В общем случае точное решение нелинейного дифференциального уравнения не может быть получено, поэтому здесь могут быть применены только приближенные методы. В любом случае нелинейные колебания можно описать соответствующим образом подобранными

функциями времени, удовлетворяющими некоторым специальным критериям. В данном параграфе будут рассмотрены два широко известных метода, основанных на использовании упомянутых приближенных представлений.

Метод последовательных приближений. Если отклонение характеристики пружины от линейного закона сравнительно мало, уравнение движения при свободных колебаннях системы с одной степенью свободы без демпфирования может быть представлено к следующей форме:
\[
\ddot{x}+p^{2} \ddot{x}+\beta f(x)=0,
\]

где $\alpha$ – малая величина; $f(x)$ – полиномиальная функцня с минимальной степенью $x$, не меньшей двух. Для систем, в которых кривая зависимости нагрузки от перемещения симметрична относительно начала координат, имеем
\[
f(x)=\sum_{i=1}^{n} \pm x\left|x^{i}\right| .
\]

Обычно подобный случай получается при оставлении только второго положительного члена в выражении (а) и подстановке этого выражения в уравнение (2.13). При этом уравнение движения принимает вид
\[
\ddot{x}+p^{2} x+\alpha x^{3}=0 .
\]

Один из методов для описания движения подобных квазилинейных систем состоит в определении периодических решений путем последовательных приближений *.

Допустим, что в момент времени $t=0$ начальные условия для системы имеют вид $x_{0}=x_{\mathrm{M}}, \dot{x}=0$. Предположение о гармоническом законе движения линейной системы, заменившей действительную систему, дает следующее выражение:
\[
x=x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t
\]

где через $p_{1}$ обозначена круговая частота заменяющей системы. Выражение (б) можно рассматривать как первое приближение решения уравнения (2.14), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Поскольку коэффициент $\alpha$ мал, можно предположить, что круговая частота $p_{1}$ не существенно отличается от частоты $p$ линейной системы, и тогда можно записать
\[
p^{2}=p_{1}^{2}+\left(p^{2}-p_{1}^{2}\right),
\]

где $p^{2}-p_{1}^{2}$ – малая величина. Подставляя выражение (в) в уравнение (2.14), получим
\[
\ddot{x}+p_{1}^{2} x+\left(p^{2}-p_{1}^{2}\right) x+\alpha x^{3}=0 .
\]

Первое приближение (б) для $x$ теперь можно подставиить в два последних слагаемых уравнения (г), которые являются малыми величинами, что дает $\ddot{x}+p_{1}^{2} x=-x_{\mathrm{M}}\left(p^{2}-p_{1}^{2}\right) \cos p_{1} t-\alpha x_{\mathrm{M}}^{3} \cos ^{3} p_{1} t$. С учетом равенства $\cos ^{3} p_{1} t=\left(3 \cos p_{1} t+\cos 3 p_{1} t\right) / 4$ получаем
\[
\ddot{x}+p_{1}^{2} x=-\left(p^{2}-p_{1}^{2}+\frac{3 \alpha x_{\mathrm{M}}^{2}}{4}\right) x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t-\frac{\alpha x_{\mathrm{M}}^{3}}{4} \cos 3 p_{1} t .
\]

С математической точки зрения, это уравнение имеет форму, аналогичную случаю системы с одной степенью свободы без демпфирования, в которой имеется возмущающие силы в виде гармонических функций. Однако здесь первый стоящий в правой части уравнения член описывает функцию возмущающей силы, имеющей ту же частоту $p_{1}$, что и у заменяющей системы. Это приведет к тому, что динамические перемещения системы будут бесконечно возрастать со временем и не будет выполняться условие свободных колебаний с постоянной амплитудой. Для устранения такого ложного резонанса необходимо положить коэффициент при $\cos p_{1} t$ равным нулю. Этот шаг является существенной особенностью метода по крайней мере потому, что тем самым удается получить приближенное значение для частоты
\[
p_{1}^{2}=p^{2}+\frac{3 \alpha x_{M}}{4} \text {. }
\]

Поскольку слагаемое $p^{2}$ может рассматриваться как первое приближение для $p_{1}^{2}$, выражение (2.15) представляет собой второе приближение, состоящее из первого и добавочного члена $3 \alpha x_{\mathrm{m}}^{2} / 4$.

