Во всех рассмотренных выше случаях задача сводилась к простейшему случаю колебания системы с одной степенью свободы путем введения определенных упрощающих предположений. Например, в системе, изображенной на рис. 1.1, пренебрегалось массой пружины по сравнению с массой груза $W$, а в показанной на рис. 1.4 системе не учитывалась масса балки. Аналогично в системе, представленной на рис. 1.8 , пренебрегалось моментом инерции массы вала по сравнению с моментом инерции массы диска. Хотя введение подобных упрощающих предположений для болышинства практических случаев позволяет получать достаточно точные решения, в технике встречаются задачи, в которых становится необходимым внимательно рассматривать точность таких приближенных подходов. Для того чтобы определить влияние подобных упрощений на частоту

колебаний, рассмотрим приближениый метод, предложенный $\mathrm{Pe}$ леем *. При использовании этого метода необходимо сделать некоторые предположения относительно конфигурации системы при колебаниях. Тогда частота колебаний будет определяться из условий сохранения энергии системы.

В качестве простого примера применения метода Релея возьмем случай, представленный на рис. 1.1 и обсужденный в пп. 1.1 и 1.3. Если масса пружины мала по сравнению с массой груза $W$, на форму колебаний не будет существенно влиять масса пружины. С достаточной точностью можно предположить, что перемецение $x_{c}$ произвольной точки пружины, расположенной на расстоянии $c$ от закрепленного конца (см. рис. 1.1,a), будет таким же, как и в случае безмассовой пружины, что дает
\[
x_{\mathrm{c}}=c x / l \text {, }
\]

где $l$ – длина пружины в свободном состоянии.
Если, как и раньше, предположить, что перемещения изменяются линейно, то потенциальная энергия будет такой же, как и в случае безмассовой пружины, и поэтому здесь следует рассмотреть только кинетическую энергию системы. Обозначим через ш вес единицы длины пружины. Тогда масса элемента пружины длиной $d c$ будет равна $w d c / g$, а его кинетическая энергия составит ( $\omega d c / 2 g)\left(c \dot{x}_{\text {max }} / l\right)^{2}$. Полная кинетическая энергия пружины
\[
\frac{w}{2 g} \int_{0}^{l}\left(\frac{c \dot{x}_{\max }}{l}\right)^{2} d c=\frac{\dot{x}_{\max }^{3}}{2 g}\left(\frac{\omega l}{3}\right) .
\]

Эту величину следует сложить с кинетической энергией груза $W$, тогда условие (1.13) равенства энергий принимает вид
\[
\frac{\dot{x}_{\max }^{2}}{2 g}\left(W+\frac{w l}{3}\right)=\frac{k x_{\max }^{2}}{2} .
\]

Сравнивая это соотношение с равенством (и) п. 1.3, можно сделать вывод: для того чтобы установить влияние массы пружины на период собственных колебаний, необходимо прибавить только треть веса пружины к весу груза $W$.

Этот вывод, полученный в предположении, что перемещение пружины изменяется по линейному закону, может с достаточной точностью использоваться даже в тех случаях, когда вес пружины имєет тот же порядок, что и вес $W$. Например, когда $w l=0,5 W$, ошибка приближенного решения (см. п. 5.5) составляет примерно $0,5 \%$. Для $w l=W$ и $w l=2 W$ сшибка примерно равна 0,8 и $3 \%$, соответственно.

В качестве второго примера рассмотрим случай колебания балки постоянного поперечного сечения, в середине пролета которой рас-

положен груз весом $W$ (рис. 1.15). Если вес $w l$ балки мал по сравнению с весом груза $W$, то можно с достаточной точностью предположить, что прогиб балки при колебаниях имеет такую же форму, как и профиль кривой статических прогибов при действии сосредоточенной нагрузки, приложенной в середине пролета балки. Тогда, обозначая через $y_{\text {м }}$ максимальный прогиб в середине пролета балки при колебании, можно выразить перемещение произвольного малого элемента балки, расположенного на расстоянии $x$ от левой опоры, в виде
\[
y=y_{\mathrm{M}} \frac{3 x l^{2}–4 x^{3}}{l^{3}} .
\]

Максимальная кинетическая энергия самой балки
\[
2 \int_{0}^{l} \frac{w}{2 g}\left(\dot{y}_{\mathrm{M}} \frac{3 x l^{2}-4 x^{3}}{l^{3}}\right)^{2} d x=\frac{17}{35} w l \frac{\dot{y}_{\mathrm{M}}^{2}}{2 g} .
\]

