Қак уже упоминалось в п. 2.1, некоторые колеблющиеся системы обладают кусочно-линейными характеристиками. Подобные системы зачастую оказываются несложными для исследования, а в некоторых
Рис. 2.16
случаях позволяют получить точные решения. К этой категории относятся системы с пружинами, не обладающими линейно-упругими характеристиками, неупругие материалы с кусочно-линейным поведением, включая упругопластические, а также и системы с сопротивлением в виде кулоновского трения. Подобные системы будут обсуждаться в данном параграфе с целью исследования их поведения при свободных колебаниях с начальными условиями в форме перемещения и скорости, при вынужденных колебаниях, обусловленных действием возмущающих сил в виде периодических функций, а также для определения неустановившегося поведения при произвольном воздействии.

На рис. 2.16, а показана колеблющаяся система с массой, установленной в зазор между двумя линейно упругими пружинами. Если измерить перемещение массы относительно срединного положения, то статическая диаграмма зависимости нагрузки от перемещения примет вид, показанный на рис. 2.16, б. В этом случае период свободных колебаний зависит от величины зазора и других параметров. Предположим, что в момент времени $t=0$ начальное перемещение массы равно .нулю, а начальная скорость равна $\dot{x}_{0}$. Время, необходимое для того, чтобы пройти длину зазора $x_{1}$,
\[
t=\frac{x_{1}}{x_{0}} .
\]

После прохода через зазор масса вступает в контакт с правой пружиной, и дальнейшее движение носит гармонический характер до тех пор, пока масса не отскочит от пружины через время $t_{2}$. Время,

в течение которого скорость изменяется от $\dot{x}_{0}$ до нуля, равно одной четверти периода собственных колебаний массы $m$, прикрепленной к пружине с жесткостью $k$. Таким образом, время, за которое достигается максимальное перемещение,
\[
t_{\mathrm{M}}=t_{1}+\frac{\pi}{2 p}=\frac{x_{1}}{\dot{x}_{0}}+\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k}} .
\]

Следовательно, полный период колебаний действительной системы
\[
\tau=4 t_{\mathrm{M}}=\frac{4 x_{1}}{\dot{x}_{0}}+\frac{2 \pi}{p}=\frac{4 x_{1}}{\dot{x}_{0}}+2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} .
\]

Далее заметим, что максимальное перемещение массы, обусловленное заданной начальной скоростью, равно сумме длины зазора $x_{1}$ и амплитуды упомянутого выше гармонического движения:
\[
x_{\mathrm{M}}=x_{1}+\frac{\dot{x}_{0}}{p}=x_{1}+\dot{x}_{0} \sqrt{\frac{m}{k}} .
\]

Изменение во времени перемещения и скорости при колебаниях системы без демпфирования показано на рис. 2.16, в и г. Отметим, что скорость на последнем рисунке является постоянной, несмотря на то, что масса не имеет контакта с одной из пружин.

Для заданных значений величины зазора $x_{1}$, массы $m$ и жесткости пружины $k$ период колебаний $\tau$ [см. формулу (2.43)] зависит только от начальной скорости $\dot{x}_{0}$. Когда величина $\dot{x}_{0}$ приближается к нулю, период колебаний стремится к бесконечности, а когда скорость становится бесконечно большой, период колебаний принимает значения $2 \pi / p$. На рис. 2.16, д представлен график колебаний для этих случаев, из которого видно, что подобная система будет стремиться войти в резонанс с возмущающей силой, описываемой произвольной периодической функцией, имеющей период больший или равный $2 \pi / p$. Однако амплитуда таких вынужденных колебаний будет всегда иметь верхний предел, за исключением случая, когда период функции, описывающей возмущающую силу или одну из ее гармонических компонент, равен $2 \pi / p$.

