Рассмотрим теперь гармонические возбуждения систем с двумя степенями свободы. Предположим, например, что на двухмассовую систему (см. рис. $3.1, a$ ) действуют возмущающие силы в виде функций синуса
\[
Q_{1}=P_{1} \sin \omega t ; Q_{2}=P_{2} \sin \omega t,
\]

имеющие одинаковую круговую частоту $\omega$ и различные значения амплитуд $P_{1}$ и $P_{2}$. В этом случае выраженные через действие уравнения (3.6) движения в усилиях принимают вид
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}=\mathbf{P} \sin \omega t,
\]

где
\[
\mathbf{P}=\left[\begin{array}{l}
P_{1} \\
P_{2}
\end{array}\right] .
\]

В этом параграфе также будут рассмотрены только случаи с диагональными матрицами масс, и тогда в развернутом виде уравнения (3.27) будут такими:
\[
\left[\begin{array}{cc}
M_{11} & 0 \\
0 & M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
S_{11} S_{12} \\
S_{21} S_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
P_{1} \\
P_{2}
\end{array}\right] \sin \omega t .
\]

Частные решения этих уравнений можно взять в виде $x_{1}=A_{1} \times$ $\times \sin \omega t ; x_{2}=A_{2} \sin \omega t$ или в более краткой форме
\[
\mathbf{x}=A \sin \omega t,
\]

где $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{l}A_{1} \\ A_{2}\end{array}\right]$ – амплитуды установившихся колебаний.
Подставляя представления (б) в уравнения (3.28), получим следующую систему алгебраических уравнений:
\[
\left[\begin{array}{cc}
S_{11}-\omega^{2} M & S_{12} \\
S_{21} & S_{22}-\omega^{2} M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}
P_{1} \\
P_{2}
\end{array}\right] .
\]

Решая эти уравнения относительно матрицы-столбца $\mathbf{A}$, найдем
\[
\mathbf{A}=\mathbf{B P},
\]

где B – матрица, обратная матрице коэффициентов из уравнений (в):
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ll}
B_{11} & B_{12} \\
B_{21} & B_{22}
\end{array}\right]=\frac{1}{C}\left[\begin{array}{cc}
S_{22}-\omega^{2} M_{22} & -S_{21} \\
-S_{21} & S_{11}-\omega^{2} M_{11}
\end{array}\right] ; \\
C=\left(S_{11}-\omega^{2} M_{11}\right)\left(S_{22}-\omega^{2} M_{22}\right)-S_{12}^{2} .
\end{array}
\]

Элементы матрицы В являются коэффициентами влияния (их называют также передаточными функциями), которые можно рассматривать как амплитуды динамических перемещений при установившемся состоянии и при действии возмущающих сил в виде единичных гармонических функций. Подставляя выражения (г) в уравнение (б), получаем окончательный вид решения
\[
\mathbf{X}=\mathbf{B P} \sin \omega t,
\]

которое описывает простые гармонические движения двух масс с частотой $\omega$.

При медленно изменяющихся возмущающих силах (т. е. при $\rightarrow$ $\rightarrow 0$ ) матрица В становится обратной к матрице жесткости, т. е. превращается в матрицу податливости. Сравнивая выражение (е) для $C$ с характеристическим уравнением (ж) из п. 3.5 , можно заметить, что при $\omega=p_{1}$ или $\omega=p_{2}$ амплитуды становятся бесконечно большими. Таким образом, для системы с двумя степенями свободы имеются два условия резонанса, соответствующие одной из двух частот свободных колебаний.
Из уравнения (г) получаем отношение амплитуд
\[
\frac{A_{1}}{A_{2}}=-\frac{\left(S_{22}-\omega^{2} M_{22}\right) P_{1}-S_{12} P_{2}}{S_{21} P_{1}+\left(S_{11}-\omega^{2} M_{11}\right) P_{2}} .
\]

Когда $P_{2}=0$ и $\omega=p_{1}$ или $\omega=p_{2}$, это отношение принимает вид, соответствующий вторым формам записи выражений (3.20a) и (3.20б) в п. 3.5. С другой стороны, если положить $P_{1}=0$, то отношение будет соответствовать первым формам выражений для $r_{1}$ и $r_{2}$ при условиях резонанса. В более общем виде, если разделить числитель и знаменатель выражения (ж) на $-S_{12}$, получим
\[
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{r_{i} P_{1}+P_{2}}{P_{1}+P_{2} / r_{i}}=r_{i}, \quad i=1,2 .
\]

Полученный результат означает, что для каждого условия резонанса при вынужденных колебаниях существует соответствующая главная форма.

