В предыдущем параграфе был рассмотрен общий случай периодической возмущающей силы, которая может быть представлена в виде ряда Фурье. Однако для случая возмущающей силы произвольного вида сила меняется во времени не по периодическому закону, поэтому здесь следует использовать несколько иной подход к решению задачи.

Рассмотрим дифференциальное уравнение движения демпфированной системы с одной степенью свободы (рис. $1.42, a$ ) при действии возмущающей силы $Q=F\left(t^{\prime}\right)$ произвольного вида
\[
m \ddot{x}=-c \dot{x}-k x+Q .
\]

Рис. 1.42

Разделив уравнение (а) на $m$ и сделав соответствующие преобразования, получим
\[
\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2} x=q,
\]

где
\[
q=\frac{Q}{m}=\frac{F\left(t^{\prime}\right)}{m}=f\left(t^{\prime}\right)
\]

является возмущающей силой, отнесенной к единице массы. При выводе уравнения (1.61) предполагалось, что сила $q$ является функцией фиктивного времени $t^{\prime}$, как показано на рис. 1.42, б. Тогда в произвольный момент времени $t^{\prime}$ можно подсчитать приращение импульса $q d t^{\prime}$, показанное на рисунке заштрихованным прямоугольником. Этот импульс сообщает единице массы мгновенное увеличение скорости (или приращение скорости)
\[
d \dot{x}=q d t^{\prime}
\]

независимо от того, что на эту массу могут действовать и другие силы (например, сила упругости) и независимо от величины перемещения и скорости этой массы в момент $t^{\prime}$. Рассматривая это приращение скорости как начальную скорость в момент $t^{\prime}$ и используя выражение (1.35) из п. 1.8, получим, что приращение перемещения системы в любой момент времени $t$ будет иметь вид
\[
d x=e^{-n\left(t-t^{\prime}\right)} \frac{q d t^{\prime}}{p_{\text {д }}} \sin p_{\text {д }}\left(t-t^{\prime}\right) .
\]

Поскольку такой же эффект вызывается каждым приращением импульса $q d t^{\prime}$ на интервале от $t^{\prime}=0$ до $t^{\prime}=t$, то в результате непрерывного действия возмущающей силы $q$ получим следующее выражение для полного перемещения:
\[
x=\frac{e^{-n t}}{p_{\text {д }}} \int_{0}^{t} e^{n t^{\prime}} q \sin p_{\text {д }}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Подобные представлєния в матєматике называются интегралом Дюамеля.

Выражєние (1.62) представляет полное перемещение при действии возмущающей силы $q$ на интервале времени от 0 до $t$. Оно включает как установившиєся, так неустановившиеся формы и особенно удобно при исследовании поведения системы при колебаниях, когда действует возмущающая сила произвольного вида. Если функцию $q=f\left(t^{\prime}\right)$ не представляется возможным выразить аналитически, интеграл (1.62) можно всегда вычислить приближенно с помоцью соответствующего метода графического или численного интегрирования. Для того чтобы учесть влияние начального смещения $x_{0}$ и начальной скорости $\dot{x}_{0}$ при $t=0$, необходимо только к выражению

Рис. 1.43
(1.62) прибавить решение (1.35) из п. 1.8, учитывающее указанные начальные условия. Тогда общее решение примет вид
\[
x=e^{-n t}\left[x_{0} \cos p t+\frac{\dot{x}_{0}+n x_{0}}{p_{\text {д }}} \sin p_{\text {д }} t+\frac{1}{p_{\text {Д }}} \int_{0}^{t} e^{n t^{\prime}} q \sin p_{\text {Д }}\left(t-t^{\prime}\right)\right] d t .
\]

Если пренебречь влиянием демпфирования, получаем $n=0$ и $p_{\text {云 }}=p$, в результате чего выражение (1.62) принимает вид
\[
x=\frac{1}{p} \int_{0}^{t} q \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

В том случае, когда учитывается влияние начального смещения $x_{0}$ и начальной скорости $\dot{x}_{0}$ при $t=0$, выражение (1.63) без учета демпфирования становится таким:
\[
x=x_{0} \cos p t+\frac{\dot{x}_{0}}{p} \sin p t+\frac{1}{p} \int_{0}^{t} q \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

