В приведенных выше обсуждениях поперечных колебаний стержней всегда предполагалось, что стержень колеблется в плоскости симметрии. Если это не так, то изгибные колебания будут сопровождаться, как правило, крутильными колебаниями. В качестве примера рассмотрим колебания швеллера (рис. $5.32, a$ ) в плоскости $x y$, перпендикулярной плоскости симметрии (т. е. плоскости $z x$ ). Изгиб швеллера под действием вертикальной нагрузки будет происходить в вертикальной плоскости и не будет сопровождаться кручением только тогда, когда нагрузка прикладывается вдоль проходящей через центр сдвига оси $O O^{\prime}$, которая параллельна центральной оси $C C^{\prime}$ и лежит в плоскости симметрии. Ось, проходящая через центр сдвига, берется в качестве оси $x$. Эта ось отстоит на расстоянии $e$ от срединной плоскости стенки и $c$ от центра тяжести поперечного сечения швеллера. Их величины определяем по следующим формулам *:
\[
e=\frac{b^{2} h^{2} t}{4 I_{z}}, \quad c=e+\frac{b^{2}}{2 b+h},
\]

где $b$ – ширина полок; $h$ – расстояние между срединными плоскостями полок; $t$ – толщина полок и стенки.

Для вертикальной нагрузки дифференциальное уравнение для кривой прогибов имеет вид
\[
E I_{z} \frac{d^{4} y}{d x^{4}}=w,
\]

где $w$ – интенсивность распределенной поперечной нагрузки (за положительное берется направление вверх); $E I_{z}$ – жесткость при изгибе швеллера относительно оси $z$.

Если нагрузка распределена вдоль центральной оси, ее всегда можно заменить на такую же нагрузку и распределенный крутящий момент интенсивностью $w с$, распределенные вдоль проходящей через центр сдвига оси $x$. В подобном случае будем иметь одновременное действие изгиба, описываемого уравнением (б), и кручения относительно оси $x$, проходящей через центр сдвига. Это кручение будет неоднородным, и соотношение между изменяющимся в зависимости от координаты $x$ крутящим моментом $T(x)$ и углом кручения $\varphi$ имеет вид *
\[
T(x)=R \frac{d \varphi}{d x}-R_{1} \frac{d^{3} \varphi}{d x^{3}},
\]

где $R$ – крутильнал жесткость; $R_{1}$ – жесткость стесненного кручения. Положительное направление для угла закручивания показано на рис. 5.32, б. Оно определяется правилом правой руки. Дифференцируя выражение (в) по $x$ и учитывая, что положительное направление крутящего момента соответствует показанному на рис. $5.32, a$, получим
\[
R \frac{d^{2} \varphi}{d x^{2}}-R_{1} \frac{d^{4} \varphi}{d x^{4}}=w c .
\]

Уравнения (б) и (г) определяют связь между изгибом и кручением тонкостенного стержня в том случае, когда статическая нагрузка распределена вдоль центральной оси.

При колебаниях стержня необходимо учесть поперечные силы инерции ** интенсивностью $-\rho F \partial^{2}(y-c \varphi) / \partial t^{2}$ и моменты инерции, интенсивность которых равна – $\rho I_{\text {п }} \partial^{2} \varphi / \partial t^{2}$, где $I_{\text {п }}$ – центральный полярный момент инерции поперечного сечения. Подставляя первый из инерционных силовых факторов в уравнения (б) и (г) вместо статических нагрузок, получим следующие дифференциальные уравнения для совместных изгибных и крутильных колебаний:
\[
\begin{array}{c}
E I_{z} \frac{\partial^{4} y}{\partial x^{4}}=-\rho F \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(y-c \varphi) ; \\
R \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}-R_{1} \frac{\partial^{4} \varphi}{\partial x^{4}}=-\rho F c \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}(y-c \varphi)+\rho I_{\mathrm{n}} \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial t^{2}} .
\end{array}
\]

Полагая, что стержень колеблется по одной из собственных форм, положим
\[
\begin{array}{c}
y=X(A \cos p t+B \sin p t) ; \\
\varphi=X_{1}\left(A_{1} \cos p t+B_{1} \sin p t\right),
\end{array}
\]

где $p$ – круговая частота колебаний; $X$ и $X_{1}$ – нормальные функции. Подставляя выражения (д) в уравнения (5.159a) и (5.159б), получим следующие уравнения относительно функций $X$ и $X_{1}$ :
\[
\begin{aligned}
E I_{z} X^{\mathrm{IV}} & =\rho F p^{2}\left(X-c X_{1}\right) ; \\
R_{1} X_{1}^{\mathrm{IV}}-R X_{1}^{\prime \prime} & =-\rho F p^{2} c\left(X-c X_{1}\right)+\rho I_{\text {п }} p^{2} X_{1},
\end{aligned}
\]

В каждом конкретном случае следует отыскивать решения для функций $X$ и $X_{1}$, которые удовлетворяли бы заданным концевым условиям для стержня, а также уравнениям (е) и (ж).

