В предыдущем параграфе были рассмотрены свободные колебания подвешенной на пружине сосредоточенной массы с вязким демпфированием. Рассмотрим случай, когда кроме силы упругости – kx, гозникающей в пружине при растяжении, и силы сопротивления $c \dot{x}$ имеется еще приложенная извне к колеблющейся массе возмущающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Как уже было показано в п. 1.6, такого рода возмущающая сила может возникнуть.

при работе электродвигателя с неотбалансированным ротором, вращающимся с постоянной угловой скоростью $\omega$. Таким образом, вращающаяся центробежная сила $Q$, приложенная, как показано на рис. 1.32, имеет вертикальную составляющую $Q \cos \omega t$. При таких условиях уравнение движения подвешенного электродвигателя массой $m$ имеет вид
\[
m \ddot{x}=-k x-c \dot{x}+Q \cos \omega t .
\]

Разделив на $m$ левую и правую части и введя обозначения
\[
p^{2}=k / m ; \quad 2 n=c / m ; \quad q=Q / m,
\]

получим уравнение
\[
\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2} x=q \cos \omega t,
\]

являющееся дифференциальным уравнением движения при вынужденных колебаниях
Рис. 1.32

с влзким демпфированием. Частное решение уравнения (1.42) можно взять в виде
\[
x=M \cos \omega t+N \sin \omega t,
\]

где $M$ и $N$ – произвольные постоянные. Для определения этих постоянных подставим представление (1.43) для искомого решения в уравнение (1.42) и тогда получим
\[
\begin{array}{l}
\left(-\omega^{2} M+2 n \omega N+p^{2} M-q\right) \cos \omega t+ \\
+\left(-\omega^{2} N-2 n \omega M+p^{2} N\right) \sin \omega t=0 .
\end{array}
\]

Это равенство будет удовлетворяться при любых значениях переменной $t$ в том случае, если будут равны нулю выражения, стоящие в скобках. Вследствие сказанного для определения постоянных $M$ и $N$ получаем два линейных алгебраических уравнения
\[
\begin{array}{l}
-\omega^{2} M+2 n \omega N+p^{2} M=q ; \\
-\omega^{2} M-2 n \omega M+p^{2} N=0 .
\end{array}
\]

Откуда находим
\[
M=\frac{q\left(p^{2}-\omega^{2}\right)}{\left(p^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 n^{2} \omega^{2}} ; \quad N=\frac{q(2 n \omega)}{\left(p^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 n^{2} \omega^{2}} .
\]

Подставляя эти выражения для постоянных в представление (1.43), получим частное решение уравнения (1.42).

Общее решение уравнения (1.42) равно сумме частного решения (1.43) и общего решения (1.34), найденного в п. 1.8. Таким образом, рассматривая только случай докритического демпфирования, получим
\[
x=e^{-n t}\left(C_{1} \cos p_{\text {д }} t+C_{2} \sin p_{\text {д }} t\right)+M \cos \omega t+N \sin \omega t .
\]

Первые два слагаемых в выражении (1.44) описывают демпфированные свободные колебания, тогда как два последних – демпфированные вынужденные колебанил. Свободные колебания, как уже говорилось в предыдущем параграфе, имеют период $\tau_{\text {п }}=2 \pi / p_{\text {д }}$, а вынужденные колебания – период $T=2 \pi / \omega$, который совпадает с периодом возмущающей силы, вызывающей эти колебания. Видно, что благодаря присутствию множителя $e^{-n t}$ свободные колебания постепенно уменьшаются и остаются только установившиеся вынужденные колебания, описываемые двумя последними слагаемыми. Эти вынужденные колебания поддерживаются бесконечно долго благодаря действию возмущающей силы и поэтому имеют большое практическое значение. Выше в п. 1.6 уже обсуждались такие вынужденные колебания без демпфирования, но здесь рассмотрим то, как на них влияет демпфирование.