В качестве примера применения выражения (1.64) предположим, что к массе на рис. 1.42 , a внезапно приложена постоянная сила $Q_{1}$ (рис. $1.43, a$ ). Подобный характер динамического нагружения описывается так называемой ступенчатой функцией. В этом случае имеем $q_{1}=Q_{1} / m=$ const. Тогда выражение (1.64) примет вид
\[
x=\frac{q_{1}}{p} \int_{0}^{t} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Этот интеграл, легко вычисляется, что дает
\[
x=\frac{q_{1}}{p^{2}}(1-\cos p t)=\frac{Q_{1}}{k}(1-\cos p t) .
\]

Из приведенного решения следует, что при внезапном приложении постоянной по величине силы возникают колебания с амплитудой $Q_{1} / k$, наложенные на статическое смещение той же величины $Q_{1} / k$ (рис. 1.43, б). Таким образом, максимальное перемещение, возни-

Рис. 1.44

кающее при внезапном приложении силы, в 2 раза болыше перемещения, обусловленного статическим приложением силы.

В рассмотренном выше случае постоянная сила $Q$ действует в течение бесконечно большого промежутка времени. Если же она действует только на промежутке времени $t_{1}$, имеет место прлмоугольный импульс (рис. 1.44, a). В течение времени, когда сила не равна нулю, поведение системы в точности совпадает с тем, что дается выражением (1.66). Поведение же в следующее за $t_{1}$ время можно определить с помощью интеграла Дюамеля, записанного для каждого из двух интервалов времени: от 0 до $t_{1}$ и от $t_{1}$ до $t$. Только интегрирование по первому интервалу дает отличный от нуля результат, поскольку во втором интервале времени функция возмущающей силы равна нулю. Суммируя сказанное, решение для рассматриваемого случая можно представить в следующем виде:
\[
\begin{array}{c}
\text { при } 0 \leqslant t \leqslant t_{1} . x=\frac{Q_{1}}{k}(1-\cos p t), \text { т. е. (1.66); } \\
\text { при } t \geqslant t_{1} \quad x=\frac{Q_{1}}{k}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t\right] .
\end{array}
\]

Аналогичные результаты могут быть получены, если импульс прямоугольной формы (см. рис. 1.44, a) рассматривать как сумму двух ступенчатых функций, что показано на рис. $1.44,6$. Первая

ступенчатая функция принимает значение $Q_{1}$ при $t=0$, вторая $Q_{1}$ при $t=t_{1}$.

Третий метод получения того же результата, что содержится в выражении (1.67), заключается в определении перемещения и скорости системы в момент времени $t_{1}$ с помощью выражения (1.66). В результате получим
\[
\begin{array}{r}
x_{t_{1}}=\frac{Q_{1}}{k}\left(1-\cos p t_{1}\right), \\
\dot{x}_{t_{1}}=\frac{Q_{1} p}{k} \sin p t_{1} .
\end{array}
\]

Если эти величины рассматривать как начальные перемещение и скорость, заданные в момент времени $t_{1}$, результирующее движение системы при свободных колебаниях можно представить в виде
\[
x=x_{1} \cos p\left(t-t_{1}\right)+\frac{\dot{x}_{t_{1}}}{p} \sin p\left(t-t_{1}\right) .
\]

Подставляя значения (е) и (ж) в выражение (з), после несложных тригонометрических преобразований снова придем к полученному выше решению (1.67).

Амплитуду свободных колебаний, возникших после воздействия импульса прямоугольной формы, можно определить по формуле
\[
A=\sqrt{x_{t_{1}}^{2}+\left(\dot{x}_{t_{1}} / p\right)^{2}} .
\]

Подставляя в формулу (и) значения (е) и (ж), после упрощений найдем
\[
A=\frac{Q_{1}}{k} \sqrt{2\left(1-\cos p t_{1}\right)}=\frac{2 Q}{k} \sin \left(\frac{p t_{1}}{2}\right)=\frac{2 Q}{k} \sin \left(\frac{\pi t_{1}}{\tau}\right) .
\]

Из последней записи выражения (к) видно, что амплитуда свободных колебаний зависит от отношения $t_{1} / \tau$, где $\tau$ – период свободных колебаний системы. Взяв в качестве длительности импульса прямоугольной формы время $t_{1}=\tau / 2$, получим значение амплитуды $A=$ $=2 Q_{1} / k$. Перемещения системы во времени при действии импульса показаны на рис. 1.44 , в. В этом случае сила $Q$ действует в направлении перемещения от 0 до $A$ и совершает в системе положительную по знаку работу. Когда сила начинает действовать в крайнем положении, система, в которой отсутствует демпфирование, сохраняет эту энергию, в результате чего происходят свободные колебания относительно начального перемещения $2 Q / k$, соответствующего моменту времени $t_{1}$.

