На рис. 3.19, а показана двухмассовая система с гидравлическими гасителями колебаний, имеющими постоянные вязкого демпфирования $c_1$ и $c_2$. Если к системе не приложены нагрузки, уравнения движения в усилиях имеют вид (рис. $3.19,6$ )
$$\begin{array}{c}{m}_1{\ddot{x}}_1=-c_1{\dot{x}}_1+c_2({\dot{x}}_2-{\dot{x}}_1)-k_1{x}_1+k_2(x_2-x_1);\\ m_2{\ddot{x}}_2=-c_2({\dot{x}}_2-x_1)-k_2(x_2-x_1).\end{array}$$

В матричных обозначениях эти уравнения запишутся так:
$$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C}\dot{\mathbf{X}}+\mathbf{S}\mathbf{X}=\mathbf{0},$$

где
$$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ll}{C}_{11}& C_{12}\\ C_{21}& C_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{c}_1+c_2& -c_2\\ -c_2& c_2\end{array}\right],\dot{\mathbf{X}}=\left[\begin{array}{l}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right],$$

а остальные матрицы в уравнении (3.41) имеют вид, показанный ранее. Матрица демпфирования С состоит из коэффициентов влияния демпфирования, которые можно рассматривать как силы, необходимые для получения единичных скоростей. Таким образом, про-
Рис. 3.19

извольный элемент $C_{ij}$ матрицы коэффициентов влияния вязкого демпфирования представляет собой действие демпфирования типа $i$, которое уравновешивает действие демпфирования, соответствующее единичной скорости типа $j$. Это определение аналогично тому, которое давалось применительно к коэффициентам влияния жесткости и инерции, и процедура определения элементов столбцов матрицы $C$ аналогична той, которая была описана выше применительно к матрицам $\mathbf{S}$ и $\mathit{M}$. Если следовать указанной процедуре, матрица демпфирования будет всегда симметричной.

Поскольку в уравнении (3.41) присутствуют члены, обусловленные влиянием скорости, то и решение однородных дифференциальных уравнений будет более сложным, чем приведенное в п. 3.5 для случая колебаний без демпфирования. Здесь будем нскать решения в обобщенной форме
$$\begin{array}{l}{x}_1=A_1{e}^{st};\\ x_2=A_2{\epsilon }^{st}.\end{array}$$

Подставляя представления (г) и (д), а также их производные в уравнение (3.41), получим систему алгебраических уравнений
$$\left[\begin{array}{cc}{M}_{11}{s}^2+C_{11}s+S_{11}& C_{12}s+S_{12}\\ C_{21}s+S_{21}& M_{22}{s}^2+C_{22}s+S_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0\\ 0\end{array}\right].$$

Для того чтобы существовали нетривиальные решения этой системы, определитель системы уравнений (е) должен равняться нулю. Отсюда получаем характеристическое уравнение
$$(M_{11}{s}^2+C_{11}s+S_{11})(M_{22}{s}^2+C_{22}s+S_{22})-{(C_{12}s+S_{12})}^2=0,$$

или в иной форме
$$\begin{array}{c}{M}_{11}{M}_{22}{s}^4+(M_{11}{C}_{22}+M_{22}{C}_{11})s^2+(M_{11}{S}_{22}+C_{11}{C}_{22}+M_{22}{S}_{11}-C_{12}^2)s^2+\\ +(C_{11}{S}_{22}+C_{22}{S}_{11}-2C_{12}{S}_{12})s+S_{11}{S}_{22}-S_{12}^2=0.\end{array}$$

Уравнение (и) упрощается, если для системы, показанной на рис. $3.19,a$, используются действительные значения $M_{11}=m_1$, $M_{22}=m_2$ и т. д. Если указанные значения подставить в уравнение (и), оно примет вид
$$\begin{array}{l}{m}_1{m}_2{s}^4+[m_1{c}_2+m_2(c_1+c_2)]s^2+[m_1{k}_2+c_1{c}_2+\\ +m_2(k_1+k_2)]s^2+(c_1{k}_2+c_2{k}_1)s+k_1{k}_2=0.\end{array}$$

