Из уравнения (4.43) предыдущего параграфа видно, что типичной формой уравнения для свободных колебаний без демпфирования в нормальных координатах является следующая:
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=0 ; \quad i=1,2,3, \ldots, n .
\]

Каждое уравнение подобного типа не связано со всеми остальными, поэтому оно будет рассматриваться как относящееся к системе

с одной степенью свободы [см. уравнение (1.1)]. Если бы для каждой нормальной координаты можно было определить начальные условия, заданные относительно перемещения $x_{0 \Gamma}$ и скорости $x_{0 \text { г } i}$ при $t=0$, то можно было бы определить поведение системы при свободных колебаниях по $i$-й форме:
\[
x_{\Gamma} i=x_{0 \Gamma} \cos p_{i} t+\frac{x_{0}}{p_{i}} \sin p_{i} t, i=1,2,3, \ldots, n .
\]

Это выражение получено из решения (1.5) для системы с одной степенью свободы, колеблющейся без демпфирования.

Из выражения (4.32) получаем начальные перемещения, выраженные в нормальных координатах:
\[
\mathbf{X}_{0 \Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \mathbf{X}_{0},
\]

где $\mathbf{X}_{0}$ и $\mathbf{X}_{0 \Gamma}$ — векторы начальных перемещений соответственно в исходных и нормальных координатах следующего вида:
\[
\mathbf{X}_{0}=\left[\begin{array}{c}
x_{01} \\
x_{02} \\
x_{03} \\
\cdots \\
x_{0 n}
\end{array}\right], \quad \mathbf{X}_{0 \Gamma}=\left[\begin{array}{c}
x_{0 \Gamma 1} \\
x_{0 \Gamma 2} \\
x_{0 \Gamma 3} \\
\ldots \\
x_{0 \Gamma n}
\end{array}\right] .
\]

Аналогичным образом можно записать начальные скорости системы через нормальные координаты с помощью преобразования
\[
\dot{\mathbf{X}}_{0 \Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \dot{\mathbf{X}}_{0},
\]

где $\dot{\mathbf{X}}_{0}$ и $\dot{\mathbf{X}}_{0 \text { г }}$ — векторы начальных скоростей, выраженные, соответственно, через исходные и нормальные координаты. Соотношение (4.57) получаем путем дифференцирования соотношения (4.56) по времени, при этом форма каждого вектора скорости аналогична форме каждого вектора перемещения в выражениях (а).

Имея требуемые начальные условия, выраженные через нормальные координаты, можно путем повторного применения решения (4.55) определить компоненты вектора $\mathbf{X}_{\Gamma}=\left\{x_{\Gamma i}\right\}$ перемещений при нормальных формах колебаний системы. Полученные значения затем преобразуем вновь к исходным координатам, используя преобразование (4.34), что дает
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma} .
\]

Такая последовательность операций остается неизменной независимо от того, записаны исходные уравнения движения в усилиях или перемещениях. Однако в подходе, использующем уравнения в усилиях, существует возможность появления одной или нескольких форм движений как абсолютно жесткого тела. Для главной формы подобного типа собственное значение равно нулю, поэтому уравнение (4.54) принимает вид
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}=0 \text {. }
\]

Интегрируя это уравнение дважды по времени, получим
\[
x_{\Gamma i}=x_{0 \Gamma i}+\dot{x}_{0 \Gamma i} t .
\]

Уравнение (4.60) используется вместо (4.55) для того, чтобы описать поведение в нормальных координатах по форме, соответствующей движению как абсолютно жесткого тела.

Пример 1. В п. 3.5 были определены динамические перемещения двухмассовой системы при свободных колебаниях (см. рис. 3.1,a), при этом произвольные постоянные находились из начальных условий $x_{01}=x_{02}=1$ и $\dot{x}_{01}=\dot{x}_{02}=0$. Получим те же самые результаты с помощью метода нормальных форм колебаний.

Решение. В предположении, что $m_{1}=m_{2}=m$ и $k_{1}=k_{2}=k$, ранее были определены собственные значения системы $p_{1}^{2}=0,382 k / m ; p_{2}^{2}=2,618 k / m$. Кроме того, были найдены значения отношений амплитуд $r_{1}=0,618$ и $r_{2}=-1,618$. Следовательно, матрица форм колебаний имеет вид
\[
\mathbf{X}_{M}=\left[\begin{array}{rr}
0,618 & -1,618 \\
1,000 & 1,000
\end{array}\right] .
\]

Для того чтобы пронормировать эту матрицу по отношению к матрице $\mathbf{M}=m \mathbf{I}$, из соотношений (4.39) определим скаляры
\[
\begin{array}{l}
C_{1}=\sqrt{m(+0,618)^{2}+m(1,000)^{2}}=1,175 \sqrt{\bar{m}} ; \\
C_{2}=\sqrt{m(-1,618)^{2}+m(1,000)^{2}}=1,902 \sqrt{\bar{m}} .
\end{array}
\]