Рассмотрим второй специальный случай, задав длительность импульса $t_{1}=\tau$. Из выражения (к) следует, что при этом амплитуда $A=0$, а перемещения системы во времени имеют вид, показанный на рис. 1.44, г. В этом случае постоянная сила совершает положительную по знаку работу на перемещении от 0 до $A$, которая равна по величине отрицательной работе на обратном перемещении от $A$ до 0 . Поэтому полная совершаемая работа равна нулю, и система остается в покое после прекращения действия силы.

Предположим, что ряд ступенчатых функций чередующихся знаков, действующих так, как показано на рис. $1.45, a$, производит в результате последовательность импульсов прямоугольной формы (рис. 1.45, б). Пусть длительность интервала времени между смежными ступенчатыми функциями равна $\tau / 2$. Тогда действие импульса будет всегда совпадать по фазе со скоростью и он будет совершать положительную работу на каждом цикле колебания. В соответствии с принципом наложения можно сделать вывод, что амплитуда свободных колебаний после $n$ импульсов прямоугольной формы будет
\[
A_{n}=2 n Q_{1} / k .
\]

Таким образом, при каждом цикле колебаний амплитуда увеличивается на $2 Q_{1} / k$, в результате чего суммарное перемещение системы стремится к бесконечности. На рис. 1.45 , в показана кривая, демонстрирующая это нарастание перемещения после нескольких первых циклов колебаний. Из сказанного можно сделать вывод, что в любой период функции возмущающей силы при совпадении частот возмущающей силы и системы будут возникать большие амплитуды вынужденных колебаний, если эта сила совершает при каждом цикле положительную работу. Таким образом, использование интеграла Дюамеля для определения перемещения системы во времени при действии обобщенной периодической возмущающей силы представляет собой метод, отличный от приведенного в п. 1.11, где динамические нагрузки были представлены в виде рядов Фурье.

Пример 1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы без демпфирования при действии возрастающей по линейному закону силы, называемой линейной функцией (рис. 1.46, a). Скорость возрастания функции $Q$ в единицу времени равна $\delta Q$.

Pешение. В данном примере функция возмущающей силы, выраженная через $\delta Q$ и $t^{\prime}$, имеет вид
\[
Q=\delta Q t^{\prime},
\]
а отнесенная к единице массы сила
\[
q=\frac{\delta Q}{m} t^{\prime} .
\]

Применительно к данному случаю выражение (1.64) дает
\[
x=\frac{\delta Q}{m p} \int_{0}^{t} t^{\prime} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Тогда после интегрирования по частям получаем искомое решение
\[
x=\frac{\delta Q}{k}\left(t-\frac{1}{p} \sin p t\right) .
\]

Из полученного решения видно, что закон движения в случае возрастающей по линейному закону силы представляет собой сумму линейно возрастающего статического перемещения $\delta Q t / k$ и перемещений при свободных колебаниях с амплитудой $\delta Q / k p$ (рис. 1.46, б). Скорость в произвольный момент времени $t$ равна первой производной выражения (о) по времени
\[
\dot{x}=\frac{\delta Q}{k}(1-\cos p t)=\frac{\delta Q}{k}\left(1-\cos \frac{2 \pi t}{\tau}\right) .
\]

Таким образом, скорость равна нулю в моменты времени $t=0, \tau, 2 \tau, 3 \tau, \ldots$; в те же моменты времени $\tau=0, \tau, 2 \tau, 3 \tau, \ldots$ равен нулю угол наклона кривой, описывающей зависимость перемещения от времени (см. рис. 1.46, б). Кроме того, в момент времени $T=\tau / 2,3 \tau / 2,5 \tau / 2, \ldots$ скорость всегда имеет положительное значение с максимумом, равным $2 \delta Q / k$.