Выражение (1.43) для установившегося поведения системы может быть записано в следующей эквивалентной форме с фазовым углом:
\[
x=A \cos (\omega t-\theta),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
A=\sqrt{M^{2}+N^{2}}=\frac{q}{\sqrt{\left(p^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 n^{2} \omega^{2}}}=\frac{q / p^{2}}{\sqrt{\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right)^{2}+4 n^{2} \omega^{2} / p^{2}}} ; \\
\theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{N}{M}\right)=\operatorname{arctg} \frac{2 \omega n}{p^{2}-\omega^{2}}=\operatorname{arctg} \frac{2 n \omega / p^{2}}{1-\omega^{2} / p^{2}} .
\end{array}
\]

Таким образом, видим, что установившиеся вынужденные колебания с вязким демпфированием представляют собой простое гармоническое движение с постоянной амплитудой $A$, определяемой выражением (r), фазовым углом $\theta$, определяемым выражением (д), и периодом $T=2 \pi / \omega$.

Используя обозначения $p^{2}$ и $q$ из (б) и вводя обозначение $\gamma$ для коэффициента демпфирования
\[
\gamma=n / p=c / c_{\text {кр }}
\]

можно подставить выражение (г) в представление (1.45) и получить
\[
x=(Q / k) \beta \cos (\omega t-\theta),
\]

где коэффициент усиления
\[
\beta=1 / \sqrt{\left(1-\omega^{2} / p^{2}\right)^{2}+(2 \gamma \omega / p)^{2}} .
\]

Кроме того, выражение (д) для фазового угла можно представить в следующем виде:
\[
\theta=\operatorname{arctg} \frac{2 \gamma \omega / p}{1-\omega^{2} / p^{2}} .
\]

Из представления (1.46) видно, что амплитуду установившегося вынужденного колебания можно определить, умножив величину перемещения при статическом нагружении
\[
x_{\mathrm{cT}}=Q / k
\]

на коэффициент усиления $\beta$. Этот коэффициент зависит не только от отношения частот $\omega / p$, но и от коэффициента демпфирования $\gamma$.

На рис. 1.33 показано изменение коэффициента усиления $\beta$ в зависимости от отношения частот $\omega / p$ для различных значений коэффициента демпфирования. Из этих кривых видно, что когда навязанная угловая частота $\omega$ мала по сравнению с собственной угловой частотой $p$, коэффициент усиления $\beta$ незначительно отличается от единицы. Таким образом, при колебании перемещение $x$ подвешенной сосредоточенной массы приблизительно совпадает с перемещением, обусловленным действием возмущающей силы $Q \cos \omega t$.

Когда частота $\omega$ велика по сравнению с частотой $p$, т. е. когда навязанная частота намного меньше, чем собственная частота, величина коэффициента усиления близка к нулю независимо от степени демпфирования. Это означает, что высокочастотная возмущающая сила практически не вызывает вынужденных колебаний системы с низким значением собственной частоты. Как видно, в обоих крайних случаях ( $\omega \ll p$ и $\omega \gg p$ ) демпфирование оказывает лишь второстепенное влияние на величину коэффициента усиления $\beta$. Таким образом, в обоих указанных случаях вынужденных колебаний вполне допустимо полностью пренебречь влиянием демпфирования и использовать решения, полученные в п. 1.6.

Когда частота $\omega$ становится близкой частоте $p$, т. е. отношение $\omega / p$ близко к единице, коэффициент усиления резко увеличивается и его величина при резонансе или в околорезонансной области становится очень чувствительной к изменению коэффициента демпфирования. Следует также отметить, что коэффициент $\beta$ имеет максимальную величину при значениях отношения $\omega / p$, несколько меньших единицы. Положив производную функции $\beta$ по $\omega / p$ равной нулю, найдем, что максимум имеет место при
\[
\frac{\omega}{p}=\sqrt{1-2 \gamma^{2}} \text {. }
\]

При малых значениях коэффициента демпфирования максимальное значение коэфффициента $\beta$ возникает в точке, лежащей очень близко к резонансу, поэтому представляется вполне допустимым взять в качестве максимального значение коэффициента $\beta$ и его значение при резонансе. Тогда из выражений (1.46), (б) и (е) получаем приближенное значение максимальной амплитуды
\[
A_{\max }=\frac{Q}{k} \beta_{\text {pез }}=\frac{Q}{k} \frac{1}{2 \gamma}==\frac{Q}{p^{2} m} \frac{1}{2 n / p}=\frac{Q}{c \omega} .
\]
Рис. 1.34

Из сказанного следует, что хотя демпфирование имеет очень незначительное влияние на резонансное поведение системы в областях, достаточно удаленных от резонанса, оно приобретает особенно важное значение вблизи резонансной области и его уже нельзя не учитывать, если требуется получить имеющие практическое значение результаты.

