На рис. 3.19, а показана двухмассовая система с гидравлическими гасителями колебаний, имеющими постоянные вязкого демпфирования $c_{1}$ и $c_{2}$. Если к системе не приложены нагрузки, уравнения движения в усилиях имеют вид (рис. $3.19,6$ )
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}=-c_{1} \dot{x}_{1}+c_{2}\left(\dot{x}_{2}-\dot{x}_{1}\right)-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) ; \\
m_{2} \ddot{x}_{2}=-c_{2}\left(\dot{x}_{2}-x_{1}\right)-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\end{array}
\]

В матричных обозначениях эти уравнения запишутся так:
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C} \dot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}=\mathbf{0},
\]

где
\[
\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ll}
C_{11} & C_{12} \\
C_{21} & C_{22}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
c_{1}+c_{2} & -c_{2} \\
-c_{2} & c_{2}
\end{array}\right], \quad \dot{\mathbf{X}}=\left[\begin{array}{l}
\dot{x}_{1} \\
\dot{x}_{2}
\end{array}\right],
\]

а остальные матрицы в уравнении (3.41) имеют вид, показанный ранее. Матрица демпфирования С состоит из коэффициентов влияния демпфирования, которые можно рассматривать как силы, необходимые для получения единичных скоростей. Таким образом, про-
Рис. 3.19

извольный элемент $C_{i j}$ матрицы коэффициентов влияния вязкого демпфирования представляет собой действие демпфирования типа $i$, которое уравновешивает действие демпфирования, соответствующее единичной скорости типа $j$. Это определение аналогично тому, которое давалось применительно к коэффициентам влияния жесткости и инерции, и процедура определения элементов столбцов матрицы $C$ аналогична той, которая была описана выше применительно к матрицам $\mathbf{S}$ и $\boldsymbol{M}$. Если следовать указанной процедуре, матрица демпфирования будет всегда симметричной.

Поскольку в уравнении (3.41) присутствуют члены, обусловленные влиянием скорости, то и решение однородных дифференциальных уравнений будет более сложным, чем приведенное в п. 3.5 для случая колебаний без демпфирования. Здесь будем нскать решения в обобщенной форме
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=A_{1} e^{s t} ; \\
x_{2}=A_{2} \varepsilon^{s t} .
\end{array}
\]

Подставляя представления (г) и (д), а также их производные в уравнение (3.41), получим систему алгебраических уравнений
\[
\left[\begin{array}{cc}
M_{11} s^{2}+C_{11} s+S_{11} & C_{12} s+S_{12} \\
C_{21} s+S_{21} & M_{22} s^{2}+C_{22} s+S_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
A_{1} \\
A_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Для того чтобы существовали нетривиальные решения этой системы, определитель системы уравнений (е) должен равняться нулю. Отсюда получаем характеристическое уравнение
\[
\left(M_{11} s^{2}+C_{11} s+S_{11}\right)\left(M_{22} s^{2}+C_{22} s+S_{22}\right)-\left(C_{12} s+S_{12}\right)^{2}=0,
\]

или в иной форме
\[
\begin{array}{c}
M_{11} M_{22} s^{4}+\left(M_{11} C_{22}+M_{22} C_{11}\right) s^{2}+\left(M_{11} S_{22}+C_{11} C_{22}+M_{22} S_{11}-C_{12}^{2}\right) s^{2}+ \\
+\left(C_{11} S_{22}+C_{22} S_{11}-2 C_{12} S_{12}\right) s+S_{11} S_{22}-S_{12}^{2}=0 .
\end{array}
\]

Уравнение (и) упрощается, если для системы, показанной на рис. $3.19, a$, используются действительные значения $M_{11}=m_{1}$, $M_{22}=m_{2}$ и т. д. Если указанные значения подставить в уравнение (и), оно примет вид
\[
\begin{array}{l}
m_{1} m_{2} s^{4}+\left[m_{1} c_{2}+m_{2}\left(c_{1}+c_{2}\right)\right] s^{2}+\left[m_{1} k_{2}+c_{1} c_{2}+\right. \\
\left.+m_{2}\left(k_{1}+k_{2}\right)\right] s^{2}+\left(c_{1} k_{2}+c_{2} k_{1}\right) s+k_{1} k_{2}=0 .
\end{array}
\]