Для решения этого уравнения необходимо воспользоваться тем или иным численным методом нахождения корней полинома, но общая форма решения известна и будет подробно обсуждена ниже. Поскольку все коэффициенты уравнений (к) положительны, то четыре отличных от нуля корня этого полинома четвертой степени могут быть или действительными, или положительными, или компплексными с положительными действительными частями *. Кроме того, эти корни могут быть либо действительными и отрицатель-

ными, либо комплексными с отрицательными действительными частями. Если сопротивление мало, система может колебаться свободно; при этом все отличные от нуля корни будут комплексными. Они образуют комплексные сопряженные пары чисел и могут быть представлены в следующем виде:
$$\begin{array}{l}{s}_{11}=-n_1+i{p}_{\lambda 1};s_{12}=-n_1-i{p}_{\text{д1 }};\\ s_{21}=-n_2+i{p}_{\text{д. }};s_{22}=-n_2-i{p}_{\text{д2 }}.\end{array}$$

Обозначения $n_1$ и $n_2$ относятся к положительным числам, характеризующим демпфирование; через $p_{\text{д1 }}$ и $p_{\text{д2 }}$ обозначены круговые частоты колебаний системы с демпфированием. Подставляя эти значения корней в уравнение (е), получим соответствующие значения отношений амплитуд
$$r_{jk}=\frac{-C_{12}{s}_{jk}-S_{12}}{M_{11}{s}_{jk}^2+C_{11}{s}_{jk}+S_{11}}=\frac{M_{22}{s}_{jk}^2+C_{22}{s}_{jk}+S_{22}}{-C_{21}{s}_{jk}-S_{21}},$$

где $j=1,2;k=1,2$. Получаемые при этом значения представляют собой комплексно сопряженные числа $r_{11},r_{12}$ и $r_{21},r_{22}$. В результате, общее решение можно представить в виде
$$\begin{array}{c}{x}_1=r_{11}{A}_{11}{e}^{s_{11}t}+r_{12}{A}_{12}{e}^{s_{12}t}+r_{21}{e}^{s_{21}t}+r_{22}{A}_{22}{e}^{s_{22}t}\\ x_2=A_{11}{e}^{s_{11}t}+A_{12}{e}^{s_{12}t}+A_{21}{e}^{s_{11}t}+A_{22}{e}^{s_{22}t},\end{array}$$

где коэффициенты $A_{11},A_{12},A_{21}$ и $A_{22}$ — комплексно сопряженные числа, которые определяются из начальных условий.

Поступая так же, как и в п. 1.8 в случае системы с одной степенью свободы, решения (3.44а) и (3.44б) можно записать в эквивалентной тригонометрической форме. Для этого первые два слагаемых в решении (3.44б) для $x_2$ представим в виде
$$A_{11}{e}^{s_{11}t}+A_{12}{e}^{s_{12}t}=e^{-n_{1}t}(C_1\cos p_{\text{д }1}t+C_2\sin p_{\text{д }1}t),$$

где
$$\begin{array}{l}\cos p_{j11}t=\frac{e^{i{p}_{\pi 1}t}+e^{-i{p}_{\pi 1}t}}{2};\\ \sin p_{\text{R1 }}t=\frac{e^{i{p}_{\mathrm{X}1}t}-e^{-i{p}_{\mathrm{Z}1}t}}{2i}.\end{array}$$

Здесь
$$C_1=A_{11}+A_{12},C_2=i(A_{11}-A_{12})$$

действительные постоянные. Соответствующие слагаемые в решении (3.44a) можно записать в тригонометрической форме, введя обозначения:
$$r_{11}=a+ib;r_{12}=a-ib,$$

представляющие собой первую пару комплексно сопряженных значений отношений амплитуд. Тогда первые два слагаемых в решении для $x_1$ можно взять в следующей эквивалентной форме:
$$r_{11}{A}_{11}{e}^{s_{11}t}+r_{12}{A}_{12}{e}^{s_{12}t}=e^{-nt}[(C_{1}a-C_{2}b)\cos p_{\text{л1 }}t+(C_{1}b+C_{2}a)\sin p_{\text{t11 }}t].$$