Разделив столбцы матрицы $\mathbf{X}_{\mathbf{M}}$ на эти значения, получим
\[
\mathbf{x}_{\mathrm{H}}=\frac{1}{\sqrt{m}}\left[\begin{array}{rr}
0,526 & -0,851 \\
0,851 & 0,526
\end{array}\right] .
\]

Обращение матрицы $\mathbf{X}_{\mathrm{H}}$, необходимое для преобразования исходных данных к нормальным координатам, получаем в соответствии с выражением (4.446):
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathrm{T}} \mathbf{M}=\sqrt{m}\left[\begin{array}{rr}
0,526 & 0,851 \\
-0,851 & 0,520
\end{array}\right] .
\]

Начальные условия в векторной форме имеют вид
\[
\mathbf{X}_{0}=\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right], \quad \dot{\mathbf{X}}_{0}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

В соответствии с выражением (4.56) вектор не равных нулю начальных перемещений преобразуем в нормальных координатах следующим образом:
\[
\mathbf{X}_{0 \Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \mathbf{X}_{0}=\sqrt{\bar{m}}\left[\begin{array}{r}
1,377 \\
-0,325
\end{array}\right] .
\]

Дважды воспользовавшись выражением (4.55), получим вектор решения в нормальных координатах
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\sqrt{\bar{m}}\left[\begin{array}{r}
1,377 \cos p_{1} t \\
-0,325 \cos p_{2} t
\end{array}\right] .
\]

Затем с помощью обратного преобразования (4.58) Приходим к выражению, определяющему поведение системы в исходных координатах:
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\left[\begin{array}{l}
0,724 \cos p_{1} t+0,276 \cos p_{2} t \\
1,171 \cos p_{1} t-0,171 \cos p_{2} t
\end{array}\right] .
\]

Полученный результат совпадает с найденным в п. 3.5.
Пример 2. Для примера, где имело место движение как абсолютно жесткого тела, рассмотрим\»систему с тремя массами (см. рис.’ $4.1, a$ ) и положим $k_{1}=0$. Кроме того, предположим, что $m_{1}=m_{2}=m$ и $k_{2}=k_{3}=k$. Как было найдено выше (см. пример 1 в п. 4.2), здесь собственные значения $p_{1}^{2}=0, p_{2}^{2}=k / m_{-}^{*} p_{3}^{2}=$

$=3 k / m$. Так же были получены собственные векторы, при этом матрица форм колебаний имела вид
\[
\mathbf{X}_{M}=\left[\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 1 \\
1 & 0 & -2 \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]
\]

Предположим, что система находится в покое в тот момент, когда по первой массе ударяют таким образом, что она внезапно приобретает скорость $v$. Определить поведение системы, обусловленное этим ударом.
Решение. Нормируя матрицу $\mathbf{X}_{M}$ по отношению к матрице масс, получим
\[
\mathbf{x}_{\mathrm{H}}=\frac{1}{\sqrt{6 m}}\left[\begin{array}{rrr}
\sqrt{2} & \sqrt{3} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -2 \\
\sqrt{2} & -\sqrt{3} & 1
\end{array}\right],
\]

тогда матрица, обратная $\mathbf{x}_{\mathrm{H}}$, будет иметь вид
\[
\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{\mathbf{T}} \boldsymbol{M}=\sqrt{\frac{m}{6}}\left[\begin{array}{rrr}
\sqrt{2} & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\
\sqrt{3} & 0 & -\sqrt{3} \\
1 & -2 & 1
\end{array}\right] .
\]

Векторы начальных условий таковы:
\[
\mathbf{X}_{0}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \dot{\mathbf{X}}_{0}=\left[\begin{array}{l}
v \\
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

Преобразуя не равный нулю вектор начальных скоростей к нормальным координатам, найдем
\[
\dot{\mathbf{x}}_{0 \Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \dot{\mathbf{x}}_{0}=v \sqrt{\frac{m}{6}}\left[\begin{array}{c}
\sqrt{2} \\
\sqrt{3} \\
1
\end{array}\right] .
\]

Для описания движения системы как абсолютно жесткого тела следует использовать выражение (4.60), тогда как поведение с учетом колебательных форм движений описывается выражением (4.55). Таким образом, динамическое перемещение системы по нормальным формам колебаний можно записать в виде вектора-столбца
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=v \sqrt{\frac{m}{6}}\left[\begin{array}{c}
\sqrt{2} t \\
\left(\sqrt{3} \sin p_{2} t\right) / p_{2} \\
\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}
\end{array}\right]
\]

Преобразуя эти значения к исходным координатам, получим
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{v}{6}\left[\begin{array}{c}
2 t+\left(3 \sin p^{2} t\right) / p_{2}+\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3} \\
2 t-\left(2 \sin p_{3} t\right) / p_{3} \\
2 t-\left(3 \sin p_{2} t\right) / p_{2}+\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}
\end{array}\right] .
\]

В выражении (о) составляющая каждой формы движения, определяющая движение как абсолютно жесткого тела, равна vt/3.

