Среди различных типов собственных колебаний, возникающих в упругом стержне, продольные колебания являются наиболее простыми для исследования. В стержне могут возникнуть крутильные и поперечные колебания, которые рассматриваются в соответствующих параграфах. При исследовании продольных колебаний предполагаем, что поперечные сечения стержня остаются плоскими и что каждая точка поперечного сечения совершает только осевые перемещения. Продольные растяжения и сжатия, имеющие место при таких колебаниях стержня, сопровождаются возникновением той или иной величины поперечных деформаций. Однако в последующем обсуждении рассмотрим только те случаи, для которых длина продольных волн колебаний велика по сравнению с размерами поперечных сечений стержня. В этих случаях *, не совершая существенной ошибки, можно пренебречь влиянием поперечных перемещений на характер продольных движений ?

На рис. 5.1, а показан свободный от нагрузок призматический стержень длиной $l$, бесконечно малый элемент которого длиной $d x$ расположен на расстоянии $x$ от левого конца. Обозначим через $u$ продольное перемещение точки поперечного сечения с координатой $x$. Когда в стержне происходят продольные колебания, сумма продольных сил, действующих на бесконечно малый элемент стержня (рис. 5.1, б), в соответствии с принципом Деламбера
\[
S+\frac{\partial S}{\partial x} d x-S-\rho F d x \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=0 ;
\]

здесь $S$ – направленная вдоль оси равнодействующая внутренних напряжений, возникающих в поперечном сечении с координатой $x$.

Внутренняя сила, фигурирующая в этом уравнении, равна произведению плотности $\rho$ материала на объем малого сегмента $F d x$ (где $F$ – площадь поперечного сечения стержня) и ускорение $\partial^{2} u / \partial t^{2}$. Используя закон Гука, продольную силу $S$ можно выразить через продольное напряжение и, далее, через осевую деформацию $\varepsilon=$ $=\partial u / \partial x$, что дает
\[
S=F \sigma=E F \varepsilon=E F \partial u / \partial x,
\]

где $E$ – модуль Юнга Подставляя выражение (б) в уравнение (а), после преобразований получим
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=\frac{1}{a^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial t},
\]

где
\[
a=\sqrt{E / \rho} .
\]

Уравнение (5.1) часто называют одномерным волновым, чтобы указать на то обстоятельство, что при продольных колебаниях контур перемещений распространяется в осевом направлении со скоростью $a$, т. е. со скоростью распространения звука в материале. Волновое решение этой задачи имеет вид
\[
u=f(x-a t)
\]

и представляет некоторую произвольную функцию от $x$, перемещающуюся со скоростью $a$. Можно показать, что это представление удовлетворяет уравнению (5.1), для чего найдем соответствующие производные этой функции
\[
\begin{array}{c}
\partial u / \partial x=f^{\prime}(x-a t) \\
\partial^{2} u / \partial x^{2}=f^{\prime \prime}(x-a t) \\
\partial u / \partial t=-a f^{\prime}(x-a t) \\
\partial^{2} u / \partial t^{2}=a^{2} f^{\prime \prime}(x-a t) .
\end{array}
\]
Подстановкой этих выражений в уравнение (5.1) получаем тождество, следовательно, это уравнение удовлетворяется. Более общая форма волнового решения имеет вид
\[
u=f_{1}(x-a t)+f_{2}(x-a t) .
\]

где первое слагаемое представляет собой функцию $f_{1}(x)$, перемещающуюся в положительном направлении оси $x$, а второе слагаемое состоит из функции $f_{2}(x)$, перемещающейся в отрицательном направлении оси $x$. Хотя указанное волновое решение удобно использовать при исследовании некоторых задач об ударе, когда имеются импульсы очень малой длительности, эта форма решения не столь полезна, как решение для задачи о колебаниях, которое здесь и будет рассматриваться подробно.

