В предыдущем параграфе рассматривались только свободные колебания нелинейных систем. Здесь же будет обсуждаться установившееся поведение нелинейной системы, на которую воздействует периодическая возмущающая сила, и применение метода усреднепия Ритца ${ }^{4}$ для получения приближенного решения.

Предположим, что в системе имеется демпфирование, пропорциональное некоторой функции $f_{1}(\dot{x})$ скорости, и восстанавливающая сила, пропорциональная произвольной функции $f_{2}(x)$ перемещения. Если на массу действует возмущающая сила в виде периодической функции $m f_{3}(t)$, уравнение движения может быть записано в стедующем виде:
\[
\ddot{x}+2 n f_{1}(\dot{x})+p^{2} f_{2}(x)=f_{3}(t),
\]

где слагаемые соответствуют отнесенным к единице массы силам инерции, сопротивления движению и восстанавливающей внешней силе. Согласно методу усреднения Ритца ${ }^{4}$ предполагаем, что приближенное решение для установившихся колебаний можно представить в виде ряда, аналогичному ряду (2.23) в п. 2.3. Из условия того, что возможная работа за один цикл вынужденных колебаний должна равняться нулю, получаем систему уравнений вида
\[
\int_{0}^{r}\left[\ddot{x}+2 n f_{1}(\dot{x})+p^{2} f_{2}(x)-f_{3}(t)\right] \varphi_{i}(t) d t=0, i=1,2, \ldots, n .
\]

Рассмотрим первый частный случай, когда отсутствует демпфирование. Тогда уравнение движения
\[
\ddot{x}+p^{2}\left(x \pm \mu x^{3}\right)=q \cos \omega t .
\]

Полученное соотношение представляет собой хорошо известное уравнение Дюффинга, которое подробно рассмотрено Дюффингом в его книге * по колебаниям. Вынужденные колебания подобного типа являются симметричными относительно положения равновесия, и при отсутствии демпфирования динамические перемещения системы

будут либо совпадать по фазе, либо отставать на $180^{\circ}$ от возмущающей силы. В качестве первого приближения можно выбрать
\[
x=a_{1} \varphi_{1}(t)=a_{1} \cos \omega t .
\]

Тогда первое уравнение из системы (2.28) примет вид
\[
\int_{0}^{r}\left[\cdots-\omega^{2} a_{1} \cos \omega t+p^{2}\left(a_{1} \cos \omega t \pm \mu a_{1}^{3} \cos ^{3} \omega t\right)-q \cos \omega t\right] \cos \omega t d t=0 .
\]

После интегрирования и приведения подобных членов получим
\[
p^{2} a_{1} \pm \frac{3 p^{2} \mu a_{1}^{3}}{4}=\omega^{2} a_{1}+q .
\]

Для любых заданных значений параметров $p^{2}, \mu$ и $q$ из уравнения (2.30) получаем два соотношения между амплитудой $a_{1}$ и частотой $\omega$ возмущающей силы при установившихся вынужденных колебаниях. C точки зрения удобства графического представления частотных характеристик (аналогичного рис. 1.22 в п. 1.6), в случае пружины с возрастающей жесткостью лучше использовать уравнение
\[
\frac{3 \mu a_{1}^{3}}{4}=\left(\frac{\omega^{2}}{p^{2}}-1\right) a_{1}+\frac{q}{p^{2}},
\]

а в случае пружин с уменьшающейся жесткостью более удобным будет уравнение
\[
\frac{3 \mu a_{1}^{3}}{4}=\left(1-\frac{\omega^{2}}{p^{2}}\right) a_{1}-\frac{q}{p^{2}} .
\]

Метод построения графиков зависимости амплитуды $a$ от отношения частот $\omega / p$ согласно уравнениям (2.31) и (2.32) приведен ниже.