В качестве примера рассмотрим случай стержня со свободно опертыми концами, для которого условия на концах имеют вид
\[
y=\frac{\partial^{2} y}{\partial x^{2}}=\varphi=\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x^{2}}=0 \text { при } x=0 \text { и } x=l .
\]

Этим условням удовлетворяют функции:
\[
X_{i}=C_{i} \sin (i \pi x / l) ; X_{1 i}=D_{i} \sin (i \pi x / l), i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

где $C_{i}$ и $D_{i}$ – произвольные постоянные. Подставляя эти выражения в уравнения (е) и (ж) и используя обозначения
\[
\begin{array}{c}
\frac{E I_{z} i^{4} \pi^{4}}{l^{4} \rho F}=\omega_{n i}^{2}, \\
\frac{R i^{2} \pi^{2} l^{2}+R_{1} i^{4} \pi^{4}}{l^{4} \rho\left(I_{\mathrm{n}}+F c^{2}\right)}=\omega_{\mathrm{K} i}^{2} ; \frac{F c^{2}}{I_{\mathrm{I}}+F c^{2}}=\lambda,
\end{array}
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega_{\mathrm{н} i}^{2}-p_{i}^{2}\right) C_{i}-p_{i}^{2} c D_{i}=0 ; \\
(\lambda / c) p_{i}^{2} C_{i}+\left(\omega_{\mathrm{\kappa} i}^{2}-p_{i}^{2}\right) D_{i}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения могут дать решения для $C_{i}$ и $D_{i}$, отличные от нуля, только в том случае, если равен нулю их определитель. Тогда частотное уравнение можно представить в форме
\[
\left(\omega_{\mathrm{H} i}^{2}-p_{i}^{2}\right)\left(\omega_{\mathrm{K} i}^{2}-p_{i}^{2}\right)-\lambda p_{i}^{4}=0,
\]

откуда находим
\[
p_{i}^{2}=\frac{\left(\omega_{\kappa i}^{2}+\omega_{н i}^{2}\right) \pm \sqrt{\left(\omega_{к i}^{2}-\omega_{н i}^{2}\right)^{2}+4 \lambda \omega_{н i}^{2} \omega_{к i}^{2}}}{2(1-\lambda)} .
\]

Аналогичный результат будет получаться и для всех других случаев свободно опертых стержней с одной плоскостью симметрии, которые колеблются в плоскости, перпендикулярной плоскости симметрии.

Если центр сдвига совпадает с центром тяжести, расстояние $c=$ $=0$ и $\lambda=0$, что дает
\[
p_{i}^{-}=\left(\omega_{\mathrm{K} i}^{2}+\omega_{\mathrm{H} i}^{2}\right) / 2 \mp\left(\omega_{\mathrm{K} i}^{2}-\omega_{\mathrm{H} i}^{2}\right) / 2,
\]

откуда получаем две системы значений частот
\[
p_{1 i}=\omega_{\mathbf{n} i}, p_{2 i}=\omega_{\mathrm{k} i} .
\]

Как видно из обозначений (к), эти частоты являются частотами несвязанных изгибных и крутильных колебаний и не зависят друг от друга. Если величина $c$ не равна нулю, из выражения (5.160) получаем два значения для $p_{i}^{2}$, одно из которых больше, а другое меньше значений частот (о). Для большего из значений $p_{i}^{2}$ из равенств (л) и (м) следует, что постоянные $C_{i}$ и $D_{i}$ имеют одинаковые знаки, а для меньшего – различные. Обе соответствующие этим случаям конфигурации представлены на рис. 5.32, в и г.

Аналогичные результаты получаются и в случае стержней с иными концевыми условиями. Решения уравнений (е) и (ж) при этом усложняются, но можно найти приближенные значения частот связанных колебаний, если использовать метод Релея-Ритца*. В случае стержня, не имеющего плоскости симметрии, задача становится более сложной**. Крутильные колебания здесь сочетаются с изгибными в двух главных плоскостях, поэтому система уравнений содержит не два, а три дифференциальных уравнения. На практике можно также встретиться с еще более сложной задачей связанных крутильных и изгибных колебаний несимметричных стержней переменного поперечного сечения. Подобные задачи возникают, например, при исследованиях колебаний турбинных лопаток, крыльев самолетов и воздушных винтов. При решении указанных задач обычно применяют численные методы.