Если статически нагруженную упругую систему типа балки или вала воздушного винта вывести каким-либо способом из состояния равновесия, то внутренние силы и изгибающие моменты в деформированном состоянии уже не будут более находиться в равновесии с внешними нагрузками, и возникнут колебания. В общем случае упругая система может совершать колебания по различным формам или модам. Например, растянутая проволока может колебаться по различным формам в зависимости от числа узлов, укладывающихся на ее длине. В простейшем случае конфигурацию колеблющейся системы можно задать с помощью одной координаты; такие случаи называют системами с одной степенью свободы.

Рассмотрим случай (рис. $1.1, a$ ), когда груз весом $W$ (точнее массой $W / g$ ) соединен с опорой через линейную упругую винтовую пружину. Если считать, что возможно только вертикальное перемещение груза $W$, а масса пружины мала по сравнению с массой груза, то систему можно рассматривать как имеющую одну степень свободы. Конфигурация системы будет полностью определяться смещением $x$ груза от равновесного состояния.

Қак только груз прикреплен к пружине, он приобретает статическое перемещение
\[
\delta_{\mathrm{cr}}=W / k,
\]

где $k$ – сила, вызывающая удлинение пружины, равное единице; она называется жесткостью пружины. Если вес измерен в ньютонах (H), а удлинение в метрах (м), то жесткость пружины будет выражена в Н/м. Для винтовой цилиндрической пружины с плотно намотанными $n$ витками, имеющими средний диаметр витка $D$ и диаметр проволоки $d$, жесткость пружины можно определить по формуле *
\[
k=G d^{4} /\left(8 n D^{3}\right),
\]

где $G$ – модуль упругости при сдвиге материала проволоки.
Пусть теперь груз выведен из положения равновесия и затем отпущен, в результате чего возникают колебания. Такие колебания,
которые поддерживаются только упругими силами пружины, называются свободными, или собственными. Если за положительное принять перемещение $x$, направленное вниз, то сила, возникающая при этом в пружине, для произвольного положения груза будет равна $W+k x$ (рис. 1.1, б). Зная, что масса груза равна $W / g$, и обозначая ускорение $d^{2} x / d t^{2}$ через $\ddot{x}$, можно в соответствии со вторым законом Ньютона получить уравнение движенил
\[
(W / g) \ddot{x}=W-(W+k x) .
\]

Действующие на груз неуравновешенные силы показаны на рис. 1.1, в. Слагаемые в правой части уравнения (в), обозначающие вес $W$, сокращаются; это означает, что дифференциальное уравнение движения для свободных колебаний системы не зависит от грави-

Рис. 1.1 тационного поля. Для приводимых ниже рассуждений важно помнить, что перемещение $x$ измеряется от положения статического равновесия и что оно считается положительным, когда направлено вниз.
Вводя обозначение
\[
p^{2}=k g / W=g / \delta_{\text {cтr }},
\]

уравнение (в) можно представить в виде
\[
\ddot{x}+p^{2} x=0 .
\]

Этому уравнению могут удовлетворять решения в виде $x=C_{1} \cos p t$ или $x=C_{2} \sin p t$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ – произвольные постоянные. Суммируя эти частные решения, получим общее решение уравнения (1.1):
\[
x=C_{1} \cos p t+C_{2} \sin p t .
\]

Видно, что вертикальное давление груза $W$ имеет колебательный характер, поскольку функции $\cos p t$ и $\sin p t$ являются периодическими, принимающими одни и те же значения через интервал времени $\tau$, откуда следует
\[
p(\tau+t)-p t=2 \pi .
\]

Этот интервал времени называется периодом колебаний. Его величина определяется из уравнения (д):
\[
\tau=2 \pi / p .
\]

С учетом обозначений (г) получаем следующую формулу:
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{W}{k g}}=2 \pi \sqrt{\frac{\delta_{\mathrm{CT}}}{g}} .
\]

Можно видеть, что период колебаний зависит от веса $W$ и жесткости пружины $k$ и не зависит от величины перемещения. Можно также отметить, что период колебаний подвешенного груза весом $W$ совпадает с периодом колебаний простейшего маятника, длина которого равна статическому перемещению $\delta_{\text {ст. }}$. Если это перемещение можно определить теоретически или экспериментально, то период колебаний $\tau$ определяют по формуле (1.3).