Уравнение (2.31) можно представить как наложение кубической функции от $a$ в левой части уравнения и линейной функции от $a$ в правой части. На рис. 2.12 , a показаны кубическая функция и набор линейных функций для ряда значений отношения частот $\omega / p$. Наклонная линия 1 на рис. $2.12, a$ соответствует вертикальной линии $\omega / p=0$ на рис. 2.12 , б, пересекающей кубическую параболу в точке $A$. Значение амплитуды $a_{1}$ в точке пересечения на рис. 2.12 , б обозначено через $A^{\prime}$. На рис. 2.12 , а линия 2 , для которой выполняется условие $0<\omega / p<1$, пересекает кривую в точке $B$; соответствующая ей точка на рис. 2.12 , б обозначена через $B^{\prime}$. Горизонтальная линия 3 на рис. 2.12 , а должна была бы изображать резонанс в случае линейной системы, но в данном случае ей соответствует другая пара точек ( $C$ и $C^{\prime}$ ) на диаграмме. С увеличением угла наклона линий на рис. $2.12, a$ возникает условие, при котором линия 4 не только пересекает верхнюю ветвь кривой в точке $D$, но и оказывается касательной к нижней ветви в точке $E$. Соответствующие точки $D^{\prime}$ и $E^{\prime}$ для частотной характеристики на рис. 2.12 , б попадают на критическую частоту ( $\omega_{\text {кр }} \geqslant p$ ), где тангенс угла наклона графика частотной характеристики равен бесконечности (точка $E^{\prime}$ ). Более круто поднимающиеся вверх линии на рис. $2.12, a$, аналогичные линии 5 , пересекают кубическую параболу в трех точ-
Рис. 2.12

ках (например, в точках $F, G$ и $H$ ), которым соответствуют точки $F^{\prime}$, $G^{\prime}$ и $H^{\prime}$ на графике частотной характеристики. Таким образом, сплошная жирная линия на рис. 2.12,б дает графическое представление уровня (2.31).

Частотная характеристика для пружины с возрастающей жесткостью имеет асимптоту в виде гиперболы, которая показана штриховой линией на рис. 2.12, б. Она соответствует случаю свободных нелинейных колебаний, когда в уравнении (2.31) величина $q$ полағается равной нулю. В результате соотношение между амплитудами и частотами при свободных колебаниях принимает следующий вид:
\[
\frac{3 \mu a_{1}^{2}}{4}=\frac{\omega^{2}}{p^{2}}-1
\]

где $\omega$ – круговая частота нелинейных колебаний. Кроме того, задавая различные значения нагрузки $q$, можно построить * семейство частотных характеристик (изображены сплошными светлыми линиями), аналогичных ‘слошной жирной линии, показанной на рис. 2.12 , б. Геометрическое место критических точек типа $E^{\prime}$ (в которых тангенс угла наклона касательной равен бесконечности) для указанных частот представлено щтрихпунктирной линией на рис. 2.12, б. Уравнение этой кривой можно получить, продифференцировав уравнение (2.31), в виде
\[
\frac{\tau \mu a_{1}^{-}}{4}=\frac{\omega^{2}}{p^{2}}-1 .
\]

Возвращаясь к уравнению (2.32), полученному для случая пружины с уменьшающейся жесткостью, можно также построить характерный график частотных характеристик, используя описанный выше прием. На рис. 2.13, а представлены применительно к данному случаю график кубической параболы и семейство соответствующих правой части уравнения (2.32) прямых для ряда значений $\omega / p$. Как линия 1 , так и линия 2 имеют по три точки пересечения с графиком кубической параболы, линия 3 имеет одну точку пересечения и одну точку касания, а каждая из прямых 4 и 5 имеют по одной точке пересечения с кубической параболой. Точкам $A-J$ на рис. 2.13, a соответствуют точки $A^{\prime}-J^{\prime}$ на рис. 2.13, б. В этом случае график частотной характеристики имеет вертикальную касательную в точке $H^{\prime}$, и критическая частота возникает в том случае, когда частота возмущающей силы имеет меньшую величину, чем частота резонанса в линейной системе $\left(\omega_{\text {кр }} \leqslant p\right.$ ).