Когда стержень, показанный на рис. 5.1 , а, колеблется по одной из собственных форм, решение уравнения (5.1) можно взять в форме
\[
u=X(A \cos p t+B \sin p t)
\]

где $A$ и $B$ – произвольные постоянные; $p$-круговая частота. Через $X$ обозначена функция от $x$, описывающая форму собственных колебаний; она называется главной или нормальной функцией. Подставляя выражение (д) в уравнение (5.1), получаем уравнение
\[
\frac{d^{2} X}{d x^{2}}+\frac{p^{2}}{a^{2}} X=0
\]

решение которого будет
\[
X=C \cos \frac{p x}{a}+D \sin \frac{p x}{a} .
\]

В этом выражении для функции $X$ произвольные постоянные $C$ и $D$ определяются из условия удовлетворения концевым условиям на концах стержня. Поскольку показанный на рис. 5.1,a стержень имеет незакрепленные концы, продольная сила, которая пропорциональна $d X / d x$, должна быть равна нулю на каждом конце. Таким образом, концевые условия для рассматриваемой задачи можно записать в форме
\[
\left(\frac{d X}{d x}\right)_{x=0}=0 ; \quad\left(\frac{d X}{d x}\right)_{x=l}=0 .
\]

Для того чтобы удовлетворить первому из этих условий, необходимо в выражении (ж) положить $D=0$. Второе условие будет удовлетворяться, если считать, что $C
eq 0$, т. е. существует нетривиальное решение, только при
\[
\sin \frac{p l}{a}=0 .
\]

Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого случая, откуда можно найти частоты собственных форм продольных колебаний стержня с незакрепленными концами. Уравнение будет удовлетворяться, если положить
\[
\frac{p_{i} l}{a}=i \pi
\]

ғде $t$ – целое число. Полагая $i=0,1,2,3, \ldots$, можно получить частоты различных форм продольных колебаний. Значение $i=0$ соответствует частоте, равной нулю, что означает перемещение стержня как абсолютно жесткого тела в направлении оси $x$. Частоту основной формы колебаний можно найти, положив в равенстве (и) $i=1$, что дает
\[
p_{1}=\frac{a \pi}{l}=\frac{\pi}{l} \sqrt{\frac{E}{\rho}} .
\]

Соответствующий период колебаний
\[
\tau_{1}=\frac{1}{f_{1}}=\frac{2 \pi}{p_{1}}=2 l V \overline{\frac{\rho}{E}} .
\]

Эта форма колебаний показана на рис. 5.1, в и описывается [см. выражение (ж)] функцией вида
\[
X_{1}=C_{1} \cos \frac{p_{1} x}{a}=C_{1} \cos \frac{\pi x}{l} .
\]

На рис. 5.1, г и д представлены графики соответственно для второй и третьей форм колебаний, для которых имеем
\[
\begin{array}{ll}
\frac{p_{2} l}{a}=2 \pi ; & X_{2}=C_{2} \cos \frac{2 \pi x}{l} ; \\
\frac{p_{3} l}{a}=3 \pi ; & X_{3}=C_{3} \cos \frac{3 \pi x}{l} .
\end{array}
\]

Общий вид частных решений (д) уравнения колебаний (5.1) можно представить так:
\[
u_{i}=\cos \frac{i \pi x}{l}\left(A_{i} \cos \frac{i \pi a t}{l}+B_{i} \sin \frac{i \pi a t}{l}\right) .
\]

Суммируя эти решения, перемещения при произвольных продольных колебаниях можно представить в следующей форме:
\[
u=\sum_{i=1}^{\infty} \cos \frac{i \pi x}{l}\left(A_{i} \cos \frac{i \pi a t}{l}+B_{i} \sin \frac{i \pi a t}{l}\right) .
\]

Постоянные $A_{i}$ и $B_{i}$, входящие в решение (5.6), можно всегда подобрать таким образом, чтобы были удовлетворены начальные условия произвольного вида. Предположим, например, что в начальный момент времени (при $t=0$ ) перемещения $u$ являются функцией продольной координаты вида $(u)_{t=0}=f_{1}(x)$, а начальные скорости задаются функцией вида $(\dot{u})_{t=0}=f_{2}(x)$. Подставляя $t=0$ в выражение (5.6), получим
\[
f_{1}(x)=\sum_{l=1}^{\infty} A_{i} \cos \frac{i \pi x F}{l} .
\]

