Во всех предыдущих обсуждениях вынужденных колебаний предполагалось, что возмущающая сила описывается функцией, пропорциональной либо $\sin \omega t$, либо $\cos \omega t$. В общем случае могут встретиться возмущающие силы, описываемые периодическими функциями более сложного вида. В данном параграфе будет обсуждаться поведение системы с одной степенью свободы при действии таких возмущающих сил.

Рассмотрим, например, одноцилиндровый двигатель (рис. 1.40). Когда такой двигатель имеет неотбалансированные детали, совершающие возвратно-поступательное движение внутри картера 4 , последние порождают периодическую возмущающую силу, которая вызовет
Рис. 1.40 колебание всей системы. При изучении указанных вынужденных колебаний потребуется знание точного характера возмущающей силы, а особую важность имеет отношение ее периода к периоду собственных колебаний системы.
При исследовании возмущающей силы массу шатуна 2 можно представить с достаточной точностью в виде двух сосредоточенных масс, одна из которых относится к пальцу кривошипа 3 , другая – к поршню 1. Bсе остальные неуравновешенные движущиеся массы могут быть также отнесены к указанным двум точкам. В результате потребуется рассмотреть только две сосредоточенные массы $M_{1}$ и $M_{2}$ (см. рис. 1.40). Если за положительное выбрать направление сил вниз, вертикальная составляющая силы инерции массы $M_{1}$ :
\[
F_{1}=-M_{1} \omega^{2} r \cos \omega t,
\]

где $\omega$ – угловая скорость вращения коленчатого вала вокруг оси $5 ; r$ – радиус кривошипа; $\omega t$ – угол, составляемый кривошипом с вертикальной осью.

Возвратно-поступательное движение массы $M_{2}$ является более сложным. Обозначим через $x$ перемещение массы $M_{2}$ от верхней мертвой точки поршня, а через $\alpha$ – угол между шатуном и вертикальной осью. Из приведенного чертежа (см. рис. 1.40) имеем
\[
\begin{array}{c}
x=l(1-\cos \alpha)+r(1-\cos \omega t) ; \\
r \sin \omega t=l \sin \alpha .
\end{array}
\]

Из соотношения (в) следует $\sin \alpha=(r / l) \sin \omega t$. Длина $l$ шатуна обычно в несколько раз превышает длину радиуса $r$ кривошипа, поэтому с достаточной точностью можно положить
\[
\cos \alpha=\sqrt{1-\frac{r^{2}}{l^{2}} \sin ^{2} \omega t} \approx 1-\frac{r^{2}}{2 l^{2}} \sin ^{2} \omega t,
\]

удержав только первые два слагаемых в разложении функции в ряд Тейлора. Подставляя последнее выражение в соотношение (б), найдем
\[
x=r(1-\cos \omega t)+\frac{r^{2}}{2 l} \sin ^{2} \omega t .
\]

Дифференцируя полученное выражение по времени, определим скорость возвратно-поступательного движения массы $M_{2}$ :
\[
\dot{x}=r \omega \sin \omega t+\frac{r^{2} \omega}{2 l} \sin 2 \omega t,
\]

а продифференцировав дважды, получим ускорение. Тогда сила инерции, действующая на массу $M_{2}$ :
\[
F_{2}=-M_{2} \omega^{2} r\left(\cos \omega t+\frac{r}{l} \cos 2 \omega t\right) .
\]

Суммируя эту силу с силой (a), получим окончательное выражение для возмущающей силы
\[
F(t)=-\left(M_{1}+M_{2}\right) \omega^{2} r \cos \omega t-\frac{r}{l} M_{2} \omega^{2} r \cos 2 \omega t .
\]

Следует отметить, что полученное выражение содержит два слагаемых, одно из которых имеет круговую частоту, равную частоте вращения вала двигателя, другое – имеет круговую частоту, равную удвоенной частоте вращения. Отсюда можно сделать вывод, что в рассматриваемом случае имеется две критические частоты вращения вала. двигателя: первая, когда частота вращения вала двигателя в одну секунду совпадает с частотой собственных колебаний системы $f=1 / \tau$, и вторая, когда частота вращения двигателя равна половине частоты собственных колебаний. Соответствующим выбором жесткости $k$ пружины можно всегда сделать так, чтобы частота собственных колебаний была достаточно удалена от указанных критических частот вращения и тем самым устранить возможность возникновения больших колебаний.