Эту кинетическую энергию балки при колебаниях необходимо сложить с энергией $W \dot{y}_{\mathrm{M}}^{2} / 2 g$ груза, установленного в середине пролета балки, и таким образом учесть влияние веса балки на период колебаний. В этом случае период колебаний будет таким же, как и для невесомой балки, к которой приложена нагрузка
\[
W^{\prime}=W+\frac{17}{35} w l .
\]

Даже для крайнего случая, когда $W=0$ и в середине пролета балки прикладывается эквивалентная сила, равная (17/35) wl, точность приближенного метода оказывается достаточной для практических целей. Прогиб балки при действии эквивалентной силы; приложенной в середине пролета.
\[
\delta_{\mathrm{cr}}=\frac{17}{35} w l \frac{l^{3}}{48 E l} .
\]

Подставляя эту величину в формулу (1.3), найдем период собственных колебаний
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{\delta_{\mathrm{cT}}}{g}}=0,632 \sqrt{\frac{w^{l^{4}}}{E / g}} .
\]

Рис. 1.16

Точное решение (см. п. 5.10) в этом случае имеет вид
\[
\tau=(2 / \pi) \sqrt{w l^{4} /(E I g)}=0,637 \sqrt{w l^{4} /(E I g)} .
\]

Қак видно, ошибка приближенного решения даже при таком ограниченном подходе составляет менее $1 \%$.

В качестве третьего примера рассмотрим призматическую консольную балку, на незакрепленном конце которой установлен груз весом $W$ (рис. 1.16). Предположим, что при колебаниях форма линии прогиба балки будет такой же, как и в случае статического нагружения силой, приложенной на свободном конце. Обозначив через $y_{\text {м }}$ максимальное перемещение груза $W$, можем определить кинетическую энергию балки
\[
\int_{0}^{l} \frac{w}{2 g}\left(\dot{y}_{\mathrm{M}} \frac{3 x^{2} l-x^{3}}{2 l^{3}}\right) d x=\frac{33}{140} w l \frac{\dot{y}_{\mathrm{M}}^{2}}{2 g} .
\]

Период колебаний в этом случае будет таким же, как и период колебаний невесомой консольной балки, к свободному концу которой приложена сила
\[
W^{\prime}=W+\frac{33}{140} w l .
\]

Эквивалентный груз весом 33/140 wl можно использовать даже и в тех случаях, когда wl не является малой величиной. Применяя сказанное к крайнему случаю, когда $W=0$, получаем
\[
\delta_{\text {ст }}=\frac{33}{140} w l\left(\frac{l^{3}}{3 E I}\right) .
\]

В результате находим, что период колебаний (см. п. 5.11)
\[
\tau=2 \pi \sqrt{\frac{\delta_{\mathrm{cr}}}{g}}=\frac{2 \pi}{3,567} \sqrt{\frac{\bar{w} l^{4}}{E I g}} .
\]

Видно, что ошибка приближенного решения составляет примерно $1,5 \%$.

В рассмотренных случаях поперечных колебаний балок с грузом предлагалось, что формы балок при колебании были такими же, как формы кривых прогибов при статическом приложении нагрузок. В предельном случае невесомой балки предположение является справедливым. Однако, когда балка имеет некоторым образом рас-

пределенную массу, это предположение будет только приближенным. Если упругую линию балки описывать некоторой разумной формулой, можно ожидать, что в результате получится хорошее приближение к точному значению периода колебаний. Разумеется, если задать точную форму, получим точное значение периода колебаний. Для того чтобы продемонстрировать высказанную точку зрения, рассмотрим снова свободно опертую балку (см. рис. 1.15) без учета веса $W$. В этом случае известно (см. п. 5.10), что точная форма упругой линии при колебаниях относительно положения равновесия описывается следующим выражением:
\[
y=y_{\mathrm{M}} \sin \frac{\pi x}{l} .
\]

Қак и раньше, через $y_{\text {м }}$ в выражении (л) обозначен максимальный прогиб в середине пролета балки, $y$ – прогиб в произвольной расположенной на расстоянии $x$ от левой опоры точке по оси балки.
Кинетическая энергия всей балки в положении равновесия
\[
E_{\mathrm{r} \max }=\int_{0}^{l} \frac{w}{2 g}\left(\dot{y}_{\mathrm{M}} \sin \frac{\pi x}{l}\right)^{2} d x=\frac{w l}{2} \frac{\dot{y}_{\mathrm{M}}^{3}}{2 g} .
\]