Чтобы построить частотную характеристику для амплитуд установившегося состояния системы с двумя степенями свободы, необходимо задать конкретные значения параметров задачи. Таким образом, для двумассовой системы (см. рис. $3.1, a$ ) возьмем $m_{1}=2 m$, $m_{2}=m, k_{1}=k_{2}=k$. Для удобства графического представления введем обозначение
\[
p_{i}^{2}=\frac{k_{1}}{m_{1}}=\frac{k}{2 m}
\]

и вычислим по формуле (3.19) характеристические значения для системы, выраженные через $p_{0}^{2}$ :
\[
p_{1}^{2}=0,586 p_{0}^{2} ; p_{2}^{2}=3,414 p_{0}^{2} .
\]

Если через $p_{0}^{2}$ выразить матрицу $\mathbf{B}$, получим
\[
\mathbf{B}=\frac{k}{C}\left[\begin{array}{cc}
1-\omega^{2} /\left(2 p_{0}^{2}\right) & 1 \\
1 & 2\left[1-\omega^{2} /\left(2 p_{0}^{2}\right)\right]
\end{array}\right],
\]

где
\[
C=k^{2}\left\{\left[2\left(1-\omega^{2} /\left(2 p_{0}^{2}\right)\right]^{2}-1\right\} .\right.
\]

В этом случае все элементы матрицы В имеют одинаковую размернссть, поэтому для того чтобы сделать ее безразмерной, достаточно просто умножить ее на $k$ :
\[
\boldsymbol{\beta}=k \mathbf{B},
\]
Рис. 3.17
тогда решения (3.29) примут вид
\[
\mathbf{X}=\boldsymbol{\beta}(\mathbf{P} / k) \sin \omega t .
\]

Выражение (н) аналогично выражению (1.24) из п. 1.6. Таким образом, матрицу $\boldsymbol{\beta}$ можно рассматривать как матрицу коэффициентов усиления (с точностью до постоянного множителя).

На рис. 3.17 представлены в безразмерной форме зависимости для коэффициентов усиления
\[
\begin{array}{l}
\beta_{11}=\frac{1-\omega^{2} /\left(2 p_{0}\right)}{2\left[1-\omega^{2} /\left(2 p_{0}^{2}\right)\right]^{2}-1} ; \\
\beta_{21}=\frac{1}{2\left[1-\omega^{2} /\left(2 p_{0}^{2}\right)\right]^{2}-1},
\end{array}
\]

которые связаны с функцией $\left(P_{1} / k\right) \sin \omega t$. Оба эти коэффициента равны единице при $\omega=0$; при увеличении частоты $\omega$ они принимают положительные значения, что указывает на то, что массы в процессе колебаний имеют одинаковую фазу с возмущающей силой $P_{1}$ sin $\omega t$. Когда частота $\omega$ достигает значения первой собственной частоты $p_{1}$, оба коэффициента обращаются в бесконечность. Когда частота $\omega$ станет несколько большей, чем частота $p_{1}$, оба коэффициента примут отрицательные значения, указывающие на то, что массы находятся в противофазе с возмущающей силой, по по-прежнему имеют одинаковые фазы друг с другом. При дальнейшем увеличении $\omega$ оба коэффициента будут уменьшаться, пока при частоте $\omega=\sqrt{2} p_{0}$ коэффициент $\beta_{11}$ не станет равен нулю, а коэффициент $\beta_{21}$ примет значение -1 . Когда $\omega$ превысит значения $\sqrt{2} p_{0}$, коэффициент $\beta_{11}$

будет иметь положительные значения, а $\beta_{21}$ по-прежнему отрицательные. Это означает, что массы находятся в противофазе друг с другом, но первая масса снова имеет одинаковую фазу с возмущающей силой. Коэффициенты вторично обращаются в бесконечность при $\omega=p_{2}$, а когда частота $\omega$ значительно превысит значение $p_{2}$, перемещения обеих масс будут стремиться к нулю.