Оставшимся слагаемым уравнения (д) соответствует общее решение
\[
x=C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t+\frac{\alpha x_{\mathrm{M}}^{2}}{32 p_{1}^{2}} \cos 3 p_{1} t .
\]

Для того чтобы удовлетворить заданным начальным условиям $\left(x_{0}=x_{\mathrm{M}}, \dot{x}_{0}=0\right.$ ), постоянные интегрирования следует взять в виде $C_{1}=x_{\mathrm{M}}-\alpha x_{\mathrm{M}}^{3} /\left(32 p_{1}^{2}\right), C_{2}=0$.

Следовательно, второе приближение для функции, описывающей движение системы,
\[
x=x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t+\frac{\boldsymbol{\alpha} x_{\mathrm{M}}^{3}}{32 p_{1}^{2}}\left(\cos 3 p_{1} t-\cos p_{1} t\right) .
\]

Таким образом, поправочный член во втором приближении содержит более высокую гармонику, пропорциональную $\cos 3 p_{1} t$ и показанную графически на рис. 2.11, a. Естественно, что величина отклонения от кривой, изображающей функцию косинуса, зависит от величины коэффициента $\alpha$. Следует также учитывать, что круговая частота $p_{1}$ увеличивается с ростом амплитуды, что видно из представленной на рис. 2.11 , б зависимости (2.15).

Если необходимо получить третье приближение для функции, описывающей движение, следует подставить второе приближение

Рис. 2.11
(2.16) в уравнение (г) и вновь проделать те же выкладки, что и ранее. Однако здесь тригонометрические преобразования становятся довольно громоздкими, поэтому желательно воспользоваться более простым приемом. С учетом сказанного заметим, что выражения (2.15) и (2.16) можно записать в следующей форме:
\[
p=p_{1}^{2}+\alpha c_{\mathbf{1}} ; \quad x=\varphi_{0}+\alpha \varphi_{\mathbf{1}} .
\]

Следовательно, выражения вторых приближений для частоты колебания и перемещения содержат величину $\alpha$ в первой степени. Тогда для получения последующих приближений надо удержать дополнительные члены в рядах
\[
\begin{array}{r}
x=\varphi_{0}+\alpha \varphi_{1}+\alpha^{2} \varphi_{2}+\alpha^{3} \varphi_{3}+\cdots ; \\
p^{2}=p_{1}^{2}+\alpha c_{1}+\alpha^{2} c_{2}+\alpha^{3} c_{3}+\ldots
\end{array}
\]

Оба ряда содержат степени малой величины $\alpha$. В этих рядах $\varphi_{0}$, $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ суть неизвестные функции времени, $c_{1}, c_{2}, c_{3}, \ldots$ – постоянные, которые должны быть выбраны таким образом, чтобы устранялись условия резонанса, как это делалось при получении второго приближения. Увеличивая число удерживаемых членов ряда, можно получить желаемое число последовательных приближений. В последующем изложении опускаются все члены, содержащие $\alpha$ в степени выше третьей. Подставляя представления (2.17a) и (2.17б) в уравнение (2.14), найдем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi_{0}}+\alpha \ddot{\varphi}_{1}+\alpha^{2} \ddot{\varphi}_{2}+\alpha^{3}{ }_{\varphi}+\left(p_{1}^{2}+\alpha c_{1}+\alpha^{2} c_{2}+\alpha^{3} c_{3}\right)\left(\varphi_{0}+\alpha \varphi_{1}+\right. \\
\left.+\alpha^{2} \varphi_{2}+\alpha^{3} \varphi_{3}\right)+\alpha\left(\varphi_{0}+\alpha \varphi_{1}+\alpha^{2} \varphi_{2}+\alpha^{2} \varphi_{3}\right)^{3}=0 .
\end{array}
\]

