1 Величину $\beta$ иногда называют динамическим коэффициентом.
2 Нелинейные колебания этого вида были разобраны в работе Лурье А. И., Чекмарев А. И. Вынужденные колебания в нелинейной системе с характеристикой, составленной из двух прямолинейных отрезков. Прикладная математика и механика, 1938 , т. 1 , вып. 3 , с. $307-324$.
3 Выше и в дальнейшем через $c$ обозначена постоянная демпфирования.
1 Метод восходит к основополагающим исследованиям. И. Г. Бубнова (18721919 гг.) и был опубликован им дважды. См. Бубнов И. Г. Отзывы профессоров Кирпичева, Белзецкого, Бубнова и Колосова о сочинениях профессора Тимошенко, удостоенных премии им. Д. И. Журавского. Сб. Спб. ин-та инж. путе й сообщ. 1913, вып. 81, разд. III, с. 33-36 (переизд.: Бубнов И. Г. Отзыв о работе проф. С. П. Тимошенко. Об устойчивости упругих систем. Избр. тр. Л.: Судпромгиз, 1956, с. 136-139); Бубнов И. Г. Строительная механика корабля. Ч. II. Спб.: Тип. мор. м-ва, 1914, с. 515-544.
5 Теорема взаимности работ в сущности содержится в упомянутой в п. 3.3 статье Дж. Максвелла (1831-1879), в которой рассматриваются две однородные внешние силы. Для произвольных сил формулировка теоремы при статическом нагружении дана Э. Бетти ( $1823-1892$ гг.), см. Betti E. Teoria della elasticita. Il nuova cimento, Ser. 2a, 1872, t. 7-8, Juglio, pp. 5-21; Agosto, pp. 69-97; Septembro, pp. 158-180; Novembre, pp. 357-367.

Дж. Релей рассмотрел упругую систему, совершающую малые колебания за счет гармонических сил заданного периода и амплитуды, приложенных в двух различных точках системы (см. Rayleigh. J. W. S. Some general theorems relating to vibrations. — Proceedings of the London Mathematical Society, 1873, v. 4, N. 63 . pp. 357-368). В дальнейшем он (см. Rayleigh J. W. S. A statical theorem. Philosophical Magazine, 4th Series, 1874 , v. 48 , pp. $452-456;1875$, v. 49 , pp. 183185) перешел к статической задаче для теоремы взаимности работ, полагая период действия силы бесконечно большим; здесь важны введенные Релеем понятия обобщенных сил и обобщенных перемещений, когда уже не нужно различать внешние усилия — сила это или момент. Теорема взаимности была сформулирована Релеем в двух известных ныне вариантах — и для жесткостей, и для податливостей. Доказательство теоремы взаимности работ для двух упругих систем, совершающих малые колебания и нагруженных произвольным числом сил, содержится в т. 1 его монографни, цитированной в п. 1.4.
${}_6^6$ Теорема взаимности перемещений была впервые сформулирована Дж. Максвеллом в 1864 г. на примере статически нагруженной плоской статически неопределимой фермы для случая двух сил (см. его статью, цитированную в п. 3.3). Обобщение этой теоремы на случай произвольного числа сил различного типа и на случай гармонических колебаний было дано Релеем (см. сноску 5). Теорема взанмности перемещений представляет собой частный случай теоремы взаимности работ.
${}^7$ Следует упомянуть также и работу К. Хри, так как в научной литературе точные решения уравнений динамической теории упругости для прямого стержня кругового поперечного сечения называют решениями Похгаммера — Хри (см. Chree $\mathbf{C}$. The equations of an isotropic elastic solid in polar and cylindrical coordinates, their solution and application. — Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 1889, v. 14, P. III, p. 250-369). Хри также получил точные решения и при распространении осесимметричных (продольных) волн в анизотропных цилиндрических стержнях (см. Chree C. On the longitudinal vibrations of aelotropic bars with one axis of material symmetry. — Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 1890 , v. 24 , p. 340 ).
8 Удобнее применять функции А. Н. Крылова.
9 Дифференциальное уравнение (5.115) поперечных колебаний прямого стержня с учетом поперечного сдвига и инерции вращения известно как (уточненное) уравнение Тимошенко или уравнение балки Тимошенко (двухмодовая аппроксимация). Вывод его можно найти в кн. Тимошенко С. П. Курс теории упругости. 2-е изд, Киев: Наукова думка, 1972, с. 338. См. также Григолюк Э. И., Селезов И. Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. М.: ВИНИТИ,
Итоги науки и техники. Сер. Механика твердых деформируемых тел, т. 5, 1973. 272 с.
10 Иногда в научной литературе процедуру определения собственной основной частоты колебаний на основе энергетического подхода называют методом Релея, а высших форм — методом Релея — Ритца. Для вычисления основной частоты (1873 г.) и высших частот ( 1877,1899 гг.) Релей применял метод, сснованный на равенстве кинетической и потенциальной энергий для предельных состояннй (или, как теперь говорят, метод стационарного значения суммарной энергии системы). Он рассмотрел колебания упругих струн, стержней, цилиндрических, сферических и конических оболочек, использовал в основном для описания движения системы форму колебаний простейшего осциллятора. Полученные результаты вошли в его кн. «Теория звука», цитированную в п. 1.4; первая публикация метода относится к 1873 г.: Ravleigh. J. W. S. Some general theorems relating to vibrations. Proceedings of the London Mathematical Society, 1873, V. 4, No. 63, pp. 357-368.