Следует помнить, что выражение (д) для силы инерции массы, совершающей возвратно-поступательное движение, было получено путем удержания только первых двух членов ряда Тейлора для функции $\cos \alpha$. Более точное выражение будет содержать, кроме того, еще и гармоники более высокого порядка. А это приведет к тому, что появятся критические частоты вращения более низкие, чем рассматривались выше. Однако они практического значения не имеют, так как соответствующие им силы будут слишком малы, чтобы вызывать существенные колебания системы.

В общем случае периодическую возмущающую силу произвольного вида можно представить в виде тригонометрического рлда (рлда Фурье):
\[
\begin{array}{c}
F(t)=a_{0}+a_{1} \cos \omega t+a_{2} \cos 2 \omega t+\ldots+b_{1} \sin \omega t+b_{2} \sin 2 \omega t+\ldots= \\
=a_{0}+\sum_{i=1}^{n}\left(a_{i} \cos i \omega t+b_{i} \sin i \omega t\right) .
\end{array}
\]

Период возмущающей силы $T=2 \pi / \omega$, коэффициенты $a_{0}, \quad a_{i}$ и $b_{i}$ являются постоянными, которые требуется определить.

Для того чтобы определить любой из коэффициентов ряда (1.58), если известен вид функции $F(t)$, необходимо воспользоваться следующей процедурой. Предположим, требуется определить коэффициент $a_{i}$. Тогда обе части представления (1.58) можно умножить на $\cos i \omega t$ и проинтегрировать от $t=0$ до $t=T$. Можно показать, что имеют место следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\int_{0}^{T} a_{0} \cos i \omega t d t=0 ; \int_{0}^{T} a_{j} \cos j \omega t \cos i \omega t d t=0 ; \\
\int_{0}^{T} b_{j} \sin j \omega t \cos i \omega t d t=0 ; \int_{0}^{T} a_{i} \cos ^{2} i \omega t d t=\frac{a_{i}}{2} T=a_{i} \frac{\pi}{\omega},
\end{array}
\]

где $i$ и $j$ – целые числа $1,2,3, \ldots$ Используя эти соотношения из представления (1.58), находим
\[
a_{i}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} F(t) \cos i \omega t d t .
\]

Поступая аналогичным образом и умножая представление на $\sin i \omega t$ и интегрируя, получим
\[
b_{i}=\frac{2}{T} \int_{0}^{T} F(t) \sin i \omega t d t .
\]

И, наконец, умножив представление (1.58) на $d t$ и проинтегрировав от $t=0$ до $t=T$, найдем
\[
a_{0}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} F(t) d t .
\]

Видно, что если известно аналитическое выражение функции $F(t)$, с помощью формул (1.59) можно определить коэффициенты представления (1.58). Если функция $F(t)$ задается графически и не представляется возможным выразить ее в аналитической форме, следует для вычисления интегралов (1.59) использовать приближенный численный метод.

Предполагая, что возмущающая сила представлена в виде тригонометрического ряда, запишем уравнение для вынужденных колебаний с демпфированием в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=a_{0}+a_{1} \cos \omega t+a_{2} \cos 2 \omega t+\ldots+ \\
+b_{1} \sin \omega t+b_{2} \sin 2 \omega t+\ldots
\end{array}
\]

Общее решение этого уравнения состоит из двух частей: одна из них описывает свободные колебания, другая – вынужденные. Свободные колебания будут постепенно затухать вследствие влияния демпфирования. Вынужденные колебания для случая линейного уравнения будут представлять собой наложение установившихся вынужденных колебаний, обусловленных каждым членом ряда (1.58). В свою очередь, эти последние колебания можно исследовать точно так же, как в п. 1.9. Отсюда можно сделать вывод, что большие вынужденные колебания могут возникнуть, когда период одного из членов ряда (1.58) совпадет с периодом собственных колебаний системы, т. е. если период $T$ возмущающей силы будет либо равен точно, либо кратен периоду $\tau_{\text {д }}$.