После приведения подобных членов и отбрасывания всех членов, содержащих $\alpha$ в степени выше третьей, уравнение (3) можно переписать в виде
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi}_{0}+p_{1}^{2} \varphi_{0}+\alpha\left(\ddot{\varphi}_{1}+p_{1}^{2} \varphi_{1}+c_{1} \varphi_{0}+\varphi_{0}^{3}\right)+\alpha^{2}\left(\ddot{\varphi}_{2}+p_{1}^{2} \varphi_{2}+c_{2} \varphi_{0}+\right. \\
\left.+c_{1} \varphi_{1}+3 \varphi_{0}^{2} \varphi_{1}\right)+\alpha^{3}\left(\ddot{\varphi}_{3}+p_{1}^{2} \varphi_{3}+c_{3} \varphi_{0}+c_{2} \varphi_{1}+c_{1} \varphi_{2}+3 \varphi_{0}^{2} \varphi_{2}+\right. \\
\left.+3 \varphi_{0} \varphi_{1}^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Данное соотношение должно выполняться при любых значениях малой величины $\alpha$, а это означает, что коэффициент при каждой из трех степеней $\alpha$ должен быть равен нулю. Таким образом, вместо соотношения (и) можно записать следующую систему уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi}_{0}+p_{1}^{2} \varphi_{0}=0 ; \\
\ddot{\varphi}_{1}+p_{1}^{2} \varphi_{1}=-c_{1} \varphi_{0}-\varphi_{0}^{3} ; \\
\ddot{\varphi}_{2}+p_{1}^{2} \varphi_{2}=-c_{2} \varphi_{0}-c_{1} \varphi_{1}-3 \varphi_{0}^{2} \varphi_{1} ; \\
\ddot{\varphi}_{3}+p_{1}^{2} \varphi_{3}=-c_{3} \varphi_{0}-c_{2} \varphi_{1}-c_{1} \varphi_{2}-3 \varphi_{0}^{2} \varphi_{2}-3 \varphi_{0} \varphi_{1}^{2} .
\end{array}
\]

Используя те же, что и выше, начальные условия (т. е. при $t=0$ имеем $x_{0}=x_{\mathrm{M}}, \dot{x}_{0}=0$ ) и подставляя их в представления (2.17a), найдем
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{0}(0)+\alpha \varphi_{1}(0)+\alpha^{2} \varphi_{2}(0)+\alpha^{3} \varphi_{3}(0)=x_{M} ; \\
\dot{\varphi}(0)+\alpha \dot{\varphi}_{1}(0)+\alpha^{2} \dot{\varphi}_{2}(0)+\alpha^{3} \dot{\varphi}_{3}(0)=0 .
\end{array}
\]

Поскольку здесь, как и выше, эти соотношения должны выполняться для любых значений коэффициента $\alpha$, имеем
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{0}(0)=x_{\mathrm{M}} ; \quad \dot{\varphi}_{0}(0)=0 ; \\
\varphi_{1}(0)=0 ; \quad \dot{\varphi}_{1}(0)=0 ; \\
\varphi_{2}(0)=0 ; \quad \dot{\varphi}_{2}(0)=0 ; \\
\varphi_{3}(0)=0 ; \quad \dot{\varphi}_{3}(0)=0 .
\end{array}
\]

Рассматривая первое уравнение из системы (и) и соответствующие ему начальные условия, записанные в первой строке выражения (л), найдем
\[
\varphi_{0}=x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t .
\]

