В п. 1.15 обсуждались численные решения для систем с одной степенью свободы, при действии возмущающей силы, которые нельзя было описать аналитическими выражениями. В двух основных подходах, использовавшихся там, применялись кусочно-постоянные и кусочно-линейные интерполирующие функции. Указанные подходы здесь будут применены в методе нормальных форм колебаний при исследования хеустановившегося поведения систем со многими степенями свободы. Как и в предыдущих параграфах, предполагаем, что имеет место пропорциональное демпфирование или демпфирование по формам колебаний. Поскольку здесь потребуется большой объем вычислений, предполагается, что методы, описываемые в данном параграфе, будут применяться с использованием ЭВМ.

Рассмотрим вначале интерполяцию кусочно-постоянного типа, описанную в п. 1.15 (см. рис. 1.56). Не теряя общности, здесь будем использовать только кусочно-постоянного вида функцию возмущающей силы $f_{\text {п }}\left(\Delta t_{j}\right)$, кусочно-постоянная форма вектора сил имеет вид
\[
\mathbf{Q}_{\mathrm{I} j}=\mathbf{F}_{\mathrm{II}}\left(\Delta t_{j}\right)=\mathbf{P} \mathfrak{f}_{\mathrm{\Pi}}\left(\Delta t_{j}\right), \quad j=1,2,3, \ldots, n_{1},
\]

где $\Delta t_{j}$ – шаг по времени конечной длительности, $n_{1}$ – число шагов. В такой форме величины компонент вектора $\mathbf{P}$ служат скалярными множителями для произвольного вида функции $f_{п}\left(\Delta t_{j}\right)$. Если одновременно прикладывается несколько возмущающих сил, представляемых подобными функциями, определяются динамические перемещения, соответствующие каждой из сил, а результирующее динамическое перемещение можно определить, просуммировав перемещения для каждой силы.

Преобразованием уравнений движения в усилиях к нормальным координатам получаем следующее уравнение, записанное относительно $i$-й формы колебаний:
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 n_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i, j}, \quad i=1,2,3, \ldots, n ; \quad j=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $q_{\Gamma}{ }_{i, j}$ – величина, постоянная на длине $j$-го шага по времени. Используя выражение (1.76б), найдем динамические перемещения по $i$-й форме колебаний системы с демпфированием в момент времени $t_{j}$
\[
\begin{aligned}
x_{\Gamma i, j} & =e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left[x_{\Gamma i, j-1} \cos p_{\text {Д } i} \Delta t_{j}+\frac{x_{\Gamma i, j-1}+n_{i} x_{\Gamma i, j-1}}{p_{\text {д } i}} \sin p_{\text {д } i} \Delta t_{j}\right]+ \\
& +\frac{q_{\Gamma i, j}}{p_{i}^{2}}\left[1-e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left(\cos p_{\text {Ді }} \Delta t_{j}+\frac{n_{i}}{p_{\text {Д } i}} \sin p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}\right)\right] \cdot
\end{aligned}
\]

Продифференцировав это выражение по времени и разделив результат на $p_{\text {дi }}$, получим
\[
\begin{array}{c}
\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j}}{p_{\text {Дi }}}=e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left[-x_{\Gamma i, j-1} \sin p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}+\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+n_{i} x_{\Gamma i, j-1}}{p_{\text {Дi }}} \cos p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}-\right. \\
\left.-\frac{n_{i}}{p_{\text {Дi }}}\left(x_{\Gamma i, j-1} \cos p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}+\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+n_{i} x_{\Gamma i, j-1}}{p_{\text {Дi }}} \sin p_{\text {дi }} \Delta t_{j}\right)\right]+ \\
\quad+\frac{q_{\Gamma i, j}}{p_{i}^{2}} e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left(1+\frac{n_{i}^{2}}{p_{\text {Дi }}^{2}}\right) \sin p_{\text {дi }} \Delta t_{j} .
\end{array}
\]

Выражения (4.155а) и (4.155б) представляют рекуррентные формулы для вычисления динамических перемещений при колебаниях системы с демпфированием по каждой нормальной форме колебаний в конце каждого $j$-го шага по времени. Они также служат начальными условиями для перемещения и скорости в начале $(j+1)$-го шага. Применяя эти формулы последовательным образом, можно проследить историю изменения во времени динамических перемещений, соответствующих каждой нормальной форме колебаний. Затем по известным соотношениям полученные на каждом шаге перемещения преобразуем к исходным координатам.