Чтобы подсчитать максимальное значение потенциальной энергии балки относительно положения равновесия, воспользуемся следующим выражением * для энергии изгибных деформаций:
\[
E_{\text {п } \max }=\frac{1}{2} \int_{0}^{l} E I\left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)^{2} d x .
\]

Подставляя вторую производную выражения (л) в соотношение (н) и выполняя интегрирование, найдем
\[
E_{\text {п max }}=\frac{E I \pi^{4}}{4 l^{3}} y_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

В заключение, приравнивая выражения (л) и (о) согласно условию (1.13) и учитывая, что имеет место равенство $\dot{y}_{\mathrm{M}} \equiv p y_{\mathrm{M}}$, получим формулу для частоты колебаний
\[
p=\pi^{2} \sqrt{\frac{E I g}{w l^{4}}} .
\]

Соответствующий период колебаний $\tau=2 \pi / p$, что приводит к точному выражению (ж), полученному выше.

Қак уже говорилось, ранее, выбор функций формы любого, но отличного от точного вида будет приводить к приближенным значениям частоты или периода колебаний. Очень хорошим вариантом выбора функции формы прогиба для балки при колебаниях является форма кривой прогибов, когда балка нагружена статически собст-

венным весом. Для того чтобы пояснить эту мысль, рассмотрим также случай ненагруженной свободно опертой балки и допустим, что к ней статически приложена равномерно распределенная нагрузка $w$, обусловленная собственным весом балки. Тогда получим следующую форму прогиба:
\[
y=y_{\mathrm{m}} \frac{16}{5 l^{4}}\left(x^{4}-2 l x^{3}+l^{3} x\right),
\]

где $y_{\mathrm{M}}=5 w l^{4} /(384 E I)$ – прогиб в середине пролета балки.
Кинетическая энергия балки при переходе через положение равновесия
\[
E_{\mathrm{\kappa} \max }=\int_{0}^{l} \frac{w}{2 g} \dot{y}^{2} d x=\frac{p^{2}}{2 g} \int_{0}^{l} w y^{2} d x .
\]

Подставляя выражение (п) в соотношение (1.16), найдем
\[
E_{\text {к max }}=0,252 \frac{w l}{g} p^{2} y_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

Максимальное значение потенциальной энергии балки относительно положения равновесия можно получить, учитывая то обстоятельство, что внешняя работа статически приложенной распределенной нагрузки от веса равна энергии деформации при изгибе балки. В результате имеем
\[
E_{\mathrm{II} \max }=\int_{0}^{l} \frac{1}{2} \omega y d x .
\]

Подставляя выражение (п) в соотношение (1.17) и выполняя интегрирование, получим
\[
E_{\mathrm{II} \max }=0,320 w \operatorname{ly}_{\mathrm{M}}=24,6 \frac{E I}{l^{3}} y_{\mathrm{M}}^{2} .
\]

Приравнивая выражения (р) и (с), приходим к следующей формуле:
\[
p=9,87 \sqrt{\frac{E I g}{w l^{4}}} .
\]

Сравнивая этот результат с точным значением (1.15), видим, что имеет место совпадение трех первых цифр.

Выражения (1.16) и (1.17) можно подставить в равенство (1.13) для энергий с тем, чтобы получить для указанного типа задач общее выражение для $p$ :
\[
p^{2}=g \int_{0}^{l} w y d x \mid \int_{0}^{l} w y^{2} d x .
\]

Если погонная масса $w$ изменяется по длине балки, то в выражении (1.18) функцию $w$ следует оставить под знаком интеграла, но в случае балок постоянного поперечного сечения эта величина будет постоянной и в формуле (1.18) ее можно сократить.

Необходимо отметить, что упругая балка представляет собой систему с бесконечно большим числом степеней свободы. Она, подобно струне, может совершать колебания различного типа. При использовании метода Релея выбор определенной формы для кривой прогибов эквивалентен введению некоторых дополнительных ограничений, которые сводят исходную систему к системе с одной степенью свободы. Подобные дополнительные ограничения могут только увеличить жесткость системы, т. е. увеличить частоту колебаний. Таким образом, во всех рассмотренных выше случаях приближенные значения частот в силу того, что они определялись методом Релея, несколько превышают точные значения *.