Полагая в уравнении (2.32) $q=0$, получим уравнение показанной на рис. 2.13 , б штриховой кривой
\[
\frac{2 \mu a_{1}^{2}}{4}=1-\frac{\omega^{2}}{p^{2}},
\]

которая представляет собой уравнение эллипса и соответствует случаю свободных колебаний. На этом же рисунке в виде штрихпунктирной кривой представлено геометрическое место критических точек типа $H^{\prime}$ для ряда частотных характеристик. Уравнение этой кривой получаем дифференцированием уравнения (2.32), что дает
\[
\frac{9 \mu a_{1}^{2}}{4}=1-\frac{\omega^{2}}{p^{2}} .
\]

Типы показанных на рис. 2.12, б и 2.13, б частотных характеристик являются математическими моделями явления перескока, наблюдаемого в экспериментах с нелинейными механическими системами при действии возмущающих сил в виде гармонических функций **.
Рис. 2.13

В случае пружины с возрастающей жесткостью значительное увеличение частоты возмущающей силы (начиная с ее нулевого значения $\omega=0$ ) приведет к тому, что амплитуды установившегося состояния, которым соответствует левая ветвь кривой на рис. 2.12 , 6 , достигнут некоторой точки типа $F^{\prime}$. Из-за наличия внешних возмущений система будет иметь скачок амплитуды из точки $F^{\prime}$ в точку $H^{\prime}$ на кривой; при этом фазовый угол изменяется скачком с 0 на $180^{\circ}$. Дальнейшее увеличение частоты возмущающей силы обусловливает поведение системы, которому соответствует монотонно убывающая часть правой ветви частотной характеристики. С другой стороны,

если частоту возмущающей силы постепенно уменьшать, начиная с некоторого ее высокого значения (большего, чем $\omega_{\text {кр }}$ ), то амплитуда установившегося состояния будет постепенно увеличиваться, пока не будет достигнута критическая точка $E^{\prime}$. Затем амплитуда скачком изменится от точки $E^{\prime}$ до точки $D^{\prime}$ и также скачком изменится фазовый угол от $180^{\circ}$ до 0 . Последующее уменьшение частоты возмущающей силы приведет к тому, что динамические перемещения системы будут убывать вдоль участка $D^{\prime} C^{\prime} B^{\prime} A^{\prime}$ кривой. Таким образом, можно видеть, что при уменьшении частоты возмущающей силы амплитуда должна измениться скачком из точки $E^{\prime}$ в точку $D^{\prime}$, поскольку в случае $\omega<\omega_{\text {кр }}$ имеется только одно решение.

Қак было показано К. Клоттером *, штриховая и штрихпунктирная линии на рис. 2.12, б очерчивают область неустойчивости; при этом точки на кривой $E^{\prime} G^{\prime}$ относятся к таким условиям, которые не могут быть обнаружены в реальных физических системах. Таким образом, точка $E^{\prime}$ делит правую ветвь частотной характеристики на устойчивую верхнюю часть $E^{\prime} G^{\prime}$ и неустойчивую нижнюю часть $E^{\prime} H^{\prime}$.

В случае пружины с уменьшающейся жесткостью при постепенном увеличении частоты возмущающей силы от $\omega=0$ до $\omega>\omega_{\text {кр }}$ амплитуда установившегося состояния будет изменяться по кривой $C^{\prime} F^{\prime} H^{\prime} G^{\prime} I^{\prime} J^{\prime}$ (см. рис. 2.13, б). С другой стороны, если постепенно уменьшать частоты возмущающей силы с $\omega>\omega_{\text {кр }}$ до нуля, то реакцию системы будет описывать участок $J^{\prime} I^{\prime} G^{\prime} D^{\prime} F^{\prime} C^{\prime}$. В первом случае произойдет перескок из точки $H^{\prime}$ в точку $G^{\prime}$, где фазовый угол изменится от 0 до $180^{\circ}$. В последнем случае имеется перескок из точки $D^{\prime}$ в точку $F^{\prime}$, где фазовый угол вновь изменяется от $180^{\circ}$ до 0 . Здесь область неустойчивости ограничивается вертикальной линией $\omega / p=0$ и кривыми, описываемыми уравнениями (2.35) и (2.36). Таким образом, точка $H^{\prime}$ делит левую часть графика частотной характеристики на неустойчивую верхнюю часть $B^{\prime} E^{\prime} H^{\prime}$ и устойчивую нижнюю часть $C^{\prime} F^{\prime} H^{\prime}$.