Предположим теперь, что система на рис. 2.16 , $a$ первоначально находится в покое и на нее воздействует возмущающая сила в виде ступенчатой функции, показанной на рис. 2.16, e. При действии постоянной силы $Q_{n}$ ускорение массы при прохождении через зазор будет $q_{n}=Q_{n} / m$. Тогда скорость и перемещение соответственно составят
\[
\dot{x}=q_{n} t ; \quad x=q_{n} t^{2} / 2 .
\]

Последнее выражение представляет собой параболу на отрезке от $t=0$ до $t=t_{1}$ графика зависимости перемещения от времени (рис. 2.16, ж), а предыдущее выражение есть уравнение прямой линии на том же самом отрезке графика скорости (рис. 2.16,3). В этом случае время, необходимое для того, чтобы масса прошла зазор $x_{1}$,
\[
t_{1}=\sqrt{\frac{\overrightarrow{2 x_{1}}}{q_{n}}},
\]

а скорость в момент времени $t_{1}$
\[
\dot{x}_{1}=q_{n} t_{1}=V \frac{\text { sismens }}{2 q_{n} x_{1}} .
\]

Когда происходит соприкосновение массы с правой пружиной, масса имеет начальную скорость $\dot{x}_{1}$, и тогда реакцию системы на отрезке времени $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}$ можно представить в следующем виде:
\[
x=x_{1}+\frac{\dot{x}_{1}}{p} \sin p\left(t-t_{1}\right)+\frac{Q_{n}}{k}\left[1-\cos p\left(t-t_{1}\right)\right],
\]

где второе слагаемое в правой части обусловлено влиянием начальной скорости $\dot{x}_{1}$, а последнее слагаемое характеризует влияние возмущающей силы. Эти два слагаемых представлены штриховыми линиями на отрезке $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2}$ (см. рис. $2.16, \mathscr{*}$ ), а график суммы всех трех слагаемых показан сплошной жирной линией. Продифференцировав выражение (е), найдем, что в момент времени
\[
t_{\mathrm{M}}=t_{1}+\frac{1}{p} \operatorname{arctg}\left(-\frac{\dot{x}_{1} / p}{Q_{n} / k}\right)
\]

максимальное перемещение
\[
x_{\mathrm{M}}=x_{1}+\frac{Q_{n}}{k}+\sqrt{\left(\frac{Q_{n}}{k}\right)^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{1}}{p}\right)^{2}} .
\]

Поскольку указанная кривая симметрична относительно времени $t_{\mathrm{M}}$, то в значение $x_{1}$ она приходит также и в момент времени $t_{2}$, что дает
\[
t_{2}=2 t_{\mathrm{M}}-t_{1} .
\]

Затем масса выходит из контакта с правой пружиной и на отрезке $t_{2} \leqslant t \leqslant t_{4}$ график ее движения представляет параболу (см. рис. 2.16, ж). Эта парабола симметрична относительно точки, соответствующей времени $t_{3}$. Тогда для этого отрезка времени можно записать
\[
t_{3}=t_{2}+t_{1} ; \quad t_{4}=t_{2}+2 t_{1} .
\]

В момент времени $t_{4}$ масса вновь входит в контакт с правой пружиной и вновь повторяется описанное выше перемещение. Соответствующая зависимость скорости движения от времени приведена на рис. 2.16, , где можно видеть, что эта зависимость является линейной тогда, когда масса не ғаходится в контакте с пружиной.

Если в момент времени $t_{n}$ постоянная сила $Q_{n}$ внезапно удаляется из системы (см. рис. 2.16,e), то будем иметь прямоугольный импульс вместо ступенчатой функции. В момент времени $t_{n}$ система имеет некоторое перемещение $x_{n}$ и некоторую скорость $\dot{x}_{n}$, которые можно определить из графиков на рис. 2.16, ж и з. Используя эти величины в качестве начальных условий, можно определить последующее поведение системы при свободных колебаниях, поступая точно так же, как при построении графиков на рис. 2.16 , в и г.

В качестве второго примера кусочно-линейной упругой системы рассмотрим установку симметричной конструкции на рис. 2.17, a.
Рис. 2.17

Эта система похожа на изображенную на рис. $2.16, a$, но в ней имеются дополнительные пружины, дающие восстанавливающую силу при любом отличном от нуля перемещении от среднего положения. Статическая диаграмма зависимости нагрузки от перемещения для этого случая показана на рис. 2.17 , б, где прямая, выходящая из начала координат, имеет тангенс угла наклона, равный $k_{1}$, а у прямых с большим углом наклона тангенс этого угла равен $k_{2}$. Если перемещение системы никогда не превышает $\pm x_{1}$, движение будет простым гармоническим, но если перемещения по величине превышают $x_{1}$, характер движения становится более сложным.