Для решения этого уравнения необходимо воспользоваться тем или иным численным методом нахождения корней полинома, но общая форма решения известна и будет подробно обсуждена ниже. Поскольку все коэффициенты уравнений (к) положительны, то четыре отличных от нуля корня этого полинома четвертой степени могут быть или действительными, или положительными, или компплексными с положительными действительными частями *. Кроме того, эти корни могут быть либо действительными и отрицатель-

ными, либо комплексными с отрицательными действительными частями. Если сопротивление мало, система может колебаться свободно; при этом все отличные от нуля корни будут комплексными. Они образуют комплексные сопряженные пары чисел и могут быть представлены в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
s_{11}=-n_{1}+i p_{\lambda 1} ; s_{12}=-n_{1}-i p_{\text {д1 }} ; \\
s_{21}=-n_{2}+i p_{\text {д. }} ; s_{22}=-n_{2}-i p_{\text {д2 }} .
\end{array}
\]

Обозначения $n_{1}$ и $n_{2}$ относятся к положительным числам, характеризующим демпфирование; через $p_{\text {д1 }}$ и $p_{\text {д2 }}$ обозначены круговые частоты колебаний системы с демпфированием. Подставляя эти значения корней в уравнение (е), получим соответствующие значения отношений амплитуд
\[
r_{j k}=\frac{-C_{12} s_{j k}-S_{12}}{M_{11} s_{j k}^{2}+C_{11} s_{j k}+S_{11}}=\frac{M_{22} s_{j k}^{2}+C_{22} s_{j k}+S_{22}}{-C_{21} s_{j k}-S_{21}},
\]

где $j=1,2 ; k=1,2$. Получаемые при этом значения представляют собой комплексно сопряженные числа $r_{11}, r_{12}$ и $r_{21}, r_{22}$. В результате, общее решение можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{11} A_{11} e^{s_{11} t}+r_{12} A_{12} e^{s_{12} t}+r_{21} e^{s_{21} t}+r_{22} A_{22} e^{s_{22} t} \\
x_{2}=A_{11} e^{s_{11} t}+A_{12} e^{s_{12} t}+A_{21} e^{s_{11} t}+A_{22} e^{s_{22} t},
\end{array}
\]

где коэффициенты $A_{11}, A_{12}, A_{21}$ и $A_{22}$ – комплексно сопряженные числа, которые определяются из начальных условий.

Поступая так же, как и в п. 1.8 в случае системы с одной степенью свободы, решения (3.44а) и (3.44б) можно записать в эквивалентной тригонометрической форме. Для этого первые два слагаемых в решении (3.44б) для $x_{2}$ представим в виде
\[
A_{11} e^{s_{11} t}+A_{12} e^{s_{12} t}=e^{-n_{1} t}\left(C_{1} \cos p_{\text {д } 1} t+C_{2} \sin p_{\text {д } 1} t\right),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\cos p_{j 11} t=\frac{e^{i p_{\pi 1} t}+e^{-i p_{\pi 1} t}}{2} ; \\
\sin p_{\text {R1 }} t=\frac{e^{i p_{\mathrm{X} 1} t}-e^{-i p_{\mathrm{Z} 1} t}}{2 i} . \\
\end{array}
\]

Здесь
\[
C_{1}=A_{11}+A_{12}, C_{2}=i\left(A_{11}-A_{12}\right)
\]

действительные постоянные. Соответствующие слагаемые в решении (3.44a) можно записать в тригонометрической форме, введя обозначения:
\[
r_{11}=a+i b ; r_{12}=a-i b,
\]

представляющие собой первую пару комплексно сопряженных значений отношений амплитуд. Тогда первые два слагаемых в решении для $x_{1}$ можно взять в следующей эквивалентной форме:
\[
r_{11} A_{11} e^{s_{11} t}+r_{12} A_{12} e^{s_{12} t}=e^{-n t}\left[\left(C_{1} a-C_{2} b\right) \cos p_{\text {л1 }} t+\left(C_{1} b+C_{2} a\right) \sin p_{\text {t11 }} t\right] .
\]

В аналогичной тригонометрической форме можно записать и два последних слагаемых в решениях для $x_{1}$ и $x_{2}$, используя действительные постоянные:
\[
C_{3}=A_{21}+A_{22} ; C_{4}=i\left(A_{21}-A_{22}\right)
\]

