На рис. 5.8, а показан прямолинейный вал, крутильные колебания которого рассмотрим ниже. Через $\theta$ обозначим угол закручивания (вокруг оси вала) произвольного поперечного сечения, расположенного на расстоянии $x$ от левого конца вала. При крутильных колебаниях вала условие равновесия упругих и инерционных крутящих моментов, действующих на малый элемент вала (рис. 5.8, б), запишем в соответствии с принципом Даламбера в виде
\[
T+\frac{\partial T}{\partial x} d x-T-\rho I_{\mathrm{Il}} d x \frac{\partial^{2} \theta}{\partial t^{2}}=0 .
\]

В этом дифференциальном уравнении крутящий момент, являющийся равнодействующим внутренних сил, действующих в поперечном сечении с координатой $x$, обозначен через $T$, а его положительное направление показано на рис. 5.8 , б. Через $I_{\text {п }}$ обозначен полярный момент инерции поперечного сечения. В соответствии с введенными обозначениями момент инерции масс для части вала длиной $d x$ равен $\rho I_{\text {п }} d x$, а угловое ускорение $\partial^{2} \theta / \partial t^{2}$. Из теории простого кручения следует соотношение
\[
T=G I_{\mathrm{п}} \frac{\partial \theta}{\partial x},
\]

где $G$ – модуль упругости при сдвиге. Подставив выражение (б) в уравнение (a), после преобразований получим
\[
\frac{\partial^{2} \theta}{\partial x^{2}}=\frac{1}{b^{2}} \frac{\partial^{2} \theta}{\partial t^{2}} .
\]

Рис, 5.8

Это выражение имеет форму одномерного волнового уравнения, из которого следует, что скорость распространения крутильных волн
\[
b=V \overline{G / \rho} \text {. }
\]

Уравнение (5.54) и формула (5.55) совпадут по форме с уравнением (5.1), и формулой (5.2), если в последних величины $u$, $a$ и $E$ заменить соответственно на $\theta, b_{\text {и }}$ и $G$. Поэтому все полученные результаты для задачи о продольных колебаниях призматических стержней можно распространить и на задачи о крутильных колебаниях валов кругового поперечного сечения путем простой замены обозначений. Например, в случае вала с незакрепленными концами частоты и нормальные функции для соответствующих собственных форм крутильных колебаний имеют вид
\[
p_{i}=i \pi b / l ; \quad X_{i}=C_{i} \cos \left(p_{i} x / b\right), \quad i=1,2,3, \ldots, \infty,
\]

а угловые перемещения при свободных колебаниях [см. выражение $(5.6)]$
\[
0=\sum_{i=1}^{\infty} \cos (i \pi x / l)\left[A_{i} \cos (i \pi b t / l)+B_{i} \sin (i \pi b t / l)\right] .
\]

Аналогичным образом из полученных выше, в п. 5.2, выражений можно получить решения для задачи о свободных крутильных колебаниях валов, жестко защемленных по одному или обоим концам, а общее выражение для решения в виде суммы нормальных форм колебаний следует из выражения (5.25) в п. 5.4.

Для того чтобы исследовать угловые перемещения при вынужденных крутильных колебаниях вала, обусловленных действием распределенного крутящего момента, воспользуемся выражением (5.28). В этом случае величина $q(x, t)$ будет обозначать удельный распределенный крутящий момент, поделенный на момент инерции $\rho I_{\text {п }}$ массы, отнесенный к единице длины вала. Аналогично, выражение (5.29) может быть использовано для случая сосредоточенного крутящего момента $T_{1}(t)$, приложенного в точке $x=x_{1}$, при этом в качестве члена, определяющего нагрузку, в данном выражении следует взять $q_{1}(t)=T_{1}(t) / \rho I_{n}$.

В предыдущем параграфе было рассмотрено динамическое поведение призматического стержня при продольных перемещениях опор. Развитый там метод можно легко распространить на случай, когда для вала заданы определенного вида угловые перемещения на опорах. Если обе опоры поворачиваются как абсолютно жесткое тело, можно использовать выражения (5.47) и (5.48), но функцию, описывающую закон движения опор, следует взять в виде $\theta_{\text {осн }}=$ $=g(t)$. С другой стороны, если вал закреплен по концам таким образом, что на каждом могут быть заданы независимые угловые перемещения, следует использовать выражения (5.52) и (5.53). В этом случае угловые перемещения на опорах задаются в виде функций $\theta_{\text {осн } 1}=g_{1}(t)$ и $\theta_{\text {осн } 2}=g_{2}(t)$ соответственно для левого и правого концов вала.