В аналогичной тригонометрической форме можно записать и два последних слагаемых в решениях для $x_1$ и $x_2$, используя действительные постоянные:
$$C_3=A_{21}+A_{22};C_4=i(A_{21}-A_{22})$$

и обозначения
$$r_{21}=c+id;r_{22}=c-id.$$

В такой форме общее решение имеет вид
$$\begin{array}{c}{x}_1=e^{-n_{1}t}(r_1{C}_1\cos p_{\text{д1 }}t+r_1^{\prime }{C}_2\sin p_{\text{д1 }}t)+e^{-n_{2}t}\times \\ \times (r_2{C}_3\cos p_{\text{д2 }}t+r_2^{\prime }{C}_4\sin p_{\text{Д }2}t);\\ x_2=e^{-n_{1}t}(C_1\cos p_{\text{Д1 }}t+C_2\sin p_{\text{д1 }1}t)+e^{-n_{2}t}(C_3\cos p_{\text{Д2 }}t+C_4\sin p_{\text{Д2 }}t),\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}{r}_1=\frac{C_{1}a-C_{2}b}{C_1};r_1^{\prime }=\frac{C_{1}b+C_{9}a}{C_2};\\ r_2=\frac{C_{3}c-C_{4}a}{C_3};r_2^{\prime }=\frac{C_{3}d+C_{4}c}{C_4}\end{array}$$
— действительные значения отношений амплитуд.

Решения (3.45а) и (3.45б) во многом аналогичны решениям для колебаний без демпфирования [см. выражения (3.25а) и (3.25б) в п. 3.5]. Однако они отличаются от упомянутых более простых выражений несколькими важными обстоятельствами. Амплитуды колебаний уменьшаются с течением времени в соответствии с множителем $e^{-n_{1}t}$ и $e^{-n_{2}t}$ и постепенно становятся равными нулю. Кроме того, круговые частоты $p_{\text{д1 }}$ и $p_2$ колебаний с демпфированием не совпадают с круговыми частотами колебаний без демпфирования. Далее, в случае с демпфированием имеем четыре формы колебаний, тогда как при отсутствии демпфирования только две формы. И в заключение отметим, что первая часть решения $x_1$ не совпадает по фазе со второй частью решения $x_2$. Указанное различие в фазах ясно видно, если записать упомянутые части решений с использованием фазовых углов:
$$\begin{array}{c}{x}_1=B_1^{\prime }{e}^{-n_{1}t}\cos (p_{\text{д1 }}t-{\alpha }_{\text{д1 }}^{\prime })+B_2^{\prime }{e}^{-n_{2}t}\cos (p_{\text{д2 }}t-{\alpha }_{\text{д }2}^{\prime });\\ x_2=B_1{e}^{-n_{1}t}\cos (p_{\text{д1 }}t-{\alpha }_{\text{д1 }1})+B_2{e}^{-n_{2}t}\cos (p_{\pi 2}t-{\alpha }_{;2}),\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}{B}_1=\sqrt[V]{C_1^2+C_2^2};B_2=\sqrt{C_3^2+C_4^2};\\ B_1^{\prime }=B_1\sqrt{a^2+b^2};B_2^{\prime }=B_2\sqrt{c^2+d^2};\\ {\alpha }_{\alpha 1}=\mathrm{arctg}\frac{C_2}{C_1};{\alpha }_{\text{Д2 }}=\mathrm{arctg}\frac{C_4}{C_3};\\ {\alpha }_{\text{д1 }}^{\prime }=\mathrm{arctg}\frac{r_1^{\prime }{C}_2}{r_1{C}_1};{\alpha }_{\text{д2 }}^{\prime }=\mathrm{arctg}\frac{r_2^{\prime }{C}_4}{r_2{C}_3}.\end{array}$$

Таким образом видим, что формы колебаний, получившие определение в п. 3.5, в рассматриваемой системе с двумя степенями сво-