Для того чтобы изучить характеристики этой системы при свободных колебаниях, предположим, что в момент времени $t=0$ начальное перемещение массы равно нулю, но имеется начальная скорость $\dot{x}_{0}>p_{1} x_{1}$, где $p_{1}=\sqrt{k_{1} / m}$. При такой скорости масса будет перемещаться дальше точки $x_{1}$, и тогда зависимость перемещения от времени будет иметь вид, показанный на рис. 2.17, . На отрезке времени $0 \leqslant t \leqslant t_{1}$ перемещение этой системы описывается выражением
\[
x=\frac{\dot{x}_{0}}{p_{1}} \sin p_{1} t,
\]

а скорость имеет вид
\[
x=x_{0} \cos p_{1} t .
\]

В момент времени $t_{1}$ масса достигнет точки $x_{1}$, где кончается первая упругая область. Тогда из выражения (и) находим это время:
\[
t_{1}=\frac{1}{p_{1}} \arcsin \frac{p_{1} x_{1}}{\dot{x}_{0}},
\]

а соответствующую скорость находим из выражения (к):
\[
\dot{x}_{1}=\dot{x}_{0} \sqrt{1-\left(\frac{p_{1} x_{1}}{\dot{x}_{0}}\right)^{2}} .
\]

Далее масса вступает в контакт с верхней правой пружиной (см. рис. $2.17, a$ ) и тогда уравнение движения принимает вид
\[
m \ddot{x}+k_{1} x+\left(k_{2}-k_{1}\right)\left(x-x_{1}\right)=0
\]

или
\[
m \ddot{x}+k_{2} x=\left(k_{2}-k_{1}\right) x_{1} .
\]

В правой части уравнения (н) стоит величина, которую можно рассматривать как псевдоступенчатую функцию возмущающей силы, приложенную к системе с жесткостью пружины $k_{2}$. В рамках такого подхода суммарную реакцию можно вычислять как сумму влияния начальных условий в момент времени $t_{1}$ и влияния псевдоступенчатой функции. В результате получаем перемещение
\[
\begin{array}{l}
x=x_{1} \cos p_{2}\left(t-t_{1}\right)+\frac{\dot{x}_{1}}{p_{2}} \sin p_{2}\left(t-t_{1}\right)+\frac{k_{2}-k_{1}}{k_{2}} x_{1}\left[1-\cos p_{2} \times\right. \\
\left.\times\left(t-t_{1}\right)\right]=\left(1-\frac{k_{1}}{k_{2}}\right) x_{1}+\frac{k_{1}}{k_{2}} x_{1} \cos p_{2}\left(t-t_{1}\right)+\frac{\dot{x}_{1}}{p_{2}} \sin p_{2}\left(t-t_{1}\right)
\end{array}
\]

и скорость
\[
\dot{x}=-\frac{k_{1}}{k_{2}} p_{2} x_{1} \sin p_{2}\left(t-t_{1}\right)+\dot{x}_{1} \cos p_{2}\left(t-t_{1}\right) .
\]

В выражениях (о) и (п) через $p_{2}$ обозначена круговая частота $p_{2}=\sqrt{k_{2} / m}$ при гармоническом движении во второй упругой области. Из выражения (п) видно, что максимум динамического перемещения имеет место в момент времени
\[
t_{\mathrm{M}}=t_{1}+\frac{1}{p_{2}} \operatorname{arctg} \frac{k_{2} \dot{x}_{1}}{k_{1} p_{2} x_{1}} .
\]

Первый член в выражении (о)
\[
\dot{x}_{1}^{\prime}=\left[1-\left(k_{1} / k_{2}\right)\right] x_{1}
\]

указывает точку, в которой проходящая под бо́льшим углом прямая на рис. 2.17, бб пересекает положительную ось $x$. Далее, коэффициент при косинусе в выражении (о) характеризует начальное перемещение
\[
\frac{k_{1}}{k_{2}} x_{1}=x_{1}-x_{1}^{\prime}
\]

относительно точки пересечения. Можно представить, что штриховая линия на рис. 2.17 , в изображает гармоническое движение, смещен-

ное во вторую упругую область. Полуцикл этого движения начинается в момент времени $t_{1}^{\prime}$ з заканчиваетя в момент $t_{2}^{\prime}$. Эти значения времени находим из выражений $t_{1}^{\prime}=t_{\text {м }}-\pi /\left(2 p_{2}\right) ; t_{2}^{\prime}=t_{\text {м }}+\pi /\left(2 p_{2}\right)$, а время $t_{2}$, соответствующее второй точке касания штриховой и сплошной линии, получаем из выражения
\[
t_{2}=t_{1}+\frac{2}{p_{2}} \operatorname{arctg} \frac{k_{2} \dot{x}_{1}}{k_{1} p_{2} x_{1}} .
\]