Продифференцировав выражение (5.6) по $t$ и подставив $t=0$, найдем
\[
t_{2}(x)=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{i \pi a}{l} B_{i} \frac{i \pi x}{l} .
\]

Коэффициенты $A_{i}$ и $B_{i}$, входящие в выражения (л) и (м), можно определить, используя, как и выше [см. выражение (1.59a)], следующие формулы:
\[
\begin{aligned}
A_{i} & =\frac{2}{l} \int_{0}^{l} f_{1}(x) \cos \frac{i \pi x}{l} d x ; \\
B_{i} & =\frac{2}{i \pi a} \int_{0}^{l} f_{2}(x) \cos \frac{i \pi x}{l} d x .
\end{aligned}
\]

В качестве примера рассмотрим теперь случай, когда сжатый приложенными по концам силами призматический стержень внезапно освобождается от этих сил в момент времени $t=0$. Предполагая, что поперечное сечение в середине пролета стержня сохраняет свое положение, получаем
\[
(u)_{t=0}=f_{1}(x)=\frac{\varepsilon_{0} l}{2}-\varepsilon_{0} x ; \quad f_{2}(x)=0,
\]

где $\varepsilon_{0}$ – деформация сжатия в момент времени $t=0$. Тогда из выражений (н) и (о) получаем
\[
\begin{array}{c}
A_{i}=\frac{4 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2} i^{2}}, \quad i \text { – нечетное; } \\
A_{i}=0, \quad i \text { – четное; } \quad B_{i}=0 .
\end{array}
\]

Общее решение (5.6) в этом случае принимает вид
\[
u=\frac{4 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2}} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{l} \cos \frac{i \pi a t}{l} .
\]

В этом решении $i$ принимает только нечетные целочисленные значения, следовательно, перемещения при колебаниях являются симметричными относительно поперечного сечения, лежащего в середине пролета стержня.

В качестве второго примера рассмотрим свободные продольные колебания стержня, один конец которого защемлен, а другой остается незакрепленным (рис. $5.2, a$ ). Концевые условия в этом случае имеют вид
\[
(u)_{x=0}=0 ; \quad\left(\frac{d u}{d x}\right)_{x=l} \simeq 0 .
\]

Чтобы удовлетворить первому из этих условий, положим в общем выражении (ж) для нормальных функций, что $l=0$. Второе условие дает частотное уравнение вида
\[
\cos (p l / a)=0,
\]

Рис. 5.2

откуда находим следующие значения частот и периодов различных форм колебаний:
\[
p_{i}=\frac{i \pi a}{2 l} ; \quad \tau_{i}=\frac{2 \pi}{p_{i}}=\frac{4 l}{i a}, \quad i=1,3,5, \ldots
\]

Тогда общее выражение (д) для различных форм колебаний принимает форму
\[
u_{i}=\sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(A_{i} \cos \frac{i \pi a t}{2 l}+B_{i} \sin \frac{i \pi a t}{2 l}\right) .
\]

Общее решение для продольных колебаний получаем суммированием всех решений, что дает
\[
u=\sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \sin \frac{i \pi x}{2 l}\left(A_{i} \cos \frac{i \pi a t}{2 l}+B_{i} \sin \frac{i \pi a t}{2 l}\right) .
\]

Постоянные $A_{i}$ и $B_{i}$ в каждом конкретном случае определяем из начальных условий (при $t=0$ ).

Предположим, например, что со стержня, первоначально сжатого приложенной к незакрепленному концу (см. рис. 5.2, a) продольной силой $P_{0}$, в момент времени $t=0$ внезапно убирается эта сила. Обозначив через $\varepsilon_{0}$ начальную деформацию $P_{0} / E F$, получаем следующие выражения для начальных условий:
\[
(u)_{t=0}=\varepsilon_{0} x ; \quad(\dot{u})_{t=0}=0 .
\]

Второе из этих условий будет удовлетворено, если в выражении (т) положить постоянную $B_{i}$ равной нулю. После чего для определения постоянной $A_{i}$ получаем уравнение
\[
A_{i} \sin (i \pi x / 2 l)=\varepsilon_{0} x, i=1,3,5, \ldots, \infty .
\]

