В предыдущем параграфе рассматривалось только последнее слагаемое выражения (1.23), описывающего вынужденные колебания. В общем случае приложение возбуждающей колебания силы вы-

зывает также свободные колебания системы, которые описываются первыми двумя слагаемыми выражения (1.23). Таким образом, действительное движение представляет собой наложение двух гармонических движений, имеющих разные амплитуды и разные частоты, что в результате приводит к очень сложному по своему характеру движению. Однако благодаря влиянию затухания, неучтенного при выводе уравнения (1.23), свободные колебания исчезают в короткое время и поэтому в решении остается только та часть, которая относится к установившимся вынужденным колебаниям, постепенно поддерживаемым возбуждающей силой.

Частный случай колебаний представлен на рис. 1.25 графиком зависимости перемещений от времени. На штриховую линию, представляющую вынужденные колебания с круговой частотой $\omega$, накладываются свободные колебания с более высокой круговой частотой $p$ и уменьшающейся вследствие влияния затухания амплитудой. Таким образом, результирующее движение характеризуется сплошной линией, которая постепенно приближается к штриховой линии, относящейся к установившемуся состоянию. Начальный период этого движения, т. е. несколько первых циклов, в которых присутствуют свободные колебания, обычно называется неустановившимсл состолнием. Иногда представляет практический интерес изучить этот вид движения более подробно.

Амплитуду свободных колебаний можно найти из общего решения (1.23), рассмотрев начальные условия. Так же, как и в п. 1.1, при $t=0$ имеем $x=x_{0}$ и $\dot{x}=\dot{x}_{0}$. Подставляя в эти условия решение (1.23) и его производную по времени, найдем постоянные
\[
C_{1}=x_{0} ; \quad C_{2}=\frac{\dot{x}_{0}}{p}-\frac{q \omega / p}{p^{2}-\omega^{2}} .
\]

Подставляя эти постоянные в выражение (1.23), получим
\[
x=x_{0} \cos p t+\frac{\dot{x}_{0}}{p} \sin p t+\frac{q}{p^{2}-\omega^{2}}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p} \sin p t\right) .
\]

Если начальные условия таковы, что $x_{0}=\dot{x}_{0}=0$, это выражение упрощается до
\[
\dot{x}=\frac{q}{p^{2}-\omega^{2}}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p} \sin p t\right) .
\]

Выражение (1.29б) описывает поведение во времени системы при действии возмущающей силы $P \sin \omega t$ и состоит из двух частей. Первая относится к установившемуся движению, рассмотренному в предыдущем параграфе, и пропорциональна $\sin \omega t$, тогда как вторая харак-

теризует свободные колебания и пропорциональна $\sin p t$. Их сумма не является гармоническим движением даже тогда, когда та состоит из двух гармонических функций, поскольку составляющие имеют различные частоты.

Если для возбуждающей силы взять функцию $P \cos \omega t$ вместо $P \sin \omega t$, то в выражении (1.23) следует $\sin \omega t$ заменить на $\cos \omega t$. В этом случае из граничных условий получаем следующие значения постоянных:
\[
C_{1}=x_{0}-\frac{q}{p^{2}-\omega^{2}} ; \quad C_{2}=\frac{\dot{x}_{0}}{p} .
\]

Подстановка этих значений в решение дает
\[
x=x_{0} \cos p t+\frac{\dot{x}_{0}}{p} \sin p t+\frac{q}{p^{2}-\omega^{2}}(\cos \omega t-\cos p t) .
\]

Если начальные условия имеют вид $x_{0}=\dot{x}_{0}=0$, то это, выражение примет форму
\[
x=\frac{q}{p^{2}-\omega^{2}}(\cos \omega t-\cos p t) .
\]

В этом случае часть характеристики системы, относящаяся к свободным колебаниям, имеет ту же амплитуду, что и часть, описывающая установившееся состояние, за исключением множителя $\omega / p$.

Особый интерес представляет случай, когда частота функции возмущающей силы равна или очень близка к частоте свободных колебаний системы, т. е. когда $\omega$ и $p$ близки. Исследуя этот случай, введем обозначения
\[
p-\omega=2 \varepsilon,
\]

где $\varepsilon$ – малая величина. Затем перепишем выражение (1.29б), описывающее реакцию при действии возмущающей силы, задаваемой функцией $P \sin \omega t$, в следующей эквивалентной форме *:
\[
x=\frac{q / p}{p^{2}-\omega^{2}}\left[\frac{p+\omega}{2}(\sin \omega t-\sin p t)+\frac{p-\omega}{2}(\sin \omega t+\sin p t)\right] .
\]

Используя тригонометрические формулы, выражение (г) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{q / p}{p^{2}-\omega^{2}}\left[(p+\omega) \cos \frac{(\omega+p) t}{2} \sin \frac{(\omega-p) t}{2}+\right. \\
\left.\quad+(p-\omega) \sin \frac{(\omega+p) t}{2} \cos \frac{(\omega-p) t}{2}\right] .
\end{array}
\]

Подставляя обозначения (в) в выражение (д), получим
\[
x=-\frac{q}{2 p}\left[\frac{\sin \varepsilon t}{\varepsilon} \cos (p-\varepsilon) t-\frac{\cos \varepsilon t}{p-\varepsilon} \sin (p-\varepsilon) t\right] .
\]

Рассматривая предел этого выражения, найдем *
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} x=-\frac{q}{2 p^{2}}(p t \cos p t-\sin p t) .
\]

Вводя фазовый угол, можно записать
\[
x=-\frac{q}{p^{2}} A \cos (p t-\alpha),
\]

где
\[
A=\frac{1}{2} V \overline{(p t)^{2}+1 ;} \quad \alpha=\operatorname{arctg}(-1 / p t) .
\]