Особенно интересно то, что коэффициент $\beta_{11}$ становится равен нулю при частоте $\omega=\sqrt{2} p_{0}$. При этой частоте первая масса находится в покое, тогда как вторая движется с амплитудой – $P_{1} / k$ в противофазе с возмущающей силой. Это видно из выражения (е), где элемент $\beta_{11}$ матрицы принимает нулевое значение при частоте
\[
\omega=\sqrt{S_{22} / M_{22}},
\]

которая в случае двухмассовой системы равна $\sqrt{k_{2} / m_{2}}=\sqrt{2} p_{0}$. Чтобы показать, насколько удобно пользоваться этим условием, рассмотрим электродвигатель массой $m_{1}$, установленный на балку с жесткостью $k_{1}$ (рис. $3.18, a$ ). Вращение вектора силы $P_{1}$ при неуравновешенном роторе может вызвать значительные колебания системы, когда круговая частота принимает критическое значение $\boldsymbol{\omega}_{\text {кр }}=\sqrt{k_{1} / m_{1}}$. Для того чтобы подавнть эти вынужденные колебания, присоединим дополнительную массу $m_{2}$ к имеющей жесткость $k_{2}$ пружине, как показано на рис. 3.18, б. Если массу $m_{2}$ и жесткость $k_{2}$ подобрать так, чтобы выполнялось условие $\sqrt{k_{2} / m_{2}}=$ $=\omega_{\text {кр }}$, получим систему с двумя степенями свободы, в которой не будут возникать колебания, обусловленные колебаниями электродвигателя, поскольку дополнительная масса колеблется с амплитудой $P_{1} / k_{2}$. Подобная дополнительная система называется динамическим гасителем колебаний, поскольку она может предотвратить возникновение колебаний, вызываемых вращающимися с постоянной скоростью узлами машин, если в системе отсутствует демпфирование. Для того чтобы спроектировать «гаситель колебаний», подберем сначала жесткость $k_{2}$ пружины такой, чтобы амплитуда $-P_{1} / k_{2}$ была достаточно большой, а затем подберем массу такой, чтобы выполнялось условие $\sqrt{k_{2} / m_{2}}=\omega_{\text {кр }}$. Для того чтобы быть эффективным и при скоростях, отличных от $\omega_{\text {кр }}$, требуется ввести в систему действительное сопротивление (см. пример, описанный в конце п. 3.8).

Как уже говорилось выше в п. 1.6, вынужденные колебания могут возникать в результате пeриодических движений основания. Предположим, например, что показанное на рис. $3.1, a$ основание перемещается в направлении $x$
Рис. 3.18

в соопветствии с видом простой гармонической функции $x_{0 \mathrm{c}}=$ $=d \sin \omega t$, где $d$ – амплитуда перемещения. В этом случае уравнения движения в усилиях имеют вид
\[
\begin{array}{c}
m_{1} \ddot{x}_{1}=-k_{1}\left(x_{1}-x_{\text {iс }}\right)+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) ; \\
m_{2} \ddot{x}_{2}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) .
\end{array}
\]

В матричной форме эти уравнения можно записать
\[
\boldsymbol{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{S} \mathbf{X}=\mathbf{P}_{\text {осн }} \sin \omega t .
\]

Элементами матрицы-столбца $\mathbf{P}_{\text {си }}$ в уравнении (3.31) являются максимальные силы, передаваемые массам через пружины при перемещениях основания. В этом случае в матрице $\mathbf{P}_{\text {осн }}$ только один элемент не равен нулю:
\[
\mathbf{P}_{\mathrm{c} \mathrm{CI}}=\left[\begin{array}{c}
k_{1} d \\
0
\end{array}\right] .
\]

С другой стороны, предположим, что ускорения основания в горизонтальном направлении описываются выражением вида $\ddot{x}_{\text {vсн }}=$ $=a \sin \omega t$, где $a-$ амплитуда ускорения. В этом случае перейдем к новой системе координат, используя относительные перемещения:
\[
x_{1}^{*}=x_{1}-x_{\text {осн }} ; x_{2}^{*}=x_{2}-x_{\text {осн }} .
\]

Соответствующие ускорения имеют вид
\[
\ddot{x}_{1}^{*}=\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{\text {ссн }}, \ddot{x}_{2}^{*}=\ddot{x}_{2}-\ddot{x}_{\text {осн }} .
\]

Тогда можно записать матричные уравнения в относительных координатах
\[
\mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}^{*}+\boldsymbol{S} \mathbf{X}^{*}=\mathbf{P}_{\text {он }}^{*} \sin \omega t .
\]

Для двухмассовой системы, показанной на рис. 3.1, $a$, матрицастолбец $\mathbf{P}_{\text {оси }}^{*}$ из уравнения (3.32) такова:
\[
\mathbf{P}_{\text {oCH }}^{*}=-\left[\begin{array}{l}
m_{1} \\
m_{2}
\end{array}\right] a .
\]

Таким образом, задачи о вынужденных колебаниях, обусловленных движением опоры, всегда могут быть представлены в той же математической форме, что и задача с приложенными к системе возмущающими силами, соответствующими координатам перемещения. Кроме того, всегда можно определить эквивалентные нагрузки *, соответствующие перемещениям, обусловленным приложенными усилиями, не соответствующими этим перемещениям.