Число возвратно-поступательных движений в единицу времени (т. е. число циклов в секунду) называется частотой колебаний. Обозначая частоту колебаний через $f$, получим
\[
f=\frac{1}{\tau}=\frac{p}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k g}{W}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\delta_{\mathrm{cT}}}} .
\]

Қолебательное движение, описываемое выражением (1.2), называется простым гармоническим движением. Для определения постоянных интегрирования $C_{1}$ и $C_{2}$ следует рассмотреть начальные условия. Предположим, что в начальный момент времени ( $t=0$ ) груз $W$ имеет перемещение $x_{0}$ от положения равновесия, а начальная скорость равна $\dot{x}_{0}$. Подставляя $t=0$ в выражение (1.2), получим
\[
C_{1}=x_{0} .
\]

Найдя производную выражения (1.2) по времени и подставляя $t=0$, получим
\[
C_{2}=\dot{x}_{0} / p
\]

Выражение, описывающее колебательное движение груза $W$, получаем подстановкой в выражение (1.2) значений постоянных $C_{1}$ и $C_{2}$, что дает
\[
x=x_{0} \cos p t+\left(\dot{x}_{0} / p\right) \sin p t .
\]

Можно видеть, что в этом случае колебание состоит из. двух частей: первая пропорциональна $\cos p t$ и зависит от начального перемещения $x_{0}$, а вторая пропорциональна $\sin p t$ и зависит от начальной скорости $\dot{x}_{0}$. Қаждую из этих частей можно представить графически, как показано на рис. $1.2, a$ и $б$, в виде зависимостей перемещения от времени. Полное перемещение $x$ груза $W$ при колебаниях в произвольный момент времени $t$ получаем суммированием ординат двух кривых в этот момент времени, что дает кривую, показанную на рис. $1.2,8$.

Другой метод представления колебаний основан на использовании вращающихсл векторов. Возьмем вектор $\overline{\mathrm{OP}}$ (рис. 1.3) длиной $x_{0}$, вращающийся с постоянной угловой скоростью $p$ вокруг неподвижной точки $O$. Эта скорость называется угловой, или круговой частотой колебаний. В начальный момент времени ( $t=0$ ) вектор $\overline{\mathrm{OP}}$ совпадает с осью $x$; угол, который составляет этот вектор с осью $x$ в момент времени $t$, равен $p t$. Проекция вектора на ось $x$ равна $x_{0} \cos p t$ и представляет собой первое слагаемое выражения (1.5). Взяв другой вектор $\overline{O Q}$ длиной $\dot{x}_{0} / p$, перпендикулярный вектору $\overline{O P}$, видим, что его проекция на ось $x$ соответствует второму слагаемому

выразжения (1.5). Полное перемещение $x$ груза при колебаниях получаем суммированием проекций на ось $x$ двух взаимно перпендикулярных векторов $\overline{O C}$ и $\overline{O Q}$, вращающихся с угловой скоростью $p$.

К такому же результату можно прийти, если вместо векторов $\overline{O P}$ и $\overline{O Q}$ рассмотреть вектор $\overline{O R}$, представляющий сумму этих векторов, и взять проекцию результирующего вектора на ось $x$. Длина этого вектора, как видно из рис. 1.3,
\[
A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{\dot{x}_{0}}{p}\right)^{2}},
\]

а угол между вектором и осью равен $p t-\alpha$, где
\[
\alpha=\operatorname{arctg} \frac{\dot{x}_{0}}{p x_{0}} .
\]

В соответствии с вышесказанным выражение (1.5), очевидно, может быть представлено в эквивалентной форме
\[
x=A \cos (p t-\alpha),
\]

где $A$ и $\alpha$, определяемые из выражений (и) и (к), являются новыми постоянными, зависящими от начальных условий движения. Видно, что сумма двух простых гармонических движений, одно из которых пропорционально $\cos p t$, а другое $\sin p t$, также является простым гармоническим движением, пропорциональным $\cos (p t-\alpha)$ (см.
Рис. 1.2
рис. 1.2, ). Максимальное значение $A$ ординаты этой кривой, равное длине вектора $\overline{O R}$ (см. рис. 1.3), представляет собой максимальное смещение тела при колебаниях от положения равновесия и оказывается амплитудой колебаний.
Благодаря углу $\alpha$ между двумя вращающимися векторами $\overline{O P}$
Рис. 1.3

и $O R$ максимальная ордината кривой на рис. 1.2, в смещена относи тельно максимальной ординаты кривой, показанной на рис. $1.2, a$, на величину $\alpha / p$.В этом случае можно сказать, что результирующее колебание, представляемое кривой на рис. $1.2,6$, отстает от перемещения, представляемого кривой на рис. $1.2, a$; угол $\alpha$ называется раз-
Рис. 1.4
ностью фаз, или фазовым углом этих двух колебаний. Координаты $x$ и $\dot{x} / p$ (см. рис. 1.3) определяют, как говорят, фазовую плоскость, в которой движение описывается с помощью вращающихся векторов.
Пример 1. На свободно опертую балку длиной 3,05 м и с изгибной жесткостью $5,86 \cdot 10^{4} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2}$ установлен на высоте $h=0,013$ м в среднем сечении пролета балки груз весом $W=910 \mathrm{H}$ (рис. 1.4). Пренебрегая распределенной массой балки и считая, что груз и балка после первого соприкосновения не отделяются друг от друга при колєбаниях, вычислить частоту и амплитуду результирующих свободных колебаний.