Рассмотрим теперь соотношения между фазовыми углами для случаев установившихся колебаний и действия возмущающей силой, вызывающей эти колебания. Это соотношение характеризуется фазовым углом $\theta$ в выражении (1.46), величина которого задается формулой (1.48). Так как возмущающая сила изменяется в соответствии с функцией $\cos \omega t$, а вынужденные колебания происходят согласно $\cos (\omega t-\theta)$, то можно сказать, что реакция отстает от функции возмущающей силы на угол $\theta$. Таким образом, когда сила $Q$ (см. рис. 1.32) направлена вниз, подвешенная масса, на которую она действует, еще не достигла своего самого низкого положения; это наступает только через $\theta / \omega$, когда сила $Q$ будет иметь направление, составляющее угол $\theta$ с вертикалью. Из формулы (1.48) видно, что величина угла $\theta$, как и коэффициента $\beta$, зависит как от скорости затухания, так и от отношения частот. Кривые на рис. 1.34 показывают изменение фазового угла $\theta$ в зависимости от отношения частот $\omega / p$ для различных значений коэффициента демпфирования. При отсутствии демпфирования вынужденные колебания в точности совпа-

дают по фазе ( $\theta=0$ ) с колебаниями возмущающей силы для всех значений $\omega / p<1$ и в то же время они различаются по фазе точно на половину цикла ( $\theta=\pi$ ) при $\omega / p>1$. При этом условии, как видно, фазовый угол при резонансе ( $\omega=p$ ) является неопределенным.

При демпфировании можно видеть непрерывное изменение фазового угла $\theta$ с увеличением отношения $\omega / p$. Кроме того, независимо от величины коэффициента демпфирования при резонансе имеем $\theta=\pi / 2$. Таким образом, при резонансе вынужденные колебания отстают от возмущающей силы на четверть цикла. На рис. 1.32, например, сила $Q$ направлена вниз, когда колеблющаяся масса проходит через свое среднее положение. Когда же масса движется к самому низкому положению, сила $Q$ изменяет свое направление на угол $\pi / 2$ и действует теперь уже в горизонтальном направлении, слева направо.

Для значений $\omega / p$, достаточно удаленных в ту или иную сторону от резонанса, малый коэффициент демпфирования, как уже отмечалось, оказывает лишь второстепенное значение на величину фазового угла. Иначе говоря, при отношении частот, значительно менышем единицы, фазовый угол $\theta$ практически равен нулю, тогда как при отношении, значительно большем единицы, этот угол практически равен $\pi$. Таким образом, влияние демпфирования на фазовый угол можно также не принимать во внимание всегда, за исключением областей, лежащих вблизи точки резонанса или около нее.

Пример 1. Пусть полный вес неотбалансированного электродвигателя (см. рис. 1.32) $W=4,54 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$, неуравновешенная масса $m_{1}=1,79 \cdot 10^{2} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{c}$, а центр ее тяжести лежит на расстоянии $r_{1}=2,54 \cdot 10^{-2}$ м от оси электродвигателя. Частота вращения ротора электродвигателя равна 600 мин $^{-1}$, перемещение пружины при статическом нагружении $\delta_{\text {ст }}=2,54 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}$, коэффициент вязкого демпфирования $c=1,79 \cdot 10^{4} \mathrm{H} \cdot \mathrm{c} / \mathrm{m}$. Определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний при указанной частоте вращения, а также при резонансе, когда $\omega=p$.
Решение:
\[
\begin{array}{c}
\omega=2 \pi\left(\frac{600}{60}\right)=20 \pi ; \quad \omega^{2}=400 \pi^{2} ; \\
p^{2}=\frac{g}{\delta_{\mathrm{cT}}}=38600 ; \quad n=\frac{c g}{2 W}=\frac{1,79 \cdot 10^{4} \cdot 9,81}{2 \cdot 4,54 \cdot 10^{3}}=19,3 ; \\
q=\frac{g}{W} \omega^{2}=0,386 \cdot 400 \pi^{2} .
\end{array}
\]

