$ и $I_{C}=2 m b^{2}$. Использовать точку $B$ для рассмотрения движения как жесткого тела и уравнение движения в перемещениях, полученное в п. 3.4 [см. уравнения (м) ]. (Для решения этой задачи потребуется использовать результаты решения задачи 3.5.10.)
Ответ: $r_{1}=0,578 l, r_{2}=-0,578 l$.