Peшение. При действии нагрузки $W$, приложенной в середине пролета балки, статический прогиб
\[
\delta_{\text {c T }}=\frac{W l^{3}}{48 E I}=\frac{910 \cdot 3,05^{3}}{48 \cdot 5,86 \cdot 10^{4}}=9,2 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m} .
\]

Отсюда, по формуле (1.4) определяем частоту свободных колебаний
\[
f=\frac{p}{2 \pi}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\delta_{\mathrm{cT}}}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{9,81}{9,2 \cdot 10^{-3}}}=\frac{3,13}{0,603}=5,19 \mathrm{c}^{\mu} .
\]

При определении амплитуды учтем, что в начальный момент времени ( $t=0$ ), когда падающий груз ударяет по балке, начальное перемещение $x_{0}=-\delta_{\text {ст }}$, а начальная скорость $\dot{x}_{0}=\sqrt{2 g h}$.
По формуле (и) находим амплитуду
\[
\begin{array}{l}
A=\sqrt{\left(-\delta_{\mathrm{cr}}\right)^{2}+2 h \delta_{\mathrm{cT}}}= \\
=\sqrt{84,64 \cdot 10^{-6}+239 \cdot 10^{-6}}=18 \cdot 10^{-3} \mathrm{M}, \\
\end{array}
\]

Поскольку амплитуда измеряется от положения статического равновесия, то следует отметить, что полный прогиб, обусловленный падением груза, $A+\delta_{\text {ст }}=2,72 \times$ $\times 10^{-2} \mathrm{M}$.

Пример 2. На рис. 1.5, $a$ груз весом $W$ подвешен на двух пружинах с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$, соединенных последовательно. На рис. 1.5, 6 тот же груз закреплен на двух пружинах с жесткостями $k_{1}$ и $k_{2}$, соединенных пaраллельно. Для каждого случая найти эквивалентную жесткость $k$ системы.

Решение. Для случая, представленного на рис. 1.5, $a$, каждая пружина нагружена одним и тем же весом $W$ и удлинение каждой в отдельности равно $\delta_{1}=W / k_{1}$ и
a)
б)
Рис. 1.5 $\delta_{2} \xlongequal[=]{=} / k_{2}$. Тогда полное статическое перемещение груза составит $\delta_{\text {cт }}=\delta_{1}+\delta_{2}=$ $=W / k_{1}+W / k_{2}$.

В соответствии с выражением (а) жесткость пружины для эквивалентной системы будет $k=W / \delta_{\mathrm{ct}}$, или
\[
k=k_{1} k_{2} /\left(k_{1}+k_{2}\right) .
\]

Рис. 1.6
Подставляя найденное значение $k$ в формулу (1.3), можно вычислить период свободных колебаний.

Пусть в случае, изображенном на рис. 1.5, б, величина $S_{1}$ – растягивающая сила, приложенная к верхней пружине, $S_{2}$ – сжимающая сила, приложенная к нижней пружине. Обе эти силы обусловлены действием груза весом $W$. Из условия того, что каждая пружина должна изменять свою длину на одинаковую величину, имеем
\[
\delta_{\text {cт }}=S_{1} / k_{1}=S_{2} / k_{2}=W / k .
\]

Далее, единичное перемещение груза вызывает восстанавливающую силу
\[
k=k_{1}+k_{2} \text {, }
\]

которая равна эквивалентной жесткости пружины системы. Таким образом, для того чтобы получить эквивалентную жесткость пружины при параллельном соединении пружин, требуется только сложить жесткости каждой пружины. Силы, действующие на каждую пружину, можно получить из выражений (м) и (н):
\[
S_{1}=\frac{k_{1}}{k_{1}+k_{2}} W ; \quad S_{2}=\frac{k_{2}}{k_{1}+k_{2}} W .
\]

Пример 3. Ферменная конструкция состоит из платформы весом $W=1,75 \times$ $\times 10^{5} \mathrm{H}$, опертой на четыре абсолютно жесткие вертикальные стойки и подкрепленной по каждой стороне двумя диагональными предварительно напряженными стальными тросами (рис. 1.6,a). Стойки шарнирно закреплены по концам; каждый диагональный трос имеет площадь поперечного сечения, равную $(1 / \sqrt{2}) \times 6,45 \times$ $\times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$, и предварительно напряжен большим усилием. Пренебрегая массами всех элементов конструкции, за исключением массы платформы, найти период $\tau$ свободных боковых колебаний конструкции.