В случае крутильных колебаний (см. рис. 1.8) подобный приближенный метод может быть использован для оценки влияния момента инерции вала на частоту колебания всей системы. Пусть через $i$ обозначен момент инерции массы вала, отнесенный к единице его длины. Тогда, предполагая, что форма колебаний такая же, как и у невесомого вала, получим, что угол поворота поперечного сечения, расположенного на расстоянии $x$ от закрепленного конца вала, равен $c \varphi / l$, при этом максимальное значение кинетической энергии малого элемента вала равно $(i d c / 2)\left(c \dot{\varphi}_{\max } / l\right)^{2}$.
Кинетическая энергия для всего вала имеет вид
\[
\frac{i}{2} \int_{0}^{l}\left(\frac{c \dot{\varphi}_{\max }}{l}\right)^{2} d c=\frac{\dot{\varphi}_{\max }^{2}}{2}\left(\frac{i l}{3}\right) .
\]

Для того чтобы оценить влияние массы вала на частоту колебания, необходимо это значение кинетической энергии сложить с кинетической энергией диска. В результате получим, что период колебания будет таким же, как и в случае невесомого вала, к концу которого присоединено тело моментом инерции $I^{\prime}=I+i l / 3$.

Крутильные колебания валов без установленных на них дисков можно исследовать точно так же, как это было сделано для поперечных колебаний балок. Следуя тем же выкладкам, которые привели к выражению (1.18) для балок, получим аналогичное выражение для частоты колебания валов:
\[
p^{2}=\alpha \int_{0}^{l} i \varphi d x \mid \int_{0}^{l} i \varphi^{2} d x,
\]

где $\varphi-$ угол закручивания произвольной точки по оси, обусловленной приложением распределенного крутящего момента, величина которого равна величине $\alpha i$, отнесенной к единице длины вала. Через $\alpha$ обозначено угловое ускорение, измеряемое в рад $/ \mathrm{c}^{2}$.

Пример 1. Определить частоту собственных колебаний груза весом $W$, установленного на балку $A B$ (рис. 1.17) постоянного поперечного сечения, для следу-

ющих двух случаев: а) в предположении, что весом балки можно пренебречь; б) с учетом веса балки и с помощью метода Релея.

Решение. Пусть $a$ и $b$ – расстояния от груза до концов балки. Тогда прогиб при статическом приложении нагрузки $\delta_{\text {ст }}=W a^{2} b^{2} /(3 l E I)$. Задавая жесткость пружины выражением $k=3 l E I /\left(a^{2} t^{2}\right)$ и пренебрегая массой балки, найдем круговую частоту колебаний из следующего выражения:
\[
p=\sqrt{\frac{g}{\delta_{\mathrm{cт}}}}=\sqrt{\frac{k g}{W}}=\sqrt{\frac{3 l E l g}{W a^{2} b^{2}}} .
\]

Для того чтобы учесть влияние массы балки, рассмотрим кривую прогибов балки при действии статической нагрузки $W$. Прогиб в произвольной отстоящей на расстоянии $\xi$ от опоры $A$ точке левого участка балки
\[
y_{1}=(W b \xi / 6 l E I)\left[a(l+b)-\xi^{2}\right] .
\]

Для прогиба в точке, произвольно расположенной справа от груза на расстоянии $\eta$ от опоры $B$, имеем
\[
y_{2}=(W a \eta / 6 l E I)\left[b(l+a)-\eta^{2}\right] .
\]

Используя метод Релея и предполагая, что при колебаниях максимальная скорость произвольной точки, лежащей на левом участке балки, определяется выражением
\[
\dot{y}_{1}=y_{\mathrm{M}} \frac{y_{1}}{\delta_{\mathrm{cT}}}=\dot{y} \frac{\xi}{2 a^{2} b}\left[a(l+b)-\xi^{2}\right],
\]

где $\dot{y}_{\text {м }}$ – максимальная скорость груза $W$, получаем, что максимальная кинетическая энергия этого участка
\[
\begin{array}{c}
\frac{w \dot{y}_{\mathrm{M}}^{2}}{2 g} \int_{0}^{a}\left(\frac{y_{1}}{\delta_{\mathrm{cT}}}\right)^{2} d \xi=\frac{w \dot{y}_{\mathrm{M}}^{2}}{2 g} \int_{0}^{a} \frac{\xi^{2}}{4 a^{4} b^{2}}\left[a(l+b)-\xi^{2}\right]^{2} d \xi= \\
=\dot{y}_{\mathrm{M}}^{2} \frac{w a}{2 g}\left[\frac{l^{2}}{3 b^{2}}+\frac{23 a^{2}}{105 b^{2}}-\frac{8 a l}{15 b^{2}}\right] .
\end{array}
\]