Пример 1. Для решения системы, показанной на рис. 1.40, имеются следующие исходные данные: вес поршня $W_{\text {п }}=2,72 \cdot 10 \mathrm{H}$; вес шатуна $W_{\text {ш }}=1,36 \cdot 10 \mathrm{H}$; $M_{1} g=2 W_{\text {шा }} / 3=0,91 \cdot 10 \mathrm{H} ; \quad M_{2} g=W_{\text {п }}+W_{\text {II }} / 3=3,18 \cdot 10 \mathrm{H} ;$ полный вес двигателя $W=2,27 \cdot 10^{3} \mathrm{H}$; частота вращения двигателя 600 мин $^{-1}$; радиус кривошипа $r=0,203$ м; длина шатуна $l=0,609 \mathrm{~m} ;$ жесткость пружины $k=2,06 \cdot 10^{6} \mathrm{H} / \mathrm{m}$.

Пренебрегая влиянием деформирования, найти максимальное перемещение двигателя от положения равновесия при установившихся вынужденных колебаниях системы. Предполагается, что кривошип полностью отбалансирован.

Pешение. Начнем с определения собственной круговой частоты колебания системы
\[
p=\sqrt{\frac{k g}{W}}=\sqrt{\frac{2,06 \cdot 10^{6} \cdot 9,81}{2,27 \cdot 10^{3}}}=\sqrt{8883}=94,3 \mathrm{c}^{-1} .
\]

Кроме того, имеем
\[
\omega=\frac{600 \cdot 2 \pi}{60}=20 \pi=62,83 \mathrm{c}^{-1},
\]

откуда находим
\[
\frac{\omega}{p}=\frac{62,83}{94,3}=\frac{2}{3}, \frac{2 \omega}{p}=\frac{4}{3} .
\]

Из найденного отношения частот видно, что частота возмущающей силы, пропорциональной $\cos \omega t$, расположена ниже резонансной частоты, тогда как частота силы, пропорциональной $\cos 2 \omega t$, лежит выше резонансной частоты. Пренебрегая компонентами возмущающей силы с более высокими частотами, получаем наложение влияний только сил инерции, представляемых выражениями (а) и (д), или, что то же самое, их суммой (е). Записывая эти слагаемые в виде
\[
\begin{array}{c}
P_{1} \cos \omega t=-\left(M_{1}+M_{2}\right) \omega^{2} r \cos \omega t ; \\
P_{2} \cos \omega t=-\frac{r}{l} M_{2} \omega^{2} r \cos 2 \omega t,
\end{array}
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
P_{1}=-\left(M_{1}+M_{2}\right) \omega^{2} r=-\frac{(0,91+3,18) 10 \cdot 400 \pi^{2} \cdot 0,203}{9,81}=3,341 \cdot 10^{3} \mathrm{H} ; \\
P_{2}=-\frac{r}{l} M_{2} \omega^{2} r=-\left(\frac{0,203}{0,609}\right)\left(\frac{3,18 \cdot 10}{9,81}\right)\left(400 \pi^{2}\right) 0,203=-0,867 \cdot 10^{3} \mathrm{H} .
\end{array}
\]

Вновь воспользовавшись выражением (1.24) из п. 1.6, найдем, что для вынужденных колебаний без демпфирования, обусловленных действием двух возмущающих сил [см. выражения (ж)], перемещения
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=\frac{P_{1}}{k}\left(\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}\right) \cos \omega t=\frac{-3,341 \cdot 10^{3}}{2,06 \cdot 10^{6}}\left(\frac{1}{1-4 / 9}\right) \cos \omega t= \\
=-2,92 \cdot 10^{-3} \cos \omega t ; \\
x_{2}=\frac{P_{2}}{k}\left(\frac{1}{1-4 \omega^{2} / p^{2}}\right) \cos 2 \omega t=\frac{-0,867 \cdot 10^{3}}{2,06 \cdot 10^{6}}\left(\frac{1}{1-16 / 9}\right) \cos \omega t= \\
=0,54 \cdot 10^{-3} \cos \omega t .
\end{array}
\]