боды с демпфированием отсутствуют. Существующие же в ней собственные формы колебаний имеют такие фазовые отношения, которые трудно поддаются анализу. Главные формы колебаний и влияние демпфирования будут обсуждены в гл. 4 применительно к системам со многими степенями свободы. Если коэффициенты вязкого демпфирования очень малы, характеристическое уравнение (и) принимает вид, близкий к случаю отсутствия демпфирования, поэтому введем следующие упрощающие предположения:
$$p_{\text{д1 }}\approx p_1;p_{\text{д2 }}\approx p_2;r_1^{\prime }\approx r;r_2^{\prime }\approx r_2.$$

При указанных допущениях решения (3.45а) и (3.45б) принимают более простой вид
$$\begin{array}{c}{x}_1\approx r_1{e}^{-n_{1}t}(C_1\cos p_{1}t+C_2\sin p_{1}t)+r_2{e}^{-n_{2}t}(C_3\cos p_{2}t+C_4\sin p_{2}t);\\ x_2\approx e^{-n_{1}t}(C_1\cos p_{1}t+C_2\sin p_{1}t)+e^{-n_{2}t}(C_3\cos p_{1}t+C_4\sin p_{2}t).\end{array}$$

Для того чтобы определить постоянные интегрирования $C_1,C_2$, $C_3$ и $C_4$, подставим начальные условия $x_{01},x_{02},{\dot{x}}_{01}$ и ${\dot{x}}_{02}$, заданные при $t=0$, в решения (3.47а) и (3.47б) и их производные. Получим следующие выражения для этих постоянных:
$$\begin{array}{c}{C}_1\approx \frac{x_{01}-r_2{x}_{02}}{r_1-r_2};C_2\approx \frac{{\dot{x}}_{01}+n_1{x}_0-r_2({\dot{x}}_{02}+n{x}_{02})}{p_1(r_1-r_2)};\\ C_3\approx \frac{r_1{x}_{02}-x_{01}}{r_1-r_2};C_4\approx \frac{r_1({\dot{x}}_{02}+n_2{x}_{02})-({\dot{x}}_{01}+n_2{x}_{01})}{p_2(r_1-r_2)}.\end{array}$$

С другой стороны, при очень значительном демпфировании все корни характеристического уравнения будут действительными и отрицательными. В этом случае решение уже не имеет колебательного характера и может быть представлено в форме
$$\begin{array}{c}{x}_1=r_1{D}_1{e}^{-u_{1}t}+r_2{D}_2{e}^{-u_{2}t}+r_3{D}_3{e}^{-u_{3}t}+r_4{D}_4{e}^{-u_{4}t};\\ x_2=D_1{e}^{-u_{1}t}+D_2{e}^{-u_{2}t}+D_3{e}^{-u_{3}t}+D_4{e}^{-u_{4}t},\end{array}$$

где $u_1,u_2,u_3$ и $u_4$ — положительные числа. Кроме того, постоянные $D_1,D_2,D_3$ и $D_4$, а также $r_1,r_2,r_3$ и $r_4$ — действительные числа.

Возможна также ситуация, при которой два корня будут действительными и отрицательными, тогда как два других — комплексно сопряженными с отрицательными действительными частями. В этом случае решение можно записать
$$\begin{array}{rl}{x}_1=e^{-nt}& (r_1{C}_1\cos p_{\mu }t+r_1{C}_2\sin p_{\lambda }t)+r_3{C}_3{e}^{-u_{3}t}+r_{4}C{e}^{-u_{4}t};\\ x_2& \stackrel{\doteq }{=}{e}^{-nt}(C_1\cos p_{\mu }t+C_2\sin p_{\mu }t)+C_3{e}^{-u_{3}t}+C_4{e}^{-u_{4}t}.\end{array}$$

Свободные колебания с демпфированием можно рассматривать, используя вместо уравнений движения в усилиях уравнения в перемещениях. При указанном подходе дифференциальные уравнения принимают вид
$$\mathbf{F}(\mathbf{M}\ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{C}\dot{\mathbf{X}})+\mathbf{X}=\mathbf{0}.$$

Подробности, связанные с применением такого подхода, аналогичны тем, что имеют место при использовании уравнений движения в усилиях, и здесь обсуждаться не будет.