Точно также рассматривая правый участок балки, находим максимальную кинетическую энергию
\[
\dot{y}_{\mathrm{M}}^{2} \frac{w b}{2 g}\left[\frac{(l+a)^{2}}{12 a^{2}}+\frac{b^{2}}{28 a^{2}}-\frac{b(l+a)}{10 a^{2}}\right] .
\]

Таким образом, для рассматриваемой задачи условие (1.13) равенства энергий принимает вид
\[
\frac{W+\alpha w a+\beta w b}{2 g} \dot{y}_{\mathrm{M}=-2} \frac{k y_{\mathrm{M}}^{2}}{2},
\]

где $\alpha$ и $\beta$ обозначают величины, стояцие в квадратных скобках соответственно выражений (ф) и (х). Используя соотношение для круговой частоты колебаний, получим следующую формулу:
\[
p=\sqrt{\frac{3 l E I g}{(W+\alpha a w+\beta b \omega) a^{2} b^{2}}} .
\]

Пример 2. Для призматической консольной балки (см. рис. 1,16) при $W=$ $=0$ с помощью метода Релея найти приближенное значение периода собственных поперечных колебаний. Считать, что форма балки при колебании совпадает с кривой статических прогибов, обусловленных весом балки.

Решение. Для равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивностью $w$, действующей на балку, статический прогиб в точке, отстоящей на расстоянии $x$ от заделанного конца:
\[
y=\frac{y_{\mathrm{M}}}{3 l^{4}}\left(x^{4}-4 l x^{3}+6 l^{2} x^{2}\right)
\]

где $y_{M}=w t^{4} /(8 E I)$ – прогиб на незакрепленном конце. Подставляя выражение (ч) в представления (1.16) и (1.17) и интегрируя, найдем
\[
\begin{array}{l}
E_{\mathrm{K} \max }=\frac{52 w l}{405 g} p^{2} y_{\mathrm{M}}^{2} ; \\
E_{\mathrm{\Pi} \max }=\frac{w l}{5} y_{\mathrm{M}}=\frac{8 E I}{5 l^{3}} y_{\mathrm{M}}^{2} .
\end{array}
\]

Приравнивая соотношения (ш) и (щ), получим частоту колебаний
\[
p=3,530 \sqrt{\frac{E I g}{w l^{4}}}
\]

и соответствующий ей период колебаний
\[
\tau=\frac{2 \pi}{3,530} \sqrt{\frac{w-l^{4}}{E I g}} .
\]

Точное значение для периода основного тона колебаний определяется выражением (к), откуда видно, что приближенное решение методом Релея дает ошибку порядка $0,5 \%$.

ЗАДАЧИ
1.4.1. Для консольной балки, показанной на рис. 1.16, методом Релея вычислить период поперечных колебаний для предельного случая, когда $W=0$, т. е. для однородной балки без нагрузки на свободном конце. Форму балки при колебаниях задать в следующем виде:
\[
y=y_{\mathrm{M}}\left(1-\cos \frac{\pi x}{2 l}\right),
\]

где $y_{\mathrm{M}}$ – прогиб на свободном конце. Отметим, что выбор формы указанного приближенного вида дает ошибку при определении колебаний порядка $4 \%$.
\[
\text { Omвem: } \tau=\frac{2 \pi}{3,66} \sqrt{\frac{w l^{4}}{E I g}} \text {. }
\]
1.4.2. Для случая, когда показанная на рис. 1.15 балка имеет оба конца не свободно опертые, а защемленные, определить, какую часть ее полного веса следует

прибавить к весу груза $W$, установленного в середине пролета, при нахождении периода собственных поперечных колебаний. Считать, что форма балки при колебаниях совпадает с кривой статических прогибов при действни нагрузки $W$.
Omвem: $13 / 35$.
1.4.3. С помощью метода Релея определить период свсЄодных поперечных колебаний балки постоянного поперечного сечения, вєссм $t$ и с изгибной жесткостью $E I$, если, как и в предыдущей задаче, оба конца балки защемлены. Предполагается, что при колебаниях балки форма єе прогибов совпадает с формой полной волны косинуса. Тогда, помещая начало координат на левом конце балки, кривую динамических прогибов представим следующей функцией:
\[
y=\frac{y_{\mathrm{M}}}{2}\left(1-\cos \frac{2 \pi x}{l}\right),
\]