Рис. 5.9

Рассмотрим теперь случай вала с закрепленными на его концах дисками (см. рис. 5.9). Вал может свободно вращаться, а моменты инерции дисков относительно оси $x$ вала обозначены через $I_{1}$ для диска на левом конце ( $x=0$ ) и через $I_{2}$ для диска на правом конце $(x=l)$. Подобная конструкция уже рассматривалась выше, в п. 1.2, как система только с одной формой крутильных колебаний, при этом пренебрегалось влияние распределенной массы вала. С учетом этой массы система имеет уже бесконечное число собственных форм колебаний, поэтому при таком подходе можно получить более точные результаты. Для исследования поведения вала с дисками, прикрепленными к обоим его концам, будет применен подход, описанный выше, в п. 5.5, для призматического стержня с пружиной или массой, прикрепленной к одному концу.

При крутильных колебаниях системы, показанной на рис. 5.9, возникающие при этом инерционные крутящие моменты от закрепленных на концах вала дисков приводят к концевым условиям вида
\[
G I_{\mathrm{n}}\left(\theta^{\prime}\right)_{x=0}=I_{1}(\ddot{\theta})_{x=0} ; \quad G I_{\text {п }}\left(\theta^{\prime}\right)_{x=l}=-I_{2}(\ddot{\theta})_{x=l} .
\]

Как и ранее, предполагаем, что $i$-я собственная форма гармонических колебаний имеет вид
\[
\theta_{i}=X_{i}\left(A_{i} \cos p_{i} t+B_{i} \sin p_{i} t\right)
\]

Подставляя это выражение в выражения (г), получим
\[
G I_{\mathrm{n}} X_{i 0}^{\prime}=-I_{1} p_{1}^{2} X_{i 0}, \quad G I_{\mathrm{n}} X_{i l}^{\prime}=I_{2} p_{i}^{2} X_{i l},
\]

где индексы 0 и $l$ относятся к сечениям соответственно $x=0$ и $x=l$. В этом случае нормальные функции можно записать в виде
\[
X_{i}=C_{i} \cos \left(p_{i} x / b\right)+D_{i} \sin \left(p_{i} x / b\right) .
\]

Подставляя выражение (ж) в концевые условия (е), получим
\[
\begin{array}{c}
G I_{\mathrm{n}}\left(p_{i} / b\right) D_{i}=-I_{1} p_{i}^{2} C_{i} ; \\
G I_{\mathrm{n}}\left(p_{i} / D\right)\left[-C_{i} \sin \left(p_{i} l / b\right)+D_{i} \cos \left(p_{i} l / b\right)\right]= \\
=I_{2} p_{i}^{2}\left[C_{i} \cos \left(p_{i} l / b\right)+D_{i} \sin \left(p_{i} l / b\right)\right] .
\end{array}
\]

Соотношения (з) и (и) представляют систему двух однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных величин $C_{i}$ и $D_{i}$.

Исключая эти постоянные из последних соотношений, получим частотное уравнение
\[
-G I_{\mathrm{n}} \frac{p_{i}}{b}\left(\sin \frac{p_{i} l}{b}+\frac{I_{1} b p_{i}}{G I_{\mathrm{\Pi}}} \cos \frac{p_{i} l}{b}\right)=I_{2} p_{i}^{2}\left(\cos \frac{p_{i} l}{b}-\frac{I_{1} b p_{i}}{G I_{\Pi}} \sin \frac{p_{i} l}{b}\right) .
\]

Поскольку $p_{i}$ является общим множителем для обеих частей данного соотношения, из этого следует, что $p_{0}=0$ является частотой вращения системы как абсолютно жесткого тела. Для удобства проведения расчетов при отыскании частот форм колебаний введем обозначения
\[
\xi_{1}=p_{i} l / b ; \quad \eta_{1}=\rho^{{ }_{n}} l / I_{1}=I_{0} / I_{1} ; \quad \eta_{2}=I_{0} / I_{2},
\]

где $I_{0}=\rho I_{\mathrm{n}} l$ – момент инерции вала относительно его собственной оси. Используя обозначения (л), перепишем уравнение частот (к) в более простой форме
\[
\begin{array}{c}
-\left(\operatorname{tg} \xi_{i}+\frac{\xi_{i}}{\eta_{1}}\right)=\frac{\xi_{i}}{\eta_{2}}\left(1-\frac{\xi_{i}}{\eta_{1}} \operatorname{tg} \xi_{i}\right) \\
\left(\frac{\xi_{i}^{2}}{\eta_{1} \eta_{2}}-1\right) \operatorname{tg} \xi_{i}=\left(\frac{1}{\eta_{1}}+\frac{1}{\eta_{2}}\right) \xi_{i} .
\end{array}
\]