Используя выражение (г), получаем
\[
A=\frac{q}{\sqrt{\left(p^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 n^{2} \omega^{2}}}=\frac{0,386 \cdot 400 \pi^{2}}{\sqrt{\left(38600-400 \pi^{2}\right)^{2}+4 \cdot 19,3^{2} \cdot 400 \pi^{2}}}=1,12 \cdot 10^{-3} \mathrm{M} .
\]

При резонансе имеем $\omega=p=\sqrt{38600}$, тогда с помощью (и) получаем
\[
A_{\max }=\frac{Q}{c \omega}=\frac{\omega}{c}=\frac{\sqrt{38600}}{1,79 \cdot 10^{4}}=4,98 \cdot 10^{-2} \mathrm{M} .
\]

Пример 2. Для системы с демпфированием рассмотреть случай изменяющегося по гармоническому закону перемещения основания (рис. 1.35), а именно:
\[
x_{\mathrm{OCH}}=d \cos \omega t
\]

получить выражение, описывающее установившееся поведение системы при заданной функции возмущающей силы.

Рис. 1.35
Решение. Уравнение движения в рассматриваемом случае имсет вид
\[
m \ddot{x}=-c\left(\dot{x}-\dot{x}_{\text {өг: }}\right)-k\left(x-x_{0(\mathrm{H}}\right),
\]

где
\[
\dot{x}_{\text {осн }}=-d \omega \sin \omega t .
\]

Подставив выражения (к) и (м) в уравнение (л), после преобразования получим
\[
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=d(k \cos \omega t-c \omega \sin \omega t) .
\]

Вводя в правую часть этого уравнения фазовый угол, можно записать
\[
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=B d \cos (\omega t-\varphi),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
B=\sqrt{k^{2}+c^{2} \omega^{2}}, \\
\varphi=\operatorname{arctg}(-c \omega / k) .
\end{array}
\]

Как видно, в данном случае вместо силы $Q \cos \omega t$ имеем возмущающую силу в виде функции $B d \cos (\omega t-\varphi)$; при этом решение можно получить, заменив в $(1.46) Q$ на произведение $B d$ и введя фазовый угол $\varphi$, что в результате дает
\[
x=\frac{B d}{k} \beta \cos (\omega t-\varphi-\theta) .
\]

Пример 3. Неустановившееся движение системы при докритическом демпфировании может быть исследовано с учетом начальных условий в выражении (1.44). Найти закон движения указанной системы при свободных колебаниях, если на систему действует возмущающая сила вида $Q \cos \omega t$.

Решение. Используя начальные условия $x=x_{0}$ и $\dot{x}=\dot{x}_{0}$ при $t=0$ из выражения (1.44) и его первой производной, определяем постоянные интегрирования
\[
C_{1}=x_{0}-M ; \quad C_{2}=\frac{\dot{x}_{0}+n\left(x_{0}-M\right)-N \omega}{p_{\text {д }}} .
\]

Подставляя эти значения в выражение (1.44), найдем
\[
\begin{array}{c}
x=e^{-n t}\left(x_{0} \cos p_{\text {Д }} t+\frac{\dot{x}_{0}+n x_{0}}{p_{\text {Д }}} \sin p_{\text {Д }} t\right)+ \\
+M\left[\cos \omega t-e^{-n t}\left(\cos p_{\text {Д }} t+\frac{n}{p_{\text {д }}} \sin p_{\text {Д }} t\right)\right]+ \\
+N\left(\sin \omega t-e^{-n t} \frac{\omega}{p_{\text {Д }}} \sin p_{\text {Д }} t\right) .
\end{array}
\]

Если взять начальные условия в виде $x_{0}=\dot{x}_{0}=0$, то неустановившаяся часть общего перемещения системы
\[
x_{\mathrm{H}}=-e^{-n t}\left(M \cos p_{\text {д }} t+\frac{M n+N \omega}{p_{\text {д }}} \sin p_{\text {д }} t\right) .
\]

Выражая эту неустановившуюся часть общего решения в форме, содержащей фазовый угол, получим
\[
x_{\mathrm{H}}=-e^{-n t} \frac{c}{p_{\text {д }}} \cos \left(p_{\text {д }} t-\psi\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
c & =\sqrt{\left(M p_{\text {Д }}\right)^{2}+(M n+N \omega)^{2}} ; \\
\psi & =\operatorname{arctg}(M n+M \omega) /\left(M p_{\text {Д }}\right) .
\end{aligned}
\]