Как и в предыдущем случае, полный период колебания можно определить по формуле
\[
\tau=4 t_{\mathrm{M}}=4 t_{1}+\frac{4}{p_{2}} \operatorname{arctg}\left(\frac{k_{2} \dot{x}_{1}}{k_{1} p_{2} x_{1}}\right) .
\]

Отметим так же, что, как видно из выражения (о), перемещение: массы, обусловленное заданной начальной скоростью, равно сумме $x_{1}^{\prime}$ и амплитуды гармонического движения, смещенного во вторую упругую область:
\[
x_{\mathrm{M}}==\left(1-\frac{k_{1}}{k_{2}}\right) x_{1}+\sqrt{\left(\frac{k_{1}}{k_{2}} x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{1}}{p_{2}}\right)^{2}} .
\]

Очевидно, что, для того чтобы входящую в формулы (2.47) и (2.48) скорость $\dot{x}_{1}$ выразить через начальную скорость $\dot{x}_{0}$, надо воспользоваться равенством (м).

Если на систему, показанную на рис. 2.17 , $a$, действует возмущающая сила, описываемая гармонической функцией $Q \sin \omega t$, еe уравнение движения следует записать отдельно для каждой из трех областей изменения перемещения $x$ следующим образом:
\[
\text { для }-x_{1} \leqslant x \leqslant x_{1} \text { имеем } m \ddot{x}+k_{1} x=Q \sin \omega t \text {; }
\]

для $x_{1} \leqslant x$ имеем $m \ddot{x}+k_{2} x=Q \sin \omega t+\left(k_{2}-k_{1}\right) x_{1}$;
для $x \leqslant x_{1}$ имеем $m \ddot{x}+k_{2} x=Q \sin \omega t-\left(k_{2}-k_{1}\right) x_{1}$.
Хотя эти уравнения могут быть использованы для определения неустановившегося поведения системы, они неудобны для исследования установившегося поведения. К. Клоттер* исследовал этот случай вынужденных колебаний с помощью метода усреднения Ритца ${ }^{4}$, используя одночленное приближение. На рис. 2.18 представлен ряд графиков частотных характеристик для отношения жесткостей $k_{1} / k_{2}=1 / 2$. Для того чтобы эти графики были безразмерными, строятся завнсимости отношения $x / x_{1}$ от $\omega^{2} / p^{2}$ для ряда значений параметра нагрузки $\zeta=Q /\left(k_{1} x_{1}\right)$.

Для иллюстрации неупругих кусочно-линейных систем обратимся к системе, показанной на рис. 2.19, a, где масса $m$ прикреплена к концу гибкой вертикальной стойки, Предполагается, что приложение горизонтальной нагрузки $P$ вызывает только малые перемещения $x$ и что система обладает упругопластической характеристикой

(см. п. 2.1). Таким образом, статическая диаграмма зависимости нагрузки от перемещения (рис. 2.19, б) имеет равный некоторой отличной от нуля константе $k$ тангенс угла наклона до тех пор, пока около опоры стойки не образуется внезапно пластический шарнир (ПШ). В этот момент ордината диаграммы равна максимальному значению $P_{\text {м }}$ и тангенс угла наклона кривой – нулю. Предположим, что в момент времени $t=0$ начальное перемещение массы равно нулю, а для начальной скорости выполняется условие $\dot{x}_{0}>p x_{1}$, где $p=\sqrt{k / m}, x_{1}$ – перемещение, достигнутое в момент времени $t_{1}$, когда образовался пластический шарнир. На отрезке времени $0 \leqslant t \leqslant t_{1}$ имеем следующие выражения для перемещения и скорости:
\[
x=\frac{\dot{x}_{0}}{p} \sin p t ; \dot{x}=\dot{x}_{0} \cos p t,
\]

Рис. 2.19

которым соответствуют линии 1 на рис. 2.19 , в и г. Подставляя $x_{1}=$ $=P_{\mathrm{M}} / k$ в выражения (ц), получим
\[
t_{1}=\frac{1}{p} \arcsin \left(\frac{P_{\mathrm{M}} p}{k \dot{x}_{0}}\right) ; \quad x_{1}=\dot{x}_{0} \sqrt{1-\left(\frac{P_{\mathrm{M}} p}{k \dot{x}_{0}}\right)^{2}} .
\]