или

Если $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \ldots$, – ненулевые положительные корни (расположенные в порядке возрастания) этого трансцендентного уравнения, то из выражения (ж) и концевого условия (з) получаем соответствующие нормальные функции
\[
X_{i}=C_{i}\left[\cos \left(\xi_{i} x / l\right)-\left(\xi_{i} / \eta_{1}\right) \sin \left(\xi_{i} x / l\right)\right] .
\]

Предположим, что моменты инерции $I_{1}$ и $I_{2}$ дисков малы по сравнению с моментом инерции $I_{0}$ вала. В этом случае параметры $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$ будут иметь большие значения, корнями уравнения (5.57) будут числа $\pi, 2 \pi, 3 \pi, \ldots$, нормальные функции (5.58) примут вид, соответствующий валу с незакрепленными концами [см. выражение (в) ]. С другой стороны, если величины $I_{1}$ и $I_{2}$ велики по сравнению с $I_{0}$, то отношения $\eta_{1}$ и $\eta_{2}$ будут малыми величинами, поэтому в правой части уравнения (5.57) можно пренебречь единицей по сравнению со слагаемым $\xi_{i}^{2} /\left(\eta_{1} \eta_{2}\right)$. Тогда уравнение частотетримет вид
\[
\xi_{i} \operatorname{tg}_{3}^{7} \xi_{i}=\eta_{1}+\eta_{2} .
\]

Это уравнение совпадает по формуле с уравнением (5.30), относящимся к задаче о продольных колебаниях стержня. Для первой крутильной формы колебаний все слагаемые, входящие в уравнение (м), будут малы. С учетом этого можно упростить соотношение, если положить $\operatorname{tg} \xi_{1}=\xi_{1}$. Тогда получим
\[
\xi_{1}^{2} \approx \eta_{1}+\eta_{2}=I_{0}\left(I_{1}+I_{2}\right) / I_{1} I_{2} .
\]

Решив это уравнение, найдем частоту
\[
p_{1}=\frac{b \xi_{1}}{l} \approx \frac{b}{l} \sqrt{\frac{I_{0}\left(I_{1}+I_{2}\right)}{I_{1} I_{2}}}=\sqrt{\frac{G I_{\mathrm{I}}\left(I_{1}+I_{2}\right)}{l_{1} I_{2}}}
\]

и период колебаний основной формы
\[
\tau_{1}=2 \pi \sqrt{\frac{l I_{1} I_{2}}{G I_{\mathrm{II}}\left(I_{1}+I_{2}\right)}} .
\]

Эта формула совпадает с формулой (1.11), которая была получена в пренебрежении массой вала и в предположении, что система имеет только одну форму колебаний.

На основе подхода, описанного в п. 5.5, можно получить соотношения ортогональности для вала с закрепленными на обоих концах дисками
\[
\begin{array}{c}
\rho I_{1 s} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+I_{1} X_{i 0} Y_{j 0}+I_{2} X_{i l} X_{j l}=0 \text { при } i
eq j \\
G I_{n} \int_{0}^{l} X_{i}^{\prime} X_{i}^{\prime} d x=0 \text { при } i
eq j \\
G I_{\Pi}\left(\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{j} d x+X_{i 0}^{\prime} X_{j 0}-X_{i l}^{\prime} X_{j l}\right)=0 \quad \text { при } \quad i
eq j .
\end{array}
\]

Кроме того, если выбрать соотношение нормировки (при $i=j$ ) в виде
\[
\rho I_{\mathrm{\Pi}} \int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x+I_{1} X_{i 0}^{2}+I_{2} X_{i l}^{2}=\rho I_{\Pi}
\]

можно получить
\[
G I_{\mathrm{\Pi}}\left(\int_{0}^{l} X_{i}^{\prime \prime} X_{i} d x+X_{i 0}^{\prime} X_{i 0}-X_{i l}^{\prime} X_{i l}\right)=-G I_{\mathrm{п}} \int_{0}^{l}\left(X_{i}^{\prime}\right)^{2} d x=-\rho I_{\mathrm{n}} p_{i}^{2} .
\]

Соотношения (5.59)–(5.63) аналогичны соотношениям (5.31)–(5.35), поэтому следует только заменить $m=\rho F$ на $\rho I_{\text {п }}$ и $r=E F$ на $G I_{\mathrm{n}}$. Более того, в выражениях, относящихся к рассматриваемой здесь задаче, имеются члены, учитывающие диски, прикрепленные в валу в сечениях $x=0$ и $x=l$.