Pешение. Приложим к центру тяжести платформы в направлении оси $x$ силу $P$ (см. рис. 1.6, б). При действии этой силы изменение растягивающей силы в диагонали $A C$ будет $S=\sqrt{2} P / 4$. Соответствующее удлинение этой диагонали составит
\[
\Delta=\frac{S l}{F E}=\frac{\sqrt{2} P \sqrt{2} h}{4 F E}=\frac{P h}{2 F E},
\]

а диагональ $B D$ укоротится на ту же величину. В результате этих изменений длин диагоналей видно, что платформа сместится на $\delta=\sqrt{2} \Delta$. Таким образом, жесткость эквивалентной пружины данной конструкции системы
\[
k=\frac{P}{\delta}=\frac{\sqrt{2} F E}{h}=\frac{6,45 \cdot 2,11 \cdot 10^{7}}{3,05}=4,46 \cdot 10^{7} \mathrm{H} / \mathrm{m} .
\]

Рис. 1.7
Подставляя найденіе значение жесткости $\dot{k}$ в формулы (1.3), получим
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{175000}{4,46 \cdot 10^{7} \cdot 9,81}}=2 \pi \sqrt{0,0004}=0,126 \mathrm{c} .
\]

Читателю предоставляется возможность показать, что в данном примере горизонтальную силу $P$ не обязательно направлять параллельно оси или в произвольном направлении в горизонтальной плоскости.

Пример 4. Предположим, что груз весом $W$ (рис. 1.7) поднимается подъемным механизмом и при этом он движется вверх с постоянной скоростью $\dot{x}_{0}$, а в качестве пружины служит стальной трос. Определить максимальное напряжение, возникающее в тросе, когда во время движения внезапно останавливается барабан, наматывающий верхний конец троса. Пусть вес груза $W=4,54 \cdot 10^{5} \mathrm{H}, l=18,3 \mathrm{~m}$, площадь поперечного сечения троса $F=1,61 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$, модуль упругости троса $E=1,05 \cdot 10^{11} \mathrm{H} / \mathrm{m}^{2}$, скорость $\ddot{x}_{0}=0,914 \mathrm{M} / \mathrm{c}$. Весом троса можно пренебречь.

Решение. При равномерном движении подъемника растягивающая сила в тросе $W=4,54 \cdot 10^{5} \mathrm{H}$, удлинение троса в любой момент времени $\delta_{\text {ст }}=W l /(E F)=0,0049$ м. Благодаря начальной скорости $x_{0}$ поднимаемый груз не остановится сразу, а будет колебаться на тросе. Отсчитывая время от некоторого произвольного момєнта, видим, что перемещение поднимаемого груза от положения равновесия в рассматриваемый момент времени равно нулю, тогда как скорость равна $\dot{x}_{0}$. Из выражения (1.5) следует, что амплитуда колебания будет равна $\dot{x}_{0} / p$, где $p=$ $=\sqrt{g / \delta_{\mathrm{ct}}}=44,7 \mathrm{c}^{-1}, \dot{x}_{0}=0,914 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Тогда максимальное удлинение троса $\delta_{\max }=$ $=\delta_{\text {ст }}+\dot{x}_{0} / p=0,0049+0,914 / 44,7=0,0049+0,0204=0,0253 \mathrm{~m}$, а максимальное напряжение $\sigma_{\max }=\left[4,54 \cdot 10^{5} /\left(1,61 \cdot 10^{-3}\right)\right] \times(0,0253 / 44,7)=1,595 \cdot 10^{8}$ Па. Можно видеть, что внезапная остановка барабана увеличивает напряжение примерно в 5 раз.

ЗАДАЧИ
1.1.1. Винтовая цилиндрическая пружина (см. рис. 1.1) имеет диаметр $D=$ $=2,5 \cdot 10^{-2}$ м витка по срединной линии, диаметр проволоки $d=2,5 \cdot 10^{-3}$ м, число витков равно 20. Модуль упругости материала проволоки при сдвиге $G=0,84 \times$ $\times 10^{11}$ Па, вес подвешенного груза $W=150 \mathrm{H}$. Определить период свободных колебаний.
Omвem: $\tau=0,64$ с.
1.1.2. Свободно опертая балка (рис. А.1.1.2) имеет жесткость при изгибе $E I=$ $=9 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2}$, длина пролета между опорами $l_{1}=1,8 \mathrm{~m}$, длина консоли $l_{2}=0,9 \mathrm{~m}$.
Рис. A.1.1.2

Пренебрегая массой балки, найти частоту свободных колебаний груза весом $\mathscr{W}=$ $=3000 \mathrm{H}$, установленного на незакрепленный конец консоли.
Oтвет: $f=6,48 \mathrm{c}^{-1}$.