После того как образовался пластический шарнир, т. е. на отрезке времени $t_{1} \leqslant t \leqslant t_{\mathrm{m}}$, имеем следующие выражения для перемещения и скорости:
\[
x=x_{1}+\dot{x}_{1}\left(t-t_{1}\right)-\frac{P_{\mathrm{M}}\left(t-t_{1}\right)^{2}}{2 m} ; \dot{x}=\dot{x}_{1}-\frac{P_{\mathrm{M}}\left(t-t_{1}\right)}{m} .
\]

Эти выражения (уравнения параболы и прямой линии) представлены линиями 2 на рис. 2.19, в и г. Қак видно из выражений (ш), максимальное перемещение $x_{\text {м }}$ будет в момент времени
\[
t_{\mathrm{M}}=t_{1}+\frac{m \dot{x}_{1}}{P_{\mathrm{M}}}=t_{1}+\frac{1}{p} \sqrt{\left(\frac{k \dot{x}_{0}}{P_{\mathrm{M}} p}\right)^{2}-1}
\]

при этом его амплитуда
\[
x_{\mathrm{M}}=x_{1}+\dot{x}_{1}\left(t_{\mathrm{M}}-t_{1}\right)-\frac{P_{\mathrm{M}}\left(t_{\mathrm{M}}-t_{1}\right)^{2}}{2 m}=\frac{P_{\mathrm{M}}}{2 k}\left[\left(\frac{k \dot{x}_{0}}{P_{\mathrm{M}} p}\right)^{2}+1\right] .
\]

После этого момента времени $t_{\text {м }}$ в основании стойки перестает работать пластический шарнир, и траектория движения массы ограничивается упругой ветвью диаграммы зависимости нагрузки от перемещения (линия 3 на рис. 2.19, б). При $t \geqslant t_{\mathrm{m}}$ поведение системы в случае свободных колебаний представляет собой простое гармоническое движение, описываемое выражением
\[
x=x_{\mathrm{M}}-\frac{P_{\mathrm{M}}}{k}[1-\cos p t]=x_{\mathrm{ocr}}+\frac{P_{\mathrm{M}}}{k} \cos p t,
\]

где $x_{\text {ост }}$-остаточное перемещение, обусловленное пластическими деформациями материала и равное
\[
x_{\text {ост }}=x_{\mathrm{M}}-\frac{P_{\mathrm{M}}}{k}=\frac{P_{\mathrm{M}}}{2 k}\left[\left(\frac{k \dot{x}_{0}}{P_{\mathrm{M}} p}\right)^{2}-1\right] \text {. }
\]

И, наконец, скорость в этом диапазоне времени можно найти из выражения
\[
\dot{x}=-\frac{P_{\mathrm{M}} p}{k} \sin p t
\]

Выражениям (щ) и (э) соответствуют кривые 3 на рис. 2.19 , в и г. Из второй формы выражения (щ) видно, что новым положением равновесия при колебаниях с остаточными деформациями будет остаточное перемещение $x_{\text {ост }}$ (см. рис. 2.19, в).

Если показанная на рис. $2.19, a$ система подвергается импульному нагружению, то ее реакцию при этом можно определить так же, как это делалось выше для случая, когда задана начальная скорость. В частности, можно рассмотреть прямоугольный импульс величиной $Q_{n}$ и длительностью $t_{n}$, а получив решения для ряда
Рис. 2.20
Рис. 2.21

различных значений параметров, можно построить * графики частотных характеристик спектральных функций, показанные на рис. 2.20. Эти графики характеризуют зависимость безразмерного максимального значения перемещения $x_{\mathrm{M}} / x_{1}$ от безразмерного времени $t_{n} / \tau$ для различных значений отношения $P_{\mathrm{M}} / Q_{n}$, включая случай упругого поведения, рассмотренный в п. 1.14 (см. рис. 1.52, a). Когда боковое перемещение $x$ становится большим применительно к геометрии рис. $2.19, a$, следует учитывать влияние обусловленного силой земного притяжения момента $m g x$, который следует добавить к моменту $P l$, обусловленному действием горизонтальной силы.