Рассмотрим динамические угловые перемещения системы (см. рис. 5.9), если начальные условия при $t=0$ имеют вид $\theta_{0}=f_{1}(x)$ и $\dot{\theta}_{0}=f_{2}(x)$. Для этого необходимо определить начальные перемещения $f_{1}(0), f_{1}(l)$ и начальные скорости $f_{2}(0), f_{2}(l)$ дисков, установленных в сечения $x=0$ и $x=l$ Тогда начальные условия для вала и дисков, представленные в виде рядов, по функциям времени $\varphi_{0 i}$ и функциям перемещения $X_{i}$ имеют вид
\[
\begin{array}{ll}
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} X_{i}=f_{1}(x) ; & \sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} X_{i}=f_{2}(x) ; \\
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} X_{i 0}=f_{1}(0) ; & \sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} X_{i 0}=f_{2}(0) ; \\
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i} X_{i l}=f_{1}(l) ; & \sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i} X_{i l}=f_{2}(l) .
\end{array}
\]

Для того чтобы пронормировать эти выражения, умножим выражения (н) на $\rho I_{\mathrm{n}} X_{j}$ и проинтегрируем по длине вала. Затем умножим выражения (о) и (п) соответственно на $I_{1} X_{j 0}$ и $I_{2} X_{j l}$ и сложим результаты с преобразованными выражениями (н). В результате получим
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{\infty} \varphi_{0 i}\left(\rho I_{\mathrm{I}} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+I_{1} X_{i 0} X_{j 0}+I_{2} X_{i l} X_{j l}\right)= \\
=\rho I_{11} \int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{j} d x+I_{1} f_{1}(0) X_{j 0}+I_{2} f_{1}(l) X_{j l} \\
\sum_{i=1}^{\infty} \dot{\varphi}_{0 i}\left(\rho I_{\mathrm{In}} \int_{0}^{l} X_{i} X_{j} d x+I_{1} X_{i 0} X_{j 0}+I_{2} X_{i l} X_{j l}\right)= \\
=\rho I_{\mathrm{II}} \int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{j} d x+I_{1} f_{2}(0) X_{j 0}+I_{2} f_{2}(l) X_{j l} .
\end{array}
\]

Из соотношений ортогональности (5.59) и нормированности (5.62) видно, что при $i=j$ соотношения (р) и (с) приводят к следующим представлениям для начальных перемещений и скоростей в нормальных координатах:
\[
\begin{array}{l}
\Upsilon_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{1}(x) X_{i} d x+\frac{l}{\eta_{1}} f_{1}(0) X_{i 0}+\frac{l}{\eta_{2}} \dot{f}_{1}(l) X_{i l} ; \\
\dot{\varphi}_{0 i}=\int_{0}^{l} f_{2}(x) X_{i} d x+\frac{l}{\eta_{1}} f_{2}(0) X_{i 0}+\frac{l}{\eta_{2}} f_{2}(l) X_{i l} .
\end{array}
\]

Эти выражения совпадают с (5.36) и (5.37) за исключением учитывающих влияние обоих дисков слагаемых, присутствующих в (5.64) и (5.65). Имея эти представления для $\varphi_{0 i}$ и $\dot{\varphi}_{0 i}$, можно исследовать динамическое поведение рассматриваемой системы, используя выражение (5.25).

Если собственные функции нормируются в соответствии с выражением (5.62), динамическое поведение показанной на рис. 5.9 системы можно исследовать, воспользовавшись выражениями (5.28) и (5.29). К получаемому при этом перемещению следует прибавить перемещение как абсолютно жесткого тела, которое определяется из уравнения
\[
J \ddot{\varphi}_{0}=R .
\]

В этом уравнении $J=I_{0}+I_{1}+I_{2}$ – суммарный момент инерции системы; $\ddot{\varphi}_{0}$ – ускорение движения как абсолютно жесткого тела; $R$ – суммарный крутящий момент, приложенный к валу и дискам.

Пример 1. Предположим, что к левому концу вала с незакрепленными концами (см. рис. 5.8,a) приложен изменяющийся во времени по линейному закону крутящий момент $R=R_{1} t / t_{1}$ (где $R_{1}$ – значение крутящего момента в момент времени $t_{1}$ ). Исследовать обусловленное действием указанного крутящего момента динамическое поведение вала, если в начальный момент времени вал находился в покое.