Если все массы имеют одну и ту же начальную скорость $v$, то вектор начальных скоростей имеет вид $\dot{\mathbf{X}}_{0}=\{v, v, v\}$, и тогда выражения (н), (о) и (п) принимают вид
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{X}_{0}=v \sqrt{3 m}\left[\begin{array}{l}
1 \\
0 \\
0
\end{array}\right], \quad \mathbf{X}_{\Gamma}=v \sqrt{3 m}\left[\begin{array}{l}
t \\
0 \\
0
\end{array}\right], \\
\mathbf{X}=v t\left[\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right] .
\end{array}
\]

В этом случае движение представляет собой перенос системы как абсолютно жесткого тела без колебаний.

Пример 3. Определить поведение системы (см. рис. 4.2,a) при свободных колебаниях в случае внезалного приложения ко второй массе в направлении оси $x$ постоянной во времени силы $P$. Предполагается, что дано: $m_{1}=m_{2}=m$ и $l_{1}=$ $=l_{2}=l_{3}=l_{4}=l$.
Peшение. В примере 2 из п. 4.2 была получена матрица форм колебаний
\[
\mathbf{X}_{M}=\left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & —\sqrt{2} \\
1 & -1 & 1
\end{array}\right]
\]

Нормирование матрицы $\mathbf{X}_{M}$ по отношению к матрице $\boldsymbol{M}$ дает
\[
\mathbf{X}_{M}=\frac{1}{2 \sqrt{m}}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2}, & 0 & \sqrt{2} \\
1 & -\sqrt{2} & 1
\end{array}\right], \quad \mathbf{X}_{M}^{-1}=\frac{\sqrt{m}}{2}\left[\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt{2} & 1 \\
\sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \\
1 & \sqrt{2} & 1
\end{array}\right] .
\]

Векторы начальных условий имеют вид
\[
\mathbf{X}_{0}=\frac{P l}{2 T}\left[\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right], \quad \dot{\mathbf{X}}_{0}=\left[\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right] .
\]

В нормальных координатах начальные перемещения принимают вид
\[
\mathbf{x}_{0 \Gamma}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}}^{-1} \mathbf{x}_{0}=\frac{P l \sqrt{m}}{2 T}\left[\begin{array}{c}
1+\sqrt{2} \\
0 \\
1-\sqrt{2}
\end{array}\right] .
\]

Пользуясь выражением (4.55), найдем реакции системы по нормальным формам
\[
\mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P l \sqrt{m}}{2 T}\left[\begin{array}{c}
(1+\sqrt{2}) \cos p_{1} t \\
0 \\
(1-\sqrt{2}) \cos p_{3} t
\end{array}\right]
\]

Затем определим искомые величины в исходных координатах
\[
\mathbf{X}=\mathbf{X}_{\mathrm{H}} \mathbf{X}_{\Gamma}=\frac{P l}{4 T}\left[\begin{array}{l}
(1+\sqrt{2}) \cos p_{1} t+(1-\sqrt{2}) \cos p_{3} t \\
(\sqrt{2}+2) \cos p_{1} t-(\sqrt{2}-2) \cos p_{3} t \\
(1+\sqrt{2}) \cos p_{1} t+(1-\sqrt{2}) \cos p_{3} t
\end{array}\right]
\]

Здесь отсутствует антисимметричная вторая форма, и в выражении (ц) фигурируют только симметричные первая и третья формы колебаний. Следовательно, массы $m_{1}$ и $m_{3}$ колеблются с одной и той же формой.