и обозначения
\[
r_{21}=c+i d ; r_{22}=c-i d .
\]

В такой форме общее решение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=e^{-n_{1} t}\left(r_{1} C_{1} \cos p_{\text {д1 }} t+r_{1}^{\prime} C_{2} \sin p_{\text {д1 }} t\right)+e^{-n_{2} t} \times \\
\times\left(r_{2} C_{3} \cos p_{\text {д2 }} t+r_{2}^{\prime} C_{4} \sin p_{\text {Д } 2} t\right) ; \\
x_{2}=e^{-n_{1} t}\left(C_{1} \cos p_{\text {Д1 }} t+C_{2} \sin p_{\text {д1 } 1} t\right)+e^{-n_{2} t}\left(C_{3} \cos p_{\text {Д2 }} t+C_{4} \sin p_{\text {Д2 }} t\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{ll}
r_{1}=\frac{C_{1} a-C_{2} b}{C_{1}} ; \quad r_{1}^{\prime}=\frac{C_{1} b+C_{9} a}{C_{2}} ; \\
r_{2}=\frac{C_{3} c-C_{4} a}{C_{3}} ; \quad r_{2}^{\prime}=\frac{C_{3} d+C_{4} c}{C_{4}}
\end{array}
\]
– действительные значения отношений амплитуд.

Решения (3.45а) и (3.45б) во многом аналогичны решениям для колебаний без демпфирования [см. выражения (3.25а) и (3.25б) в п. 3.5]. Однако они отличаются от упомянутых более простых выражений несколькими важными обстоятельствами. Амплитуды колебаний уменьшаются с течением времени в соответствии с множителем $e^{-n_{1} t}$ и $e^{-n_{2} t}$ и постепенно становятся равными нулю. Кроме того, круговые частоты $p_{\text {д1 }}$ и $p_{2}$ колебаний с демпфированием не совпадают с круговыми частотами колебаний без демпфирования. Далее, в случае с демпфированием имеем четыре формы колебаний, тогда как при отсутствии демпфирования только две формы. И в заключение отметим, что первая часть решения $x_{1}$ не совпадает по фазе со второй частью решения $x_{2}$. Указанное различие в фазах ясно видно, если записать упомянутые части решений с использованием фазовых углов:
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=B_{1}^{\prime} e^{-n_{1} t} \cos \left(p_{\text {д1 }} t-\alpha_{\text {д1 }}^{\prime}\right)+B_{2}^{\prime} e^{-n_{2} t} \cos \left(p_{\text {д2 }} t-\alpha_{\text {д } 2}^{\prime}\right) ; \\
x_{2}=B_{1} e^{-n_{1} t} \cos \left(p_{\text {д1 }} t-\alpha_{\text {д1 } 1}\right)+B_{2} e^{-n_{2} t} \cos \left(p_{\pi 2} t-\alpha_{; 2}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
B_{1}=\sqrt[V]{C_{1}^{2}+C_{2}^{2}} ; B_{2}=\sqrt{C_{3}^{2}+C_{4}^{2}} ; \\
B_{1}^{\prime}=B_{1} \sqrt{a^{2}+b^{2}} ; B_{2}^{\prime}=B_{2} \sqrt{c^{2}+d^{2}} ; \\
\alpha_{\alpha 1}=\operatorname{arctg} \frac{C_{2}}{C_{1}} ; \quad \alpha_{\text {Д2 }}=\operatorname{arctg} \frac{C_{4}}{C_{3}} ; \\
\alpha_{\text {д1 }}^{\prime}=\operatorname{arctg} \frac{r_{1}^{\prime} C_{2}}{r_{1} C_{1}} ; \quad \alpha_{\text {д2 }}^{\prime}=\operatorname{arctg} \frac{r_{2}^{\prime} C_{4}}{r_{2} C_{3}} . \\
\end{array}
\]

Таким образом видим, что формы колебаний, получившие определение в п. 3.5, в рассматриваемой системе с двумя степенями сво-