Если $i$-я форма перемещений системы представляет движение как абсолютно жесткого тела, вместо указанных выше рекуррентных формул следует использовать соответствующие выражения, описывающие движения как жесткого тела. Например, если в системе не имеется абсолютного демпфирования, то вместо выражения (4.155a) для перемещения берем следующее выражение:
\[
x_{\Gamma i, j}=x_{\Gamma i, j-1}+\dot{x}_{\Gamma i, j-1} \Delta t_{j}+\frac{q_{\Gamma i, j}}{2}\left(\Delta t_{j}\right)^{2} .
\]

Выражение (4.155б) для скорости принимает вид
\[
\dot{x}_{\Gamma i, j}=\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+q_{\Gamma i, j} \Delta t_{j} .
\]

Однако следует иметь в виду, что, рассматривая абсолютное демпфирование, необходимо использовать выражения (4.144) и (4.147), полученные в предыдущем параграфе.

Когда вместо уравнений движения в усилиях используются уравнения движения в перемещениях, вектор динамических перемещений, описываемых кусочно-постоянными функциями, принимает вид
\[
\Delta_{\Pi j}=\mathbf{F Q}_{\mathrm{n} j}=\mathbf{F P} f_{\Pi}\left(\Delta t_{j}\right)=\Delta_{\mathrm{c} x} f_{\mathrm{II}}\left(\Delta t_{j}\right), \quad j=1,2,3, \ldots, n,
\]

где $\Delta_{\text {ст }}$ – вектор статических перемещений, обусловленных действием нагрузок $\mathbf{P}$. Следуя той же схеме рассуждений, что и в предыдущих параграфах, видим, что множитель $q_{\Gamma} i, j / p_{i}^{2}$ при слагаемых в выражениях (4.155а) и (4.155б) здесь заменен на $\delta_{\Gamma i, j}$, что получается в результате преобразования вектора $\Delta_{\text {іI }}$ к нормальным координатам.

Для того чтобы можно было использовать рекуррентные формулы (4.155а) и (4.155б), была составлена программа на языке БЕЙСИК

для вычислительной машины, текст которой приведен в приложении. Эта программа, носящая название DYNACON3, noзволяет определять динамические перемещения, соответствующие трем первым формам колебаний, когда на систему с демпфированием со многими степенями свободы действует возмущающая сила в виде кусочно-постоянной функции. В верхней части рис. 4.5 представлен график изменения такой функции $f_{n}$, при этом ее числовые значения, заданные с интервалом 0,5 с по времени, приведены в четвертом столбце табл. 4.3. Эта функция, умноженная на вектор нагрузки $\mathbf{P}=\{0,2 ; 0,3 ; 0,6\}$, использовалась в качестве возмущающей силы для системы, изображенной на рис. 4.3 ; в последних

Рис. 4.5 трех столбцах таблицы представлены полученные с помощью программы DYNACON3 данные, описывающие неустановившееся поведение системы. Использованы следующие данные: $m_{1}=m_{2}=m_{3}=0,179 \cdot 10^{3} \mathrm{H} \cdot \mathrm{c}^{2} / \mathrm{M}, k_{1}=k_{2}=k_{3}=$ $=0,179 \cdot 10^{3} \mathrm{H} / \mathrm{M}, \gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma_{3}=0,05$. Начальные условия имели вид: $x_{01}=x_{02}=x_{03}=0, \dot{x}_{01}=\dot{x}_{02}=\dot{x}_{03}=0$.

На нижней части рис. 4.5 представлены графики изменения во времени перемещений $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$. Видно, что основной вклад в суммарное динамическое перемещение дает первая форма колебаний, период которых равен 14,1 с. Для выявления на этих графиках локальных изменений, обусловленных влиянием колебаний третьей формы, необходимо использовать достаточно малый шаг по времени. В данном примере период собственных колебаний по третьей форме равен примерно 3,5 с при постоянном шаге $\Delta t=0,5$ с.