Решение. Подставляя $J=I_{0}=\rho I_{\text {II }} l$ и $R=R_{1} t / t_{1}$ в уравнение (т) и интегрируя последнее по $t$ дважды, получим угловое перемещение вала как абсолютно жесткого тела
\[
\varphi_{0}=\frac{R_{1} t^{3}}{6 \rho I_{1} l t_{1}}=\frac{R_{1} t^{3}}{6 I_{0} t_{1}} .
\]

Динамические угловые перемещения, которые следует просуммировать с перемещениями (у) как абсолютно жесткого тела, определяются из выражения (5.29), что дает
\[
\begin{aligned}
\theta & =\frac{2 R_{1}}{\rho I_{\mathrm{n}} l_{1}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}} \cos \frac{p_{i} x}{b} \int_{0}^{t} t^{\prime} \sin p_{i}\left(t-t^{\prime}\right) d t^{\prime}= \\
& =\frac{2 R_{1}}{I_{0} t_{1}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{p_{i}^{2}} \cos \frac{p_{i} x}{b}\left(t-\frac{1}{p_{i}} \sin p_{i} t\right)= \\
& =\frac{2 l^{2} R_{1}}{\pi^{2} b^{2} I_{0} t_{1}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{2}} \cos \frac{i \pi x}{l}\left(t-\frac{l}{i \pi b} \sin \frac{i \pi b t}{l}\right) .
\end{aligned}
\]

Результирующие угловые перемещения вала равны сумме перемещений (у) и (ф). Например, результирующее угловое перемещение конца стержня в месте приложения ( $x=0$ ) крутящего момента
\[
(\theta)_{x=0}=\frac{R_{1}}{I_{0} t_{1}}\left[\frac{t^{3}}{6}+\frac{2 l^{2}}{\pi^{2} b^{2}} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^{2}}\left(t-\frac{l}{i \pi b} \sin \frac{i \pi b t}{l}\right)\right] \text {. }
\]

Полагая $t=t_{1}=l / b$, находим
\[
(\theta)_{x=0}=\frac{R_{1} l^{2}}{I_{0} b^{2}}\left[\frac{1}{6}+\frac{2}{\pi^{2}}\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots\right)\right]=\frac{R_{1} l}{2 G I_{\mathrm{II}}} .
\]

Пример 2. Полагая, что моменты инерции трех частей, составляющих систему, показанную на рис. 5.9 , равны между собой, т. е. $I_{0}=I_{1}=I_{2}$, определить динамические угловые перемещения, если заданы следующие начальные условия:
\[
\theta_{0}=f_{1}(x)=\alpha_{0}(2 x-l) / l ; \dot{\theta}_{0}=f_{2}(x)=0 .
\]

Начальное перемещение, описываемой функцией $\theta_{0}$, обусловлено равными и противоположно направленными крутящими моментами, приложенными к дискам и вызывающими относительный поворот концевых сечений на угол $2 \alpha_{0}$, которые в момент времени $t_{0}=0$ внезапно принимают значения, равные нулю.

Peшение. В рассматриваемом случае $\eta_{1}=\eta_{2}=1$, и трансцендентное частотное уравнение (5.57) принимает более простой вид
\[
\left(\xi_{i}^{2}-1\right) \operatorname{tg} \xi_{i}=2 \xi_{i} .
\]

Здесь функции $X_{i}$ нормируются в соответствии с выражением (5.62), что дает
\[
\int_{0}^{l} X_{i}^{2} d x+X_{i 0}^{2}+X_{i l}^{2}=1 .
\]

Для заданных начальных условий (ч) из выражений (5.64) и (5.65) получаем
\[
\varphi_{0 i}=\frac{\alpha_{0}}{l}\left[\int_{0}^{l}(2 x-l) X_{i} d x-l^{2}\left(X_{i 0}-X_{i l}\right)\right] ; \quad \dot{\varphi}_{0 i}=0 .
\]
В результате угловые перемещения при свободных колебаниях в соответствии с выражением (5.25) можно представить в следующем виде:
\[
\theta=\frac{\alpha_{0}}{l} \sum_{i=1}^{\infty} X_{i}\left[\int_{0}^{l}(2 x-l) X_{i} d x-l^{2}\left(X_{i 0}-X_{i l}\right)\right] \cos \frac{\xi_{i} b t}{l} .
\]