боды с демпфированием отсутствуют. Существующие же в ней собственные формы колебаний имеют такие фазовые отношения, которые трудно поддаются анализу. Главные формы колебаний и влияние демпфирования будут обсуждены в гл. 4 применительно к системам со многими степенями свободы. Если коэффициенты вязкого демпфирования очень малы, характеристическое уравнение (и) принимает вид, близкий к случаю отсутствия демпфирования, поэтому введем следующие упрощающие предположения:
\[
p_{\text {д1 }} \approx p_{1} ; p_{\text {д2 }} \approx p_{2} ; r_{1}^{\prime} \approx r ; r_{2}^{\prime} \approx r_{2} .
\]

При указанных допущениях решения (3.45а) и (3.45б) принимают более простой вид
\[
\begin{array}{c}
x_{1} \approx r_{1} e^{-n_{1} t}\left(C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t\right)+r_{2} e^{-n_{2} t}\left(C_{3} \cos p_{2} t+C_{4} \sin p_{2} t\right) ; \\
x_{2} \approx e^{-n_{1} t}\left(C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t\right)+e^{-n_{2} t}\left(C_{3} \cos p_{1} t+C_{4} \sin p_{2} t\right) .
\end{array}
\]

Для того чтобы определить постоянные интегрирования $C_{1}, C_{2}$, $C_{3}$ и $C_{4}$, подставим начальные условия $x_{01}, x_{02}, \dot{x}_{01}$ и $\dot{x}_{02}$, заданные при $t=0$, в решения (3.47а) и (3.47б) и их производные. Получим следующие выражения для этих постоянных:
\[
\begin{array}{c}
C_{1} \approx \frac{x_{01}-r_{2} x_{02}}{r_{1}-r_{2}} ; \quad C_{2} \approx \frac{\dot{x}_{01}+n_{1} x_{0}-r_{2}\left(\dot{x}_{02}+n x_{02}\right)}{p_{1}\left(r_{1}-r_{2}\right)} ; \\
C_{3} \approx \frac{r_{1} x_{02}-x_{01}}{r_{1}-r_{2}} ; \quad C_{4} \approx \frac{r_{1}\left(\dot{x}_{02}+n_{2} x_{02}\right)-\left(\dot{x}_{01}+n_{2} x_{01}\right)}{p_{2}\left(r_{1}-r_{2}\right)} .
\end{array}
\]

С другой стороны, при очень значительном демпфировании все корни характеристического уравнения будут действительными и отрицательными. В этом случае решение уже не имеет колебательного характера и может быть представлено в форме
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=r_{1} D_{1} e^{-u_{1} t}+r_{2} D_{2} e^{-u_{2} t}+r_{3} D_{3} e^{-u_{3} t}+r_{4} D_{4} e^{-u_{4} t} ; \\
x_{2}=D_{1} e^{-u_{1} t}+D_{2} e^{-u_{2} t}+D_{3} e^{-u_{3} t}+D_{4} e^{-u_{4} t},
\end{array}
\]

где $u_{1}, u_{2}, u_{3}$ и $u_{4}$ – положительные числа. Кроме того, постоянные $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ и $D_{4}$, а также $r_{1}, r_{2}, r_{3}$ и $r_{4}$ – действительные числа.

Возможна также ситуация, при которой два корня будут действительными и отрицательными, тогда как два других – комплексно сопряженными с отрицательными действительными частями. В этом случае решение можно записать
\[
\begin{aligned}
x_{1}=e^{-n t} & \left(r_{1} C_{1} \cos p_{\mathrm{\mu}} t+r_{1} C_{2} \sin p_{\mathrm{\lambda}} t\right)+r_{3} C_{3} e^{-u_{3} t}+r_{4} C e^{-u_{4} t} ; \\
x_{2} & \stackrel{\doteq}{=} e^{-n t}\left(C_{1} \cos p_{\mathrm{\mu}} t+C_{2} \sin p_{\mathrm{\mu}} t\right)+C_{3} e^{-u_{3} t}+C_{4} e^{-u_{4} t} .
\end{aligned}
\]

Свободные колебания с демпфированием можно рассматривать, используя вместо уравнений движения в усилиях уравнения в перемещениях. При указанном подходе дифференциальные уравнения принимают вид
\[
\mathbf{F}(\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C} \dot{\mathbf{X}})+\mathbf{X}=\mathbf{0} .
\]

Подробности, связанные с применением такого подхода, аналогичны тем, что имеют место при использовании уравнений движения в усилиях, и здесь обсуждаться не будет.