Используя выражение $(1.59$, б) найдем
\[
A_{i}=\frac{2 \varepsilon_{0}}{l} \int_{0}^{l} x \sin \frac{i \pi x}{2 l} d x=\frac{8 \varepsilon_{0} l}{i^{2} \pi^{2}}(-1)^{(i-1) / 2},
\]

тогда решение (5.7) сводится к следующему виду:
\[
u=\frac{8 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2}} \sum_{i=1,3, \ldots,}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{2 l} \cos \frac{i \pi a t}{2 l} .
\]

На рис. 5.2, б-г показаны вклады первых трех форм колебаний в суммарное динамическое перемещение стержня. Можно отметить, что амплитуды различных форм колебаний быстро уменьшаются с увеличением $i$. Перемещение на незакрепленном конце стержня получаем подстановкой $x=l$ в выражение (у).
Для момента времени $t=0$, как и следовало ожидать, имеем
\[
(u)_{\substack{x=l \\ t=0}}=\frac{8 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2}}\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots\right)=\frac{8 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2}}\left(\frac{\pi^{2}}{8}\right)=\varepsilon_{0} l .
\]

Пример 1. Найти нормальные функции задачи о продольных колебаниях стержня длиной $l$, у которого оба конца жестко закреплены.
Решение. В данном случае граничные условия имеют вид
\[
(u)_{x=0}=(u)_{x=l}=0 .
\]

Для того чтобы удовлетворить этим условиям, в выражении (ж) положим $C=0$, в результате получим частотное уравнение $\sin p_{i} l / a=0$, откуда находим $p_{i}=$ $=i л a / l$. Следовательно, нормальные функции берем в форме
\[
X_{i}=A_{i} \sin (i \pi x / l), i=1,2,3, \ldots, \infty .
\]

Пример 2. Стержень, жестко закрепленный по обоим концам, нагружается в середине пролета сосредоточенной продольной силой $P$ (рис. 5.3,a). Исследовать колебания, которые возникнут в стержне, если внезапно убрать силу $P$.

Решение. Деформации растяжения в левой части стержня, численно равные деформациям сжатия его правой части, составляют $\varepsilon_{0}=P_{0} / 2 E F$. Распределение начальных перемещений (рис. $5.3,6$ ) описывается следующими функциями: при $t=0$ перемещения имеют вид $g_{1}(x)=\varepsilon_{0} x$ при $0 \leqslant x \leqslant l / 2$ и $g_{2}(x)=\varepsilon_{0}(l-x)$ при $l / 2 \leqslant x \leqslant l$. В предыдущем примере были определены нормальные функции [см. выражение (ф)], относящиеся к данному случаю; общее же выражение для
Рис. 5.3

динамических перемещений, удовлетворяющее начальному условию $(\dot{u})_{t=0}=0$, имеет вид
\[
u=\sum_{i=1}^{\infty} A_{i} \sin \frac{i \pi x}{l} \cos \frac{i \pi a t}{l} .
\]

Постоянные $A_{i}$ находим с учетом заданной формы начальных перемещений, что дает
\[
\begin{array}{c}
A_{i}=\frac{2}{l}\left[\int_{0}^{l / 2} \varepsilon_{0} x \sin \frac{i \pi x}{l} d x+\int_{l / 2}^{l} \varepsilon_{0}(l-x) \sin \frac{i \pi x}{l} d x\right]= \\
=\frac{4 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2} i^{2}}(-1)^{(i-1) / 2} \quad \text { при } \quad i=1,3,5, \ldots, \infty ; \\
A_{i}=0 \text { при } i=2,4, \ldots, \infty .
\end{array}
\]

Искомое решение имеет окончательный вид
\[
u=\frac{4 \varepsilon_{0} l}{\pi^{2}} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-1) / 2}}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{l} \cos p_{i} t .
\]

Пример 3. Движущийся вдоль оси $x$ с постоянной скоростью $v$ стержень останавливается при внезапном закреплении его конца $x=0$. Таким образом, начальные условия имеют вид $(u)_{t=0}=0$ и $(\dot{u})_{t=0}=v$. Найти выражение для возникающих при этом динамических перемещений.