Теперь рассмотрим интерполирующую функцию кусочно-линейного типа (см. рис. 1.57) и возьмем произвольную функцию $f_{\text {л }}\left(\Delta t_{j}\right)$ от времени. Тогда кусочно-линейный вектор сил принимает вид
\[
\mathbf{Q}_{\text {іг }}=\mathbf{F}_{\text {л }}\left(\Delta t_{j}\right)=\mathbf{P} f_{\pi}\left(\Delta t_{j}\right), \quad j=1,2,3, \ldots, n .
\]

В этом случае, преобразуя уравнения движения в усилиях к нормальным координатам, получаем для $i$-й формы колебаний системы уравнение следующего вида:
\[
\ddot{x}_{\Gamma i}+2 n_{i} \dot{x}_{\Gamma i}+p_{i}^{2} x_{\Gamma i}=q_{\Gamma i, j-1}+\frac{\Delta q_{\Gamma i, j} t}{\Delta t_{j}},
\]

где через $q_{\Gamma i, j-1}$ обозначена величина возмущающей силы $q_{\Gamma i}$, приложенной к системе в момент времени $t_{j-1}$. Кроме того, использовано обозначение $\Delta q_{\Gamma i, j}=q_{\Gamma i, j}-q_{\Gamma i, j-1}$, которое характеризует изменение силы $q_{\Gamma i}$ на шаге $\Delta t_{j}$ по времени.

Из выражения (1.77б) получаем следующее представление для динамических перемещений по $i$-й форме колебаний в момент времени $t_{j}$ системы с демпфированием:
\[
\begin{array}{c}
x_{\Gamma i, j}=e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left[x_{\Gamma i, j-1} \cos p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}+\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+n_{i} x_{\Gamma i, j-1}}{p_{\text {дi }}} \sin p_{\text {ді }} \Delta t_{j}\right]+ \\
+\frac{q_{\Gamma i, j-1}}{p_{i}^{2}}\left[1-e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left(\cos p_{\text {Д } i} \Delta t_{j}+\frac{n_{i}}{p_{\text {Дi }}} \sin p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}\right)\right]+ \\
+\frac{\Delta q_{\Gamma i, j}}{p_{i}^{2} \Delta t_{j}}\left[\Delta t_{j}-\frac{2 n_{i}}{p_{i}^{2}}+e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left(\frac{2 n_{i}}{p_{i}^{2}} \cos p_{\text {Дi }} \Delta t_{j}-\frac{p_{\text {Дi }}^{2}-n_{i}^{2}}{p_{i}^{2} p_{\text {дi }}} \sin p_{\text {дi }} \Delta t_{j}\right)\right] .
\end{array}
\]

Продифференцировав это выражение по времени и поделив результат на $p_{a i}$, найдем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j}}{p_{\text {д } i}}=e^{-n_{i} \triangleleft \Delta t_{j}}\left[-x_{\Gamma i, j-1} \sin p_{\text {дi }} \Delta t_{j}+\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+n_{i} x_{\Gamma i, j-1}}{p_{\text {д } i}} \cos p_{\text {д }} \Delta t_{j}-\right. \\
\left.-\frac{n_{i}}{p_{\text {д } i}}\left(x_{\Gamma i, j-1} \cos p_{\text {дi }} \Delta t_{j}+\frac{\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+n_{i} x_{\Gamma i, j-1}}{p_{\text {Дi }}} \sin p_{\text {д } i} \Delta t_{j}\right)\right]+ \\
+\frac{q_{\Gamma i, j-1}}{p_{i}^{3}} e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left(1+\frac{n_{i}^{2}}{p_{\text {Дi }}^{2}}\right) \sin p_{\text {मi }} \Delta t_{j}+ \\
+\frac{\Delta q_{\Gamma}, j}{p_{i}^{2} p_{\text {д } i} \Delta t_{j}}\left[1-e^{-n_{i} \Delta t_{j}}\left(\cos p_{\text {дi }} \Delta t_{j}+\frac{n_{i}}{p_{\text {д } i}} \sin p_{\text {дi }} \Delta t_{j}\right)\right] . \\
\end{array}
\]

Выражения (4.158a)и (4.158б) представляют рекуррентные формулы для вычислений динамических перемещений и скоростей си-
4.4. Результаты расчетов, полученные с помощью программы DYNALIN3

стемы с демпфированием, соответствующих каждой нормальной форме колебаний, в момент времени $t_{j}$; они также позволяют определить начальные перемещение и скорость для интегрирования на следующем шаге по времени.