Подставляя это первое приближение в правую часть второго уравнения из системы (и), получим
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi_{1}}+p_{1}^{2} \varphi_{1}=-c_{1} x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t-x_{\mathrm{M}}^{3} \cos ^{3} p_{1} t=-\left(c_{1} x_{\mathrm{M}}+\frac{3 x_{\mathrm{M}}^{3}}{4}\right) \times \\
\times \cos p_{1} t-\frac{x_{\mathrm{M}}^{3}}{4} \cos 3 p_{1} t .
\end{array}
\]

Для устранения условия возникновения резонанса постоянную $c_{1}$ следует выбрать такой, чтобы первое слагаемое, стоящее в правой части уравнения, равнялось нулю, что дает
\[
c_{1}=-3 x_{\mathrm{M}}^{2} / 4 .
\]

Общее решение для функции $\varphi_{1}$ имеет вид
\[
\varphi_{1}=C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t+\frac{x_{\mathrm{M}}^{3}}{32 p_{1}^{2}} \cos 3 p_{1} t .
\]

Для того чтобы удовлетворить начальным условиям, представленным во второй строке соотношения (л), найдем $C_{1}=-x_{\mathrm{M}}^{3} / 32 p_{1}^{2}$, $C_{2}=0$. Тогда окончательно получим
\[
\varphi_{1}=\frac{x_{M}^{3}}{32 p_{1}^{2}}\left(\cos 3 p_{1} t-\cos p_{1} t\right) .
\]

Если ограничить расчеты определением второго приближения и подставить выражения (м), (н) и (о) в представления (2.17 а) и (2.17б), то придем к следующему выражению:
\[
x=x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t+\frac{\alpha x_{\mathrm{M}}^{3}}{32 p_{1}^{2}}\left(\cos 3 p_{1} t-\sin p_{1} t\right),
\]

где
\[
p_{1}^{2}=p^{2}+3 \alpha x_{\mathrm{M}}^{2} / 4 .
\]

Эти результаты в точности совпадают с выражениями, полученными выше [см. выражения (2.15) и (2.16)].

Для получения третьего приближения подставим выражения (м), (н) и (о) в правую часть третьего уравнения системы (к):
\[
\begin{array}{c}
\ddot{\varphi}_{2}+p_{1}^{2} \varphi_{2}=-c_{2} x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t+3 x_{\mathrm{M}}^{2}\left(\frac{1}{4}-\cos ^{2} p_{1} t\right)\left[\frac { x _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } } { 3 2 p _ { 1 } ^ { 2 } } \left(\cos 3 p_{1} t-\right.\right. \\
\left.\left.-\cos p_{1} t\right)\right] .
\end{array}
\]

Используя известные тригонометрические формулы для функций кратных углов, можно это уравнение привести к виду
\[
\ddot{\varphi}_{2}+p_{1}^{2} \varphi_{2}=-x_{\mathrm{M}}\left(c_{2}-\frac{3 x_{\mathrm{M}}^{2}}{128 p_{1}^{2}}\right) \cos p_{1} t-\frac{3 x_{\mathrm{M}}^{5}}{128 p_{1}^{2}} \cos 5 p_{1} t .
\]

Для того чтобы, как и выше, исключить условия возникновения резонанса, положим
\[
c_{2}=\frac{3 x_{\mathrm{M}}^{4}}{128 p_{1}^{2}} .
\]

Тогда общим решением для функции $\varphi_{2}$ будет
\[
\varphi_{2}=C_{1} \cos p_{1} t+C_{2} \sin p_{1} t+\frac{x_{M}^{5}}{1024 p_{1}^{4}} \cos 5 p_{1} t .
\]

Используя третью строку соотношений (л), найдем постоянные интегрирования
\[
C_{1}=-\frac{x_{\mathrm{m}}^{5}}{1024 p_{1}^{4}}, \quad C_{2}=0,
\]