Если для исследования вынужденных колебаний воспользоваться вместо уравнений движения в усилиях этими же уравнениями в перемещениях, то вместо уравнения (3.27) получим
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}=\mathbf{F P} \sin \omega t,
\]

и ін в развернутом виде
\[
\left[\begin{array}{ll}
F_{11} M_{11} & F_{12} M_{22} \\
F_{21} M_{11} & F_{22} M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
\ddot{x}_{1} \\
\ddot{x}_{2}
\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
F_{11} F_{12} \\
F_{21} F_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
P_{1} \\
P_{2}
\end{array}\right] \sin \omega t .
\]

Подстановка представления (в) в уравнение (3.34) дает
\[
\left[\begin{array}{cc}
1-\omega^{2} F_{11} M_{11} & -\omega^{2} F_{12} M_{22} \\
-\omega^{2} F_{21} M_{11} & 1-\omega^{2} F_{22} M_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
A_{1} \\
A_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
F_{11} & F_{12} \\
F_{21} & F_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
P_{1} \\
P_{2}
\end{array}\right] \text {. }
\]

В этом случае решение для амплитуды $A$ можно записать в форме
\[
A=\text { DFP, }
\]

где D- обратная матрица коэффициентов, стоящих в левой части уравнений (ч):
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{D}=\left[\begin{array}{c}
D_{11} D_{12} \\
D_{21} D_{22}
\end{array}\right]=\frac{1}{H}\left[\begin{array}{cc}
1-\omega^{2} F_{22} M_{22} & \omega^{2} F_{12} M_{22} \\
\omega^{2} F_{21} M_{11} & 1-\omega^{2} F_{11} M_{11}
\end{array}\right] ; \\
H=\left(1-\omega^{2} F_{11} M_{11}\right)\left(1-\omega^{2} F_{22} M_{22}\right)-\omega^{4} F_{12}^{2} M_{11} M_{22} .
\end{array}
\]

Элементы матрицы D являются коэффициентами влияния, которые можно рассматривать как амплитуды при установившемся поведении и при единичных гармонических перемещениях масс. Подставляя выражение (ш) в систему уравнений (в), получим решение
\[
\mathbf{X}=\mathbf{D F P} \sin \omega t .
\]

Сравнивая выражения (3.35) и (3.29), видим, что
\[
\mathrm{DF}=\mathbf{B} \text {, }
\]

откуда следует
\[
\mathbf{D}=\mathbf{B S} .
\]

Хотя обе матрицы B и $S$ являются симметричными, их произведение $\mathbf{D}$ – обычно несимметричная матрица. Можно также ввести обозначение
\[
\Delta_{\text {cт }}=\mathbf{F P} \text {, }
\]

использул которое можно представить уравнение (3.33) в иной форме:
\[
\mathbf{F M} \ddot{\mathrm{X}}+\mathbf{X}=\Delta_{\text {ст }} \sin \omega t .
\]

Тогда решение (3.35) будет иметь вид
\[
\mathbf{X}=\mathbf{D} \boldsymbol{\Delta}_{\mathrm{cr}} \sin \omega t,
\]

аналогичный решению (х) из примера 4, приведенного в п. 1.6. Матрдца $\Delta_{\text {сг }}$ состоит из элементов, которые представляют перемещения масс при статическом приложении нагрузок, равных максимальным значениям функций возмущающих сил. Как и в выражении (3.37), элементы матрицы $\boldsymbol{\Delta}_{\text {ст }}$ обусловлены приложением сил, соответствующих коэффициентам перемещений, но такие же элементы могут быть обусловлены либо иным типом сил, либо движением основания.

Гармонические перемещения основания системы, показанной на рис. 3.1, a, особенно легко рассматривать с помощью уравнения (3.38).

Если, как и выше, взять перемещение основания в виде $x_{\text {всп }}=$ $=d \sin \omega t$, то матрица-столбец примет простую форму
\[
\Delta_{\text {ст }}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right] d
\]

что соответствует движению системы как жесткого тела. С другой стороны, если заданы ускорения основания в виде $x_{\text {ссн }}=$ $=a \sin \omega^{\prime}$, то этот случай является более трудным для исследования. При этом уравнение (3.38), записанное в относительных координатах [см. выражения (ф) и (х)], примет вид
\[
\mathbf{F} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{X}}+\mathbf{X}^{*}=\Delta_{\mathrm{cT}}^{*} \sin \omega t
\]

где
\[
\Delta_{\mathrm{cT}}^{*}=\mathbf{F P}_{\mathrm{oCH}}^{*} .
\]

Пример 1. Предположим, что в двухмассовой системе (см. рис. 3.1,a) задано перемещение основания в виде функции синуса $x_{0 \text { он }}=d \sin \omega t$. Так же, как при построении графиков на рис. 3.17, примем, что $m_{1}=2 m, m_{2}=m, k_{1}=k_{2}=k$. Определить установившееся поведение системы, используя уравнения движения как в усилиях, так и в перемещениях.