Таким образом, в предельном случае, когда $\omega=p$, амплитуда колебания с течением времени стремится к бесконечности, как показано на рис. 1.26 , где сплошная линия представляет в безразмерном виде выражение (1.31a), штриховая линия – в аналогичном виде только первое слагаемое. Можно видеть, что уже через короткое время первое слагаемое становится хорошей аппроксимацией полного динамического поведения системы, следовательно, можно принять
\[
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} x \approx-\frac{q t}{2 p} \cos p t .
\]

Кривые, представленные на рис. 1.26 , показывают, что в системе при резонансе амплитуда вынужденных колебаний при отсутствии затухания теоретически стремится к бесконечности, для достижения которой требуется бесконечно большое время. Таким образом, при проектировании машины, в которой имеется возможность управлять упомянутым выше резонансом, не представляет большой трудности испытать ее прохождением через резонанс при условии, что этот переход осуществляется исключительно быстро. Однако, как было обнаружено экспериментально, если колеблющаяся система такова, что установившееся состояние лежит ниже зоны резонанса, то очень сложно повысить частоту вращения с тем, чтобы заставить установку пройти через зону резонанса. Дополнительная мощность, затрачиваемая для этой цели, расходуется на увеличение амплитуд колебания, а эксплуатационная частота вращения подвижных частей установки изменяется мало.

Когда частота функции возмущающей силы близка к частоте колебаний системы (но
* Выражение (1.31a) может быть получено применением $\mathrm{K}$ выражению (1.296) правила Лопиталя.
Рис. 1.26 Рис. 1.27

точно не равна), может наблюдаться явление, называемое биением. Это явление описывается выражением (е), причем доста́точно хорошее приближение для динамического поведения системы получается из упрощенной формулы, включающей в себя только первое слагаемое:
\[
x \approx-\frac{q \sin \varepsilon t}{2 p \varepsilon} \cos p t .
\]

Поскольку величина $\varepsilon$ в представлении (1.32) мала, функция $\sin \varepsilon t$ изменяется медленно, а ее период, равный $2 \pi / \varepsilon$, является большим. Следовательно, можно считать, что представление (1.32) описывает колебания с периодом $2 \pi / p$ и переменной амплитудой, равной $(q / 2 p \varepsilon) \sin \varepsilon t$. Такого рода колебания нарастают и затухают в виде периодических биений, показанных на рис. 1.27. Период биения, равный $\pi / \varepsilon$, увеличивается, когда частота колебаний приближается к частоте $p$ (т. е. при $\varepsilon \rightarrow 0$ ). При резонансе период биения становится бесконечным, а рост амплитуды – непрерывным, как видно из рис. 1.26 .

Пример. Верхний конец пружины (см. рис. 1.23) имеет постоянную, направленную вниз скорость $v_{0}$, которая в некоторый момент $t=0$ становится скоростью простого гармонического движения вида
\[
x_{\mathrm{O \Pi}}=\frac{v_{0}}{\omega} \sin \omega t .
\]

Определить полное выражение, описывающее характер последующего движения подвешенного на пружине груза $\mathbb{W}$.
Решение. В этом случае начальные условия движения имеют вид
\[
x_{0}=0 ; \quad \dot{x}_{0}=v_{0} .
\]

Подставляя эти значения в выражение (a), получим
\[
C_{1}=0 ; \quad C_{2}=\frac{v_{0}}{p}=\frac{q \omega / p}{p^{2}-\omega^{2}} .
\]

Вновь подставляя найденные значения постоянных в выражение (1.23) и учитывая что в этом случае имеет место
\[
q_{\mathrm{OU}}=\frac{k g d}{W}=p^{2} d=\frac{p^{2} v_{0}}{\omega},
\]

найдем искомое решение для реакции
\[
x=\frac{v_{0} / \omega}{1-\omega^{2} / p^{2}}\left(\sin \omega t-\frac{\omega^{3}}{p^{2}} \sin p t\right) .
\]

ЗАДАЧИ
1.7.1.. Для системы, показанной на рис. 1.23 , даны вес груза $W=45,4 \mathrm{H}$ и жесткость пружины $k=1,79 \cdot 103 \mathrm{H} /$ м. Предполагается, что возмущающая сила описывается функцией $P \sin \omega t$, где $P=9,1 \mathrm{H}$ и $\omega=10 \pi \mathrm{c}^{-1}$, и начальные условия суть $x_{0}=\dot{x}_{0}=0$ при $t=0$. Определить скорость и перемещение груза $W$ в момент времени $t=1 \mathrm{c}$.
Omвem: $x_{1}=3,73 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}, \dot{x}_{1}=3,1 \cdot 10^{-2} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.7.2. Қакими будут перемещение и скорость груза $W$ из предыдущей задачи в момент времени $t=1 \mathrm{c}$, если возбуждающая сила описывается не функцией $P \sin \omega t$, а функцией $P \cos \omega t$ ? Предполагается, что все остальные исходные данные такие же, как и в задаче 1.7.1.
Oтвет: $x_{1}=-8,9 \cdot 10^{-4} \mathrm{M}, \dot{x}_{1}=4,6 \cdot 10^{-2} \mathrm{M} / \mathrm{c}$.
1.7.3. Получить выражение, аналогичное (1.31a), при условии, что возбуждающая сила описывается не функцией $P \sin \omega t$, а функцией $P \cos \omega t$.
\[
\text { Oтвет: } x=\frac{q t}{2 p} \sin p t \text {. }
\]
1.7.4. Для задачи 1.7.3 построить в безразмерных координатах график зависимости перемещений системы от времени, аналогичный приведенному на рис. 1.26.