ЗАДАЧИ

1.9.1. В середине пролета свободно опертой балки установлен электродвигатель весом $W=9,1 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$ (см. задачи 1.6 .3 и 1.6 .4 в п. 1.6). балки такова, что статический прогиб в середине пролета составляет $\delta_{\text {ст }}=2,54 \times$ $\times 10^{-3} \mathrm{~m}$, а величина вязкого демпфирования обеспечивает уменьшение амплитуды свободных колебаний до половины ее первоначального значения за десять циклов колебаний. Частота вращения ротора электродвигателя равна $600 \mathrm{mин}^{-1}$. При этой частоте вращения из-за неотбалансированности ротора возникает центробежная сила $Q=2,27 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$. Пренебрегая влиянием распределенной массы балки, определить амплитуду установившихся вынужденных колебаний.
Omsem: $A=0,02 \mathrm{~m}$.
1.9.2. Установка с вращающимися деталями, имеющая вес $W=7,26 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$, смонтирована в середине пролета двух параллельных свободно опертых двутавровых балок с длиной $l=3,66$ м и моментом инерции поперечного сечения $I=2,67 \times$ $\times 10^{-5} \mathrm{~m}^{4}$. Ротор установки, вращающийся с частотой 300 мин $^{-1}$, имеет неуравновешенный вес $181,6 \mathrm{H}$, находящийся на расстоянии $2,54 \cdot 10^{-1}$ м от оси вращения. Қакова будет амплитуда установившихся вынужденных колебаний, если эквивалентное вязкое демпфирование для рассматриваемой системы составляет $10 \%$ критического демпфирования?
Omвem: $A=1,12 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}$.
1.9.3. С помощью кривых (см. рис. 1.33) составить уравнение геометрического места точек их пиков для коэффициентов демпфирования.
Omвem: $\beta_{\max }=1 / \sqrt{1-\omega^{4} / p^{4}}$.
1.9.4. Для системы с демпфированием, подверженной действию возмущающей силы вида $Q \sin \omega t$, записать выражение, характеризующее установившееся поведение системы в форме, содержащей фазовый угол.
Oтвет: $x=\frac{Q}{k} \beta \cos (\omega t-\theta) ; \quad \theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{\omega^{2}-p^{2}}{2 n \omega}\right)$.
1.9.5. В предположении, что ускорение опоры изменяется по гармоническому закону $\ddot{x}_{\text {on }}=a \cos \omega t$, получить выражение, характеризующее установившееся поведение системы с демпфированием в форме, содержащей фазовый угол.
Omвет: $x=\frac{B d}{k} \beta \cos (\omega t-\varphi-\theta) ; \quad \varphi=\operatorname{arctg}\left(\frac{k}{c \omega}\right)$.
1.9.6. Для системы с демпфированием, в которой опора смещается по закону $x_{0 п}=d \sin \omega t$, записать выражение, характеризующее установившееся поведение системы в форме, содержащей фазовый угол.
Omвem: $x^{*}=\frac{-m a}{k} \beta \cos (\omega t-\theta) ; \quad \theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{2 n \omega}{p^{2}-\omega^{2}}\right)$.
1.9.7. Записать выражение, характеризующее установившееся поведение (в форме, содержащей фазовый угол) системы с демпфированием, если опора имеет ускорение $\ddot{x}_{\text {оп }}=a \sin \omega t$.
Omвem: $x^{*}=\frac{-m a}{k} \beta \cos (\omega t-\theta) ; \quad \theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{\omega^{2}-p^{2}}{2 n \omega}\right)$.
1.9.8. Для системы с докритическим демпфированием получить выражение, характеризующее неустановившееся движение при действии возмущающей силы $Q \sin \omega t$. Решение представить в форме, аналогичной форме выражения (ф) в примере 3 .
Oтвет: $x_{\mathrm{H}}=-e^{-n t}\left(N \cos p_{\text {Д }} t+\frac{M \omega+N n}{p_{\text {Д }}} \sin p_{\text {Д }} t\right)$.