Рассмотрим теперь задачу, описываемую уравнением Дюффинга с вязким сопротивлением, где сила демпфирования пропорциональна скорости (с коэффициентом пропорциональности $n$ ). В этом случае уравнение движения может быть записано в виде
\[
\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2}\left(x \pm \mu x^{3}\right)=q \cos \omega t .
\]

Установившееся состояние при вынужденных колебаниях теперь будет включать в себя фазовый угол $\psi$, поэтому первое приближение возьмем в форме
\[
x=c_{1} \cos (\omega t-\psi)=a_{1} \cos \omega t+b_{1} \sin \omega t,
\]

где $c_{1}^{2}=a_{1}^{2}+b_{1}^{2}, \operatorname{tg} \psi=b_{1} / a_{1}$. Для того чтобы методом усреднения Ритца $^{4}$ определить две постоянные $a_{1}$ и $b_{1}$, воспользуемся

двумя уравнениями системы (2.28), которые в этом случае примут вид
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{r}\left[\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2}\left(x \pm \mu x^{3}\right)-q \cos \omega t\right] \cos \omega t d t=0 ; \\
\int_{0}^{r}\left[\ddot{x}+2 n \dot{x}+p^{2}\left(x \pm \mu x^{3}\right)-q \cos \omega t\right] \sin \omega t d t=0 .
\end{array}
\]

Подставив в эти уравнения представление (б) для $x$ и проинтегрировав, получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
-a_{1} \omega^{2}+2 n \omega b_{1}+p^{2} a_{1} \pm \frac{3 p^{2} \mu a_{1} c_{1}^{2}}{4}-q=0 ; \\
-b_{1} \omega^{2}-2 n \omega a_{1}+p^{2} b_{1} \pm \frac{3 p^{2} \mu b_{1} c_{1}^{2}}{4}=0 .
\end{array}
\]

Используя соотношения $a_{1}=c_{1} \cos \psi$ и $b_{1}=c_{1} \sin \psi$, найдем
\[
\begin{array}{l}
2 n \omega c_{1} \sin \psi+\left(-\omega^{2}+p^{2} \pm \frac{3 p^{2} \mu c_{1}^{2}}{4}\right) c_{1} \cos \psi-q=0 \\
-2 n \omega c_{1} \cos \psi+\left(-\omega^{2}+p^{2} \pm \frac{3 p^{2} \mu c_{1}^{2}}{4}\right) c_{1} \sin \psi=0 .
\end{array}
\]

Умножая уравнение (д) на $\cos \psi$, а уравнение (е) на $\sin \psi$ и складывая их, придем к уравнению
\[
-\omega^{2}+p^{2} \pm \frac{3 p^{2} \mu c_{1}^{2}}{4}=\frac{q}{c_{1}} \cos \psi
\]

С другой стороны, умножая уравнение (д) на $H$ и $\psi$ и уравнение (е) на $\cos \psi$ и вычитая из первого уравнения второе, найдем
\[
2 n \omega=\frac{q}{c_{1}} \sin \psi .
\]

Возводя в квадрат уравнения (ж) и (з) и складывая их, имеем
\[
-\omega^{2}+p^{2} \pm \frac{3 p^{2} \mu c_{1}^{2}}{4}+4 n^{2} \omega^{2}=\left(\frac{q}{c_{1}}\right)^{2} .
\]

Почленное деление уравнения (ж) на (з) дает
\[
\psi=\operatorname{arctg} \frac{2 n \omega}{-\omega^{2}+p^{2} \pm 3 p^{2} \mu c_{1}^{2} / 4} .
\]

Последние два уравнения связывают амплитуду $c_{1}$ и фазовый угол $\psi$ с частотой $\omega$ возмущающей силы для произвольно заданных значений параметров $p^{2}, \mu, n$ и $q$. Если постоянную демпфирования $n$ положить равной нулю, то получим, что фазовый угол примет значение 0 или $\pi, b_{1}=0$ и $c_{1}=a_{1}$, тогда уравнение (2.38) примет вид уравнения (2.30), полученного выше для случая отсутствия демпфирования.
Рис. 2.14
Рис. 2.15

Для того чтобы построить график частотной характеристики, преобразуем уравнение (2.38) в следующие две формы:
\[
\begin{array}{l}
\frac{3 \mu c_{1}^{3}}{4}=\left(\frac{\omega^{2}}{p^{2}}-1\right) c_{1}+\frac{q}{p^{2}} \sqrt{1-\frac{\left(2 n \omega c_{1}\right)^{2}}{q^{2}}} ; \\
\frac{3 \mu c_{1}^{3}}{4}=\left(1-\frac{\omega^{2}}{p^{2}}\right) c_{1}-\frac{q}{p^{2}} \sqrt{1-\frac{\left(2 n \omega c_{1}\right)^{2}}{q^{2}}},
\end{array}
\]

где первая и вторая формы будут использоваться для случаев пружин соответственно с возрастающей и уменьшающейся жесткостями.