Peшение. Используя ранее найденные матрицы В [см. выражения (к) и (л)] и $\mathbf{P}_{\text {осн }}$ [см. выражение (y)] для этой системы, можно сразу подставить их в уравнение (3.29) и получить
\[
\begin{array}{l}
x_{1}= {\left[\left(1-\omega^{2} m / k\right) d \sin \omega t\right] /\left[2\left(1-\omega^{2} m / k\right)^{2}-1\right] ; } \\
x_{2}=d \sin \omega t /\left[2\left(1-\omega^{2} m / k\right)^{2}-1\right] .
\end{array}
\]

Далее, учитывая, что для податливостей имеем $F_{11}=F_{12}=F_{21}=\delta, F_{22}=2 \delta$, получим матрицу [см. выражения (щ) и (э)]
\[
\mathbf{D}=\frac{1}{H}\left[\begin{array}{cc}
1-\omega^{2} m \delta & \omega^{2} m \delta \\
2 \omega^{2} m \delta & 1-\omega^{2} m \delta
\end{array}\right],
\]

где
\[
H=\left(1-2 \omega^{2} m \delta\right)^{2}-2 \omega^{4} m^{2} \delta^{2}=2\left(1-\omega^{2} m \delta\right)^{2}-1 .
\]

Подстановка выражений для D и $\Delta_{\text {ст }}$ [см. выражение (а)] в уравнение (3.39) дает
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\left[\left(1-\omega^{2} m \delta\right) d \sin \omega t\right] /\left[2\left(1-\omega^{2} m \delta\right)^{2}-1\right] \\
x_{2}=[d \sin \omega t] /\left[2\left(1-\omega^{2} m \delta\right)^{2}-1\right]
\end{array}
\]

Пример 2. Предположим, что показанная на рис. 3.8, a рама (см. пример 2 в п. 3.3) нагружена крутящим моментом $T=T_{\mathrm{M}} \cos \omega t$ относительно оси $z$, приложенным\”к ее правому верхнему углу. Определить установившееся движение массы, присоединенной к незакрепленному концу рамы, обусловленное этим воздействием.

Решение. Будем исследовать эту систему, используя уравнения в перемещениях и учитывая, что в данном случае податливости $F_{11}=4 l^{3} /(3 E I), F_{12}=F_{21}=l^{2} /(2 E I)$, $F_{22}=l^{2} /(3 E I)$. Примем так же, что $M_{11}=M_{22}=m$. Подставляя эти значения в выражения (щ) и (э), получим матрицу
\[
\mathbf{D}=\frac{1}{H}\left[\begin{array}{cc}
1-\omega^{2} m l^{3} / 3 E I & \omega^{2} m l^{3} / 2 E I \\
\omega^{2} m l^{3} / 2 E I & 1-4 \omega^{2} m l^{3} / 3 E I
\end{array}\right],
\]

где
\[
H=1-5 \omega^{2} m l^{3} / 3 E I+7 \omega^{4} m^{2} l / 36(E I)^{2} .
\]

Максимальный момент $T_{\mathrm{M}}$, приложенный статически к верхнему правому углу рамы, вызывает перемещение массы на расстояние $T_{\mathrm{M}} l^{2} /(E I)$ в направлении оси $x$ и на

расстояние $T_{\mathrm{M}} l^{2} /(2 E I)$ в направлении оси $y$. Следовательно, матрица-столбец $\Delta_{\text {ст }}$ в этой задаче имеет вид
\[
\Delta_{\mathrm{CT}}=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right] \frac{T_{\mathrm{M}} l^{2}}{2 E l} .
\]

Подставляя это выражение в (3.39), найдем искомое решение
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\left(12-\frac{\omega^{2} m l^{3}}{E I}\right) \frac{T_{\mathrm{M}} l^{2}}{12 E I H} \cos \omega t ; \\
y_{1}=\left(3-\frac{\omega^{2} m l^{3}}{E I}\right) \frac{T_{\mathrm{M}} l^{2}}{6 E I H} \cos \omega t .
\end{array}
\]