1.1.3. Балка $A B$ (рис. А.1.1.3) жесткостью при изгибе $E I=9 \cdot 10^{4} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2}$ оперта концами $A$ и $B$ на пружины. Жесткость каждой пружины $k=5,36 \cdot 10^{4} \mathrm{H} / \mathrm{m}$. Пре-
Рис. А.1.1.3

небрегая весом балки, вычислить период свободных колебаний груза весом $W=$ $=5000 \mathrm{H}$, установленного на расстоянии $0,91 \mathrm{~m}$ от конца $B$.
Omвem: $\boldsymbol{\tau}=0,533 \mathrm{c}$.
1.1.4. Цистерна с водой (рис. А.1.1.4), весящая $W=6 \cdot 10^{5} \mathrm{H}$, опирается на четыре вертикальные стойки, изготовленные из труб и жестко заделанные по кон-
Рис. А.1.1.4

цам. Каждая стойка имеет жесткость при изгибе $E I=6 \cdot 10^{6} \mathrm{H} \cdot \mathrm{m}^{2}$. Вычислить период свободных колебаний цистерны в горизонтальном направлении. Весом стоек можно пренебречь.
Omвет: $\tau=1,95$ с.
1.1.5. Предположим, что для снижения максимального значения динамического напряжения, возникающего в конструкции из примера 1.1.4, между нижним концом троса и поднимаемым грузом установлена короткая пружина, имеющая жесткость $k=3,6 \cdot 10^{5} \mathrm{H} /$ м. Определить максимальное напряжение, которое возникнет в этом случае при внезапной остановке верхнего конца троса. Использовать те же числовые данные, что и в примере 1.1.4.
Ответ: $\sigma_{\max }=50,8 \cdot 10^{6}$ Па.
1.1.6. В портальной раме установлена тяжелая двутавровая балка длиной 6 м и высотой поперечного сечения $0,61 \mathrm{~m}$, которая жестко приварена к двум относительно гибким стойкам (рис. А.1.1.6). Қаждая из этих стоек изготовлена из швеллера с площадью поперечного сечения $F=2,59 \cdot 10^{-3} \mathrm{~m}^{2}$. Минимальный радиус инерции $r=1,57 \cdot 10^{-2}, E=2,1 \cdot 10^{11} \mathrm{H} / \mathrm{m}^{2}$. Вычислить период собственных боковых колебаний в плоскости рамы: а) считая, что точки $A$ и $B$ полностью закреплены;

б) предполагая в точках $A$ и $B$ наличие шарниров. Пренебречь изгибом двутавровой балки и весом стоек.
Omвem: $\tau_{1}=0,813 \mathrm{c}, \tau_{2}=1,62 \bar{\gamma}$.
Рис. А.1.1.6
1.1.7. Двухпролетная неразрезная балка состоит из двух швеллеров высотой
Рис. А.1.1.7

весом $W=5,45 \cdot 10^{4} \mathrm{H}$ в середине пролета $B C$ (рис. A.1.1.7). Определить собственную частоту свободных вертикальных колебаний электродвигателя, пренебрегая влиянием веса балки.
Oтвет: $f=5,72 \mathrm{c}^{-1}$.
1.1.8. Небольшой шар массой $m$ прикреплен в середине к туго натянутому тросу длиной $2 l$ (рис. A.l.1.8). Трос не сопротивляется изгибу и имеет больщое
Рис. А.1.1.8

предварительное натяжение $S$. Составить дифференциальное уравнение движения при малых поперечных колебаниях шара и показать, что при постоянном натяжении троса рассматриваемое движение является простым гармоническим. Чему в этом случае равен период колебаний?
Omвem: $\tau=2 \pi \sqrt{\mathrm{ml} /(2 \mathrm{~S})}$.
1.1.9. Груз весом $W$ поддерживается тремя пружинами, соединенными последовательно подобно тому, как соединены две пружины на рис. $1.5, a$. Показать, что жесткость эквивалентной пружины
\[
k=\frac{k_{1} k_{2} k_{3}}{k_{1} k_{2}+k_{1} k_{3}+k_{2} k_{3}} .
\]