В гл. 9 упомянутой книги при исследовании колєбаний прямоугольной мембраны прогиб выражается в форме
$$w=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_{mn}\sin \frac{m\pi x}{a}\sin \frac{n\pi y}{b},$$

где ${\phi }_{mn}$ — нормальные координаты.
Для квадратной мембраны ( $a=b$ ) подробно рассмотрены формы ${\phi }_{11},{\phi }_{22},{\phi }_{12}$, ${\phi }_{31},{\phi }_{33},{\phi }_{32},{\phi }_{23}$, разобрано наложение форм ${\phi }_{21}$ и ${\phi }_{12},{\phi }_{31}$ и ${\phi }_{13},{\phi }_{32}$ и ${\phi }_{23}$.
Там же обсуждены колебания круговой мембраны, когда
$$w=\sum I_{\lambda }(kr)(\phi \cos n\theta +\psi \sin n\theta ),$$

где $k$ — величина, пропорциональная частоте; $n=0,1,2,\dots ;r,\theta$ — полярные координаты; $\phi ,\psi$ — константы.

В гл. 10 рассмотрены осесимметричные и несимметричные колебания круговых пластин, приведены выражения для частоты колебаний свободно опертой пластины, когда прогиб имеет вид (*). Кроме того, определены формы колебаний квадратной пластины со свободными краями, в частности, разобраны формы
$$w=w^{\ast }(\cos \frac{n\pi x}{a}\pm \cos \frac{n\pi y}{a}),$$

когда $n=1,2,3,4$.
В 1899 г. Релеем также определены высшие частоты упругих колебаний. Работа В. Ритца 1908 г. озаглавлена: «Об одном новом методе решения некоторых вариационных задач математической физики». В этой связи в 1911 г., уже после смерти B. Ритца, Релей пишет (Rayleigh J. W. S. On the calculation of Chladni’s figures for a square plate. — Philosophical Magazine and Journal of Sciences, 1911, Ser. 6, pp. $225-229)$ :
«…..удивительно, как он [В. Ритц] мог рассматривать метод как новый…», в «одной из моих ранних работ (1899)…. этот метод дан в форме, почти в точности совпадающей с той, в какой он предложен Ритцем…», «….я полагал, что это исследсвание [В. Ритца] ограничивается применениями этого метода». Может быть, В. Ритц развил свой метод, причем независимо от Релея. Во всяком случае, протест Релея не был услышан и его имя после работы В. Ритца надолго исчезает при упоминании обсуждаемого энергетического метода.