откуда получим
\[
\varphi_{2}=\frac{x_{\mathrm{M}}^{5}}{1024 p_{1}^{4}}\left(\cos 5 p_{1} t-\cos p_{1} t\right) .
\]

Тогда третье приближение, описывающее реакцию системы, принимает вид
\[
\begin{aligned}
x=x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t+ & \frac{\alpha x_{\mathrm{M}}^{3}}{32 p_{1}^{2}}\left(\cos 3 p_{1} t-\cos p_{1} t\right)+\frac{\alpha^{2} x_{\mathrm{M}}^{5}}{1024 p_{1}^{4}} \times \\
& \times\left(\cos 5 p_{1} t-\cos p_{1} t\right),
\end{aligned}
\]

где $p_{1}$ определяется выражением
\[
p_{1}^{2}=p^{2}+\frac{3 \alpha x_{\mathrm{M}}^{2}}{4}-\frac{3 \alpha^{2} x_{\mathrm{M}}^{4}}{128 p^{2}} .
\]

Для того чтобы получить четвертое приближение, подставим выражения для $\varphi_{0}, \varphi_{1}, \varphi_{2}, c_{1}$ и $c_{2}$ в последнее уравнение из системы (к) и, проделав те же, что и выше выкладки, найдем
\[
\begin{aligned}
x= & x_{\mathrm{M}} \cos p_{1} t+\frac{\alpha x_{\mathrm{M}}^{3}}{32 p_{1}}\left(\cos 3 p_{1} t-\cos p_{1} t\right)+\frac{\alpha^{2} x_{\mathrm{M}}^{5}}{1024 p_{1}^{4}}\left(\cos 5 p_{1} t-\right. \\
& \left.-\cos p_{1} t\right)+\frac{\alpha^{3} x_{\mathrm{M}}^{7}}{32,768 p_{1}^{6}}\left(\cos 7 p_{1} t-6 \cos 3 p_{1} t+5 \cos p_{1} t\right),
\end{aligned}
\]

где частоту $p_{1}$ определяем из выражения
\[
p_{1}^{2}=p^{2}+-\frac{3 \alpha x_{\mathrm{M}}^{2}}{4}-\frac{3 \alpha^{2} x_{\mathrm{M}}^{4}}{128 p^{2}}+\frac{9 \alpha^{3} x_{\mathrm{M}}^{6}}{512 p^{4}} .
\]

В заключение укажем, что метод последовательных приближений состоит в представлении перемещений при нелинейных свободных колебаниях рядами функций, получаемых в соответствии с выбранной формой для первого приближения, подобной представлению (б),

а затем последовательного решения системы уравнений, подобной системе (к), с учетом начальных условий, аналогичных условиям (л). Приближение, получаемое по этому методу, по существу удовлетворяет уравнению движения только в те моменты времени, когда колебательная система находится в крайнем или среднем положениях. Хотя теоретически число последовательных приближений, которые могут быть получены, неограничено, обычно для практических целей оказывается достаточным второго приближения.

Метод усреднения Ритца *.

Другой способ приближенного исследования нелинейных колебаний с помощью рядов основан на том, что среднее значение возможной работы за цикл полагается равным нулю. Этот подход известный как метод усреднения Ритца 4 , может дать более точное решение, чем метод последовательных приближений, при том же самом числе удерживаемых членов ряда. Более того, применение метода осреднения не ограничивается квазилинейными системами. Этот метод может применяться и для исследования как свободных, так и вынужденных (см. следующий параграф) колебаний.

Рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы без демпфирования, для которой уравнение движений можно записать в следующем виде:
\[
\ddot{x}+f(x)=0,
\]

где слагаемые в левой части описывают силу инерции и восстанавливающую силу, отнесенные к единице массы. Согласно принципу Даламбера уравнение (2.22) можно рассматривать как уравнение динамического равновесия, в котором упомянутые две силы уравновешивают друг друга. Если системе задается возможное перемещение $\delta x$, то работа, совершаемая при этом указанными силами, должна равняться нулю, что дает
\[
[\ddot{x}+f(x)] \delta x=0 .
\]

При применении метода усреднения Ритца 4 предполагаем, что приближенное решение для задачи о свободных колебаниях можно задать в виде ряда
\[
x=a_{1} \varphi_{1}(t)+a_{2} \varphi_{2}(t)+a_{3} \varphi_{3}(t)+\ldots=\sum_{i=1}^{n} a_{i} \varphi_{i}(t),
\]

где $\varphi_{1}(t), \varphi_{2}(t), \ldots$, – выбранные функции времени; $a_{1}, a_{2}, \ldots$ весовые коэффициенты, определяемые из условия, что возможная работа, совершаемая за один цикл, равна нулю. Возможные перемещения выбираем в форме
\[
\delta x_{i}=\delta a_{i} \varphi_{i}(t),
\]

после чего работу интегрируем по интервалу времени, равному длительности одного цикла:
\[
\sum_{i=1}^{n} \int_{0}^{r}[\ddot{x}+f(x)] \delta a_{i} \varphi_{i}(t) d t=0,
\]

откуда получаем
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{r}[\ddot{x}+f(x)] \varphi_{1}(t) d t=0 ; \\
\int_{0}^{r}[\ddot{x}+f(x)] \varphi_{2}(t) d t=0 ; \\
\cdot . \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot . \cdot . \cdot \\
\int_{0}^{r}[\ddot{x}+f(x)] \varphi_{n}(t) d t=0 .
\end{array}
\]

Система уравнений (2.24) представляет собой $n$ алгебраических уравнений, решая которые можно определить величины $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$.

В качестве примера рассмотрим квазилинейную систему, для которой уравнение движения имеет вид (2.14). Если в качестве первого приближения взять решение для задачи о свободных колебаниях
\[
x=a_{1} \varphi_{1}(t)=a_{1} \cos p_{1} t
\]

то первое уравнение системы (2.24) примет вид
\[
\int_{0}^{r}\left[-p_{1}^{2} a_{1} \cos p_{1} t+p^{2} a_{1} \cos p_{1} t+\alpha a_{1}^{3} \cos ^{3} p_{1} t\right] \cos p_{1} t d t=0 .
\]

Учитывая равенства
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{r} \cos ^{2} p_{1} t d t=\frac{1}{p_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} p_{1} t d\left(p_{1} t\right)=\frac{r^{2}}{p_{1}} ; \\
\int_{0}^{r} \cos ^{4} p_{1} t d t=\frac{1}{p_{1}} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{4} p_{1} t d\left(p_{1} t\right)=\frac{3 \pi}{4 p_{1}},
\end{array}
\]

найдем
\[
p_{1}^{2}=p^{2}+\frac{3 \alpha a_{1}^{2}}{4} .
\]

Это выражение совпадает с выражением (2.15), полученным методом последовательных приближений, и из него можно определить величину $a_{1}$ в зависимости от $p, p_{1}$ и $\alpha$. Определяя из уравнения (2.25) коэффициент $a_{1}$ и подставляя его в представление (ц), получаем
\[
x=2 \sqrt{\frac{\left(p_{1}^{2}-p^{2}\right)}{3 \alpha}} \cos p_{1} t
\]

В качестве более точного приближения, удовлетворяющего условиям симметрии в данном примере, можно взять два члена ряда
\[
x=a_{1} \varphi_{1}(t)+a_{2} \varphi_{2}(t)=a_{1} \cos p_{1} t+a_{2} \cos 3 p_{1} t .
\]

Подставляя представления (ч) в первые два уравнения системы (2.24), после интегрирования получаем систему двух кубических уравнений, которую можно решить численно и определить коэффициенты $a_{1}$ и $a_{2}$. Хотя эта часть исследования является сложной, однако трудности носят только алгебраический характер.