В заключение приведенного обсуждения кусочно-линейных задач с кусочно-линейными характеристиками восстанавливающих сил рассмотрим систему с кулоновским трением, которая кратко рассматривалась в п. 2.1. Как и в предыдущем случае, отметим, что блок на рис. 2.21, $a$ имеет не одно положение статического равновесия. В действительности он имеет бесконечное множество таких положений в диапазоне перемещений – $\Delta \leqslant x \leqslant \Delta$, где $\Delta=F / k$ обозначает такое положение системы, когда сила трения $F$ и восстанавливающая сила $k \Delta$ равны. Далее отметим, что сила трения $F$ всегда действует в направлении, противоположном направлению вектора скорости движения системы. Затем надо написать два диф-

ференциальных уравнения для свободных колебаний системы. Когда блок (см. рис. 2.21,a) движется вправо, то имеем
\[
m \ddot{x}+k x=-F, \quad \dot{x}>0,
\]

а при движении влево –
\[
m \ddot{x}+k x=F, \quad \dot{x}<0 .
\]

Уравнения (а) и (б) могут быть записаны в более компактной форме
\[
\ddot{x}+k x=-F \operatorname{sign}(\dot{x}),
\]

где функция sign $(\dot{x})$ обозначает знак скорости.
Предположим, что блок на рис. $2.21, a$ переместили вправо на величину $x_{0} \geqslant \Delta$ и затем отпустили с начальной скоростью, равной нулю. Когда блок движется влево, следует использовать уравнение (б), решением которого будет
\[
x=x_{0} \cos p t+\frac{F}{k}(1-\cos p t)=\Delta+\left(x_{0}-\Delta\right) \cos p t .
\]

В это время выражение для скорости имеет вид
\[
\dot{x}=-p\left(x_{0}-\Delta\right) \sin p t .
\]

Таким образом, движение на отрезке времени $0 \leqslant t \leqslant \pi / p$ является гармоническим, а $p=\sqrt{k / m}$ является круговой частотой этого движения. В момент времени $t=\pi / p$ максимальное отрицательное перемещение равно – $\left(x_{0}-2 \Delta\right)$, а знак скорости изменяется от минуса до плюса. Затем, в следующий отрезок времени $\pi / p \leqslant t \leqslant 2 \pi / p$ блок движется вправо, и тогда, решая уравнение ( $\mathrm{a}^{\prime}$ ), получаем
\[
x=-\left(x_{0}-2 \Delta\right) \cos p t-\frac{F}{k}(1-\cos p t)=-\Delta-\left(x_{0}-3 \Delta\right) \cos p t ;
\]

при этом выражение для скорости имеет вид
\[
\dot{x}=p\left(x_{0}-3 \Delta\right) \cos p t .
\]

Таким образом, видим, что на втором отрезке времени движение также является гармоническим и имеет ту же частоту.

Рассмотрение выражений (2.53a) и (2.53б) показывает, что первое из них описывает колебание с амплитудой $x_{0}-\Delta$ относительно правого положения равновесия (в точке $x=\Delta$ ), а второе – колебание с амплитудой $x_{0}-3 \Delta$ относительно левого положения равновесия (в точке $x=-\Delta$ ). Таким образом, за время $\pi / p$ величина максимального перемещения уменьшается на $2 \Delta$, а за время $2 \pi / p-$ на $4 \Delta$. Продолжая рассмотрение дальше, видим, что амплитуда движения уменьшается на величину $2 \Delta$ за каждый полуцикл до тех пор, пока амплитуда не станет меньшей, чем $\Delta$. После чего блок остановится в одном из крайних положений внутри области $-\Delta \leqslant$ $\leqslant x \leqslant \Delta$.

На рис. 2.21, 6 и в представлены графики зависимостей перемещения и скорости показанного на рис. 2.21 , a блока от безразмерного времени, когда заданы начальные условия вида $x_{0}=10,5 \Delta$;

$\dot{x}_{0}=0$. Ампілитуды этих графиков уменьшаются по линейному закону в соответствии с выражением
\[
\frac{x_{\mathrm{M}}}{\Delta}=\frac{\dot{x}_{\mathrm{M}}}{p \Delta}= \pm\left(\frac{x_{0}}{\Delta}-\frac{2 p t}{\pi}\right) .
\]

Этому выражению соответствуют наклонные штриховые линии, огибающие кривые на рис. 2,21 , б и в. В соответствии с выбранными

начальными условиями масса прекращает свое движение в точке $x=-0,5 \Delta$, совершив 2,5 цикла колебаний. Поскольку в моменты времени $t=\pi / p, 2 \pi / p, \ldots$ демпфирующая сила меняется скачкообразно, то углы наклона кривой на рис. 2.21 , в имеют в этих точках разрывы.