При отсутствии демпфирования эти уравнения принимают вид уравнений (2.31) и (2.32). Правые части уравнений (2.40) и (2.41) уже не представляют собой уравнений прямых линий, поэтому в данном случае графическое построение частотной характеристики является более сложным, чем при отсутствии демпфирования. Тем не менее, общий вид результирующих графиков сходен и представлен на рис. 2.14 и 2.15 для пружин соответственно с возрастающей и уменьшающейся жесткостями.

Штриховая кривая на рис. 2.14 имеет тот же смысл, что и аналогичная кривая, получаемая по уравнению (2.33), а геометрическое место точек, в которых частотная характеристика пересекает эту кривую, соответствующую случаю свободных колебаний, можно найти, решая систему двух уравнений (2.33) и (2.40). В результате получим
\[
c_{1 \text { рез }}=\frac{q / 2 n p}{\omega_{\mathrm{pe3}} / p}=\frac{q}{2 n \omega_{\text {pез }}},
\]

где $\omega_{\text {рез }}$ – резонансная частота; $c_{1}$ рез – резонансная амплитуда. Уравнение (2.42) описывает семейство гипербол в плоскости $c_{1}$ и $\omega / p$ (см. штрихпунктирную линию на рис. 2.14). Следовательно, для любого конкретного значения величины $q /(2 n p)$ можно построить гиперболу по уравнению (2.42). Ее пересечение с кривой для свободных колебаний даст приближенно максимальное значение, которое может достичь амплитуда при установившихся вынужденных колебаниях. Если требуется знать только указанное максимальное значение, нет нужды строить полностью график частотной характе-

ристики и тем самым можно избежать трудностей построения графиков при решении уравнения (2.40).

Аналогично сказанному, штриховая кривая на рис. 2.15 имеет тот же смысл, что и такая же кривая, получаемая из уравнения (2.35); при этом геометрическое место точек, где график частотной характеристики пересекает соответствующую кривую, построенную для случая свободных колебаний, можно найти, решив систему уравнений (2.35) и (2.41). Результирующее выражение имеет тот же вид, что и полученное ранее выражение (2.42), поэтому штрихпунктирная линия на рис. 2.15 является такой же гиперболой. В этом случае возможно существование двух точек пересечения графиков, указывающее на наличие верхней ветви частотной характеристики, которая не имеет физического смысла.

В системах с малым демпфированием теоретическое условие резонанса, представленное точкой $R$ на рис. 2.14 и 2.15 , может в действительности оказаться недостижимым из-за возникновения перескока. На каждом из этих рисунков возможность перескока вниз отмечена переходом из точки $D$ в точку $D^{\prime}$, перескоку вверх соответствует переход из точки $J$ в точку $J^{\prime}$. Наличие внешних возмущений может вызвать преждевременный перескок, тем самым исключая возможность возникновения действительного резонанса. При отсутствии упомянутого внешнего воздействия скачок на каждом из рисунков приближенно изображался бы переходом из точки $R$ в точку $R^{\prime}$ на графике частотной характеристики.

Для систем с демпфированием фазовой угол при изменении частоты $\omega$ возмущающей силы от 0 до $\infty$ изменяется непрерывно от $0^{\circ}$ до $\pi$. При резонансе фазовый угол теоретически равен $\pi / 2$, но в действительности он изменяется скачком при возникновении перескока в системе. При этом он изменяется от значения несколько меньшего (или большего), чем $\pi / 2$, до значения несколько большего (или меньшего), чем $\pi / 2$.

Метод усреднения Ритца ${ }^{4}$ успешно применялся к различным задачам, включая свободные и вынужденные колебания нелинейных систем. Высокая точность была достигнута * при использовании одночленного приближения для систем с восстанавливающей силой, описываемой симметричными функциями $n$-го порядка, а также кусочно-линейными функциями. Уравнение Дюффинга является только одним из примеров такого типа. Для систем с восстанавливающими силами несимметричного вида требуется использовать по крайней мере двучленные приближения и при этом быстро растут трудности алгебраического характера.