где $y_{\mathrm{m}}$ – прогиб в середине пролета балки.
1.4.4. Для рамы, рассмотренной в задаче 1.1.6, принять, что каждая вертикальная стойка имеет погонный вес $2,98 \cdot 10^{2} \mathrm{H} / \mathrm{M}$ и шарнирно закреплена за верхний конец. Определить период собственных поперечных колєбаний рамы с учетом массы стоек. Использовать те же числовые данные, что и в задаче 1.1.6.
Oтвет: $\tau=1,69 \mathrm{c}^{-1}$.
1.4.5. Какую часть равномерно распределенного веса балки $A B C$ (рис. A.1.4.5) следует добавить к весу груза $W$, установленного на незакрепленном конце, определяя частоту собственных поперечных колебаний? Использовать кривую статических прогибов, вызванных приложенной в точке $C$ нагрузкой.
Omвет: $239 / 1680 \approx 1 / 7$.
Рисс. A.1.4.5
1.4.6. Предположим, что пружина, показанная на рис. $1.1, a$ и описанная в п. 1.1, растягивается под действием собственного веса $w$, отнесенного к единице длины, а груз $W$ снят. C помощью метода Релея определить угловую частоту основного тона колебаний пружины, используя при этом выражение для статического перемецения пружины, обусловленного действием ссбственного веса.
\[
\text { Omsem : } p=1,58 \sqrt{\mathrm{kg} /(\omega \mathrm{l})} .
\]
1.4.7. Рассмотрим подвешенный на двух последовательно соединенных пружинах груз весом $W$, показанный на рис. 1.5, $a$ и описанный в п. 1.1. Обозначим через $l_{1}$ и $w_{1}$ соответственно длину и отнесенный к единице длины вес пружины с жесткостью $k_{1}$, а через $l_{2}$ и $w_{2}$ – то же, для пружины с жесткостью $k_{2}$. Считая, что перемещения колеблющейся системы такие же, как и при действии статически приложенного груза $W$, определить вес, который следует добавить к $W$ для учета влияния веса пружин.
\[
\text { Oтвет: } \frac{w_{1} l_{1} k_{2}+3 w_{2} l_{2} k_{3}\left(k_{1}+k_{3}\right)+w_{2} l_{1}}{3\left(k_{1}+k_{2}\right)^{2}} .
\]
1.4.8. Определить величину, которую следует добавить к моменту инерции $I$, чтобы учесть влиянне момента ичерции ступенчатого вала, как показано на рис. А.1.4.8, где $i_{1}$ и $i_{2}$ – отнесєнные к единице длиғы моменты инерции уча-

стков 1 и 2 вала, $k_{\text {кі }}$ и $k_{\text {к2 }}$ – их жесткость при кручении. Считать, что распределение углов закручивания такое же, как и в случае статического крутящего момента, приложенного к диску.
Omвem: $\frac{i_{1} l_{1} k_{\mathrm{K} 2}^{2}+3 i_{1} l_{1} k_{\mathrm{K} 1}\left(k_{\mathrm{K} 1}+k_{\mathrm{K} 2}\right)+i_{2} l_{2} k_{\mathrm{K} 1}^{2}}{3\left(k_{\mathrm{K} 1}+k_{\mathrm{K} 2}\right)^{2}}$.
Рис. А.1.4.8
1.4.9. Для случая, описанного в условии задачи 1.2 .9 (см. п. 1.2), определить частоту крутильных колебаний обода колеса. Учесть влияние массы $n$ радиальных спиц, считая, что вес каждой спицы равен $W_{c}$.
\[
\text { Omвет: } f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{n g S_{0} r_{0}}{\left(W+W_{\mathrm{c}} n / 3\right) r\left(r-r_{0}\right)}} .
\]
1.4.10. Для случая, рассмотренного в примере 2 (п. 1.2), определить частоту крутильных колебаний колеса (см. рис. $1.10, a$ ), учтя влияние массы радиальных спиц и считая, что каждая спица имеет массу $w r / g$, равномерно распределенную по ее длине.
Omвem: $f=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{16 g \beta}{[W+(116 / 105) w r] r^{3}}}$.