Хотя на каждом полуцикле сила трения изменяет свое направление, для системы, показанной на рис. 2.21, a, не представляет труда исследовать неустановившееся поведение при действии импульсного возмущения. Однако исследование установившегося поведения при действии возмущающей силы в виде периодической функции типа $Q \cos \omega t$ представляет известные трудности. Приближенное решение, основанное на представлении вязкого демпфирования, приведено в п. 1.10, но можно получить и точное решение *.

На рис. 2.22 , а и б представлены графики для коэффициента усиления $k x / Q$ и фазового угла $\theta$, построенные для случая вынужденных колебаний системы с сопротивлением в виде трения. Каждой кривой на этих рисунках соответствует определенный уровень демпфирования, определяемый отношением $F / Q$. Штриховая линия на рис. 2.22, а обозначает предел, выше которого возникают безостановочные колебательные движения. Ниже этого предела при движении имеются промежуточные остановки, где сила трения имеет некоторое положительное значение $P$, лежащее в диапазоне $-F \leqslant$ $\leqslant P \leqslant F$.

ЗАДАЧИ

2.5.1. Для изображенной на рис. 2.16, $a$ системы принять, что на нее действует прямоугольный импульс величиной $Q_{n}$ и длительностью $t_{n}$ (см, рис. 2.16, e). Пусть $t_{n}$ – время, равное тому времени, которое требуется, чтобы скорость $\dot{x}$ (рис. $2.16,3$ ) достигла своего первого максимального значения. Определить указанное время $t_{n}$ и амплитуду последующих свободных колебаний.
Omвет:
\[
\begin{array}{c}
t_{n}=t_{1}+\frac{1}{p} \operatorname{arctg}\left(\frac{Q_{n}}{k} \frac{\dot{x}_{1}}{p}\right) \\
A=\sqrt{\left(x+\frac{Q_{n}}{k}\right)^{2}+\left(\frac{Q_{n}}{k}\right)^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{1}}{p}\right)^{2}} .
\end{array}
\]
2.5.2. Пусть на систему, изображенную на рис. 2.17 , $a$, действует возмущающая сила в виде ступенчатой функции, равной $Q_{n}=k_{1} x_{1}$ и приложенной в момент времени $t=0$. Определить значение максимального перемещения $x_{\mathrm{M}}$ и время $t_{\mathrm{M}}$, при котором оно имеет место.
Omeem:
\[
t_{\mathrm{M}}=\frac{\pi}{2}\left(\sqrt{\frac{m}{k_{1}}}+\sqrt{\frac{m}{k_{2}}}\right) ; x_{\mathrm{M}}=x_{1}\left(1+\sqrt{\frac{k_{1}}{k_{2}}}\right) \text {. }
\]
2.5.3. Предположить, что упомянутый в задаче 2.5.2 импульс прикладывается точно в момент времени $t_{n}$, когда масса достигает точки $x=x_{1}$ излома диаграммы. Определить время $t_{n}$ и амплитуду последующих свободных колебаний.