ЗАДАЧИ

4.4.1. Определить поведение системы (см. рис. 4.1,a) при свободных колебаниях, если к третьей массе в направлении оси внезапно прикладывается постоянная во времени сила $P$. Если здесь взять $m_{1}=m_{2}=m_{3}=m$ и $k_{1}=k_{2}=k_{3}=k$,
собственные значения и собственные векторы будут равны этим величинам, определенным в примере 1 в п. 4.2 для первого случая.
Omsem: $x_{1}=P\left(1,220 \cos p_{1} t-0,280 \cos p_{2} t+0,060 \cos p_{3} t\right) /(4 k)$.
4.4.2. Для трехмассовой системы, рассмотренной в задаче 4.2.2, определить неустановившееся поведение при свободных колебаниях, если заданы начальные условия $\mathbf{X}_{0}=\{0 ; 0 ; 0\} ; \dot{\mathbf{X}}_{0}=\{v ; 0 ;-v\}$.
Oтвет: $x_{1}=v\left(\sin p_{2} t\right) / p_{2}$.
4.4.3. Для рассмотренных в задаче 4.3.3 маятников, соединенных пружинами, определить неустановившееся поведение при свободных колебаниях, если заданы начальные условия $\theta_{0}=\{0 ; \varphi ; 0\}, \dot{\theta}_{0}=\{0 ; 0 ; 0\}$.
Oтвет: $\theta_{1}=\varphi\left(\cos p_{1} t-\cos p_{3} t\right) / 3$.
4.4.4. Определить неустановившееся поведение вращающейся системы из задачи 4.2.4, если заданы начальные условия $\Phi_{0}=\{0 ; 0 ; 0\} ; \dot{\Phi}_{0}=\{\dot{\theta} ; \dot{\theta} ; \dot{\theta}\}$.
Omвem: $\varphi_{1}=\dot{\theta}\left[0,543\left(\sin p_{1} t\right) / p_{1}+0,349\left(\sin p_{2} t\right) / p_{2}+0,108\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}\right]$.
4.4.5. Определить неустановившуюся реакцию системы с четырьмя массами, рассмотренную в задаче 4.2 .5 , при начальных условиях $\mathbf{X}_{0}=\{0 ; 0 ; 0 ; 0\}$ и $\dot{\mathbf{X}}_{0}=$ $=\{v ; 0 ; 0 ; v\}$.
Omвem: $x_{1}=v\left[t+\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}\right] / 2$.
4.4.6. Предположим, что невесомая балка, рассмотренная в задаче 4.2 .6 , вращаясь с постоянной угловой скоростью $\dot{\theta}$ относительно левой опоры, внезапно зацепляется за правую опору. Определить неустановившееся поведение системы при указанном начальном условии в виде начальной скорости.
Omвem: $y_{1}=\dot{\theta} l\left[1,707\left(\sin p_{1} t\right) / p_{1}-\left(\sin p_{2} t\right) / p_{2}+0,293\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}\right] / 4$.
4.4.7. Для тройного маятника, рассмотренного в задаче 4.2.7, взять начальные условия в виде $\mathbf{X}_{0}=\{\Delta ; \Delta ; \Delta\}, \dot{\mathbf{X}}_{0}=\{0 ; 0 ; 0\}$ и определить соответствующие динамические перемещения.
Oтвет. $x_{1}=\Delta\left(0,334 \cos p_{1} t+0,314 \cos p_{2} t+0,352 \cos p_{3} t\right)$.
4.4.8. Определить неустановившееся поведение рассмотренного в задаче 4.2.8 каркаса трехэтажного дома при внезапном приложении к перекрытию третьего этажа постоянной во времени нагрузки $Q_{3}=P$.
Omвeт. $x_{1}=P h^{3}\left(2,611 \cos p_{1} t-0,754 \cos p_{2} t+0,142 \cos p_{3} t\right) /(144 E I)$.
4.4.9. Пусть масса (см. задачу 4.2.9) имеет начальную скорость $v_{x}$ в направлении оси $x$, а остальные компоненты начальной скорости и перемещения равны нулю. Определить характер результирующего движения системы.
Oтвет: $x_{1}=v_{x}\left[0,708\left(\sin p_{1} t\right) / p_{1}+0,292\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}\right]$.
4.4.10. Предположим, что постоянная во времени сила $P$ приложена в направлении оси $y$ в точке $C$ рамы, рассмотренной в задаче 4.2.10. Определить реакцию системы при внезапном приложении этой силы.
Oтвет: $x_{1}=P l^{3}\left(26,40 \cos p_{1} t-2,381 \cos p_{2} t-0,021 \cos p_{3} t\right) /(48 E l)$.
4.4.11. Определить динамические перемещения системы, рассмотренной в задаче 4.2.11, при начальных условиях $\mathbf{Y}_{0}=\{0 ; 0 ; 0\} ; \dot{\mathbf{Y}}_{0}=\{v ; 2 v ; v\}$.
Oтвет: $y_{1}=v\left[4 t-\left(\sin p_{3} t\right) / p_{3}\right] / 3$.
4.4.12. Для системы, рассмотренной в задаче 4.2.12, определить ее динамические перемещения при начальных условиях $y_{01}=\Delta ; \theta_{01}=\theta_{02}=0 ; \dot{y}_{01}=0$; $\dot{\theta}_{01}=\dot{\theta}_{02}=0$, если задано $l=0,915 \mathrm{~m}$.
Omвem: $y_{1}=\Delta\left(1,367 \cos p_{1} t-0,367 \cos p_{3} t\right)$.