Правая часть выражения (п) для скорости совпадает по форме с правой частью выражения (1.66) для перемещений при действии нагрузки в виде ступенчатой функции. Это объясняется тем обстоятельством, что линейно возрастающая функция пропорциональна времени, а не является постоянной величиной, не зависящей от времени. Можно также отметить, что функция возмущающей силы, изменяющейся во времени по параболическому закону, обусловливает функцию скорости, совпадающую по форме с правой частью выражения (о) для перемещений, и функцию ускорения, совпадающую по форме с правой частью выражения (п) для скорости.

Пример 2. Вновь получим выражения для перемещений при вынужденных колебаниях без демпфирования системы с одной степенью свободы, если возмущающая сила является гармонической функцией. Этот случай разбирался и подробно
Рис. 1.46

обсуждался выше в пп. 1.6 и 1.7. Предположим, что функция возмущающей силы имеет вид
\[
Q=Q_{\max } \sin \omega t^{\prime} .
\]

Силу, отнесенную к единице массы, представим в виде

где
\[
\begin{array}{c}
q=q_{\text {max }} \sin \omega t^{\prime}, \\
q_{\max }=Q_{\max } / m .
\end{array}
\]

Подставим представление (с) в выражение (1.64). Тогда получим
\[
x=\frac{q_{\max }}{p} \int_{0}^{t} \sin \omega t^{\prime} \sin p\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Используя тригонометрическую формулу для произведения синусов и выполняя интегрирование, приведем выражение (т) к виду
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{q_{\max }}{2 p} \int_{0}^{t}\left[\cos \left(\omega t^{\prime}-p t+p t^{\prime}\right)-\cos \left(\omega t^{\prime}+p t-p t^{\prime}\right)\right] d t^{\prime}= \\
=\frac{q_{\max }}{2 p} \int_{0}^{t}\left\{\cos \left[(\omega+p) t^{\prime}-p t\right]-\cos \left[(\omega-p) t^{\prime}+p t\right]\right\} d t^{\prime},
\end{array}
\]

который можно интегрировать непосредственно. Выполнив интегрирование, после упрощений получим
\[
x=\frac{Q_{\max }}{k}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p} \sin p t\right) \frac{1}{1-\omega^{2} p^{2}} .
\]

Сравнивая это выражение с выражением (1.296) в п. 1.7, видим, что они совпадают. Первый сомножитель в выражении (у) представляет статическое перемещение системы при действии постоянной нагрузки $Q_{\max }$; члены, входящие во второй сомножитель, описывают установившееся и неустановившееся поведение системы; третий сомножитель является коэффициентом усиления $\beta$ при отсутствии демпфирования. Отметим, что установившаяся часть перемещений системы во времени содержится в решениях, полученных с помощью интеграла Дюамеля, если не принимаются во внимание начальные условия.

Пример 3. Для системы, показанной на рис. 1.42 , $a$, определить закон движения при наличии демпфирования, если соответствующая ступенчатая функция представлена графиком на рис. $1.43, a$. ใ?

Решение. В этом случае для нахождения закона движения при наличии демпфирования надо подставить силу, отнесенную к единице массы, $q_{1}=Q_{1} / m$ в выражение (1.62), откуда получим
\[
x=\frac{q_{1} e^{-n t}}{p_{\text {Д }}} \int_{0}^{t} e^{n t^{\prime}} \sin p_{\text {Д }}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime} .
\]

Выражение (ф) можно проинтегрировать по частям и представить в следующем виде:
\[
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[1-e^{-n t}\left(\cos p_{\text {Д }} t+\frac{n}{p_{\text {Д }}} \sin p_{\text {д }} t\right)\right] .
\]

Полученное решение представляет собой сумму статического перемещения $Q_{1} / k$ и перемещения при свободных колебаниях с демпфированием (см. п. 1.8), у которых амплитуда
\[
A e^{-n t}=\frac{Q_{1}}{k} e^{-n t} \sqrt{1+\left(\frac{n}{p_{\text {дL }}}\right)^{2}},
\]

а фазовый угол
\[
\alpha_{\text {д }}=\operatorname{arctg}\left(n / p_{\text {д }}\right) .
\]

Если пренебречь демпфированием, то выражение (х) совпадает с (1.66), амплитуда $A$ становится равной $Q_{1} / k$, фазовый угол $\alpha_{\perp}$ обращается в нуль.

Пример 4. Получить выражение для кривой на рис. 1.45, в, описывающей поведение системы при отсутствии демпфирования для интервала времени $5 \tau / 2 \leqslant$ $\leqslant t \leqslant 3 \tau$.