На основании вышеизложенного редактор всюду в книге ввел метод Релея Ритца. Таким образом, говорить о том, что Ритц дал дальнейшее развитие метода Релея, неверно. Правильно сказать, что он нашел ему блестящее применение, которое позволило на метод Релея и его возможности взглянуть другими глазами.
11 Автор пишет о втором методе Ритца, однако, как указано в примечании 4 редактора перевода, речь идет о методе ортогонализации Бубнова.
12 Леонард Эйлер ( $1707-1783$ гг.) для анализа колебаний колоколов, как тонких оболочек вращения переменной толщины, первым построил теорию малых поперечных колебаний мембран в предположении, что мембрана представляет собой систему ортогональных упругих нитей, и получил дифференциальное уравнение

второго порядка $a_1{w}_{xx}+a_2{w}_{yy}=w_{tt}$, где $a_1,a_2$ — постоянные, а $w-$ прогиб мембраны.
13 Опыты с колебаниями покрытых песком стеклянных пластин, проведенные Хладни (1756-1827 rr.) (см. Chladni E.F. F. Entdeckungen über die Theorie des Klanges. Leipzig, 1787; Die Akustik. Leipzig, 1802; Neue Beiträge zur Akustik. Leipzig, 1817), указали на существование узловых линий ряда колебаний. Хладни первым обнаружил узловые линии при колебаниях полностью незакрепленных квадратных пластин; он демонстрировал фигуры колебаний стеклянных пластин: по краю плоской пластины, посыпанной мелкозернистым песком или порошком, проводят перпендикулярно поверхности смычком и при этом возникают места скопления и разрежения песка или порошка, соответствующие узловым линиям.
14 Если считать, что по всей длине контура прямоугольной пластины закрепление одинаково и что может быть только три вида условий на каждом контуре свободноопертый край (1), защемленный край (2), свободный край (3), то для пластины может существовать 21 вариант контурных условий: $1111,1212,1211,1213$, $1113,1313,2222,2221,2223,2211,2231,2233,2123,2132,2133,2323,2313,2333$, $1133,1333,3333$. Первые шесть относятся к случаю, когда два противоположных края пластины свободно оперты, для них решение при симметричных и антисимметричных формах колебаний найдены, как указано в предыдущей сноске, В. Фойгтом, а многочисленные результаты для этих шести вариантов контурных условий получены K. Зейсигом. См. (Zeissig C. Ein einfacher Fall der transversalen Schwingungen einer rechtekigen elastischen Platte. Annalen der Physik, 1898, Bd. 4, SS. $361-397$ ).
15 A. Лейсса (cм. Leissa A. W. Free vibration of rectangular plates. Journal of Sound and Vibration, 1973, v. 31, N. 3, pp. 257-293) составил табличные значения частот для 21 указанного в предыдущем примечании редактора перевода случая. При этом 6 случаев, разобранных В. Фойгтом, соответствуют точному решению задачи, а 15 — приближенному (методом Релея — Ритца). Систематические результаты о малых свободных поперечных колебаниях тонких упругих прямоугольных пластин, включая анализ частот и форм колебаний, оценку влияния размеров в плане на частоту колебаний, содержатся в кн. Д. Гормана (см. Gorman D.J. Free vibration analysis of rectangular plates. Elsevier, North Holland, Inc., New York: 1982,324 pр.), причем для шести случаев контурных условий, когда два противоположных края свободно оперты, решения известны и они точные. Для остальных случаев, когда непосредственно нельзя решить уравнение Жермена — Лагранжа, решение построено методом наложения.
16 В ст. А. Лейссы (см. Leissa. A. W. Free vibrations of elastic plates.-AIAA Paper, N. 6924, AIAA 7th Aerospace Sciences Meeting, New York: January 20-22, 1969,34 р.) представлен обзор 500 работ по теоретическим и экспериментальным исследованиям свободных недемпфированных поперечных колебаний упругих пластин. Этот обзор охватывает однородные изотропные пластины в форме круга, эллипса, прямоугольника, параллелограмма, треугольника; разбирается влияние анизотропии, переменности толщины, неоднородности по толщине, окружающей среды, больших прогибов, поперечного сдвига и инерции вращения; обсуждаются также колебания в плоскости пластины. См. также Leissa A. W. Vibration of plates. — NASA SP-160, 1969, 353 p.). В 12 главах этой книги рассматриваются малые поперечные колебания тонких упругих пластин, подчиняющиеся гипотезам Кирхгоффа, и подробно излагаются вопросы, кратко затронутые в предыдущей статье Лейсы.