Если $i$-я форма соответствует движению как абсолютно жесткого тела, выражение (4.158a) для перемещения следует заменить на
\[
x_{\Gamma i, j}=x_{\Gamma i, j-1}+\dot{x}_{\Gamma i, j-1} \Delta t_{j}+\frac{q_{\Gamma i, j-1}}{2}\left(\Delta t_{j}\right)^{2}+\frac{\Delta q_{\Gamma i, j-1}}{6}\left(\Delta t_{j}\right)^{3} .
\]

Соответственно, выражение (4.158б) для скорости заменяется на
\[
\dot{x}_{\Gamma i, j}=\dot{x}_{\Gamma i, j-1}+q_{\Gamma i, j-1} \Delta t_{j}+\frac{\Delta q_{\Gamma i, j-1}}{2}\left(\Delta t_{j}\right)^{2} .
\]

При записи этих выражений подразумевалось, что в системе нет абсолютного демпфирования. Далее следует использовать выражения (4.144) и (4.147).

Если вместо уравнений движения в усилиях используются уравнения движения в перемещениях, вектор перемещений $\Delta_{\text {лj }}$, описываемых кусочно-линейными функциями, можно представить в форме
\[
\boldsymbol{\Delta}_{л j}=\mathbf{F} \mathbf{Q}_{л j}=\mathbf{F P} f_{л}\left(\Delta t_{j}\right)=\boldsymbol{\Delta}_{\mathrm{Gт}} f_{\pi}\left(\Delta t_{j}\right), \quad j=1,2,3, \ldots, n_{1} .
\]

В рамках такого подхода в выражениях (4.158а) и (5.158б) множители $q_{\Gamma} i, j-1 / p_{i}^{2}$ и $\Delta q_{\Gamma} i, j / p_{i}^{2}$ следует заменить соответственно на $\delta_{\Gamma i, j-1}$
Рис. 4.6
и $\Delta \delta_{\Gamma i, j}$.
Для вычислений с помощью формул (4.158а) и (4.158б) была составлена вторая программа для ЭВМ, записанная на языке БЕЙСИК и названная DYNALIN3. Эта программа позволяет определить динамическое перемещение при колебаниях по первым трем формам демпфированной системы со многими степенями свободы, на которую действует возмущающая сила в виде кусочнолинейной функции. Программа DYNALIN3 может быть получена заменой в программе DYNACON3 некоторых строк в процедуре, в которой используются рекуррентные формулы и входящие в них приращения.
На рис. 4.6 в верхней части представлен график изменения

во времени возмущающей силы $f_{л}$ кусочно-линейного типа, а ее значения, полученные на интервалах времени, равных $0,5 \mathrm{c}$, приводятся в четвертом столбце табл. 4.4 При использовании значений вектора возмущающей силы $\mathbf{P}=\{-0,3 ; 0 ; 0,6 ;\}$ и векторов начальных условий $\mathbf{X}_{0}=\{2 ;-2 ; 1\}$ и $\mathbf{X}_{0}=\{0 ; 0 ; 0\}$, а также прежних значений параметров, ‘характеризующих колеблющуюся систему, с помощью программы DYNALIN3 были определены динамические перемещения, значения которых для соответствующих форм колебаний приведены в трех последних столбцах табл. 4.4. В нижней части рис. 4.6 представлены графики изменения перемещений $x_{1}, x_{2}$ и $x_{3}$ в зависимости от времени, из которых видно, что характер заданных начальных перемещений обусловливает заметное искажение колебаний третьей формы. Поскольку возмущающая сила действует на систему только на интервале времени длительностью 10 с, последующие динамические перемещения системы будут определяться только свободными колебаниями этой системы.