Решение. Функция возмущающей силы является периодической и имеет тот же период, что и сама система. Будем рассматривать временной интервал как период $(i-1) \tau \leqslant t \leqslant i \tau$, где $i=1,2,3, \ldots, n$. Общее выражение, описывающее поведение системы на первой половине $i$-го периода, можно записать с помощью выражения (1.66) (см. рис. $1.45, a$ ), что дает
\[
x_{n_{1}}=\frac{Q_{1}}{k} \sum_{i=1}^{n}\{1-\cos p[t-(i-1) \tau]\}-\frac{Q_{1}}{k} \sum_{i=1}^{n-1}\left\{1-\cos p\left[t-(2 i-1) \frac{\tau}{2}\right]\right\} .
\]

Аналогично можно записать закон движения для второй половины $n$-го периода
\[
\begin{array}{c}
x_{n_{2}}=\frac{Q_{1}}{k} \sum_{i=1}^{n}\left\{1-\cos p[t-(i-1) \tau]-1+\cos p\left[t-(2 i-1) \frac{\tau}{2}\right]\right\}= \\
=\frac{Q_{1}}{k} \sum_{i=1}^{n}\{\cos [p t-(2 i-1) \pi]-\cos [p t-2(i-1) \pi]\} .
\end{array}
\]

Используя тригонометрические формулы для косинусов разности двух углов, получим
\[
\begin{aligned}
x_{n_{2}}= & \frac{Q_{1}}{k} \sum_{i=1}^{n}\{\cos p t \cos (2 i-1) \pi+\sin p t \sin (2 i-1) \pi- \\
& -\cos p t \cos 2(i-1) \pi-\sin p t \sin 2(i-1) \pi\} .
\end{aligned}
\]

Учитывая, что значения $\sin (2 i-1) \pi$ и $\sin 2(i-1) \pi$ всегда равны нулю, запишем
\[
x_{n_{2}}=\frac{Q_{1}}{k} \sum_{i=1}^{n}\{\cos p t[\cos (2 i-1) \pi-\cos 2(i-1) \pi]\} .
\]

Преобразования, аналогичные использованным выше, приводят окончательно к следующему выражению:
\[
x_{n_{2}}=-\frac{2 n Q_{1}}{k} \cos p t .
\]

Временной отрезок $5 \tau / 2 \leqslant t \leqslant 3 \tau$ соответствует второй половине третьего периода; в результате для $n=3$ из выражения (щ) имеем
\[
x_{n_{2}}=-\frac{6 Q_{1}}{k} \cos p t \text {. }
\]

ЗАДАЧИ

1.12.1. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид, приведенный на рис. А.1.12.1.
Oтвет:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}(1-\cos p t), \quad 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t\right]-\frac{Q_{2}}{k}\left[1-\cos p\left(t-t_{1}\right)\right], \quad t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t\right]-\frac{Q_{2}}{k}\left[\cos p\left(t-t_{2}\right)-\cos p\left(t-t_{1}\right)\right], \quad t \geqslant t_{2} .
\end{array}
\]
1.12.2. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид, приведенный на рис. A.1.12.2.
Ответ:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}\left(1-\cos p t-\frac{t}{t_{1}}+\frac{\sin p t}{p t_{1}}\right), 0 \leqslant t<t_{1} \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[-\cos p t+\frac{\sin p t-\sin p\left(t-t_{1}\right)}{p t_{1}}\right], \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]