Максимальное перемещение имеет место при $\omega t=\pi$, что дает
\[
\left(x_{1}+x_{2}\right)_{\max }=(2,92+0,54) 10^{-3}=3,46 \cdot 10^{-3} \mathrm{M} .
\]

Пример 2. На систему с одной степенью свободы действует возмущающая сила $F(t)$, которая изменяется в зависимости от времени в соответствии с диаграммой, приведенной на рис. 1.41. Пренебрегая влиянием демпфирования, рассмотреть установившиеся вынужденные колебания, которые при этом возникают, если масса $m$ пружины и ее жесткость $k$ таковы, что отношение частот $\omega / p=0,9$.

Peшение. Начнем с того, что проведем гармонический анализ заданной силы, предположив, что функция, описывающая эту силу, может быть представлена в виде тригонометрического ряда (1.58). Для этого воспользуемся выражениями (1.59), с помощью которых найдем коэффициенты $a_{0}, a_{i}$ и $b_{i}$ ряда.

Взяв сначала выражение (1.59в), видим, что интеграл $\int_{0}^{2 \pi / \omega} F(t) d t$ представляет собой площадь области, заключенной между заданной пилообразной диаграммой (см. рис. 1.41) и осью абсцисс на интервале с координатами $t=0$ и $t=T=2 \pi / \omega$. Очевидно, что эта площадь равна нулю, откуда следует, что $a_{0}=0$.

Обратившись далее к выражению (1.59a), видим, что каждая ордината диаграммы (см. рис. 1.41) должна быть умножена на $\cos i \omega t$ и затем проинтегрирована от $t=0$ до $t=2 \pi / \omega$. Поскольку функция $F(t)$ нечетная, а функция $\cos i \omega t$ четная, их произведение будет также нечетной функцией, откуда следует, что интеграл в выражении (1.59a) также будет равен нулю, т. е. $a_{i}=0$.

И наконец, взяв выражение (1.59б), видим, что каждая ордината функции $F(t)$ на рис. 1.41 должна быть умножена на $\sin i \omega t$ и проинтегрирована от $t=0$ до
Рис. 1.41 $t=2 \pi / \omega$. В этом случае функция $F(t)$ на отрезке от $t=0$ до $t=\pi / \omega$ является симметричной относительно $t=\pi / 2 \omega$, а на интервале от $t=\pi / \omega$ до $t=2 \pi / \omega$ она симметрична относительно $t=3 \pi / 2 \omega$. Однако, когда $i$ является четным целым числом, соответствующие участки функции $\sin i \omega t$ являются антисимметричными соответственно относительно точек $t=\pi / 2 \omega$ и $t=3 \pi / 2 \omega$. Таким образом, получаем, что при $i=2,4,6, \ldots$ коэффициенты $b_{i}=0$.

Когда $i$ – нечетное целое число, обе функции $F(t)$ и $\sin i \omega t$ являются антисимметричными относительно ординаты $t=\pi / \omega$. Тогда из выражения (1.59б) получаем
\[
b_{i}=\frac{\omega}{\pi} \int_{0}^{2 \pi / \omega} F(t) \sin \omega t d t=\frac{4 \omega}{\pi} \int_{0}^{\pi / 2 \omega} F(t) \sin i \omega t d t .
\]

Вновь обращаясь к рис. 1.41, видим, что на интервале от $t=0$ до $t=\pi / 2 \omega$ имеем $F(t)=2 P \omega t / \pi$. Подставим это выражение в интеграл (з), получим
\[
b_{i}=\frac{8 P \omega^{2}}{\pi^{2}} \int_{0}^{\pi / 2 \omega} t \sin i \omega t d t=\frac{8 P}{i^{2} \pi^{2}} \int_{0}^{i \pi / 2} u \sin u d u .
\]

Проинтегрировав и подставив пределы интегрирования, найдем
\[
b_{i}=\frac{8 P}{i^{2} \pi^{2}} \sin \frac{i \pi}{2}=\frac{8 P}{i^{2} \pi^{2}}(-1)^{(i-1) / 2},
\]