Omвem:
\[
t_{n}=\frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{m}{k_{1}}} ; A=x_{1}\left[1+\frac{k_{1}}{k_{2}}\left(1-\sqrt{1+\frac{k_{2}}{k_{1}}}\right)\right] \text {. }
\]
2.5.4. Предположить, что на систему, изображенную на рис. $2.19, a$, с момента времени $t=0$ действует сила, описываемая ступенчатой функцией с $Q_{n}=\frac{k x_{1}}{1,5}$. Определить выражения для максимального перемещения $x_{\mathrm{M}}$ и времени $t_{\mathrm{M}}$ ее появления.
Omвет:
\[
t_{\mathrm{M}}=3,83 \sqrt{\frac{m}{k}} ; x_{\mathrm{M}}=\frac{3 x_{1}}{2} \text {. }
\]
2.5.5. Предположить, что на систему, изображенную на рис. $2.19, a$, с момента времени $t=0$ действует прямоугольной формы импульс величиной $Q_{n}=k x_{1}$. Считая, что импульс прекращает свое действие в момент времени $t_{n}$, когда образуется пластический шарнир, определить выражения для максимального перемещения $x_{\mathrm{M}}$ и остаточного перемещения $x_{\text {ост }}$.
Oтвет:
\[
x_{\mathrm{M}}=\frac{3 x_{1}}{2} ; \quad x_{\text {ост }}=\frac{x_{1}}{2} \text {. }
\]
2.5.6. Изображенный на рис. 2.21, $a$ блок смещается из нейтрального положения на расстояние $x_{0}=0,254 \mathrm{~m}$, а затем отпускается без начальной скорости. Блок имеет вес $W=9,08 \mathrm{H}$; жесткость пружины $k=1,79 \cdot 10^{2} \mathrm{H} /$ м. Сколько времени будет совершать колебательное движение указанный блок, если коэффициент трения равен $1 / 4$.
Omвeт: 2,26 с.
2.5.7. Предположим, что жесткость пружины, изображенной на рис. $2.21, a$ системы $k=4 W$, где $W$ – вес блока. Если амплитуда свободных колебаний уменьшается от 0,635 до 0,571 м за 10 циклов, то чему равен коэффициент трения?
Oтвет: 0,25 .
2.5.8. Масса, показанная на рис. А.2.5.8, $a$, соединена с пружинами, имеющими неодинаковые жесткости, поэтому статическая диаграмма зависимости нагрузки от перемещения (рис. 2.5.8,б) является несимметричной относительно начала координат. Предполагая, что в момент времени $t=0$ начальные условия имеют вид $x_{0}=0$ и $\dot{x}_{0}
eq 0$, определить зависимость перемещения и скорости от времени за один полный цикл свободного колебания.
Omвem:
Рис. А.2.5.8
2.5.9. Пусть каждая из пружин, показанных на рис. А.2.5.9, $a$, предварительно сжата усилием $P_{1}$ в соответствии со статической диаграммой зависимости нагрузки от перемещения (рис. А.2.5.9, б). Для начальных условий $x_{0}=0$ и $\dot{x}_{0}
eq$ $
eq 0$ определить зависимость перемещения и скорости от времени за один полный цикл свободного колебания.
Oтвет:
$\tau=\frac{2}{p} \operatorname{arctg} \frac{k \dot{x}_{0}}{P_{1} p}, \quad x_{\mathrm{M}}=\sqrt{\left(\frac{\dot{x}_{0}}{p}\right)^{2}+\left(\frac{P_{1}}{k}\right)^{2}}-\frac{P_{1}}{k}$.
Рис. А.2.5.9
2.5.10. Пусть упругая система с кусочно-линейной характеристикой имеет статическую диаграмму зависимости нагрузки от перемещения, как показано на
Рис. A.2.5.10

рис. А.2.5.10. Определить зависимость перемещения и скорости от времени для одного полного цикла свободных колебаний при начальных условиях следующего вида: $x_{0}=0 ; \dot{x}_{0}>p_{1} x_{1}$.
Omвem:
\[
\begin{array}{c}
\tau=4 t_{1}+\frac{4}{p_{2}} \operatorname{arctg}\left(\frac{k_{2} \dot{x}_{1}}{k_{1} p_{2} x_{1}}\right) \\
x=\left(1-\frac{k_{1}}{k_{2}}\right) x_{1}+\sqrt{\left(\frac{k_{1}}{k_{2}} x_{1}\right)^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{1}}{p_{2}}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

2.5.11. Применительно к билинейной диаграмме гистерезиса, показапной на рис. 2.7, в и обсуждавшейся в п. 2.1 , принять, что $k_{1}=5 k_{2}$. Для случая воздействия на систему с указанной характеристикой ступенчатой возмущающей силы с $Q_{n}=k_{1} x_{1}$ определить зависимость перемещения от времени.
Omвem: $x_{\mathrm{M}}=x_{1}(1+\sqrt{5}), x_{\mathrm{Oc}}=4 x_{1} / \sqrt{5}$.
2.5.12. Рассмотреть задачу 2.5.11, взяв $Q_{n}=2 k_{1} x_{1}$.
Omвem:
$x_{\mathrm{M}}=x_{1}(6+2 \sqrt{10}), x_{\mathrm{oc}}=4 x_{1}\left(1+\frac{2}{5} \sqrt{2}\right)$.