Рис. А.1.12.1
Рис. А.1.12.2
1.12.3. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид, показанный на рис. А.1.12.3.
Omsem:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}(1-\cos p t), \quad 0 \leqslant t \leqslant t_{1} \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[1-\cos p t-\frac{t-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}+\frac{\sin p\left(t-t_{1}\right)}{p\left(t_{2}-t_{1}\right)}\right], \quad t_{1}<t \leqslant t_{2} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[-\cos p t+\frac{\sin p\left(t-t_{1}\right)-\sin p\left(t-t_{2}\right)}{p\left(t_{2}-t_{1}\right)}\right], \quad t>t_{2} .
\end{array}
\]
1.12.4. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы имеет вид, приведенный на рис. А.1.12.4.
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}\left(\frac{t}{t_{1}}-\frac{\sin p t}{p t_{1}}\right), 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[\frac{t}{t_{1}}-\frac{\sin p t}{p t_{1}}-\frac{t_{2}\left(t-t_{1}\right)}{t_{1}\left(t_{2}-t_{1}\right)}+\frac{t_{2} \sin p\left(t-t_{1}\right)}{p t_{1}\left(t_{2}-t_{1}\right)}\right], \quad t_{1} \leqslant t \leqslant t_{2} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[-\frac{\sin p t}{p t_{1}}+\frac{t_{2} \sin p\left(t-t_{1}\right)}{p t_{1}\left(t_{2}-t_{1}\right)}-\frac{\sin p\left(t-t_{2}\right)}{p\left(t_{2}-t_{1}\right)}\right], t \geqslant t_{2} .
\end{array}
\]
Рис. А.1.12.3
Рис. А.1.12.4
1-12.5. Определить закон движения системы с одной степенью ‘свободы при отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы (рис. А.1.12.5) изменяется по параболическому закону вида $Q=Q_{1}\left(1-t^{2} / t_{1}^{2}\right)$.
Omвem:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[\left(1+\frac{2}{p^{2} t_{1}^{2}}\right)(1-\cos p t)-\frac{t^{2}}{t_{1}^{2}}\right], 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left\{\frac{2}{p^{2} t_{1}^{2}}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t\right]-\frac{2}{p t_{1}} \sin p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t\right\}, t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.12.6. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если функция возмущающей силы (рис. А.1.12.6) изменяется по параболическому закону вида $Q=Q_{1}\left(t-t_{1}\right)^{2 / t_{1}^{2}}$.
Omвem:
\[
\begin{array}{c}
\left.x=\frac{Q_{1}}{k}\left(1-\frac{2}{p^{2} t_{1}^{2}}\right)(1-\cos p t)-\frac{2 t}{t_{1}}+\frac{t^{2}}{t_{1}^{2}}+\frac{2 \sin p t}{p t_{1}}\right], 0 \leqslant t \leqslant t_{1} \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left\{\frac{2}{p^{2} t_{1}^{2}}\left[\cos p t-\cos p\left(t-t_{1}\right)\right]-\cos p t+\frac{2 \sin p t}{p t_{1}}\right\}, \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]

Рис. А.1.12.5
Рис. А.1,12.6
1.12.7. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если возмущающая сила описывается тригонометрической функцией $Q=Q_{1} \sin \left[\pi t /\left(2 t_{1}\right)\right]$, показанной на рис. A.1.12.7.
Ответ:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}\left(\sin \omega t-\frac{\omega}{p} \sin p t\right) \beta, \quad \omega=\frac{\pi}{2 t_{1}}, \quad 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left[\cos p\left(t-t_{1}\right)-\frac{\omega}{p} \sin p t\right] \beta, \quad t \geqslant t_{1} .
\end{array}
\]
1.12.8. Определить закон движения системы с одной степенью свободы при отсутствии демпфирования, если возмущающая сила описывается тригонометрической функцией, показанной на рис. А.1.12.8.
Omвem:
\[
\begin{array}{c}
x=\frac{Q_{1}}{k}[t-\cos p t-(\cos \omega t-\cos p t) \beta], \\
\omega=\frac{\pi}{2 t_{1}}, \quad 0 \leqslant t \leqslant t_{1} ; \\
x=\frac{Q_{1}}{k}\left\{\cos p\left(t-t_{1}\right)-\cos p t+\left[\cos p t+\frac{\omega}{p} \sin p\left(t-t_{1}\right)\right] \beta, \quad t \geqslant t_{1} .\right.
\end{array}
\]

Рис. A.1.12.7
Рис. А.1.12.8
1.12.9. Для системы с одной степенью свободы (см. рис. $1.42, a$ ) определить закон движения при отсутствии демпфирования и действии возмущающей силы в виде линейно возрастающей функции (см. рис. $1.46, a$ ).
Omвem:
\[
x=\frac{\delta Q}{k}\left[t-\frac{2 n}{p^{2}}+e^{-n t}\left(\frac{2 n}{p^{2}} \cos p_{\text {Д }} t-\frac{p_{\text {Д }}^{2}-n^{2}}{p^{2} p_{\text {Д }}} \sin p_{\text {Д }} t\right)\right] .
\]