Peшение. В данном случае общее выражение для перемещений имеет вид (5.7). Поскольку начальные перемещения равны нулю, положим в этом выражении $A_{i}=0$. Затем получаем уравнение для определения постоянных $B_{i}$ :
\[
(\dot{u})_{t=0}=\sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} B_{i} \frac{i \pi a}{2 l} \sin \frac{i \pi x}{2 l}=v,
\]

откуда находим
\[
B_{i}=\frac{8 v l}{\pi^{2} i^{2} a},
\]

что окончательно дает
\[
u=\frac{8 v l}{\pi^{2} a} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{2 l} \sin p_{i} t .
\]

Пользуясь этой формулой, можно вычислить перемещение произвольного поперечного сечения стержня в произвольный момент времени. Возьмем, например, незакрепленный конец стержня ( $x=l$ ), тогда в момент времени $t=l / a$ (т. е. за время, которое требуется для того, чтобы звук распространился на расстояние $l$ ) получим п еремещение
\[
(u)_{\substack{x=l \\ t=l / a}}=\frac{8 v l}{\pi^{2} a}\left(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\cdots\right)=\frac{v l}{a} .
\]

При колебаниях стержня в нем возникают деформации, равные
\[
\frac{d u}{d x}=\frac{8 v l}{\pi^{2} a} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \frac{i \pi}{2 l} \cos \frac{i \pi x}{2 l} \sin p_{i} t .
\]

На закрепленном конце ( $x=0$ ) имеем
\[
\left(\frac{d u}{d x}\right)_{x=0}=\frac{4 v}{\pi a} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i} \sin \frac{i \pi a t}{2 l}=\frac{v}{a}, \quad 0<\frac{\pi a t}{2 l}<\frac{\pi}{2} .
\]

Волна сжатия, которая зарождается на левом конце стержня в момент остановки при $t=0$, распространяется вдоль стержня со скоростью $a$ и в момент времени $t=l / a$ она достигает незакрепленного конца стержня. В этот момент скорости всех точек стержня равны нулю, а стержень равномерно растянут так, что деформация растяжения $\varepsilon=v / a$.

ЗАДАЧИ

5.2.1. Определить общее выражение для перемещений при продольных колебаниях стержня, конец $x=0$ которого не закреплен, а конец $x=l$ жестко закреплен.
\[
\text { Omвem: } u=\sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \cos \frac{i \pi x}{2 l}\left(A_{i} \cos \frac{i \pi a t}{2 l}+B_{i} \sin \frac{i \pi a t}{2 l}\right) .
\]
5.5.2. В стержне, движущемся вдоль оси $x$ с постоянной скоростью $v$, внезапно закрепляется поперечное сечение, лежащее в середине пролета ( $x=l / 2$ ). Найти выражение для перемещений при возникающих в результате мгновенной фиксации свободных колебаниях.
Ответ: $u=\frac{4 v l}{\pi^{2} a} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{l} \sin \frac{i \pi a t}{l}$.
5.2.3. Предположим, что заданная в примере 2 сила приложена на расстоянии четверти длины $x=l / 4$, а не в середине стержня. Кроме того, на расстоянии три четверти длины стержня $x=3 / 4 l$ приложена сила $-P_{0}$, равная первой силе и противоположно направленная ей. Исследовать колебания, которые возникнут, если внезапно убрать эти силы.
Omвem: $u=\frac{P_{0} l}{\pi^{2} E F} \sum_{i=2,}^{\infty} \frac{(-1)^{(i-2) / 4}}{i^{2}} \sin \frac{i \pi x}{l} \cos \frac{i \pi a t}{l}$.
5.2.4. Пусть сила $P_{0}$ (см. рис. $5.2, a$ ) равномерно распределена по длине стержня, при этом интенсивность нагрузки $P_{0} / l$. Определить возникающие в стержне динамические перемещения, когда нагрузки внезапно убираются.
Omвem: $u=\frac{16 P_{0} l}{\pi^{3} E F} \sum_{i=1,3,5, \ldots}^{\infty} \frac{1}{i^{3}} \sin \frac{i \pi x}{2 l} \cos \frac{i \pi a t}{2 l}$.