где $i=1,3,5,7, \ldots$
Учитывая, что $a_{0}=0, a_{i}=0$, и используя выражение (и) для тригонометрического ряда (1.58), получим
\[
F(t)=\frac{8 P}{\pi^{2}}\left(\sin \omega t-\frac{1}{3^{2}} \sin 3 \omega t+\frac{1}{5^{2}} \sin 5 \omega t-\ldots\right) .
\]

Далее, для того чтобы представить пилообразную диаграмму, приведенную на рис. 1.41, в виде тригонометрического ряда, необходимо только просуммировать синусоиды с нечетными числами волн на интервале от $t=0$ до $t=2 \pi / \omega$. Более того, здесь можно видеть, что ряды (к) быстро сходятся, поэтому для практики важным является только первый член ряда. Таким образом, возмущающая сила, изменяющаяся по пилообразному закону, оказывает на систему примерно такое же влияние, как и возмущающая сила, изменяющаяся по синусоидальному закону с несколько меньшей амплитудой вида
\[
F(t)=\frac{8 P}{\pi^{2}} \sin \omega t .
\]

Для того чтобы указать на незначительное влияние второго члена ряда, отметим, что при $\omega / p=0,9$ коэффициент усиления
\[
\beta_{3}=\frac{1}{1-(3 \omega / p)^{2}}=-0,159 .
\]

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний, обусловленная вторым членом ряда, составляет только $0,159 / 3^{2}=0,0177$ от прогиба при статическом приложении силы $8 P / \pi^{2}$, тогда как коэффициент усиления для первого члена ряда
\[
\beta_{1}=\frac{1}{1-\omega^{2} / p^{2}}=5,26
\]

Следовательно, можно сделать вывод, что приближенное выражение (л) дает ошибку, меньшую $0,4 \%$, а приближенное решение, описывающее перемещение в исходной задаче, при этом имеет вид
\[
x=\frac{8 P \beta_{1}}{\pi^{2} k} \sin \omega t .
\]

ЗАДАЧИ

1.11.1. Используя данные примера 1, приведенного выше, построить кривую зависимости перемещения от времени $x=f(t)$ для установившихся вынужденных колебаний системы, показанной на рис. 1.40.
1.11.2. Разложить возмущающую силу $F(t)$, график которой представлен на рис. А.1.11.2, в тригонометрический ряд
Omвem: $F(t)=\frac{4 P}{\pi}\left(\sin \omega t+\frac{1}{3} \sin 3 \omega t+\ldots\right)$.
Рис. А.1.11.2
1.11.3. Разложить возмущающую силу $F(t)$, график которой представлен на рис. 1.11.3, в тригонометрический ряд.
Oтвет: $F(t)=\frac{4 P}{\pi}\left(\cos \omega t-\frac{1}{3} \cos 3 \omega t+\ldots\right)$.
Рис. А.1.11.3
1.11.4. Разложить возмущающую силу $F(t)$, график которой представлен на рис. А.1.11.4, в тригонометрический ряд.
Omвem: $F(t)=\frac{2 P}{\pi}\left(\sin \omega t-\frac{1}{2} \sin 2 \omega t+\frac{1}{3} \sin 3 \omega t-\ldots\right)$.
Рис. А.1.11.4
1.11.5. Разложить возмущающую силу $F(t)$, график которой представлен на рис. А.1.11.5, в тригонометрическрй ряд.
Omвem: $F(t)=\frac{P}{2}-\frac{P}{\pi}\left(\sin \omega t+\frac{1}{2} \sin 2 \omega t+\frac{1}{3} \sin 3 \omega t+\ldots\right)$.
Рис. А.1.11.5
1.11.6. Получить общее решение для задачи об установившихся вынужденных колебаниях с демпфированием системы с одной степенью свободы, если возмущающая сила описывается функцией вида (1.58).
Omвem: $x=\frac{a_{0}}{k}+\sum_{i=1}^{\infty} \frac{a_{i} \cos \left(i \omega t-\theta_{i}\right)+b_{i} \sin \left(i \omega t-\theta_{i}\right)}{k \sqrt{\left(1-i^{2} \omega^{2} / p^{2}\right)^{2}+(2 \gamma i \omega / p)^{2}}}$.